精品解析：福建省厦门集美中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学限时训练1试题

福建省厦门集美中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测 数学限时训练1 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知向量，，若与共线，则m的值为（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示求解作答. 【详解】向量，，则，， 而与共线，因此，解得， 所以m的值为. 故选：D 2. 已知平面内M,N,P三点满足,则下列说法正确的是 A. M,N,P是一个三角形的三个顶点 B. M,N,P是一条直线上的三个点 C. M,N,P是平面内的任意三个点 D. 以上都不对 【答案】C 【解析】 【分析】 根据平面向量的线性运算求解证明恒成立即可. 【详解】因为, 故 对任意情况都成立,所以M,N,P是平面内的任意三个点, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型. 3. 已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为 A. 等腰非直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由向量得出向量的坐标，然后利用平面向量的数量积运算法则求出•，得出值为0，可得两向量互相垂直，最后分别求出三向量的模，发现互不相等，进而得出三角形ABC为直角非等腰三角形． 【详解】∵＝(4，－3)，＝(2，－4)， ∴＝－＝(－2，－1)， ∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0， ∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||. ∴△ABC是直角非等腰三角形． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的形状判断，·＝0是解本题的关键. 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 5. 已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据正弦定理由可得, , 在中, ,为边长为1的正三角形, .故B正确. 6. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西，与相距15海里的处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向25海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 【答案】B 【解析】 【分析】利用方向坐标画出图形，结合图形利用余弦定理求出值，再计算甲船到达处需要的时间． 【详解】解：如图所示， 中，，，； 所以， ， 又甲船的速度为， 所以甲船到达处需要的时间为． 故选：B． 【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题． 7. 是内的一点，，则的面积与的面积之比为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设边的中点为,则有,因为,则,即,因为,即可求出结果. 【详解】设边的中点为，则. ∵，∴，∴.∴. 故选:C. 【点睛】本题考查向量的运算和三角形面积的计算,难度一般. 8. 如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】建系，用三角函数表示点，再将已知向量关系用三角函数表示，得出，最后用辅助角公式得到所求的最值关系，结合正弦函数得到最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设扇形的半径为，则， 设点， 因为， 所以，，所以，， 所以，， 因为，则， 当且时，取得最大值4. 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题关键是用三角函数表示出向量关系，得到关系式，再用辅助角公式得到所求的最值关系. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（ ） A. ＝ B. 与共线 C. 与共线 D. ＝ 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误. 【详解】由四边形，，是全等的菱形，知：，即A正确； 由图形可知：与的方向相反，与方向相同且长度相同即＝， 故B、D正确；而与不一定共线，故C不一定正确. 故选：ABD. 10. 已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据三角形的重心坐标公式即可求得点坐标，利用共线向量的坐标计算公式易得点坐标，利用平面向量的夹角公式计算即得，通过平面向量的线性运算求出的坐标，易得其模长. 【详解】 对于A项，如图，点是的重心，点，，，设点，则，故A选项正确； 对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则设则 即,解得，故B项正确； 对于C项，因为，则， 故,即，故C项错误； 对于D项，因则，故D项错误. 故选:AB 11. 在中，．若，则的值可以等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简等式，结合因式分解法，运用正弦定义和正弦定理进行求解即可. 【详解】， 因此或， 当时，因为，所以，而，所以， 当时，， 故选：AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面向量由平行于轴, ，则=____________ 【答案】或 【解析】 【分析】由平行于轴,得出,解出的纵坐标,再由,求出的横坐标 【详解】设 平行于轴,得出, 解得 , 解得,或 或 故答案为或 【点睛】本题考查共线向量的性质,以及向量模的坐标运算, 意在考查向量的基本性质,要求学生概念清晰,计算准确. 13. 如图，已知两个力，的大小和方向，则合力的大小为____________N；若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】运用向量坐标运算即可求解． 【详解】因为，，所以合力， 所以合力的大小为． 故答案为：；． 14. 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，将表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解． 【详解】∵，∴， 整理可得， ∵对任意，上式恒成立，∴； 由题意知，∴，∴． ∴． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知为直角坐标系中的三个定点. （1）若点为平行四边形的第四个顶点，求； （2）若点在直线上，且，求点的坐标. 【答案】（1） （2）点的坐标为或. 【解析】 【分析】（1）由图可知，，可得，从而得 ； （2）可设，可得，由，解得或，从而可得结果. 【小问1详解】 由图可知，， 所以 所以. 【小问2详解】 因为点在直线上， 所以可设， 所以， 所以，解得或. 故点的坐标为或. 16. 已知ABC的内角所对的边分别为且，. （1）若，求的值； （2）若ABC的面积，求的值 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系计算，再利用正弦定理计算即可； （2）先利用面积公式解得，再利用余弦定理计算b边即可. 【详解】解：（1）ABC中，，则B锐角，， 由得，； （2）由得，，即，解得， 所以，即. 所以 17. 平面内给定三个向量． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k； （3）设满足，且，求． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】 (1)根据向量的坐标运算求解即可. (2)分别求得再利用平行的公式求解即可. (3)根据平行与模长的公式列式求解即可. 【详解】（1）∵, ∴. ∴解得 （2）∵,∴. 解得. （3）∵,, ∴ 解得或 ∴或. 【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算以及平行的与模长的公式,属于中等题型. 18. 记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 小问1详解】 方法1：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. 【小问2详解】 方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换即可结合同角关系求解， （2）根据余弦定义以及等面积法可得，即可根据数量积的定义求解， （3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得，进而根据三角形相似可得，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解. 【小问1详解】 ， ， ， ， 又，， ，,， 【小问2详解】 ， ，又， ， 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又， ， ， ． 【小问3详解】 由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又， 所以， 由于, 所以又 故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省厦门集美中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测 数学限时训练1 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1. 已知向量，，若与共线，则m的值为（　　） A. 2 B. C. D. 2. 已知平面内M,N,P三点满足,则下列说法正确的是 A. M,N,P是一个三角形的三个顶点 B. M,N,P是一条直线上的三个点 C. M,N,P是平面内的任意三个点 D. 以上都不对 3. 已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为 A. 等腰非直角三角形 B. 等边三角形 C. 直角非等腰三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知向量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若，则△ABC的面积等于(　　) A. B. C. D. 6. 如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西，与相距15海里的处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向25海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（ ） A. 小时 B. 1小时 C. 小时 D. 2小时 7. 是内的一点，，则的面积与的面积之比为 A B. C. D. 8. 如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（ ） A. ＝ B. 与共线 C. 与共线 D. ＝ 10. 已知点是重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 11. 在中，．若，则的值可以等于（ ） A. B. C. 2 D. 3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若平面向量由平行于轴, ，则=____________ 13. 如图，已知两个力，的大小和方向，则合力的大小为____________N；若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为____________． 14. 已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知为直角坐标系中三个定点. （1）若点为平行四边形的第四个顶点，求； （2）若点在直线上，且，求点的坐标. 16. 已知ABC的内角所对的边分别为且，. （1）若，求的值； （2）若ABC面积，求的值 17. 平面内给定三个向量． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k； （3）设满足，且，求． 18. 记内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． （1）若，求； （2）若，求． 19. 十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． （1）求角； （2）若，求的值； （3）若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $