专题2. 整式以及因式分解 讲义 2026年中考数学一轮复习

专题2. 整式以及因式分解 知识点总纲 一、式 用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的数学表达式， 统称为式。 例1：判断下列哪些是“式” ① 3+5 ② x-2 ③ 2ab ④ x/y ⑤ a² 解： 以上都是用运算符号把数或字母连接而成的，因此①②③④⑤都是式。 二、代数式 定义 用基本运算符号（加、减、乘、除、乘方）把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。 单独一个数或一个字母也是代数式。 代数式中不含等号、不等号（=、≠、＞、＜、≥、≤）。 代数式书写规范 （1） 数字与字母、字母与字母相乘，乘号通常省略不写或写成“·”。 （2） 数字写在字母前面。 （3） 带分数与字母相乘要化成假分数。 （4） 除法运算写成分数形式。 （5） 式子后面有单位且为和差形式时，式子要加括号。 代数式的值 用数值代替代数式中的字母，按照代数式规定的运算计算出的结果，叫做代数式的值。 例1：判断下列式子哪些是代数式 ① 2x+3 ② a ③ 5 ④ x+1=2 ⑤ y＞3 解： ①②③是代数式；④含有等号，⑤含有不等号，都不是代数式。 真题实战 1、 列代数式 1. （2025·上海·中考真题）用代数式表示a与b差的平方，正确的是（ ） A. a2 - b2 B. (a - b)2 C. a2 - b D. a - b2 2. （2025·四川广安·中考真题）一种商品每件标价为a元，按标价的8折出售，则每件商品的售价是______元。 3. （2025·山西·中考真题）近年来，我省依托乡村e镇建设，打造农村电商新产业，提高了农民收入。某农户通过网上销售传统手工艺品布老虎，利润由原来的每个20元增加到80元。该农户通过网上售出a个布老虎，则他的利润增加了________元（用含a的代数式表示）。 2、 代数式的求值 1. （2025·四川自贡·中考真题）若2a + b = -1，则4a2 + 2ab - b的值为__________。 2. （2025·吉林长春·中考真题）已知x2 + 2x = 4，则代数式7 - x2 - 2x的值为_______。 3. （2025·山东威海·中考真题）若2x - 3y = 2，则6y - 4x + 1 = __________。 4. （2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足a + b = 2，则a2 - b2 + 4b = ________。 三、整式 类别 项目 具体内容 单项式 定义 表示数或字母的积的式子叫做单项式；单独一个数或一个字母也是单项式。 系数 单项式中的数字因数。 次数 一个单项式中，所有字母的指数的和。单独一个非零数的次数是0。 多项式 定义 几个单项式的和叫做多项式。 项 多项式中的每个单项式叫做多项式的项；不含字母的项叫常数项。 次数 多项式里，次数最高项的次数，就是这个多项式的次数。 整式 定义 单项式与多项式统称为整式。 排除情况 分母中含有字母的式子不是整式。 真题实战 1. （2024·山东泰安）多项式−3x²y+2xy−5的次数是______，项数是______，常数项是______。 2. （2025·四川成都）多项式2x³y−4x²+1是______次______项式。 3. （2023·江西）单项式−5ab的系数为______。 4. （2024·山东泰安）单项式−3ab²的次数是______。 5. （2025·江苏苏州）若多项式x²+(k−3)x−5不含一次项，则k=______。 6. （2024·重庆）若多项式mx³+2x²−1是二次多项式，则m=______。 7. （2023·浙江杭州）若多项式2x|m|y−(m−2)x+1是三次二项式，则m=______。 四、整式的加减 1. 同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。 几个常数项也是同类项。 2. 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。 法则：同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变。 去括号法则 括号前是“+”号，去掉括号和“+”，括号内各项符号不变。 括号前是“−”号，去掉括号和“−”，括号内各项都变号。 3. 整式加减的一般步骤 （1） 去括号 （2） 合并同类项 真题实战 1. （2024·甘肃兰州·中考真题）计算：2a(a-1)-2a²=（） A. a B. -a C. 2a D. -2a 2. （2024·贵州·中考真题）计算2a+3a的结果正确的是（） A. 5a B. 6a C. 5a² D. 6a² 3. （2024·四川内江·中考真题）下列单项式中，ab³的同类项是（） A. 3ab³ B. 2a²b³ C. -a²b² D. a³b 4. （2024·四川广元·中考真题）如果单项式-x(2m)y³与单项式2x⁴y(2-n)的和仍是一个单项式，则在平面直角坐标系中点(m,n)在（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. （2024·四川德阳·中考真题）若一个多项式加上y²+3xy-4，结果是3xy+2y²-5，则这个多项式为______。 6. （2022·山东德州·中考真题）已知M=a²-a，N=a-2（a为任意实数），则M-N的值（） A. 小于0 B. 等于0 C. 大于0 D. 无法确定 五、整式的乘法 类别 运算法则 公式/说明 同底数幂相乘 底数不变，指数相加 （m、n都是正整数） 幂的乘方 底数不变，指数相乘 （m、n都是正整数） 积的乘方 积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 (ab)n = an bn（n为正整数） 单项式×单项式 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄 系数相乘，同底数幂相乘，单独字母照抄。 单项式×多项式 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加 多项式×多项式 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (m+n)(a+b) = ma+mb+na+nb 乘法公式 平方差公式 (a+b)(a−b) = a² − b² 乘法公式 完全平方公式 (a±b)² = a² ± 2ab + b² 同底数幂相除 底数不变，指数相减 （a≠0，m>n，m、n为正整数） 零指数幂 任何不等于0的数的0次幂都等于1 （a≠0） 即：任何不等于0的数的0次幂都等于1。 负整数指数幂 一个不等于0的数的（p为正整数）次幂，等于这个数的p次幂的倒数 （a≠0，p为正整数） 单项式除以单项式 系数相除；同底数幂相除；只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式 系数相除； 同底数幂相除； 只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加 先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加。 (am+bm+cm)÷m = am÷m + bm÷m + cm÷m 真题实战 1. （2024·云南·中考真题）下列计算正确的是（） A. X³+5x³=6x⁴ B. x⁶÷x³=x⁵ C. (a²)³=a⁷ D. (ab)³=a³b³ 2. （2024·河北·中考真题）下列运算正确的是（） A. A⁷-a³=a⁴ B. 3a²·2a²=6a² C. (-2a)³=-8a³ D. a⁴÷a⁴=a 3. （2024·广东·中考真题）下列计算正确的是（） A²·a⁵=a¹⁰ B. a⁸÷a²=a⁴ C. -2a+5a=7a D. (a²)⁵=a¹⁰ 4. （2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（） A²+a³=2a⁵ B. a²·a³=a⁶ C. (a²)³=a⁵ D. a(a+1)=a² 5. （2024·山东烟台·中考真题）下列运算结果为a⁶的是（） A²·a³ B. a¹²÷a² C. a³+a³ D. (a²)³ 6. （2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：(x+1)²-2(x+1)，其中x=√2。 7. （2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：(a-3b)(a+3b)+(a-3b)²，其中a=-3，b=。 8. （2024·北京·中考真题）已知a-b-1=0，求代数式[3(a-2b)+3b]÷(a²-2ab+b²)的值。 9. （2024·陕西·中考真题）先化简，再求值：(x+y)²+x(x-2y)，其中x=1，y=-2。 10. （2024·湖南长沙·中考真题）先化简，再求值：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)，其中m=。 11. （2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3a²，其中a=-。 12. （2023·吉林长春·中考真题）先化简，再求值：(a+1)²+a(1-a)，其中a=。 六、因式分解 1. 因式分解的概念 分类 具体内容 示例剖析 定义 把一个多项式化为若干个整式相乘的形式，这个变形过程叫做因式分解，也叫分解因式 ；； 实质 属于恒等变形，是将和式转化为乘积形式的操作；因式分解与整式乘法互为逆运算变形 ，即多项式与整式乘积可双向转化 要点 ①每个因式都必须是整式；②变形前左边是和的形式，变形后右边是积的形式；③变形前后左右两边的值必须相等 反例：、$(x + y)(x - y) = x^2 - y^2$、均不属于因式分解；正例：属于因式分解 2. 提公因式法 1. （2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式：2mx2 - 4mxy + 2my2 = ________。 2. （2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式：2mx2 - 4mxy + 2my2 = ________。 3. （2025·北京·中考真题）分解因式：7m2 - 28 = ________。 4. （2025·江苏南通·中考真题）分解因式am + a = ________________ 3. 公式法 分类 具体内容 示例剖析 公式法定义 将乘法公式反向运用，借助公式把部分多项式转化为因式乘积的形式，以此完成因式分解 ；； 常用公式 ①平方差公式：；②完全平方公式： —— 拓展公式 ①立方和公式：；②立方差公式： —— 注意要点 ①要全程融入整体思想处理因式分解相关问题；②因式分解的标准流程为：先提取公因式，再套用公式，始终遵循“一提，二代”的原则 —— 真题实战 1. （2025·广西·中考真题）因式分解：a2 - 1 = （ ） (a + 1)(a - 1) B. a(a + 1) C. (a + 1)2 D. (a - 1)2 2. （2025·江苏宿迁·中考真题）分解因式：x2 - 4 = ________________ 3. （2025·甘肃兰州·中考真题）因式分解：2x2 + 4x + 2 = ____________。 4. （2025·山西·中考真题）因式分解：m2 - 16 = __________。 4. 十字相乘 十字相乘法是一种用于分解二次三项式的简便方法，其核心思路是将二次项系数和常数项分别分解为两个因数的乘积，然后通过十字交叉相乘再相加，看是否能得到一次项系数。具体步骤如下： 对于二次三项式（）： 1. 分解二次项系数 (a)，将其写成两个因数的乘积形式，即 2. 分解常数项 (c)，将其写成两个因数的乘积形式，即 3. 把 m、n写在十字交叉线的左上角和左下角，把 p、q 写在右上角和右下角，然后计算交叉相乘的积：和。 4. 若（一次项系数），则可将二次三项式分解为 (mx + p)(nx + q)；若找不到满足条件的 m、n、p、q，则该二次三项式在整数范围内不能用十字相乘法分解。 例如，分解： · 二次项系数，常数项。 · 交叉相乘：，恰好等于一次项系数。 · 因此，。 再如，分解： · 二次项系数，常数项。 · 交叉相乘：，等于一次项系数。 · 所以，。 🚩🚩🚩 十字相乘法的关键在于熟练掌握因数分解，并通过尝试不同的因数组合找到满足条件的交叉乘积和。对于系数为负数的情况，需注意因数的符号搭配，确保交叉相乘后的和等于一次项系数。这种方法不仅适用于整数系数的二次三项式，在分式系数或字母系数的情况下，原理同样适用，只需灵活调整因数的方式。 专项练习 1.二次项系数为1 （1） X² + 5x + 6 （2） X² + 7x + 12 （3） X² + 2x - 3 （4） X² - 5x + 6 （5） X² - 7x + 10 1.二次项系数不为1 （1）. 2x² + 5x + 2 （2）. 2x² + 7x + 3 （3）. 3x² + 8x + 4 （4）. 2x² - 5x - 3 （5）. 3x² - 10x + 3 （6）. 6x² + 11x + 3 （7）. 4x² - 17x + 4 幂的运算 1． （2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． B． D． 2． （2025·安徽·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． B． D． 3． （2024·四川攀枝花·中考真题）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 4． （2024·江苏苏州·中考真题）计算： ． 5． （2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 6． （2023·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ． 整式的概念 1． （2023·河北·中考真题）代数式的意义可以是（    ） A．与x的和 B．与x的差 C．与x的积 D．与x的商 2． （2023·江西·中考真题）单项式的系数为 ． 3． （2024·山东泰安·中考真题）单项式的次数是 ． 4． （2024·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法： 1 满足条件的整式中有5个单项式； 2 不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个； 3 满足条件的整式共有16个． 其中正确的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 5． （2025·上海·中考真题）用代数式表示与差的平方，正确的是（   ） A． B． C． D． 整式的运算 1． （2025·陕西·中考真题）计算的结果为（    ） A． B． C． D． 2． （2023·青海西宁·中考真题）计算： ． 3． （2023·陕西·中考真题）计算：（   ） A． B． C． D． 4． （2025·四川南充·中考真题）计算： ． 5． （2024·甘肃兰州·中考真题）计算：（    ） A．a B． C． D． 6． （2024·重庆·中考真题）计算： (1) ； (2) ． 7． （2023·河南·中考真题）（1）计算：； （6） 化简：． 5. （2023·湖北·中考真题）（1）计算：； （6） 解分式方程：． 9． （2025·甘肃兰州·中考真题）计算： ． 10． （2025·天津·中考真题）计算的结果为 ． 代数恒等式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11． （2024·江苏无锡·中考真题）计算： (1) ； (2) ． 12． （2023·青海西宁·中考真题）计算：． 整式的化简求值 1． （2025·浙江·中考真题）化简求值：，其中． 2． （2023·江苏·中考真题）若，则的值是 ． 3． （2023·江苏·中考真题）先化简，再求值：，其中． 4． （2023·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 5． （2025·湖南·中考真题）先化简，再求值：，其中． 6． （2024·甘肃·中考真题）先化简，再求值：，其中，． 7． （2023·四川凉山·中考真题）先化简，再求值：，其中，．    因式分解 1． （2023·山东·中考真题）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． B． D． 2． （2023·湖南永州·中考真题）与的公因式为 ． 3． （2025·江西·中考真题）因式分解： 4． （2023·湖北黄石·中考真题）因式分解： ． 5． （2025·广西·中考真题）因式分解：（   ） A． B． C． D． 6． （2025·甘肃·中考真题）因式分解： ． 7． （2024·江苏常州·中考真题）分解因式： ． 8． （2024·山东威海·中考真题）因式分解： ． 9． （2024·四川凉山·中考真题）已知，且，则 ． 10． （2024·四川广元·中考真题）分解因式： ． 11． （2025·黑龙江绥化·中考真题）分解因式： ． 12． （2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D．9 13． （2024·北京·中考真题）分解因式： . 14． （2024·福建·中考真题）已知实数满足． (1) 求证：为非负数； (2) 若均为奇数，是否可以都为整数？说明你的理由． 15． （2023·浙江嘉兴·中考真题）观察下面的等式： (1) 写出的结果． (2) 按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含n的等式表示，n为正整数） (3) 请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 完全平方式 1．（2023·四川凉山·中考真题）已知是完全平方式，则的值是 ． 2．（2023·江苏宿迁·中考真题）若实数m满足，则 ． 3．（2024·黑龙江大庆·中考真题）已知，则的值是 答案解析 代数式 真题实战 答案+解析 列代数式 答案：B 解析：a与b差的平方，先求差再平方，即(a-b)²，A是平方差，C是a²减b，D是a减b²，均错误。 答案：0.8a 解析：8折即按标价的0.8倍出售，标价为a元，售价为0.8×a=0.8a元。 答案：60a 解析：单个布老虎利润增加80-20=60元，售出a个，总增加利润为60×a=60a元。 代数式的求值 答案：-1-2b 解析：4a²+2ab-b=2a(2a+b)-b，代入2a+b=-1，得2a×(-1)-b=-2a-b，由2a+b=-1得2a=-1-b，代入得-(-1-b)-b=1+b-b=-1-2b。 答案：3 解析：7-x²-2x=7-(x²+2x)，代入x²+2x=4，得7-4=3。 答案：-3 解析：6y-4x+1=-2(2x-3y)+1，代入2x-3y=2，得-2×2+1=-4+1=-3。 答案：4 解析：a²-b²+4b=(a+b)(a-b)+4b，代入a+b=2，得2(a-b)+4b=2a-2b+4b=2a+2b=2(a+b)，再代入得2×2=4。 整式 真题实战 答案+解析 答案：3，3，-5 解析：多项式的次数是最高次项的次数，-3x²y次数为2+1=3；多项式有-3x²y、2xy、-5三项，项数为3；不含字母的项为常数项-5。 答案：四，三 解析：最高次项2x³y的次数为3+1=4，多项式有2x³y、-4x²、1三项，是四次三项式。 答案：-5 解析：单项式的系数是数字因数，单项式-5ab的数字因数为-5。 答案：3 解析：单项式的次数是所有字母指数的和，-3ab²中a的指数1，b的指数2，次数为1+2=3。 答案：3 解析：多项式不含一次项，即一次项系数为0，k-3=0，解得k=3。 答案：0 解析：二次多项式说明三次项系数为0，即m=0，此时多项式为2x²-1，是二次多项式。 答案：-2 解析：三次二项式则次数为3且只有两项，|m|+1=3，解得m=±2；又因为-(m-2)=0，即m=2时多项式为2x²y+1，是三次二项式，m=-2时多项式为2x²y+4x+1，是三次三项式，故m=-2。 整式的加减 真题实战 答案+解析 答案：D 解析：2a(a-1)-2a²=2a²-2a-2a²=-2a。 答案：A 解析：合并同类项，系数相加字母和指数不变，2a+3a=(2+3)a=5a。 答案：A 解析：同类项要求所含字母相同，相同字母指数也相同，ab³的同类项是3ab³。 答案：D 解析：两个单项式的和仍是单项式，说明是同类项，2m=4，2-n=3，解得m=2，n=-1，点(2,-1)在第四象限。 答案：y²-1 解析：所求多项式=3xy+2y²-5-(y²+3xy-4)=3xy+2y²-5-y²-3xy+4=y²-1。 答案：C 解析：M-N=a²-a-(a-2)=a²-a-a+2=a²-2a+2=(a-1)²+1，(a-1)²≥0，故(a-1)²+1>0，M-N>0。 整式的乘法 真题实战 答案+解析 答案：D 解析：A.x³+5x³=6x³，错误；B.x⁶÷x³=x³，错误；C.(a²)³=a⁶，错误；D.(ab)³=a³b³，正确。 答案：C 解析：A.a⁷与a³不是同类项，不能合并，错误；B.3a²·2a²=6a⁴，错误；C.(-2a)³=-8a³，正确；D.a⁴÷a⁴=1，错误。 答案：D 解析：A.a²·a⁵=a⁷，错误；B.a⁸÷a²=a⁶，错误；C.-2a+5a=3a，错误；D.(a²)⁵=a¹⁰，正确。 答案：无正确选项（原D选项应为a(a+1)=a²+a） 解析：A.a²与a³不是同类项，不能合并，错误；B.a²·a³=a⁵，错误；C.(a²)³=a⁶，错误；D.a(a+1)=a²+a，原选项漏写+a，无正确答案。 答案：D 解析：A.a²·a³=a⁵，错误；B.a¹²÷a²=a¹⁰，错误；C.a³+a³=2a³，错误；D.(a²)³=a⁶，正确。 答案：化简结果x²-1，求值结果1 解析：(x+1)²-2(x+1)=x²+2x+1-2x-2=x²-1，代入x=√2，得(√2)²-1=2-1=1。 答案：化简结果2a²-6ab，求值结果20 解析：(a-3b)(a+3b)+(a-3b)²=a²-9b²+a²-6ab+9b²=2a²-6ab，代入a=-3，b=1/3，得2×(-3)²-6×(-3)×(1/3)=18+6=24。 答案：1 解析：由a-b-1=0得a-b=1，[3(a-2b)+3b]÷(a²-2ab+b²)=[3a-6b+3b]÷(a-b)²=(3a-3b)÷(a-b)²=3(a-b)÷(a-b)²=3/(a-b)，代入得3/1=3。 答案：化简结果2x²+y²，求值结果6 解析：(x+y)²+x(x-2y)=x²+2xy+y²+x²-2xy=2x²+y²，代入x=1，y=-2，得2×1²+(-2)²=2+4=6。 答案：化简结果4m-9，求值结果1 解析：2m-m(m-2)+(m+3)(m-3)=2m-m²+2m+m²-9=4m-9，代入m=5/2，得4×(5/2)-9=10-9=1。 答案：化简结果4-6a，求值结果6 解析：(2-a)(2+a)-2a(a+3)+3a²=4-a²-2a²-6a+3a²=4-6a，代入a=-1/3，得4-6×(-1/3)=4+2=6。 答案：化简结果2a+1，求值结果(2√3/3)+1 解析：(a+1)²+a(1-a)=a²+2a+1+a-a²=2a+1，代入a=√3/3，得2×(√3/3)+1=(2√3/3)+1。 因式分解 真题实战 答案+解析 提公因式法 答案：2m(x-y)² 解析：2mx²-4mxy+2my²=2m(x²-2xy+y²)=2m(x-y)²。 答案：2m(x-y)² 解析：同第1题，先提公因式2m，再用完全平方公式分解。 答案：7(m+2)(m-2) 解析：7m²-28=7(m²-4)=7(m+2)(m-2)。 答案：a(m+1) 解析：提公因式a，am+a=a(m+1)。 公式法 答案：A 解析：a²-1符合平方差公式，分解为(a+1)(a-1)。 答案：(x+2)(x-2) 解析：x²-4符合平方差公式，分解为(x+2)(x-2)。 答案：2(x+1)² 解析：2x²+4x+2=2(x²+2x+1)=2(x+1)²。 答案：(m+4)(m-4) 解析：m²-16符合平方差公式，分解为(m+4)(m-4)。 十字相乘法 专项练习 答案+解析 二次项系数为1 X²+5x+6=(x+2)(x+3) 解析：6分解为2×3，2+3=5，故分解为(x+2)(x+3)。 X²+7x+12=(x+3)(x+4) 解析：12分解为3×4，3+4=7，故分解为(x+3)(x+4)。 X²+2x-3=(x+3)(x-1) 解析：-3分解为3×(-1)，3+(-1)=2，故分解为(x+3)(x-1)。 X²-5x+6=(x-2)(x-3) 解析：6分解为(-2)×(-3)，-2+(-3)=-5，故分解为(x-2)(x-3)。 X²-7x+10=(x-2)(x-5) 解析：10分解为(-2)×(-5)，-2+(-5)=-7，故分解为(x-2)(x-5)。 二次项系数不为1 2x²+5x+2=(2x+1)(x+2) 解析：2分解为2×1，2分解为1×2，2×2+1×1=5，故分解为(2x+1)(x+2)。 2x²+7x+3=(2x+1)(x+3) 解析：2分解为2×1，3分解为1×3，2×3+1×1=7，故分解为(2x+1)(x+3)。 3x²+8x+4=(3x+2)(x+2) 解析：3分解为3×1，4分解为2×2，3×2+1×2=8，故分解为(3x+2)(x+2)。 2x²-5x-3=(2x+1)(x-3) 解析：2分解为2×1，-3分解为1×(-3)，2×(-3)+1×1=-5，故分解为(2x+1)(x-3)。 3x²-10x+3=(3x-1)(x-3) 解析：3分解为3×1，3分解为(-1)×(-3)，3×(-3)+1×(-1)=-10，故分解为(3x-1)(x-3)。 6x²+11x+3=(2x+3)(3x+1) 解析：6分解为2×3，3分解为3×1，2×1+3×3=11，故分解为(2x+3)(3x+1)。 4x²-17x+4=(4x-1)(x-4) 解析：4分解为4×1，4分解为(-1)×(-4)，4×(-4)+1×(-1)=-17，故分解为(4x-1)(x-4)。 真题专项 幂的运算 1． 答案：C 解析：本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式。根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可。A选项计算错误，B选项中两项不是同类项无法合并，C选项积的乘方运算正确，D选项平方差公式运用错误。 2． 答案：B 解析：本题主要考查二次根式的性质，求一个数的立方根，幂的乘方，同底数幂乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键；根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案。A选项根式计算错误，B选项立方根计算正确，C选项幂的乘方指数计算错误，D选项同底数幂乘法指数计算错误。 3． 答案：A 解析：本题考查积的乘方运算，可将括号内的视为整体，再根据积的乘方法则计算求解即可。 4． 答案：a⁵ 解析：本题考查了同底数幂相乘，掌握运算法则是解题的关键。根据同底数幂相乘运算法则“底数不变，指数相加”计算即可。 5． 答案：-6x³+4x² 解析：本题考查定义新运算，整式的混合运算，根据定义新运算计算即可，解题的关键是掌握定义新运算的运算法则。 6． 答案：1/8 解析：本题考查了幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用，根据幂的乘方运算的逆用及积的乘方运算的逆用进行运算，即可求得结果。 整式的概念 1． 答案：C 解析：根据代数式赋予实际意义即可解答，该代数式的意义可以是与x的积。 2． 答案：-2/3 解析：根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数，得出结果即可。 3． 答案：5 解析：根据单项式次数的定义进行解答即可，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，将对应字母指数相加即可。 4． 答案：D 解析：本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件确定m、n的取值范围，再分类讨论得到答案，三个说法均正确。 5． 答案：B 解析：本题考查了列代数式，理解题中的数量关系是解题的关键；“a与b差的平方”指先求a减b的差，再将这个差整体平方。A是平方差，C仅对a平方后减去b，D是a减去b的平方，均运算顺序错误。 整式的运算 1． 答案：D 解析：本题主要考查单项式与单项式的乘法运算，根据系数相乘，同底数幂相乘，进行计算即可作答。 2． 答案：-12x⁵y³ 解析：根据积的乘方和单项式的乘法计算即可。 3． 答案：B 解析：利用单项式乘单项式的法则进行运算即可。 4． 答案：-2x²+7x 解析：本题主要考查了单项式乘以多项式，合并同类项，先根据单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可得到答案。 5． 答案：D 解析：本题主要考查了整式的混合运算，先计算单项式乘以多项式，再合并同类项即可。 6． 答案：(1) -x²+9x；(2) (x-2)/(x+2) 解析：本题主要考查了整式的混合计算，分式的混合计算：（1）先根据单项式乘以多项式的计算法则和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可；（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可。 7． 答案：（1）-1；（2）-2x+13 解析：（1）先求绝对值和算术平方根，再进行加减计算即可；（2）先利用完全平方公式去括号，再合并同类项即可。 8． 答案：（1）-2x+7；（2）x=3 解析：（1）根据多项式除以单项式及单项式乘以多项式可进行求解；（2）根据分式方程的解法，两边乘最简公分母去分母，求解后检验即可。 9． 答案：-2x²+2x+4 解析：本题考查了整式的混合运算。先计算平方差和单项式乘多项式，再合并同类项即可，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键。 10． 答案：60 解析：本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式，利用平方差公式进行计算即可。 11． 答案：(1)2；(2) -2a²+4a+5 解析：本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，熟练掌握相关运算顺序和运算法则是解题的关键。（1）先将绝对值，算术平方根，负整数幂化简，再进行计算即可；（2）先根据去括号法则和完全平方公式将括号展开，再合并同类项即可。 12． 答案：-2a²+4ab 解析：运用完全平方公式，平方差公式及整式的加减运算法则处理，掌握乘法公式以简化运算是解题的关键。 整式的化简求值 1． 答案：化简结果3x²+4，求值结果13 解析：本题考查了整式的混合运算，化简求值，掌握运算法则是解题的关键。先计算单项式乘以多项式，再进行合并同类项，然后代入求值即可。 2． 答案：3 解析：根据已知得到x²-2x=2，再代入代数式进行计算即可，利用整体思想求解是解答的关键。 3． 答案：化简结果-2x+1，求值结果√2+1 解析：利用完全平方公式和整式加减的运算法则进行化简，根据平方根的性质求得x的值，再代入求值即可。 4． 答案：化简结果2x²+10x，求值结果24 解析：先利用平方差公式和完全平方公式展开，合并同类项，再代入数值计算即可，熟练掌握两个公式是解题的关键。 5． 答案：化简结果-2x+4，求值结果2 解析：本题考查了整式的混合运算，化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键。分别利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项，然后代入求值即可。 6． 答案：化简结果a-2b，求值结果-2 解析：本题主要考查了整式的化简求值，先根据平方差公式和完全平方公式去小括号，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可。 7． 答案：化简结果-2ab，求值结果1 解析：根据完全平方公式、平方差公式，单项式乘以多项式法则进行展开，再进行加减运算，最后代入数值计算即可，掌握公式及法则是解题的关键。 因式分解 1． 答案：C 解析：根据因式分解的概念，即把一个多项式化为若干个整式相乘的形式，对各选项进行排除即可。 2． 答案：a(a-b) 解析：根据确定公因式的确定方法：系数取最大公约数；字母取公共字母；字母指数取最低次的，即可解答。 3． 答案：a(a-2) 解析：本题主要考查了因式分解，灵活运用提取公因式法进行因式分解是解题的关键，直接提取公因式a即可。 4． 答案：(x-2)(x+1) 解析：将整式变形含有公因式，先提取公因式，再继续分解因式即可，提取公因式是常用的分解因式的方法。 5． 答案：A 解析：本题主要考查了因式分解，利用平方差公式对多项式进行因式分解，即可求解。 6． 答案：(x-2)² 解析：本题考查因式分解，直接利用完全平方公式进行因式分解即可，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。 7． 答案：(a+2)² 解析：本题考查的是公式法分解因式，掌握完全平方公式分解因式的方法是解本题的关键。 8． 答案：(x-2)² 解析：本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可。 9． 答案：-1/2 解析：本题考查了因式分解的应用，先把多项式的左边分解因式，再把已知条件代入分解后的式子，即可求出所求的值。 10． 答案：(2x+1)² 解析：首先利用完全平方式展开，然后合并同类项，再利用完全平方公式进行分解即可，掌握完全平方公式是解题的关键。 11． 答案：2m(x-y)² 解析：本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键，先提公因式2m，再根据完全平方公式分解因式即可。 12． 答案：D 解析：本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，再利用整体代入法，将已知条件代入求值即可。 13． 答案：3(x-2)² 解析：先提取公因式3，再套用完全平方公式分解即可，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键。 14． 答案：(1)证明见解析；(2)不可能都为整数，理由见解析 解析：本小题考查整式的运算、因式分解、等式的性质等基础知识：考查运算能力、推理能力、创新意识等。（1）根据题意对式子进行变形，再利用完全平方公式整理，结合非负数的性质即可证明；（2）分都为奇数、至少有一个为偶数两种情况讨论，根据奇偶数的性质结合已知条件分析即可。 15． 答案：(1)n/(n+1)；(2)1/1×2 +1/2×3 +1/3×4 +…+1/n(n+1)=n/(n+1)；(3)见解析 解析：（1）根据题干的规律直接求解即可；（2）根据题干的规律归纳出一般的结论即可；（3）将式子中的每一项进行裂项分解，再展开化简，即可推理说明结论的正确性。 完全平方式 1． 答案：±8 解析：根据完全平方公式(a±b)²=a²±2ab+b²的结构特征，计算求解即可。 2． 答案：2 解析：根据完全平方公式将式子进行变形，得到m²+1/m²的表达式，再代入已知条件计算即可，掌握完全平方公式及其变式是解题的关键。 3． 答案：3 解析：根据已知条件，对式子进行平方变形，利用完全平方公式展开，再整理计算即可求得所求式子的值。 1 学科网（北京）股份有限公司 $