7.1.1 角的推广-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套课件PPT（人教B版）

第七章 三角函数 任意角的概念与弧度制 7.1 角的推广 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 7.1.1 课时目标 1.了解角的概念的推广及其实际意义，会区分正角、负角和零角. 2.理解象限角的概念，掌握终边相同的角的概念，会用集合表示这些角. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　角的概念的推广 逐点清(二)　象限角 逐点清(三)　象限角与区间角的表示 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　角的概念的推广 01 1.角的概念的推广 一条射线绕其端点旋转到另一条射线所形成的图形称为角，这两条射线分别称为角的______和______. 多维理解 始边 终边 2.角的分类 类型 定义 图示 正角 按照________________而成的角 负角 按照________________而成的角 零角 当射线__________时，我们也把它看成一个角，称为零角 逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有旋转 3.角的加法与减法(β>0°) 名称 符号 定义 图形 角的 加法 α+β 把角α的终边_______方向旋转角β 角的 减法 α-β 把角α的终边_______方向旋转角β 逆时针 顺时针 |微|点|助|解|　　 确定任意角的度数关键看终边旋转的方向和圈数： (1)表示角时，箭头的方向代表角的正负，因此箭头不能丢掉；顺时针旋转形成负角常常容易被忽视. (2)当角的始边相同时，若角相等，则终边相同；终边相同，而角不一定相等. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)小于90°的角都是锐角. (　　) (2)终边与始边重合的角为零角. (　　) (3)大于90°的角都是钝角. (　　) (4)相等的角终边相同. (　　) 微点练明 × × × × 2.经过2个小时，钟表的时针和分针转过的角度分别是 (　　) A.60°，720° B.-60°，-720° C.-30°，-360° D.-60°，720° √ 解析：钟表的时针和分针都是顺时针旋转，因此转过的角度都是负的，而×360°=60°，2×360°=720°，故钟表的时针和分针转过的角度分别是-60°，-720°. 3.如图，圆O的圆周上一点P以A为起点按逆时针方向旋转，10 min转一圈，24 min之后OP从起始位置OA转过的角是 (　　) A.-864° B.432° C.504° D.864° √ 解析：因为点P以A为起点按逆时针方向旋转，10 min转一圈， 所以点P逆时针方向旋转1 min转的度数为=36°， 则24 min之后OP从起始位置OA转过的角为36°×24=864°. 4.下列所示图形中，γ=α+β的是______；γ=α-β的是______.  ①④ ②③ 解析：①中，α与γ的始边相同，α的终边为β的始边，β与γ的终边相同，所以γ=α+β.②中，α与γ的始边相同，α的终边为-β的始边，-β与γ的终边相同，所以γ=α+(-β)=α-β.同理可知，③中γ=α-β，④中γ=α+β. 逐点清(二)　象限角 02 1.象限角与终边相同的角 多维理解 象限角 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，角的始边落在x轴的正半轴上.这时，角的终边在第几象限，就把这个角称为___________.如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限 终边相同的角 所有与α终边相同的角组成一个集合，这个集合可记为_________________________.即集合S的每一个元素的终边都与α的终边相同，k=0时对应元素为____ 第几象限角 S={β|β=α+k·360°，k∈Z} α |微|点|助|解| (1)角α为任意角，“k∈Z”不能省略. k有三层含义：①特殊性：对k每赋一个整数值就有一个具体对应的角.②一般性：表示所有与角α终边相同的角(包括α自身).③从几何意义上看，k表示角的终边按一定的方向转动的圈数.k取正整数时，逆时针转动；k取负整数时，顺时针转动；k=0时，没有转动. (2)k·360°与α中间要用“+”连接，k·360°-α可理解成k·360°+(-α). (3)当角的始边相同时：相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等；终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍；终边不同则表示的角一定不同. 2.象限角与轴线角的集合表示 (1)象限角 象限角 集合表示 第一象限角 {α|k·360°<α<k·360°+90°，k∈Z} 第二象限角 {α|k·360°+90°<α<k·360°+180°，k∈Z} 第三象限角 {α|k·360°+180°<α<k·360°+270°，k∈Z} 第四象限角 {α|k·360°+270°<α<k·360°+360°，k∈Z} (2)轴线角 角的终边的位置 集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 {α|α=k·360°，k∈Z} 终边落在x轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+180°，k∈Z} 终边落在y轴的非负半轴上 {α|α=k·360°+90°，k∈Z} 终边落在y轴的非正半轴上 {α|α=k·360°+270°，k∈Z} 终边落在y轴上 {α|α=k·180°+90°，k∈Z} 终边落在x轴上 {α|α=k·180°，k∈Z} 终边落在坐标轴上 {α|α=k·90°，k∈Z} 1.在平面直角坐标系中，取角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的非负半轴，下列说法正确的是 (　　) A.第一象限角一定不是负角 B.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 C.第一象限角一定是锐角 D.钝角的终边在第二象限 √ 微点练明 解析：三角形的内角可能为90°，90°角不是第一象限角或第二象限角，故B错误；令α=-300°=60°-360°，显然α是第一象限角，但不是锐角，故A、C错误；钝角是大于90°且小于180°的角，它的终边在第二象限，故D正确. 2.将-885°化为α+k·360°(0≤α<360°，k∈Z)的形式是 (　　) A.-165°+(-2)·360° B.195°+(-3)·360° C.195°+(-2)·360° D.-195°+(-3)·360° √ 解析：-885°+1 080°=195°， ∴-885°=195°+(-1 080°)=195°+(-3)·360°. 3.(多选)在-360°~360°范围内，与-410°角终边相同的角是 (　　) A.-50° B.-40° C.310° D.320° √ √ 解析：因为-50°=-410°+360°，310°=-410°+2×360°，所以与-410°角终边相同的角是-50°和310°. 4.已知角α=2 025°，则α的终边在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ 解析：因为α=2 025°=360°×5+225°， 而180°<225°<270°，所以α的终边在第三象限. 5.与角2 026°的终边相同的最大的负角为_______.  -134° 解析：与2 026°终边相同的角α=k×360°+2 026° =(k+5)×360°+226°，k∈Z.令k+5=-1， 即k=-6时，α=-134°，故与2 026°终边相同的最大负角是-134°. 逐点清(三)　象限角与区间角 的表示 03 [典例]　(1)若α=k·360°+24°，k∈Z，试确定2α，分别是第几象限角. 解：由α=k·360°+24°，k∈Z，得2α=2k·360°+48°(k∈Z). 故2α为第一象限角.由α=k·360°+24°，k∈Z，得=+12°(k∈Z). 当k=2n(n∈Z)时，=n·360°+12°(n∈Z)，则为第一象限角； 当k=2n+1(n∈Z)时，=n·360°+192°(n∈Z)，则为第三象限角. 综上所述，2α为第一象限角，为第一或第三象限角. (2)写出如图所示阴影部分的角α的范围. 解：①因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°，k∈Z的形式，与-180°+30°=-150°角终边相同的角可写成-150°+k·360°，k∈Z的形式，所以图(1)阴影部分的角α的范围为{α|-150°+k·360°<α≤45°+ k·360°，k∈Z}. ②因为与45°角终边相同的角可写成45°+k·360°，k∈Z的形式，与-60°+360°=300°角终边相同的角可写成300°+k·360°，k∈Z的形式，所以图(2)中角α的范围为{α|45°+k·360°≤α≤300°+k· 360°，k∈Z}. |思|维|建|模| 1.关于角nα或象限的确定 (1)由α的范围，表示出nα，的范围，由n的取值确定象限. (2)特别地，求所在象限时，可以把每个象限等分为n份，在每一份中按顺序标记一、二、三、四，找到原象限数字即可. 2.表示区域角的三个步骤 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界. (2)按由小到大分别标出起始和终止边界对应的-360°~360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β-α<360°. (3)起始、终止边界对应的角α，β再加上360°的整数倍，即得区域角集合. 1.已知α∈，则角α的终边落在的阴影部分是(　　) √ 针对训练 解析：令k=0，得45°≤α≤90°.则B中的阴影部分区域符合题意. 2.已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是 (　　) A.第一象限角 B.第一或第二象限角 C.第一或第三象限角 D.第一或第四象限角 √ 解析：由题意知k·360°<2α<180°+k·360°(k∈Z)， 故k·180°<α<90°+k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论. 当k=2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°+n·360°(n∈Z)， 所以α在第一象限；当k=2n+1(n∈Z)时，180°+n·360°<α<270°+n·360°(n∈Z)， 所以α在第三象限.故α是第一或第三象限角. 3.终边落在直线y=x上的角α的集合为(　　) A. B. C. D. √ 解析：易得y=x的倾斜角为60°.当终边在第一象限时，α=60°+k· 360°，k∈Z；当终边在第三象限时，α=240°+k·360°，k∈Z. 所以角α的集合为. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列说法正确的是 (　　) A.最大的角是180° B.最大的角是360° C.角不可以是负的 D.角可以是任意大小 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.“α是锐角”是“α是第一象限角”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：因为“α是锐角”能推出“α是第一象限角”，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知角α在直角坐标系中，如图所示，其中射线OA与y轴正半轴的夹角为30°，则α的值为 (　　) A.-480° 　 B.-240° C.150° 　D.480° √ 解析：由角α的终边绕原点O按逆时针方向旋转，可知α为正角.又旋转量为480°，∴α=480°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为 (　　) A.120° B.-120° C.-60° D.60° √ 解析：由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为-×360°=-120°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.与-460°角终边相同的角可以表示成 (　　) A.460°+k·360°，k∈Z B.100°+k·360°，k∈Z C.260°+k·360°，k∈Z D.-260°+k·360°，k∈Z √ 解析：因为-460°=260°+(-2)×360°，所以与-460°角终边相同的角可以表示成260°+k·360°，k∈Z. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)下列四个角为第二象限角的是 (　　) A.-200° B.100° C.220° D.420° √ √ 解析： -200°=-360°+160°，在0°~360°范围内，与-200°终边相同的角为160°，它是第二象限角，同理100°为第二象限角，220°为第三象限角，420°为第一象限角. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.射线OA绕端点O逆时针旋转120°到达OB位置，由OB位置绕端点O旋转到达OC位置，得∠AOC=-150°，则射线OB旋转的方向与角度分别为 (　　) A.逆时针，270° B.顺时针，270° C.逆时针，30° D.顺时针，30° √ 解析：由题意可得∠AOB=120°.设∠BOC=θ，则∠AOC=∠AOB+ ∠BOC=120°+θ=-150°，解得θ=-270°，所以射线OB绕端点O顺时针旋转270°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在直角坐标系中，若α与β的终边互相垂直，那么α与β的关系式为 (　　) A.β=α+90° B.β=α±90° C.β=α+90°+k·360°(k∈Z) D.β=α±90°+k·360°(k∈Z) √ 解析：∵α与β的终边互相垂直，∴β=α±90°+k·360°(k∈Z). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)角α=45°+k·180°(k∈Z)的终边落在 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 √ √ 解析：当k=2m+1(m∈Z)时，α=2m·180°+225°=m·360°+225°， 故α为第三象限角；当k=2m(m∈Z)时，α=m·360°+45°， 故α为第一象限角.故α的终边在第一或第三象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是 (　　) A.{α|-45°≤α≤120°} B.{α|120°≤α≤315°} C.{α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z} D.{α|120°+k·360°≤α≤315°+k·360°，k∈Z} √ 解析：如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是 {α|-45°+k·360°≤α≤120°+k·360°，k∈Z}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若α=2 025°，则与α有相同终边的最小正角β=_______.  225° 解析：因为2 025°=360°×5+225°，所以与2 025°终边相同的最小正角是225°. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________________________________________.  {α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z} 解析：观察题图可知， 角α的集合是{α|k·360°+45°<α<k·360°+150°，k∈Z}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)(2025·北京高考)已知α，β∈[0，2π]，且sin(α+β)=sin(α-β)，cos(α+β)≠cos(α-β)，写出满足条件的一组α=__________________， β=_______________.  (答案不唯一) (答案不唯一) 解析：因为sin(α+β)=sin(α-β)，cos(α+β)≠cos(α-β)， 所以α+β，α-β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合， 故α+β+α-β=π+2kπ，k∈Z，且α+β≠+lπ，l∈Z， 即α=+kπ，k∈Z，故取α=，β=可满足题设要求. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个半径为1的圆上爬动，若两只蚂蚁同时从点A(1，0)按逆时针方向匀速爬动，红蚂蚁每秒爬过α角，黑蚂蚁每秒爬过β角(其中0°<α<β<180°)，如果两只蚂蚁都在第14秒回到A点，并且在第2秒时均位于第二象限，求α，β的值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：根据题意可知14α，14β均为360°的整数倍， 故可设14α=m·360°，m∈Z，14β=n·360°，n∈Z. 由0°<α<β<180°，知0°<2α<2β<360°， 又两只蚂蚁在第2秒时均位于第二象限， ∴2α，2β都是钝角，即90°<2α<2β<180°， 即45°<α<β<90°，∴45°<α=·180°<90°，45°<β=·180°<90°， ∴<m<<n<.∵α<β，∴m<n，又m，n∈Z， ∴m=2，n=3，∴α=，β=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)若α是第二象限角，试分别确定2α，的终边所在位置. 解：∵α是第二象限角，∴90°+k·360°<α<180°+k·360°(k∈Z).① ∴180°+2k·360°<2α<360°+2k·360°(k∈Z)， ∴2α的终边位于第三或第四象限或在y轴的非正半轴上. 法一　由①式得45°+k·180°<<90°+k·180°(k∈Z)， 当k=2n(n∈Z)时，45°+n·360°<<90°+n·360°(n∈Z)； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当k=2n+1(n∈Z)时，225°+n·360°<<270°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一或第三象限. 由①式得30°+k·120°<<60°+k·120°(k∈Z)， 当k=3n(n∈Z)时，30°+n·360°<<60°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+1(n∈Z)时，150°+n·360°<<180°+n·360°(n∈Z)； 当k=3n+2(n∈Z)时，270°+n·360°<<300°+n·360°(n∈Z)， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域. 自x轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图①所示. ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域， 即为的终边所在的象限，∴的终边位于第一或第三 象限.将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域.自x 轴正半轴沿逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ， Ⅲ，Ⅳ，如图②所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域， 即为的终边所在的象限， ∴的终边位于第一、第二或第四象限. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $