7.3.4 正切函数的性质与图象-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.3.4 正切函数的性质与图象 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质. 2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 正切函数的图象与性质 解析式 y=tan x 图象 定义域 _______________________ 值域 _____ R 续表 奇偶性 奇函数 最小正周期 ____ 单调性 在每一个开区间__________________________上都单调递增 对称性 对称中心_________________ π (k∈Z) (k∈Z) |微|点|助|解| (1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间(k∈Z)内是增函数，不能说函数在其定义域内是单调递增函数. (2)正切函数无单调递减区间，在每一个区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间. (3)正切曲线在x轴上方的部分下凸，在x轴下方的部分上凸，画图时，要注意曲线的光滑性及凹凸性. (4)正切曲线是由被相互平行的直线x=+kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的，这些平行直线也称为正切曲线的渐近线，即无限接近但不相交. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)正切曲线是中心对称图形，有无数个对称中心. (　　) (2)正切曲线有无数条对称轴，其对称轴是x=kπ+(k∈Z). (　　) (3)若x是第一象限角，则y=tan x是增函数. (　　) 基础落实训练 √ × × 2.函数y=tan的最小正周期是(　　) A.π B.2π C. D. √ 解析：最小正周期为T==. 3.函数y=-tan x的单调递减区间是___________________________. (k∈Z) 解析：因为y=tan x与y=-tan x的单调性相反， 所以y=-tan x的单调递减区间为(k∈Z). 4.函数y=tan的定义域为_________________________.  解析：由x-≠+kπ，k∈Z，得x≠kπ+，k∈Z， 所以函数的定义域为. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　正切函数的定义域和值域 [例1]　(1)函数y=的值域是(　　) A.(-1，1) B.(-∞，-1)∪(1，+∞) C.(-∞，1) D.(-1，+∞) √ 解析：当-<x<0时，-1<tan x<0，∴<-1；当0<x<时，0<tan x<1，∴≥1.即当x∈∪时， 函数y=的值域是(-∞，-1)∪(1，+∞). (2)函数y=3tan的定义域为____________________________.  解析：要使函数有意义应满足-≠kπ+，k∈Z， 得x≠-4kπ-，k∈Z. 所以函数的定义域为. |思|维|建|模| 求正切函数定义域、值域的方法 (1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y=tan x有意义，即x≠+kπ，k∈Z. (2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0，ω>0)的定义域时，要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+，k∈Z，解得x. (3)处理正切函数值域问题时，应注意正切函数自身值域为R，将问题转化为某种函数的值域求解. 针对训练 1.函数y=tan的定义域是(　　) A.，k∈ Z 　 B.，k∈ Z C.，k∈ Z D.，k∈ Z √ 解析：函数y=tan中，-2x≠+kπ，k∈Z.解得x≠--，k∈Z，即定义域为，k∈Z. √ 2.函数y=2tan，x∈的值域是(　　) A.　　　　　 B. C. D. 解析：对于函数y=2tan，∵x∈， ∴x-∈，∴y=2tan∈，故选C. 题型(二)　正切函数的周期性、奇偶性及对称性 [例2]　(1)函数f(x)=tan的周期为_______.  解析：法一：定义法　∵tan=tan， 即tan=tan， ∴f(x)=tan的周期是. 法二：公式法　f(x)=tan的周期T=. (2)已知函数y=tan，则该函数图象的对称中心坐标为____________________.  (k∈Z) 解析：由x-=(k∈Z)得x=+(k∈Z)， 所以图象的对称中心坐标为(k∈Z). |思|维|建|模| 1.函数f(x)=Atan(ωx+φ)周期的求解方法 (1)定义法. (2)公式法：对于函数f(x)=Atan(ωx+φ)，它的最小正周期T=. (3)观察法(图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少函数值重复出现. 2.