7.3.1 第1课时 正弦函数的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

7.3 三角函数的性质与图象 7.3.1 正弦函数的性质与图象 正弦函数的性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.结合正弦函数的定义和正弦线，理解正弦函数的定义域和值域、单调性等性质. 2.结合诱导公式，理解函数的奇偶性、周期性、零点等性质. 3.会判断简单函数的奇偶性，利用比较正弦函数的单调性比较函数值大小、求函数的最值、值域等. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.正弦函数 对于任意一个角x，都有唯一确定的正弦sin x与之对应，因此y=sin x是一个函数，一般称为正弦函数. 2.函数的周期性 (1)周期性：一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得对定义域内的每一个x，都满足f(x+T)=______，那么就称函数f(x)为周期函数，非零常数____称为这个函数的周期. (2)最小正周期：对于一个周期函数f(x)，如果在它的所有周期中存在一个____________，那么这个最小的正数就称为f(x)的最小正周期. f(x) T 最小的正数 3.正弦函数y=sin x的性质 　　名称 性质 y=sin x 定义域 ____ 值域 _______ 最值 当且仅当________________时，函数y=sin x的最大值ymax=__； 当且仅当_________________时，函数y=sin x的最小值ymin=__ R [-1，1] x=+2kπ，k∈Z 1 x=+2kπ，k∈Z -1 续表 奇偶性 ________ 周期性 最小正周期：2π 单调性 在____________________________上递增； 在_____________________________上递减 零点 ___________ 奇函数 (k∈Z) (k∈Z) kπ，k∈Z |微|点|助|解| (1)周期函数的周期不唯一，任何T的非零整数倍都是函数的周期. (2)三角函数的周期是函数的整体性质，我们在研究函数时，只需研究一个周期上的图象和性质即可. (3)若不加特殊说明，一般求三角函数周期的问题时，求的是函数的最小正周期. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)若sin=sin，则是函数y=sin x的一个周期. (　　) (2)所有的周期函数都有最小正周期. (　　) (3)函数y=是奇函数. (　　) 基础落实训练 × × × 2.函数y=2cos是(　　) A.周期为π的奇函数 B.周期为π的偶函数 C.周期为2π的奇函数 D.周期为2π的偶函数 √ 解析： y=2cos=-2sin 2x，它是周期为π的奇函数. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　正弦函数的奇偶性与周期性 [例1]　(1)函数f(x)=xsin(π+x) (　　) A.是奇函数，但不是偶函数 B.是偶函数，但不是奇函数 C.既是奇函数，又是偶函数 D.既不是奇函数，也不是偶函数 √ 解析：易知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称. ∵f(x)=xsin(π+x)=-xsin x， f(-x)=(-x)sin(π-x)=-xsin x=f(x)≠-f(x)， ∴f(x)是偶函数，不是奇函数. (2)函数y=|sin x|，x∈R的最小正周期为______.  π 解析：设f(x)=|sin x|， 则f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin x|=f(x)， ∴y=|sin x|的最小正周期为π. |思|维|建|模| (1)定义法求函数的周期：紧扣周期函数的定义.寻求对定义域内的任意x都满足f(x+T)=f(x)的非零常数T，该方法主要适用于抽象函数. (2)定义法判断函数的奇偶性：从f(-x)的解析式中拼凑出f(x)的解析式，再依据f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)来判断. 针对训练 1.已知函数f(x)=sin πx，则它的最小正周期为 (　　) A.2π B.π C.1 D.2 √ 2.已知函数f(x)=ax3+bsin x+1，且f(1)=5，则f(-1)=______.  -3 解析：由题知f(1)=a+bsin 1+1=5，所以a+bsin 1=4. 从而f(-1)=-a-bsin 1+1=-(a+bsin 1)+1=-4+1=-3. 题型(二)　正弦函数的单调性及其应用 [例2]　(1)(多选)下列关系式正确的是 (　　) A.sin 11°>cos 10° B.sin 168°>sin 11° C.sin 168°>cos 10° D.cos 10°>sin 11° √ √ 解析：易得sin 168°=sin(180°-12°)=sin 12°， cos 10°=sin(90°-10°)=sin 80°. 