第三章函数课件 2026年中考数学一轮专题复习（福建）

2026-03-22

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第三章　函数第18课时二次函数的图象与性质(2) 第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页考点1　　二次函数的字母参数字母或代数式符号图象的特征 a a＞0 开口向① . a＜0 开口向② . 上下第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页字母或代数式符号图象的特征 a，b b＝0 对称轴为y轴 ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴③ 侧 ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴④ 侧左右第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页字母或代数式符号图象的特征 c c＝0 经过原点 c＞0 与y轴⑤ 半轴相交 c＜0 与y轴⑥ 半轴相交 b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点) b2－4ac＞0 与x轴有两个不同的交点 b2－4ac＜0 与x轴⑦ 交点正负没有第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页例1 (2025达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，下列结论：①abc＜0；②4a＋b＝0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.正确的个数为 (　　) A.1　　 B.2　　 C.3　　 D.4 D 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页变式1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与x轴一个交点的横坐标是－1，对称轴是x＝1，其部分图象如图所示，下列结论错误的是 (　　) A.c＞0 B.ab＜0 C.4a＋2b＋c＞0 D.当y＞0时，－1＜x＜2 D 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页考点2　　　二次函数图象的变换 1.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的平移变换移动方向与距离m(m＞0) 平移后表达式向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k 向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k 向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m 向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m 口诀：左加右减，上加下减第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的对称、旋转变换类型变换情况变换后表达式轴对称关于x轴对称 y＝－a(x－h)2－k 关于y轴对称 y＝a(x＋h)2＋k 旋转绕顶点旋转180° y＝－a(x－h)2＋k 绕原点旋转180° y＝－a(x＋h)2－k 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页例2 (2025漳州一检)在平面直角坐标系中，将抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为 (　　) A.y＝－(x＋1)2－2　　 B.y＝－(x－1)2－2 C.y＝－(x－1)2＋2　　 D.y＝－(x＋1)2＋2 A 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页变式2 二次函数y＝－2x2＋8x＋1的图象通过平移可得到y＝－2x2的图象，则平移方式为 (　　) A.向左平移2个单位，向上平移9个单位 B.向右平移2个单位，向上平移9个单位 C.向左平移2个单位，向下平移9个单位 D.向右平移2个单位，向下平移9个单位 C 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页例3 (2025福州一检)将抛物线y＝－(x－1)2＋2沿x轴翻折，则变换后抛物线的表达式是 (　　) A.y＝－(x＋1)2＋2　　 B.y＝－(x－1)2－2 C.y＝(x＋1)2＋2　　 D.y＝(x－1)2－2 D 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页变式3 将二次函数y＝－2(x－1)2＋4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是_____________________________________. y＝2(x＋1)2－4(或y＝2x2＋4x－2) 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页考点3　　用待定系数法求二次函数的关系式已知条件所设关系式顶点坐标(h，k) 顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0) 对称轴x＝h 最值y＝k 与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0) 交点式y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 任意三点坐标一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页例4 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0). (1)若该抛物线的顶点坐标为(3，－6)，且经过点(2，2)，求该抛物线的表达式；解：设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2－6(a≠0). 把点(2，2)代入，得2＝a－6. 解得a＝8. ∴该抛物线的表达式为y＝8(x－3)2－6，即y＝8x2－48x＋66. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 (2)若该抛物线经过点(－1，0)，(3，0)和(0，3)，求该抛物线的表达式；解：设抛物线的表达式为y＝a(x－3)(x＋1)(a≠0). 把点(0，3)代入，得－3a＝3. 解得a＝－1. ∴该抛物线的表达式为y＝－(x－3)(x＋1)，即y＝－x2＋2x＋3. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 (3)若该抛物线的对称轴为直线x＝－1且经过点(－3，0)，(0，－3)，求该抛物线的表达式. 解：∵抛物线的对称轴为直线x＝－1， ∴设抛物线的表达式为y＝a(x＋1)2＋k(a≠0). 把点(－3，0)，(0，－3)代入，得解得 ∴该抛物线的表达式为y＝(x＋1)2－4，即y＝x2＋2x－3. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页变式4 二次函数y＝a(x－h)2的图象如图所示，已知a＝，OA＝OC，则该二次函数的关系式为____________________________. y＝(x－2)2 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页专题“函数的图象与性质——二次函数”“函数中的代数推理”见本册P131～P134 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页命题点　　求二次函数的关系式 7年7考 1.(2025福建，T23节选)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx－2的图象过点A(1，t)，B(2，t). (1)求的值；第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页解：二次函数y＝ax2＋bx－2的图象的对称轴为x＝－. ∵点A(1，t)，B(2，t)在该函数的图象上， ∴2－＝－－1. ∴－＝. ∴＝－3. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 (2)已知二次函数y＝ax2＋bx－2的最大值为1－a2，求该二次函数的关系式. 解：由(1)可得b＝－3a. ∴该函数的关系式为y＝ax2－3ax－2，函数图象的顶点坐标为. ∵函数的最大值为1－a2，第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 ∴a＜0，且－a－2＝1－a2. 解得a＝－1或a＝4(舍去). ∴该二次函数的关系式为y＝－x2＋3x－2. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 2.(2024福建，T21)如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(－2，0)，C(0，－2). (1)求二次函数的关系式；解：由题意，将点A(－2，0)，C(0，－2)分别代入y＝x2＋bx＋c，得解得 ∴二次函数的关系式为y＝x2＋x－2. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 (2)若P是二次函数图象上的一点，且点P在第二象限，线段PC交x轴于点D，△PDB的面积是△CDB的面积的2倍，求点P的坐标. 解：由题意，设P(m，n)(m＜0，n＞0). ∵△PDB的面积是△CDB的面积的2倍， ∴＝＝2. ∴＝2. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页又CO＝2，∴n＝2CO＝4. ∴m2＋m－2＝4. 解得m1＝－3，m2＝2(舍去). ∴点P的坐标为(－3，4). 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 3.(2021福建，T25节选)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点. (1)若抛物线过点P(0，1)，求a＋b的最小值；解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点， ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根. ∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2＝4ac. ∵抛物线过点P(0，1)，∴c＝1. ∴b2＝4a，即a＝. ∴a＋b＝＋b＝(b＋2)2－1. 当b＝－2时，a＋b取得最小值，最小值为－1. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 (2)已知点P1(－2，1)，P2(2，－1)，P3(2，1)中恰有两点在抛物线上，求抛物线的表达式. ∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴只有一个公共点， ∴方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实数根. ∴Δ＝b2－4ac＝0，即b2＝4ac. ∴抛物线上的点只能落在x轴的同侧. 又点P1(－2，1)，P2(2，－1)，P3(2，1)中恰有两点在抛物线上，第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 ∴只能是点P1(－2，1)，P3(2，1)在抛物线上. 由对称性可得抛物线的对称轴为直线x＝0，∴b＝0，即ac＝0. ∵a≠0，∴c＝0. 又点P1(－2，1)在抛物线上， ∴4a＝1，即a＝. 故抛物线的表达式为y＝x2. 第18课时二次函数的图象与性质(2) 上一页下一页返回首页 $第三章　函数第13课时一次函数的图象与性质第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：八下P86～P109；华师：八下P43～P53，P59～P64；北师：八上P79～P101，P123～P128. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页考点1　一次函数的概念及其图象与性质概念一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数.特别地，当b＝0时，y＝kx是正比例函数 k，b取值 k＞0， b＞0 k＞0， b＝0 k＞0， b＜0 k＜0， b＞0 k＜0， b＝0 k＜0， b＜0 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页图象经过的象限一、二、三一、三一、三、四一、二、四二、四二、三、四第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页增减性 y随x的增大而① . y随x的增大而② . 与x轴的交点令y＝0，得图象与x轴的交点坐标为与y轴的交点令x＝0，得图象与y轴的交点坐标为(0，b) 增大减小第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页例1 已知一次函数y＝(2m－4)x＋4－m，若该函数的图象经过第一、二、三象限，且m为整数，解答下列问题： (1)求m的值；解：由题意，得2m－4＞0，4－m＞0. 解得2＜m＜4. ∵m为整数， ∴m＝3. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 (2)该一次函数的图象与x轴的交点坐标为__________，与y轴的交点坐标为____________； (3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (0，1) 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 (4)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该一次函数图象上的两点，且x1＞x2，则y1________y2；(填“＞”“＜”或“＝”) (5) 若把题干中“且m为整数”去掉，该一次函数图象过定点，则定点的坐标为________. ＞第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页变式1－1 (2025苏州)过A，B两点画一次函数y＝－x＋2的图象，已知点A的坐标为(0，2)，则点B的坐标可以为________________________.(填一个符合要求的点的坐标即可) (1，1)(答案不唯一) 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页变式1－2 (2025东营)一次函数y＝kx＋2(k≠0)的函数值y随x的增大而减小，当x＝－1时，y的值可以是 (　　) A.3 B.2　　 C.1 D.－1 A 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页考点2　　一次函数图象的平移平移情况平移后的表达式向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m 向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m 向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b 向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页例2 (1)将直线y＝－2x向上平移4个单位长度，得到的直线的表达式为________________. (2)将一次函数y＝－3x＋b的图象沿y轴向下平移2个单位长度，得到一次函数y＝－3x的图象，则b的值为_______. 变式2 将直线y＝－2x向左平移2个单位长度得到的直线的表达式为(　　) A.y＝－2x＋2 B.y＝2x＋2 C.y＝－2x－4 D.y＝－2x＋4 y＝－2x＋4 2 C 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页考点3　　用待定系数法确定一次函数关系式第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页例3 已知直线y＝kx＋b经过点(2，4)与点(－2，2). (1)确定函数y＝kx＋b的关系式；解：∵直线y＝kx＋b经过点(2，4)与点(－2，2)， ∴解得 ∴函数的关系式为y＝x＋3. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 (2)已知点(－3，y1)和点(4，y2)在直线y＝kx＋b上，试比较y1与y2的大小. 解：∵k＝＞0， ∴y随x的增大而增大. 又－3＜4， ∴y1＜y2. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页变式3－1 已知三点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)，试判断这三点是否在同一直线上，并说明理由. 解：这三点在同一直线上. 理由如下：设直线AB的表达式为y＝kx＋b. 把A(1，1)，B(2，－1)代入，得解得第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 ∴直线AB的表达式为y＝－2x＋3. 当x＝4时，y＝－2×4＋3＝－5. ∴点C(4，－5)在直线AB上. ∴点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)在同一直线上. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页变式3－2 已知直线y＝kx＋b与直线y＝－2x平行，且经过点(2，3)，则b的值是_______. 7 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 (1)判断三点共线的方法：首先利用两点确定一条直线，然后验证第三点是否在此直线上； (2)直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2平行⇔k1＝k2且b1≠b2. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页考点4　一次函数与方程(组)、不等式函数图象第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页方程 (组) 方程kx＋b＝0的解为 ③ . 方程组的解为④ .　不等式不等式kx＋b＞0(或kx＋b＜0)的解集为x＞x0(或x＜x0) 不等式kx＋b＞k1x＋b1(或kx＋b＜k1x＋b1)的解集为 ⑤ . x＝x0 　 x＞m(或x＜m) 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页例4 如图，直线y＝ax＋b过点A(0，4)，B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是 (　　) A.x＝－3 B.x＝4 C.x＝－ D.x＝－ A 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页变式4 如图，一次函数y＝kx＋b与y＝mx＋n的图象交于(2，－1)，则关于x，y的方程组的解为　　　　　. 　第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页例5 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，2)，则不等式kx＋b≥2的解集为__________. x≤0 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页变式5－1 (2021福建，T8)如图，一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象过点(－1，0)，则不等式k(x－1)＋b＞0的解集是 (　　) A.x＞－2 B.x＞－1　　 C.x＞0 D.x＞1 C 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页变式5－2 如图，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则不等式kx－3＞2x＋b的解集是__________. x＜4 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页一次函数的综合应用例6 根据图中信息，解答下列问题. (1)求直线AP，BP的表达式及点P的坐标；解：∵直线AP经过点C(0，1)， ∴1＝0＋n. ∴n＝1. ∴直线AP的表达式为y1＝x＋1. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 ∵直线BP经过点B(3，0)， ∴0＝－3＋m. ∴m＝3. ∴直线BP的表达式为y2＝－x＋3. 由解得 ∴点P的坐标为(1，2). 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 (2)根据图象，直接写出当y1＞y2时，x的取值范围；解：当y1＞y2时，x的取值范围为x＞1. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 (3)连接CB，求S△CPB. 解：如图，设直线BP与y轴的交点为D. 把x＝0代入y2＝－x＋3，得y2＝3. ∴D(0，3). ∴CD＝3－1＝2. ∴S△CPB＝S△BCD－S△PCD＝×2×3－×2×1＝2. 第13课时一次函数的图象与性质上一页下一页返回首页 $第三章　函数第12课时变量与函数第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：八下P70～P85；华师：八下P27～P33，P36～P42；北师：七下P61～P79，八上P75～P78. 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页考点1　　函数的相关概念及表示方法常量、变量在某一变化过程中，保持不变的量叫作常量，发生变化的量叫作变量函数一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有① 的值与其对应，那么就说x是② ，y是x的函数唯一自变量第12课时变量与函数上一页下一页返回首页函数值在自变量x的取值范围内，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值函数的表示方法 ③ ；④ ； ⑤ . 解析式法列表法图象法第12课时变量与函数上一页下一页返回首页例1 下列各曲线表示y是x的函数的是____________(填序号). ①②③ 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页例2 现有一支蜡烛原长为20 cm，每分钟燃烧0.5 cm，点燃x min后，蜡烛的长度是y cm. (1)当x＝2时，y＝________； (2)y与x之间的关系式为_________________，其中x的取值范围是______________. 变式2－1 (2025厦门模拟)函数y＝中，自变量x的取值范围是__________. 19 y＝20－0.5x 0≤x≤40 x≠4 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页变式2－2 在一个半径为10 cm的圆形纸片中剪去一个半径为r(cm)的同心圆，得到一个圆环，圆环的面积S(cm2)关于r的函数关系式为S＝____________，自变量r的取值范围为______________. 100π－πr2 0＜r＜10 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页考点2　　函数图象获取信息例3 甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆.已知他离图书馆的距离s(km)与时间t(min)之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题： (1)甲同学第一次休息时距离图书馆_____km，停留的时间为_____min； (2)甲同学离图书馆的最远距离是_____km，他在120 min内共跑了_____km； 1.5 20 3 6 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页 (3)甲同学两次休息地相距_________km； (4)甲同学在CD路段内的平均速度是每小时多少千米？解：CD路段内的路程为1.5km，所用的时间为＝(h). ∴甲同学在CD路段内的平均速度是1.5÷＝4.5(km/h). 1.5 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页变式3－1 (2025湖南省卷)甲、乙两人在一次100 m赛跑比赛中，路程s(m)与时间t(s)的函数关系如图所示，________先到终点.(填“甲”或“乙”) 甲第12课时变量与函数上一页下一页返回首页变式3－2 氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气.如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M(g)随加热时间t(min)的变化情况，则下列说法错误的是 (　　) A.第3 min时未产生氧气 B.第6 min时开始产生氧气 C.第10 min时氧气质量达到最大9.6 g D.10 min后，氧气质量仍在增加 D 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页考点3　　根据实际问题得函数图象例4 高速路况状态下，电动汽车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究：下面是他们的探究过程，请补充完整： (1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程(km)与速度(km/h)的有关数据如表所示：速度 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160 续航里程 100 340 460 500 580 560 500 430 380 310 则自变量是__________，因变量是______________. 速度续航里程第12课时变量与函数上一页下一页返回首页 (2)如果设速度为x，续航里程为y，请在下图中画出反映变量关系的图象：第12课时变量与函数上一页下一页返回首页 (3)结合画出的图象，下列说法正确的有__________(填序号). ①y随x的增大而减小； ②当汽车的速度在60 km/h左右时，汽车的续航里程最大； ③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小. ②③ 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页 (4)若想要该车辆的续航里程保持在500 km以上，该车的车速应大约控制在________至_________km/h范围内. 40 100 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页画函数图象的步骤：列表、描点、连线. 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页变式4 (2025龙岩二检)如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中(不考虑水的阻力)，在铁块接触杯底前停止下降.能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块下降的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 (　　) A B C D C 第12课时变量与函数上一页下一页返回首页 $第三章　函数第14课时一次函数的实际应用第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：八下P86～P109；华师：八下P43～P53，P59～P64；北师：八上P79～P101，P123～P128. 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页考点1　根据一次函数图象解决实际问题例1 如图，深50 cm的圆柱形容器，底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，容器顶部离水面的距离y(单位：cm)随时间t(单位：min)的变化图象如图所示. (1)放入的长方体的高度为________cm； 20 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (2)求该容器注满水所用的时间. 解：设BC所在直线的函数关系式为y＝kt＋b(k，b为常数，且k≠0). 将B(3，30)和C(9，20)代入y＝kt＋b，得解得 ∴BC所在直线的函数关系式为y＝－t＋35. 当该容器注满水时，y＝0，即－t＋35＝0. 解得t＝21. ∴该容器注满水所用的时间为21 min. 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页变式1 幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，其中奖励积分y(单位：分)与投放质量x(单位：kg)的函数关系如图所示. (1)当投放质量不超过10 kg时，每千克可回收物可以赚取______积分； 10 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (2)求AB段所在直线的函数关系式，并求当投放20 kg可回收物时，可以获得多少积分. 解：设AB段所在直线的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0). 将A(10，100)，B(14，200)代入，得解得第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 ∴AB段所在直线的函数关系式为y＝25x－150. 当x＝20时，y＝25×20－150＝350. ∴当投放20 kg可回收物时，可以获得350积分. 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页例2 如图，《九章算术》中记载，浮箭漏(图1)由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过获取箭尺读数计算时间.某学校数学实验小组仿制了一套浮箭漏(箭尺最大读数为120 cm)，通过观察，每2 h记录一次箭尺读数，得部分数据如下：供水时间x/h 0 2 4 6 8 箭尺读数y/cm 6 18 42 54 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (1)补全表格. 供水时间x/h 0 2 4 6 8 箭尺读数y/cm 6 18 42 54 30 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画y与x之间的关系.如图2，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，建立平面直角坐标系，描出以表中数据为坐标的各点，画出函数图象. 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①供水时间达到12 h时，估算箭尺的读数约为________cm； ②如果本次实验记录的开始时间是8：00，那么当箭尺读数为90 cm时，供水时间达到________h，此时时间是____________. 78 14 22：00 供水时间x/h 0 2 4 6 8 箭尺读数y/cm 6 18 30 42 54 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页考点2　　建立一次函数关系式解决实际问题例3(2025广安)某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元. (1)求A，B两种帐篷的单价各为多少元. 解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x＋400)元. 由题意，得＝. 解得x＝600. 经检验：x＝600是原方程的解，且符合题意.x＋400＝1 000. 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1 000元. 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？解：设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷(20－m)顶，总费用为W元. 由题意，得20－m≥m.解得m≤15. 又两种型号的帐篷均需购买， ∴0＜m≤15. 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 W＝600m＋1 000(20－m)＝－400m＋20 000. ∵－400＜0，∴W随m的增大而减小. ∴当m＝15时，W取最小值，W最小＝－400×15＋20 000＝14 000. 此时20－m＝5. 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14 000元. 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页变式3 临近端午节，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案： A超市：所有商品按七五折出售； B超市：购物金额每满100元返40元. (1)当购物金额为90元时，选择________超市更省钱；当购物金额为120元时，选择________超市更省钱；(填“A”或“B”) A B 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (2)当购物金额为x(0＜x＜200)元时，请分别写出它们的实付金额y(单位：元)与购物金额x(单位：元)之间的函数关系式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱. 解：由题，知当0＜x＜200时，在A超市购物实付金额为yA＝0.75x. 当0＜x＜100时，在B超市购物实付金额为yB＝x；当100≤x＜200时，在B超市购物实付金额为yB＝x－40. ∴在B超市购物实付金额为第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 yB＝当0＜x＜100时，yA＜yB. 当100≤x＜200时，若yA＜yB，则0.75x＜x－40，解得x＞160；若yA＝yB，则0.75x＝x－40，解得x＝160；若yA＞yB，则0.75x＞x－40，解得x＜160. 综上，当0＜x＜100或160＜x＜200时，在A超市购物更省钱；当x＝160时，在A超市购物和B超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当100≤x＜160时，在B超市购物更省钱. 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页例4 (2025福建，T16)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为_________kg. 0.8 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页变式4 (2025苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(单位：m/s)与温度t(单位：℃)部分对应数值如下表：研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0).当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为 (　　) A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s 温度t/℃ －10 0 10 30 声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348 B 第14课时一次函数的实际应用上一页下一页返回首页 $第三章　函数第19课时二次函数的实际应用第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页考点1　　面积最值问题例1 (2025宁德模拟)把边长为44 cm的正方形硬纸板(如图1)，在四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子(如图2).若剪掉的小正方形的边长为x cm，长方体形的无盖盒子的侧面积为S cm2. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页解：由题意，得长方体形的无盖盒子的底面边长为(44－2x)cm. ∴盒子的侧面积S＝4x(44－2x)，即S＝－8x2＋176x. (1)①求S与x的函数关系式；第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页解：x的取值范围为0＜x＜22. ②直接写出x的取值范围. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (2)求当x取何值时，S达到最大，并求出其最大值. 解：∵S＝－8x2＋176x， ∴S＝－8(x－11)2＋968. ∴当x＝11时，S达到最大，S最大＝968. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页变式1 如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙(墙长为15 m)，另外三边用长为16 m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为________m2. 32 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页考点2　　利润最值问题例2 (2025达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件. (1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是____________件. (60＋10x) 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？解：设该款巴小虎吉祥物降价x元. 根据题意，得(40－30－x)(60＋10x)＝630. 整理，得x2－4x＋3＝0. 解得x1＝1，x2＝3. ∵要让利于游客， ∴x＝1舍去. ∴该款巴小虎吉祥物降价3元时，文旅公司每天的利润是630元. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？解：设该款巴小虎吉祥物降价m元. 则W＝(40－30－m)(60＋10m) ＝(10－m)(60＋10m) ＝－10m2＋40m＋600 ＝－10(m－2)2＋640. ∵－10＜0， ∴当m＝2时，W取最大值，最大值为640元，此时售价为38元. 答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页变式2 某超市以每件10元的价格购进一种文具.经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)(15≤x≤26)之间满足y＝－2x＋60，则销售这种文具每天可得 (　　) A.最大利润150元　　 B.最大利润128元 C.最小利润150元　　 D.最小利润128元 D 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页考点3　　抛物线形问题例3 (2025武威)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是 (　　) A.3 m B.2.75 m　　 C.2 m D.1.75 m B 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页变式3－1 (2025连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为_______m. 8 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页变式3－2 “千载竹艺，万缕竹篾”满载着手艺的传承和传统民族文化的魅力.用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似地看成一个抛物线形状.已知其宽度OA＝60 cm，最高点M(抛物线的顶点)到OA的距离为30 cm. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页解：由题意，得点M的坐标为(30，30)，点A的坐标为(60，0). 设抛物线的表达式为y＝a(x－30)2＋30. 将A(60，0)代入，得0＝a(60－30)2＋30. 解得a＝－. ∴抛物线的表达式为y＝－(x－30)2＋30＝－x2＋2x. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页 (2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能否放下2个直径为27 cm、高度为6 cm的盘子. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页解：将y＝6代入y＝－(x－30)2＋30，得6＝－(x－30)2＋30. 解得x1＝30－12，x2＝30＋12. ∵(30＋12)－(30－12)＝24＜54， ∴罩子下面不能放下2个直径为27 cm、高度为6 cm的盘子. 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页专题“实际应用题(2)”见本册P122～P123 第19课时二次函数的实际应用上一页下一页返回首页 $第三章　函数第16课时反比例函数与几何图形综合第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：九下P1～P22；华师：八下P54～P59；北师：九上P148～P162. 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页考点1　　反比例函数k的几何意义几何意义在反比例函数y＝(k≠0)的图象上任取一点，过这点分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于① . ｜k｜第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页例1 如图，点A在双曲线y＝上，AB⊥y轴于点B，S△AOB＝3，则k的值为 (　　) A.1.5 B.3　　 C.18 D.6 D 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页变式1－1 在平面直角坐标系中，反比例函数y＝的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为5，则k的值是 (　　) A.10 B.5　　 C.－10 D.－5 C 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页变式1－2 如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，过A，B两点分别作x轴的垂线，交x轴于点D，C，则四边形ABCD的面积为_______. 8 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页基本图形变式图形 S矩形ABCD＝｜k｜ S▱ABCD＝｜k｜　S▱ABCD＝｜k｜第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页基本图形变式图形 S△AOB＝② . S△ABC＝｜k｜　S△ABC＝｜k｜｜k｜第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页基本图形变式图形 S△AOB＋S△COD＝③ . S△ABC＝｜k｜　S△APP′＝2｜k｜｜k｜第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页基本图形变式图形 S矩形ABCD＝｜k1｜＋｜k2｜图1：S△ABO＝S△ABC ＝(｜k1｜＋｜k2｜) 图2：S矩形ABED＝｜k1｜－｜k2｜第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页考点2　　反比例函数与几何图形例2 (2025南平二检)如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A，B在反比例函数y＝的图象上，矩形的对称中心为坐标原点O，若点B(－3，－1)，则点A的坐标为____________. (1，3) 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页变式2 如图，A，B是反比例函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上的两点，在△OAB中，OA＝OB＝2，∠AOB＝30°，则k的值是______. 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页考点3　　反比例函数与一次函数例3 (2025连云港)如图，正比例函数y1＝k1x(k1＜0)的图象与反比例函数y2＝(k2＜0)的图象交于A，B两点，点A的横坐标为－1.当y1＜y2时，x的取值范围是 (　　) A.x＜－1或x＞1 B.x＜－1或0＜x＜1 C.－1＜x＜0或x＞1 D.－1＜x＜0或0＜x＜1 C 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页变式3 (2025资阳)如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点.一次函数 y＝kx－2的图象与x轴交于点A(－1，0)，与反比例函数y＝的图象交于点B(－2，a)，射线BO与反比例函数的图象交于点C，连接AC. (1)求一次函数和反比例函数的关系式；解：∵一次函数y＝kx－2的图象与x轴交于点A(－1，0)， ∴0＝－k－2. 解得k＝－2. 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页 ∴一次函数的关系式为y＝－2x－2. ∵一次函数y＝－2x－2过点B(－2，a)， ∴a＝－2×(－2)－2.∴a＝2. ∴B(－2，2). ∵反比例函数y＝的图象过点B(－2，2)，∴2＝. 解得m＝－4. ∴反比例函数的关系式为y＝－. 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页 (2)求△ABC的面积. 解：∵点B的坐标为(－2，2)，且点C与点B关于原点对称，∴C(2，－2). 过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CD⊥x轴于点D，如图所示. ∴BE＝2，CD＝2. ∵A(－1，0)，∴AO＝1. 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页 ∴S△ABC＝S△AOB＋S△AOC ＝AO∙BE＋AO∙CD ＝×1×2＋×1×2 ＝2. 专题“函数的图象与性质——反比例函数”见本册P130 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页命题点　反比例函数与几何图形综合 7年5考 1.(2023福建，T9)如图，正方形四个顶点分别位于两个反比例函数y＝和y＝的图象的四个分支上，则实数n的值为 (　　) A.－3 B.－　　 C. D.3 A 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页 2.(2024福建，T15)如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象与⊙O交于A，B两点，且点A，B都在第一象限.若A(1，2)，则点B的坐标为____________. (2，1) 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页 3.(2020福建，T16)设A，B，C，D是反比例函数y＝图象上的任意四点，现有以下结论： ①四边形ABCD可以是平行四边形； ②四边形ABCD可以是菱形； ③四边形ABCD不可能是矩形； ④四边形ABCD不可能是正方形. 其中正确的是__________.(写出所有正确结论的序号) ①④ 第16课时反比例函数与几何图形综合上一页下一页返回首页 $第三章　函数第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：九下P1～P22；华师：八下P54～P59；北师：九上P148～P162. 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页考点1　反比例函数的概念及其图象与性质概念形如① (k为常数且k≠0)的函数称为反比例函数，自变量x的取值范围是② . 关系式变式：xy＝k或y＝kx－1 k的符号 k＞0 k＜0 y＝ x≠0 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页图象所在象限第一、三象限第二、四象限图象特征图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永远不相交(x≠0，y≠0) 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页增减性在每一个象限内，y随x的增大而③ . 在每一个象限内，y随x的增大而④ . 对称性 (1)关于直线⑤ 和⑥ 成轴对称； (2)关于点⑦ 成中心对称减小增大 y＝x y＝－x (0，0) 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页例1 已知反比例函数y＝. (1)m的取值范围为__________. (2)若反比例函数的图象如图所示，则m的取值范围为__________. (3)若m＞3，则在每一象限内，y随x的增大而__________；若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在该反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为________________(用“＜”连接). (4)如果该函数图象经过点(2，a)，(－2，b)，那么a＋b＝_______. m≠2 m＜2 减小 y1＜y3＜y2 0 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页变式1－1 已知反比例函数y＝－，若x≥5，则函数y有 (　　) A.最大值－1 B.最小值－1 C.最大值－5 D.最小值0 变式1－2 已知点(－4，a)和(2，b)在反比例函数y＝(m≠3)的图象上，若a＞b，则m的取值范围是__________. B m＞3 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页考点2　用待定系数法确定反比例函数关系式例2 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象的一支如图所示. (1)求这个反比例函数的关系式，并补画该函数图象的另一支；第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页解：由图象可知A点坐标为(－4，2). 把点A(－4，2)代入y＝，得＝2. 解得k＝－8. ∴反比例函数的关系式为y＝－. 补画函数图象如图所示. 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页 (2)请直接写出当y＜6，且y≠0时，自变量x的取值范围. 解：当y＜6，且y≠0时，自变量x的取值范围为x＞0或x＜－. 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页变式2－1 已知点A(1，2)，点B(－2，a)在同一个反比例函数的图象上，则a的值为_________. 变式2－2 已知反比例函数y＝的图象上有两点A(1，n)，B(n＋1，2)，则m的值为_________. －1 －2 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页考点3　　反比例函数的实际应用例3 (2025湖北省卷)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是 (　　) A.3 A B.4 A C.5 A D.6 A A 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页变式3－1(2025南平模拟)某试管中液体发生化学反应后，温度T(℃)是时间t(min)的反比例函数，其图象如图所示，则该试管中液体的温度从60 ℃降到36 ℃，要经过_______min. 2 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页变式3－2如果用眼不科学，坐姿不正确，就容易导致视力下降.经调查发现，近视眼镜的度数y(度)与镜片的焦距x(m)是反比例函数关系，图象如图所示. (1)求这一函数的关系式；解：设函数的关系式为y＝(x＞0). 把(0.2，500)代入，得k＝100. ∴这一函数的关系式为y＝(x＞0). 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页 (2)小妮原来配戴200度的近视眼镜，由于用眼不科学，导致视力下降，经复查验光后，所配镜片的焦距调整到了0.25 m，求小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了多少度. 解：将x＝0.25代入y＝(x＞0)，得 y＝400. 400－200＝200(度). 答：小妮现在的眼镜度数比原来的眼镜度数增加了200度. 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页命题点1　　反比例函数的图象与性质 7年1考 1.(2022福建，T14) 已知反比例函数y＝的图象分别位于第二、四象限，则实数k的值可以是_________________________________.(只需写出一个符合条件的实数) －5(答案不唯一，负实数即可) 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页命题点2　确定反比例函数的关系式 7年2考 2.(2025福建，T13)若反比例函数y＝的图象过点(－2，1)，则常数k＝_________. －2 第15课时反比例函数的图象与性质(含实际应用) 上一页下一页返回首页 $第三章　函数第17课时二次函数的图象与性质(1) 第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63. 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页考点1　　二次函数的概念、图象与性质概念一般地，形如① (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数图象 a＞0 a＜0 y＝ax2＋bx＋c 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页开口方向开口向上开口向下对称轴 (1)直线x＝② ； (2)若A(x1，y)，B(x2，y)在抛物线上，则对称轴为直线x＝顶点坐标 (1)直接运用顶点坐标公式③ ； (2)运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为④ . －　 (h，k) 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页增减性当x⑤ 时，y随x的增大而增大；当x⑥ 时，y随x的增大而减小当x⑦ 时，y随x的增大而增大；当x⑧ 时，y随x的增大而减小最值当x＝－时，y最小值＝⑨ .　当x＝－时，y最大值＝⑩ .　＞－＜－＜－＞－第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页例1 已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，尝试探究该函数图象的性质，并回答下列问题. (1)列表：请将下表中x与y的对应值填在相应的横线上. x … －1 0 1 2 3 … y … _______ _______ _______ _______ _______ … 0 3 4 3 0 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页根据表中数据解答下列问题： ①对称轴是直线x＝_______，顶点坐标是____________； ②该二次函数的图象与x轴的交点坐标为______________________，与y轴的交点坐标为____________. 1 (1，4) (－1，0)，(3，0) (0，3) 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 (2)画图：在平面直角坐标系中，画出该函数的图象. 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页根据图象填空： ①该二次函数的图象开口向________； ②当x_________时，y随x的增大而增大，当x_________时，y随x的增大而减小； ③当x＝_______时，函数y有最大值，其最大值为_______；下＜1 ＞1 1 4 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 ④点(4，2)关于对称轴对称的点的坐标为______________； ⑤若点A(－2，y1)，B(3，y2)，C(7，y3)在该二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是________________(用“＞”连接)； ⑥观察图象，当－1≤x≤2时，y的取值范围是_____________. (－2，2) y2＞y1＞y3 0≤y≤4 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页变式1－1 关于函数y＝－3(x＋1)2－2，下列描述错误的是 (　　) A.与y轴交于点(0，－2) B.对称轴是直线x＝－1 C.函数最大值是－2 D.当x＞－1时，y随x的增大而减小 A 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页变式1－2 (2025厦门一检)已知二次函数y＝a(x－1)2＋2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：______________________ ______. 2(答案不唯一，a＞0即可) 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页变式1－3 已知二次函数y＝x2－6x＋5. (1)求二次函数图象的顶点坐标. 解：∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4， ∴二次函数图象的顶点坐标为(3，－4). 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？解：∵二次函数图象的顶点坐标为(3，－4)，函数图象开口向上，∴当x＝3时，y最小值＝－4. ∴当1≤x≤3时，y随x的增大而减小；当3＜x≤4时，y随x的增大而增大. ∵当x＝1时，y＝0，当x＝4时，y＝－3， ∴当x＝1时，y最大值＝0. ∴当1≤x≤4时，函数的最大值为0，最小值为－4. 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 (3)若点M(x1，y1)，N(5，y2)均在该二次函数的图象上，且y1＞y2，求点M横坐标x1的取值范围. 解：∵对称轴为直线x＝3，点N(5，y2)关于直线x＝3对称的点的横坐标是1，且y1＞y2，函数图象开口向上， ∴根据图象，得x1＜1或x1＞5. 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页考点2　　二次函数与一元二次方程的关系 a，b2－4ac的符号函数y＝ax2＋bx＋c的图象函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点情况方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况 a＞0，b2－4ac＞0 有两个交点(x1，0)，(x2，0) 有两个不相等的实数根x1，x2 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 a，b2－4ac的符号函数y＝ax2＋bx＋c的图象函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点情况方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况 a＞0，b2－4ac＝0 有一个交点有两个相等的实数根x1＝x2＝－ a＞0，b2－4ac＜0 没有交点无实数根提醒：a＜0类似. 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页例2(2025三明一检)若抛物线y＝2x2－x＋k与x轴只有一个交点，则 k＝_______. 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页变式2－1 (2025宁德4月质检节选)已知抛物线y＝ax2－(a＋3)x＋1.求证：抛物线与x轴总有两个交点. 证明：Δ＝b2－4ac＝［－(a＋3)］2－4a＝a2＋2a＋9＝(a＋1)2＋8. ∵(a＋1)2≥0， ∴(a＋1)2＋8＞0，即b2－4ac＞0. ∴抛物线与x轴总有两个交点. 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页变式2－2 抛物线y＝kx2－6x＋3与x轴有交点，则k的取值范围是(　　) A.k≤3且k≠0 B.k＜3且k≠0 C.k≤3 D.k＜3 例3 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点(3，0)，当y＞0时，x的取值范围是_______________. A －1＜x＜3 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页变式3 已知二次函数y＝x2－4x＋3的大致图象如图所示，则当y≥0时，x的取值范围是________________. x≤1或x≥3 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页关于二次函数的代数推理例4 已知y＝x2＋bx－c的图象与x轴的两交点的坐标分别为(m，0)，(－3m，0)(m≠0).求证：4c＝3b2. 证明：由题意，得m，－3m是方程x2＋bx－c＝0的两个根. ∴－2m＝－b，－3m2＝－c. ∴4c＝12m2，3b2＝3×4m2＝12m2. ∴4c＝3b2. 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页例5 (2025泉州二检)已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(2，c)在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上，x1－x2＜0，x1＋x2＞2，则下列判断正确的是 (　　) A.不存在实数a，使得y1－y2＞0 B.存在实数a，使得a(y1－y2)＞0 C.无论非零实数a为何值，都有y1－y2＞0 D.无论非零实数a为何值，都有a(y1－y2)＜0 D 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页命题点　　二次函数的图象与性质 7年7考 1.(2025福建，T10)已知点A(－2，y1)，B(1，y2)在抛物线y＝3x2＋bx＋1上，若3＜b＜4，则下列判断正确的是 (　　) A.1＜y1＜y2 B.y1＜1＜y2 C.1＜y2＜y1 D.y2＜1＜y1 A 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 2.(2024福建，T10)已知二次函数y＝x2－2ax＋a(a≠0)的图象经过A，B(3a，y2)两点，则下列判断正确的是 (　　) A.可以找到一个实数a，使得y1＞a B.无论实数a取什么值，都有y1＞a C.可以找到一个实数a，使得y2＜0 D.无论实数a取什么值，都有y2＜0 C 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 3.(2021福建，T10)二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象过A(－3，y1)，B(－1，y2)，C(2，y3)，D(4，y4)四个点，下列说法一定正确的是 (　　) A.若y1y2＞0，则y3y4＞0 B.若y1y4＞0，则y2y3＞0 C.若y2y4＜0，则y1y3＜0 D.若y3y4＜0，则y1y2＜0 C 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 4.(2023福建，T16)已知抛物线y＝ax2－2ax＋b(a＞0)经过A(2n＋3，y1)，B(n－1，y2)两点.若A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，则n的取值范围是_______________. 5.(2022福建，T16)已知抛物线y＝x2＋2x－n与x轴交于A，B两点，抛物线y＝x2－2x－n与x轴交于C，D两点，其中n＞0.若AD＝2BC，则n的值为_______. －1＜n＜0 8 第17课时二次函数的图象与性质(1) 上一页下一页返回首页 $第三章　函数第11课时　平面直角坐标系第一部分　教材考点探究上一页下一页返回首页人教：七下P63～P86；华师：八下P34～P36，九上P84～P93；北师：八上P53～P73. 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页考点1　平面直角坐标系及点的坐标特征各象限内 (－，＋) (－，－) (x＜0，y＞0) (x＜0，y＜0) 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页坐标轴上 (1)点P(x，y)在x轴上⇒⑤______＝0； (2)点P(x，y)在y轴上⇒⑥______＝0； (3)原点O的坐标为⑦____________. 注意：坐标轴上的点不属于任何象限各象限角平分线上 (1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑧______； (2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标 ⑨____________ y x (0，0) 相等互为相反数第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页平行于坐标轴的直线上 (1)平行于x 轴的直线上点的⑩______坐标相等； (2)平行于y轴的直线上点的⑪______坐标相等纵横第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页例1 已知点P(4－n，2n＋8). (1)若点P在第二象限，则n的取值范围是__________. (2)若点P在x轴上，则n＝_________；若点P在y轴上，则n＝_______. (3)若点P在第一、三象限的角平分线上，则n＝________；若点P在第二、四象限的角平分线上，则n＝__________. (4)若点Q(4，n＋5)，PQ∥y轴，则点Q在第________象限. n＞4 －4 4 －－12 一第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页变式1－1 (2025成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限变式1－2 在平面直角坐标系中，若点A(m，m－3)在x轴上，则点B(m＋2，1－m)所在的象限是 (　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 B D 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页例2 如图，将一片枫叶图案放在平面直角坐标系中，若点A，B的坐标分别为(0，2)，(－1，0)，则点C的坐标为______________. (4，－3) 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页变式2 如图，点M是正六边形EFGHPQ的中心.在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(0，0)，点E的坐标为(－1，0)，则点H的坐标为 (　　) A.(－2，0)　 B.(1，1)　 C.(1，0)　 D.(2，0) C 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页考点2　平面直角坐标系内点的坐标与距离点到坐标轴及原点的距离如图，P(a，b)为平面直角坐标系中任意一点. (1)点P(a，b)到x轴的距离为｜b｜； (2)点P(a，b)到y轴的距离为｜a｜； (3)点P(a，b)到原点的距离为第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页两点间的距离已知P(x，y)，Q(x1，y1)为平面直角坐标系中任意两点. (1)如图1，PQ∥x轴⇔y＝y1， PQ＝｜x1－x｜； (2)如图2，PQ∥y轴⇔x＝x1， PQ＝｜y1－y｜. 拓展：平面直角坐标系上任意两点P(x，y)，Q(x1，y1)的中点M的坐标是第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页例3 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为 (　　) A.(2，－4) B.(4，－2) C.(－4，2) D.(－2，4) D 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页变式3－1 已知点A(－1，2)，点B到y轴的距离为3，若线段AB与x轴平行，点B的坐标为______________________. 变式3－2 如图，若四边形ABCD为正方形，AB平行于x轴，顶点A的坐标是(－1，1)，B的坐标是(3，1)，则顶点C的坐标是____________. (－3，2)或(3，2) (3，5) 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页考点3　　用坐标表示点的对称与平移点的对称 P(x，y)P1⑫___________； P(x，y)P2⑬___________； P(x，y)P3⑭ . (x，－y) (－x，y) (－x，－y) 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页点的平移 P(x，y)P1(x－m，y)； P(x，y)P2⑮_____ _____； P(x，y)P3⑯____ ______； P(x，y)P4⑰_____ _____ (x＋m，y) (x，y＋n) (x，y－n) 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页例4 已知点P(－2，3)关于原点的对称点为点Q(a，b)，则a－b＝______. 变式4－1 点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称.若点A的坐标为(m，n)，则点C的坐标为 (　　) A.(－m，n) B.(m，－n) C.(－m，－n) D.(m，n) 变式4－2 在平面直角坐标系xOy中，作点P(1，－3)关于y轴的对称点P1，再将点P1向左平移3个单位长度，得到点P2，则点P2的坐标为_____________. 5 C (－4，－3) 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页平面直角坐标系中的面积问题例5 如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(3，c)三点，且a，b满足关系式｜a－2｜＋(b－3)2＝0，BC＝2OA. (1)求点C的坐标. 解：∵｜a－2｜≥0，(b－3)2≥0，｜a－2｜＋(b－3)2＝0，∴a－2＝0，b－3＝0. 解得a＝2，b＝3. 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页 ∴A(0，2)，B(3，0). ∴OA＝2. ∵BC＝2OA，∴BC＝4. ∵B(3，0)，C(3，c)，∴BC⊥x轴，BC∥y轴. ∴C(3，4). 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页 (2)是否存在点P使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：存在点P，使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍. 由(1)，得四边形AOBC为直角梯形，且OA＝2，BC＝4，OB＝3. ∴S四边形AOBC＝(OA＋BC)∙OB＝×(2＋4)×3＝9. 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页 ∵S△AOP＝∙OA∙｜m｜＝×2∙｜m｜＝｜m｜，S△AOP＝2S四边形AOBC，∴｜m｜＝2×9. ∴m＝±18. ∴点P的坐标为(18，－6)或(－18，6). 第11课时　平面直角坐标系上一页下一页返回首页 $

第三章 函数 课件 2026年中考数学一轮专题复习（福建）

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