判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法 先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(-x)与f(x)的关系. [提醒]　y=tan x，x≠kπ+，k∈Z的对称中心坐标为，k∈Z. 针对训练 3.若函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长为，则f的值是(　　) A.0 B. C.1 D. √ 解析：∵f(x)=tan ωx的图象的相邻两支截直线y=1所得的线段长度即为函数的周期，∴该函数的周期是， ∴=(ω>0)，解得ω=4， ∴f(x)=tan 4x， ∴f=tan=tan=. √ 4.(多选)下列关于函数f(x)=tan的相关性质的命题，正确的有(　　) A.f(x)的定义域是 B.f(x)的最小正周期是π C.f(x)的单调递增区间是(k∈Z) D.f(x)的对称中心是(k∈Z) √ 解析：令2x+≠+kπ(k∈Z)，解得x≠+(k∈Z)， 则函数y=f(x)的定义域是，A正确； 函数y=f(x)的最小正周期为，B错误； 令kπ-<2x+<kπ+(k∈Z)，解得-<x<+(k∈Z)， 则函数y=f(x)的单调递增区间是(k∈Z)，C正确； 令2x+=(k∈Z)，解得x=-(k∈Z)， 则函数y=f(x)的对称中心为(k∈Z)，D错误. 5.函数y=sin x+tan x是_____函数.(填“奇”或“偶”)  奇 解析：定义域为，关于原点对称，∵f(-x)=sin(-x)+tan(-x)=-sin x-tan x=-f(x)，∴函数是奇函数. 题型(三)　正切函数的单调性及其应用 [例3]　(1)(多选)下列是函数y=tan的单调递增区间的为(　　) A. B. C. D. √ √ 解析：令kπ-<x+<kπ+，k∈Z，可得kπ-<x<kπ+，k∈Z. 函数y=tan的单调递增区间为，k∈Z， 令k=0，函数y=tan的单调递增区间为，B正确； 令k=1，函数y=tan的单调递增区间为，C正确. (2)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为_________________ ________. tan 2<tan 3<tan 4 <tan 1 解析：y=tan x在区间上是增函数， 且tan 1=tan(π+1)，又<2<3<4<π+1<， 所以tan 2<tan 3<tan 4<tan 1. |思|维|建|模| 1.运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内. (2)运用单调性比较大小关系. 2.求函数y=tan(ωx+φ)的单调区间的方法 y=tan(ωx+φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx+φ看成一个整体，解-+kπ <ωx+φ<+kπ(k∈Z)即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间. 针对训练 6.已知函数y=tan ωx在区间上是减函数，则ω的取值范围为(　) A.(0，1] B.[-1，0) C.[1，+∞) D.(-∞，-1] √ 解析：因为y=tan x在上单调递增，所以易知ω<0. 又y=tan ωx(ω<0)在上是单调递减的， 所以其最小正周期T=≥π，综上，ω的取值范围为-1≤ω<0. 7.y=的单调递增区间为__________________________.  ，k∈Z 解析：对于函数y=，令kπ<x+<kπ+，k∈Z. 得kπ-<x<kπ+，k∈Z. 可得函数的单调递增区间为，k∈Z. 8.利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小. (1)tan与tan； 解： tan=-tan，tan=-tan. ∵0<<<，且y=tan x在上为增函数， ∴tan<tan，∴tan>tan. (2)tan 1 519°与tan 1 493°； 解： tan 1 519°=tan(4×360°+79°)=tan 79°， tan 1 493°=tan(4×360°+53°)=tan 53°. ∵0°<53°<79°<90°，且y=tan x在上为增函数， ∴tan 53°<tan 79°，即tan 1 519°>tan 1 493°. (3)tan 6π与tan； 解：tan 6π=tanπ，tan=tanπ. ∵<π<π<π，且y=tan x在上为增函数，∴tanπ<tanπ，即tan 6π>tan. (4)tan与tan. 解：tan=tan=tan.∵-<-<<， 且y=tan x在上为增函数， ∴tan<tan，即tan<tan. 题型(四)　正切函数图象与性质的综合应用 [例4]　设函数f(x)=tan(ωx+φ)，已知函数y=f(x)的图象与x轴相邻两个交点的距离为，且图象关于点M对称. (1)求f(x)的单调区间； 解：由题意知，函数f(x)的最小正周期为T=，即=， 因为ω>0，所以ω=2.从而f(x)=tan(2x+φ)， 因为函数y=f(x)的图象关于点M对称， 所以2×+φ=，k∈Z.即φ=+，k∈Z. 因为0<φ<，所以φ=，故f(x)=tan. 