因为函数y=sin x在上是增函数， 所以sin 80°>sin 12°>sin 11°， 即cos 10°>sin 11°，sin 168°>sin 11°. (2)y=sin x+1的单调递减区间为____________________________.  (k∈Z) 解析：y=sin x+1的单调递减区间为(k∈Z). |思|维|建|模| (1)求形如y=asin x+b的三角函数的单调性，当a<0时，要求y=asin x+b的单调递增区间，即求y=sin x的单调递减区间. (2)比较三角函数值大小的方法 ①同名函数：若两角在同一单调区间内，则直接利用单调性得出；若两角不在同一单调区间内，则要通过诱导公式把角转化到同一单调区间内，再进行比较. ②异名函数：先利用诱导公式转化为同名函数，再比较. 针对训练 3.y=-3sin x+1的单调递减区间为_______________________________，若x∈[0，π]，则y=-3sin x+1的单调递减区间为___________.  (k∈Z) 解析：当-+2kπ≤x≤+2kπ(k∈Z)时，y=-3sin x+1单调递减， ∴y=-3sin x+1的单调递减区间为(k∈Z). 若x∈[0，π]，∵(k∈Z)∩[0，π]=， ∴当x∈[0，π]时，y=-3sin x+1的单调递减区间为. 4.不求值，指出下列各式大于零还是小于零. (1)sin 25°-sin 72°； 解：因为0°<25°<72°<90°， 又f(x)=sin x在x∈上单调递增， 所以sin 25°<sin 72°.所以sin 25°-sin 72°<0. (2)sin-sin. 解：因为sin=-sin=-sin=-sin=sin， sin=-sin=-sin=sin， 因为0<<<，由f(x)=sin x在x∈上单调递增， 所以sin<sin.所以sin>sin. 即sin-sin>0. 题型(三)　正弦函数的值域 [例3]　若x∈. (1)求y=sin x的值域； 解：由题意可知y=sin x在x∈单调递增， 在x∈单调递减，∴当x=-时，y=sin x取最小值-， 当x=时，y=sin x取最大值1. ∴y=sin x，x∈的值域为. (2)求y=sin2x+2sin x+2的值域. 解：令sin x=t，由(1)知t∈， ∴y=sin2x+2sin x+2=t2+2t+2=(t+1)2+1. 由二次函数的性质可知， 当t∈时，函数y=(t+1)2+1单调递增， ∴当t=-时，y取最小值， 当t=1时，y取最大值5.故所求函数的值域为. |思|维|建|模| 与正弦函数有关的函数值域(最值)的求法 (1)求形如y=asin x+b的函数的最值或值域时，可利用正弦函数的有界性(-1≤sin x≤1)求解. (2)求形如y=asin2x+bsin x+c，a≠0，x∈R的函数的值域或最值时，可以通过换元，令t=sin x，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值.求解过程中要注意正弦函数的有界性. 针对训练 5.函数f(x)=-2sin x+1，x∈的值域是(　　) A.[1，3] B.[-1，3] C.[-3，1] D.[-1，1] √ 解析：∵x∈，∴sin x∈[-1，1]， ∴-2sin x+1∈[-1，3]. 6.求函数y=-2cos2x+2sin x+3，x∈的最大值和最小值，并求出取得最大值、最小值时x的值. 解：y=-2(1-sin2x)+2sin x+3=2sin2x+2sin x+1=2+. ∵x∈，∴≤sin x≤1. 当sin x=1时，ymax=5；当sin x=时，ymin=. 故当x=时，此函数取得最大值； 当x=或时，此函数取得最小值. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.函数f(x)=sin(-x)的奇偶性是 (　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 √ 解析：因为x∈R，且f(-x)=sin x=-sin(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.函数y=sin x-|sin x|的值域是 (　　) A.{0} B.[-2，2] C.[0，2] D.[-2，0] √ 解析：因为y=sin x-|sin x|= 而sin x<0时，-1≤sin x<0，即-2≤2sin x<0，于是得-2≤y≤0. 所以函数y=sin x-|sin x|的值域是[-2，0]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知a=sin，b=sin，c=sin，则a，b，c的大小关系是(　　) A.a<b<c B.b<a<c C.b<c<a D.c<b<a √ 解析：∵c=sin=sin，0<<<<，又y=sin x在上单调递增， ∴sin<sin<sin，即b<c<a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设函数f(x)=sin x，下列结论不成立的是 (　　) A.f>0 B.-1≤f(x)≤1 C.最小正周期是2π D.f>f √ 解析： f=sin=>0，故A正确；-1≤sin x≤1，故B正确；正弦函数的周期为2π，故C正确；由f(x)=sin x在上为增函数，得f<f，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.函数y=sin2x+2cos2x-sin x-3的最大值是 (　　) A. B.- C.3 D.-3 √ 解析：令t=sin x，t∈[-1，1]，则y=sin2x+2(1-sin2x)-sin x-3 =-t2-t-1=--，ymax=-，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)=sin x，则f的值为(　　) A.- B. C.- D. √ 解析：由题意得f=f=f=-f. ∵当x∈时，f(x)=sin x，∴f=-.∴f=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知α，β∈，且cos α>sin β，则α+β与的大小关系是(　　) A.α+β> B.α+β< C.α+β≥ D.α+β≤ √ 解析：因为cos α>sin β，所以sin>sin β.而α，β∈，所以-α∈.因为y=sin x在上单调递增，所以-α>β.所以α+β<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)函数y=1-sin x的单调递减区间是__________________________. (k∈Z) 解析：由题可知，求函数y=1-sin x的单调递减区间， 即求函数y=sin x的单调递增区间， 所以函数y=1-sin x的单调递减区间为(k∈Z). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)函数y=-sin x，x∈的最大值为_______.  0 解析：因为函数y=sin x在上单调递增， 因此函数y=-sin x在上单调递减. 所以当x=0时，函数y=-sin x取得最大值0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)函数值sin，sin，sin按从大到小的顺序排列为____________________.(用“>”连接)   sin>sin>sin 解析：∵<<<<π，又函数y=sin x在上单调递减， ∴sin>sin>sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)函数y=losin x的单调递增区间为__________________________. ，k∈Z 解析：由sin x>0，得2kπ<x<2kπ+π，k∈Z.令t=sin x，则y=lot. 因为y=lot在(0，+∞)上为减函数，由复合函数的单调性的判断方法， 所以应求t=sin x在2kπ<x<2kπ+π，k∈Z上的单调递减区间. 所以y=losin x的单调递增区间为，k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(10分)比较下列各组数的大小： (1)sin与sin；(5分) 解：sin=sin=sin， ∵y=sin x在上是增函数， 且-<-<<，∴sin<sin，即sin>sin. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)sin与cos.(5分) 解：sin=sin=sin=sin=-sin， cos=cos=cos=cos=-sin， ∵y=sin x在上是减函数，且<<<， ∴sin>sin，∴-sin<-sin，即sin<cos. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知|x|≤，求函数y=cos2x+sin x的最小值. 解：y=cos2x+sin x=-sin 2x+sin x+1. 令t=sin x，∵|x|≤，∴-≤sin x≤，即-≤t≤， 则y=-t2+t+1=-+.当t=-，即x=-时， 函数y=cos2x+sin x取得最小值，为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)=sin x，求f(x)的解析式. 解：因为当x≥0时，f(x)=sin x，所以当x<0时，-x>0， f(-x)=sin(-x)=-sin x. 因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x)=f(-x). 故当x<0时，f(x)=f(-x)=-sin x. 所以f(x)=即f(x)=sin|x|，x∈R. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)求函数y=lo，x∈的值域. 解：设t=1-sin x，x∈， 则0≤sin x<1，所以-<-sin x≤0. 所以<1-sin x≤1，即<t≤1.所以y=lot，t∈. 因为y=lot在上是减函数，所以0≤lot<1，即0≤y<1. 故函数y=lo，x∈的值域为[0，1). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $