福建省厦门外国语集美校区2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题

厦外集美校区2023级高一下数学第一次月考 数学试题 命卷人：连煜凡审卷人：曹玉梅 满分为150分，考试时间120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.在△ABC中，若sinA:sinB:sinC=2:3:4,则△ABC的形状是（) A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 包已知复数之在复平面内对应点是山，2)，元为虚数单位，则三(） A.-1-iB.1+iC.1- 3 D.1+2 3.已知圆锥的轴截面是面积为2的等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为（） A. B. C. D. 4设a18C的的角A,B,C对边分别为a,6c,若4+B-,a=,c=4,则snA=() A. B 4 D.月 5.已知△ABC是长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则PA(PB+PC)的最小值是() A.-2 B.3 2 c.4 D.-1 3 6.已知复数z满足1到=2，且汁-号+aia为实数，则a=( ) A.2v② 3 B.V11 c3v11 D.2V2 5 5 5 7.在非直角△ABC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若asin4+bsinB-csinC=4 bsinBcosC,CD是角C的 内角平分线，且CD=b,则tanC等于（) A. B.37 C.I 8 D.3 8.设O为△ABC的内心，AB=AC=5,BC=8,AO=mAB+nAC(m,n∈R),则m+n=（) A.月 B. c D 二、 多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9.在复数范围内关于x的实系数一元二次方程2+px+2=0的两根为x,x,其中x=1+i,则（) A.p=2 B.x2=1-i C.=-2i D.=i X 10.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边，下面四个结论正确的是（) A.若acosA=bcosB,则△ABC为等腰三角形 B.在锐角△ABC中，不等式sinA>cosB恒成立 C.若B子，Q=25,且△1BC有两解，则b的取值范围是，25) D.若∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D,BD=1,则4a+c的最小值为9 11.△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(b+c(c+a:(a+b)=I0:11:11,点E是边BC上的 动点，则下列说法正确的是（） A.a:b:c=6:5:5 B.AB·AC<0 C.若4正=3AB+4C,则Soc=4So A D.若a+h=山，则E历的最小值为} 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知向量a=(-4,3),6=(（1,-2),则(a+2b,b)= 13.设复数，2满足12==1，名十。=y 2+名，则名-2= 14.已知a1BC中，点D在边BC上，∠ADB=120°，AD=2,CD=2BD.当4C取得最小值时，BD=_ AB 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b:,且nA=V3cosC (1)求角C的大小： (2)如果a+b=6,CA·CB=4,求边长c的值. 16.(15分) 在中，角所对的边分别为，B为钝角，且. (1)求证：； (2)若，求边a. 17.(15分) 如图，在梯形ABCD中，AB1/CD,AB=2,CD-5. (1)若AC=2V7,BC=4,求△ABC的面积； (②若∠ABC=2π，AC1BD,求Ian∠1BD. 3 18.17分) 如图所示，某住宅小区一侧有一块三角形空地ABO,其中OA=3km,OB=3V3km,∠AOB=90°.物业管理部门 拟在中间开挖一个三角形人工湖OMN,其中M,N都在边AB上（M,N均不与AB重合，M在A,N之间)， 且∠MON=30°. M (I)若M在距离A点1km处，求点M,N之间的距离； (2)设∠BON=0, ①求出AOMW的面积s关于B的表达式； ②为节省投入资金，三角形人工湖OMN的面积要尽可能小，试确定日的值，使。OMN得面积最小，并求出这个最 小面积. 19.(17分) 在△ABC中，角A,B,C的对边分别为，b,c,点P在线段BC上（不含B,C点）运动 满足∠BAP=a,∠CAP=3. E M 图2 图1 (1)当a=3时，证明2cosa=1 ApA3十 (2)如图1，在△ABC中，BD,CE分别是∠ABC,∠ACB的平分线且BD=CE, 证明AB=AC. (3)如图2，平行四边形ABCD中，在AB边上取一点P,使AB=2AP,在边AD上取点Q, 使AD=3AQ,且PQ交AC于M,求AC AM 参考答案： 1.C 【分析】利用正弦定理及大边对大角，结合余弦定理的推论即可求解 【详解】因为△ABC的三个角满足sin4:sinB:sinC=2:3:4, 所以由正弦定理化简得a:b:c=2:3:4, 设a=2k,b=3k,c=4k,c为最大边， 由余弦定理得cosC=+-C_4+9k2-16k2.1 <0, 2ab 12k2 4 所以C为钝角！ 所以△ABC是钝角三角形 故选：C. 2. D 3. B 【解析】根据圆锥的轴截面的求得圆锥的母线长和底面半径，结合侧面积公式，即可求解， 【详解】设圆锥的母线长为，则侧，得，即母线长为2， 设圆锥的底面半径为，解得，即圆锥底面圆的半径为， 圆锥的侧面积为 故选：B 4. B 【分析】根据正弦定理求解即可. [详解因为4+8-及，所以C 6 sim4simC,得。=& sinA 3 所以sinA= 故选：B. 【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，属于基础题熟练掌握正余弦定理公式，是解本题的基础 5.B (2017年2卷) 解析：（仿法1几何法）设点M为BC中点，可得PB+PC=2PM,再设AM中点为N,这样用极化恒等式可知： p4PM=2PN!M,在等边三角形△MBC中，AM=5,故PAP/取最小值当且仅当 2 2 P4PM=2P2取最小即P=0,故 店成 (方法2.坐标法)以BC中点为坐标源点，由于A(0,V3),B(-1,0),C(1,0)· 设P(,y),PA=（x,5-y),PB=(1-x,-),PC=(1-x,-), 故ie以-为动时-， 6. 7.B 【分析】利用正弦定理的角边化及余弦定理的推论，利用等面积法及三角形的面积公式，结合正余弦的二倍角公式 及同角三角函数的平方关系和商数关系即可求解 【详解】由asinA+bsinB-csinC=4 bsinBcosC及正弦定理，得a2+b2-c2=4b'cosC. 由余弦定理，得cosC=+b-c_46cosC2b cosC, 2ab 2ab 因为△ABC为非直角三角形， 所以cosC≠0， 所以a=2b, 因为CD是角C的内角平分线，且CD=b, 所以由三角形的面积公式得S△Bc=S△D+S△D, 所以2smc-dsm+2nm,即smC=4anSw号5sn号 因为Ce(0,π)， 所以amc=2wS1=2名-1 16 81 sin C=v1-cos'C= 37 3W7 tanC=SinC 8=37. cosC 1 故选：B. 【点睛】关键点睛：解决此题的关键是利用正弦定理的角化边和余弦定理的推论，再利用等面积法及正余弦的二倍 角公式，结合同角三角函数的平方关系和商数关系即可. 8.B 【分析】取BC的中点E,连，则OE为内切圆的半径，利用面积关系求出OE,得A0=。正，再根据 0 正=(6+4C得A0-(6+4C,由平面向量基本定理求出mn可得答案 18 18 【详解】取BC的中点E,连AE, 因为AB=AC=5,BC=8,所以AE⊥BC,AE=V52-42=3, 所以△ABC的内心O在线段AE上，OE为内切圆的半径， 因为SBc=S1OB+S4Oc+SB0c, 所以AE.BC-)OE-(AB+AC+BC), 所以×38=0E(5+58,得0E 3, 所以40=AE-0E=3-4-5 33 所以40=4E, 9 又E=)(B+AC),所以40=5AB+34C, 18 18 叉已知A0=mAB+n4C,所以m=〃=&， 所以m+n= 9 0 B 故选：B. 【点睛】关键点点睛：利用面积关系求出内切圆半径，进而得到40-4E是本题解题关键， 8 x+y:5 /X/ 2x4水B y4. A 、AP 25 3 AH 5 Co50=Ao=Ac 5 3 A0:5 5 号A03. 号=3- 豆.↓(B+A 9.BD 【分析)根据实系数一元二次方程中韦达定理可求出x,判断B,再由韦达定理判断A,根据复数的乘法及共轭复数 判断C,再由复数除法判断D 【详解】因为x,=1+i且实系数一元二次方程2+r+2=0的两根为x,x, 所以xx=2,可得x= 22-1-i,故B正确； x 1+i 又x+x=1+i+1-i=2=-p,所以p=-2,故A错误； 由x=1+i,所以x·x=(1+i)2=2i≠-2i,故C错误； x_1+i_(1+i)22 x1-i22 =i,故D正确， 故选：BD 10.【答案】BCD 【分析)A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项，由△ABC为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C 项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到+'-1，将4a+c变为(4+c'+马， 11 展开后利用基本不等式，即可求得答案， 【详解】选项A,因为cos4=beosB,即(6+c2-a）b(女+c2-b) 2be 2ac 所以有a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2) 整理可得(a2-b2)(a2+b-c2)=0,所以a=b或a2+b=c2, 故△ABC为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 选项B,若M6C为锐角三角形，所以4+B>行，所以>A>-B>0, 2 由正孩函数，=sm在0到单调递增，则sn4>n(仔oB,故B正确 选项C,如图，若△ABC有两解，则asinB<b<a, 所以3<b<2√5，则b的取值范围是(3.2V3),故C正确， /asinB B A A2 选项D,∠ABC的平分线交AC于点D,BD=1, 由SAABC=S△4BD+S△BD,由角平分线性质和三角形面积公式得， aesinl20=asin 60+csin60, 2 11 即ac=a+c,得+二=1， a c 得4a+c=(4a+c2+马=C+4扣+5≥2.4扣+5=4+5=9， a c a c Va c 当且仅当名，即=2a=3时，取等号，故D正确 0 故选：BCD B 11.ACD 【分析】设b+c=10t,求出a,b,c比例即可判断A选项；由余弦定理得cosA>0,结合向量数量积即可判断B选项； 由向量的线性运算得3BE=EC即可判断C选项；取4B中点F,由EAEB=EF-B求出FE最小值即可判断D 4 选项 【详解】 B 设b+c=10t,则c+a=11t,a+b=11t,三式联立解得a=61,b=51,c=51,对于A,a:b:c=6:5:5,A正确； 对灯，w式”器石则孤衣-网网0，B误 对于C,若证孤+C,则证+}E-+C,则证-孤-}4C-正， 4 即子8E-C,即3BE=BC,则BC=4BE,Sax=4a,C正确： 对于D,若a+b=I1,则a=6,b=5,c=5,取AB中点F,连接EF, 则®G+团j(@西]F-F,显然当E1c时，FE最卧小 此时r-E则E-昏氵2，则团的最小值为4草} 44,D正确 故选：ACD 12a+6-5 因为6+26)6=-2x1+2=0,所以两向量垂直，则a+26.例-，