令-+kπ<2x+<+kπ，k∈Z，得-+kπ<2x<kπ+，k∈Z， 即-+<x<+，k∈Z. 所以函数的单调递增区间为，k∈Z， 无单调递减区间. (2)求不等式-1≤f(x)≤的解集. 解：由(1)知，f(x)=tan.由-1≤tan≤， 得-+kπ≤2x+≤+kπ，k∈Z，即-+≤x≤+，k∈Z. 所以不等式-1≤f(x)≤的解集为. |思|维|建|模| 确定函数f(x)=Atan(ωx+φ)解析式的方法 (1)先确定函数的最小正周期，然后利用周期公式T=确定ω； (2)代入相关点确定出A和φ； (3)确定f(x)的解析式. 针对训练 9.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的最小正周期为，且f=1. (1)求函数f(x)的解析式； 解：因为T==，且ω>0，解得ω=. 又因为f=tan=1，所以+φ=+kπ，k∈Z， 解得φ=+kπ，k∈Z，且|φ|<，可得φ=，所以f(x)=tan. (2)函数y=g(x)的图象是由函数y=f(x)的图象向左平移λ(λ>0)个单位得到，若g=-f(0)，求λ的最小值. 解：由题意可知g(x)=tan.因为-f(0)=-tan=tan，g=-f(0)，所以tan=tan，则λ+=-+kπ，k∈Z， 解得λ=-+，k∈Z.又λ>0，所以λ的最小值为. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.函数y=|tan 2x|是 (　　) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为的奇函数 D.周期为的偶函数 √ 解析： f(-x)=|tan(-2x)|=|tan 2x|=f(x)，故为偶函数，T=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=tan(cos x)的值域是 (　　) A. B. C.[-tan 1，tan 1] D.以上均不对 √ 解析：∵-1≤cos x≤1，且函数y=tan x在[-1，1]上为增函数， ∴tan(-1)≤tan x≤tan 1，即-tan 1≤tan x≤tan 1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.与函数y=tan的图象不相交的一条直线是(　　) A.x= B.x=- C.x= D.x= √ 解析：当x=时，y=tan=tan=1； 当x=-时，y=tan=1；当x=时，y=tan=-1； 当x=时，y=tan不存在. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.(2025·全国Ⅰ卷)若点(a，0)(a>0)是函数y=2tan的图象的一个对称中心，则a的最小值为(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：令x-=k·(k∈Z)，则x=+(k∈Z)， 即函数y=2tan图象的对称中心为，k∈Z，∴a=+(k∈Z).又∵a>0，∴a的最小值为，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)下列关于函数y=tan的说法不正确的是(　　) A.在区间上单调递增 B.最小正周期是π C.图象关于点对称 D.图象关于直线x=对称 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：令kπ-<x+<kπ+，k∈Z，解得kπ-<x<kπ+，k∈Z，显然不满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为π，故B正确；令x+=，k∈Z，解得x=-，k∈Z，任取k值不能得到x=，故C错误；正切函数曲线没有对称轴，因此函数y=tan的图象也没有对称轴，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)若函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=m的相邻交点的距离为，则以下说法错误的是(　　) A.ω= B.点是f(x)图象的一个对称中心 C.f(x)的图象关于直线x=对称 D.f(x)在区间上单调递增 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为函数f(x)=tan(ω>0)的图象与直线y=m的相邻交点的距离为，所以函数f(x)的最小正周期为T=.则ω==2.故A错误；因为f(x)=tan，由2x+=(k∈Z)，可得x=-(k∈Z)，当k=1时，x=，故点是f(x)图象的一个对称中心.故B正确；函数f(x)的图象无对称轴，故C错误；当<x<时，由π<2x+<，故函数f(x)在区间上不具有单调性，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.(5分)若函数y=tan(a≠0)的最小正周期为，则a=_______.  ± 解析：因为=，所以|a|=.所以a=±. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)函数y=tan x，x∈的值域为____________.  解析：由题知，根据函数图象性质可知， y=tan x在上单调递增，所以函数在上单调递增. 因为tan=-，tan=1，所以该函数的值域为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)若函数tan x>1，则x的取值区间为___________________________.  (k∈Z) 解析：由tan x>1，得+kπ<x<+kπ(k∈Z)， 所以x的取值区间为(k∈Z). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知函数y=f(x)，其中f(x)=atan 3x+4，若f(5)=6，则f(-5)=____.  2 解析：设g(x)=atan 3x，则f(x)=g(x)+4， 因为g(-x)=-atan 3x=-g(x)， 以g(x)=atan 3x为奇函数.f(5)=g(5)+4=6， 所以g(5)=2，则g(-5)=-2，所以f(-5)=g(-5)+4=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)直线y=与函数f(x)=tan(ω>0)的图象的相邻两个交点的距离为π.若f(x)在(-m，m)(m∈N+)上单调递增，则m的最大值为_____.  1 解析：因为直线y=与函数f(x)的图象的相邻两个交点的距离为一个周期，∴=π.∴ω=.∴f(x)=tan.由kπ-<x+<kπ+(k∈Z)，得kπ-<x<kπ +(k∈Z)，∴f(x)在上单调递增.故(-m，m)⊆，解得0<m≤.又m∈N+，∴m的最大值为1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)观察正切曲线，写出满足下列条件的x值的范围： (1)tan x>0；(4分) 解：作正切函数y=tan x的图象如图所示. 观察图象可知，当kπ<x<+kπ，k∈Z时， 图象位于x轴上方，即tan x>0， 所以tan x>0的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)tan x=0；(2分) 解：x=kπ，k∈Z为函数图象的零点，即tan x=0， 所以tan x=0的解集为. (3)tan x<0.(4分) 解：当-+kπ<x<kπ，k∈Z时，图象位于x轴下方，即tan x<0， 所以tan x<0的解集为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的单调递减区间；(5分) 解：f(x)=3tan=-3tan. 由kπ-<-<kπ+，k∈Z，得4kπ-<x<4kπ+，k∈Z. 因为y=3tan在，k∈Z上单调递增， 所以f(x)=-3tan在，k∈Z上单调递减. 故函数f(x)的单调递减区间为，k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)试比较f(π)与f的大小.(5分) 解：由题意得f(π)=3tan=3tan=-3tan， f=3tan=3tan=-3tan. 因为0<<<，且y=tan x在上单调递增， 所以tan<tan，所以f(π)>f. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(15分)已知函数f(x)=tan. (1)求f(x)的定义域；(5分) 解：由x+≠kπ+，k∈Z，得x≠kπ+，k∈Z. 所以函数f(x)的定义域是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)设β∈(0，π)，且f(β)=2cos，求β的值.(10分) 解：依题意，得tan=2cos， 所以=2sin，整理得sin·=0， 所以sin=0或cos=.因为β∈(0，π)， 所以β+∈.由sin=0，得β+=π，即β=； 由cos=，得β+=，即β=.所以β=或β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知函数f(x)=Atan(ωx+φ)的图象与x轴相交的两相邻点的坐标为和，且过点(0，-3). (1)求f(x)的解析式；(9分) 解：由题意可得f(x)的周期为T=-==， 因为ω>0，所以ω=，得f(x)=Atan，它的图象过点， 所以tan=0，即tan=0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 所以+φ=kπ，k∈Z，得φ=kπ-，k∈Z， 又|φ|<，所以φ=-， 于是f(x)=Atan.又因为它的图象过点(0，-3)， 所以Atan=-3，得A=3.所以f(x)=3tan. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求满足f(x)≥ 的x的取值范围.(6分) 解：因为3tan≥， 所以tan≥，得kπ+≤x-<kπ+，k∈Z， 解得+≤x<+，k∈Z， 所以满足f(x)≥的x的取值范围是，k∈Z. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $