21.3.1 矩形-第1课时 矩形的性质 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章 四边形 21.3 特殊的平行四边形 21.3.1 矩形 第1课时 矩形的性质 数 学 八年级 下册 1 1.明确矩形的定义，知道矩形是特殊的平行四边形. 2.会从边、角、对角线三个方面掌握矩形的性质. 3.理解直角三角形的性质，并能解决相关几何问题. 2 应用矩形的性质解决问题. 3 矩形与平行四边形性质的联系与区别. 4 “矩”是指画直角或方形的工具，也称为矩尺（曲尺）.更有“不以规矩， 不能成方圆”的说法，我们可以简单地理解为不用圆规和矩尺，就无法画出 方形和圆形.我们在小学就学过长方形，我们称长方形为矩形，它的四个角 都是直角.下面我们就来学习矩形的性质. 5 在小学我们就知道长方形的四个角都是直角，且对边相等.如图，已知长方 形，连接， ，小华认为可以用勾股定理证明得到长方形的对角 线相等，即 ，请判断小华的说法是否正确，并说明理由. 6 解：小华的说法正确. 理由： 四边形是长方形， ， ， ， ， . 7 1.关于矩形，下列说法错误的是( ) C A. 四个角都相等 B. 对角线相等 C. 四条边都相等 D. 对角线互相平分 2.在直角三角形中，若斜边上的中线长是5，则斜边长是____. 10 8 矩形的性质 阅读课本本课时开始至“例1”的内容，解答下列问题. 1.明晰概念：有一个角是______的____________叫作矩形. 直角 平行四边形 9 2.（1）思考：平行四边形一定是矩形吗？矩形一定是平行四边形吗？ 【答案】不一定；一定. （2）结论：矩形______（填“具有”或“不具有”）平行四边形的所有性质. 具有 10 3.思考： （1）如图，由平行四边形的对边平行，可知相邻的两个内角之和为______. 又因为矩形有一个内角是直角，所以其他的三个内角都为_______________. 直角（或） 11 （2）如上图，与 全等吗？能得到关于矩形的对角线的什么性质？ 【答案】由，， ，可知这两个三 角形全等，所以 ，所以矩形的对角线相等. 12 归纳总结 矩形的两组对边与平行四边形一样，分别____________；矩形的四个内 角都为______；矩形的对角线互相平分且______. 学法指导 矩形是特殊的平行四边形，应注意区分矩形的性质有哪些是与平 行四边形相同的，有哪些是由矩形的定义另外推理得出的（平行四边形不一 定具备的）. 平行且相等 直角 相等 13 如图，在矩形中，为的中点，连接并延长，交 的延长线于 点 . 14 （1）求证： . 解：证明： 四边形 是矩形， ， . 是的中点， . ， . 15 （2）若， ，求 的长. 解： 四边形是矩形， . ， ， ， . 16 直角三角形斜边上的中线的性质 阅读课本本课时“例1”之后至“练习”前的内容，解答下列问题. 1.如图，若四边形为矩形，对角线与相交于点 . （1）为______三角形，为 __________中线. 直角 斜边上的 17 （2）,,, 有什么数量关系？ 【答案】相等. 2.直角三角形斜边上的中线等于____________. 斜边的一半 18 若在中， ，是边上的中线，且 ，则 的长为____. 12 19 矩形的折叠 例1 如图，在矩形纸片中，，， 分别 是和的中点，现将这张纸片折叠，使点落在 上 的点处，折痕为.若延长线恰好经过点，则 的 长为( ) B A. B. C. D. 20 直角三角形斜边上的中线的性质 例2 如图，在四边形中，，，垂足为，连接 交 于点，为的中点，.若，，则 的长 为( ) C A. B. C. D. 21 矩形的性质 例3 如图，在矩形中，是边上一点，，于点 . 22 （1）求证： . 解：证明：在矩形中，， ， . ， . 在和 中， ， . 23 （2）若，，求 的长. 解： 四边形 是矩形， ， . 设，则 . 由勾股定理得 ， ， ， . 24 1.如图，在矩形中，对角线，交于点 ， ，，则 的长为( ) B A. 13 B. 6.5 C. 6 D. 7.5 25 2.如图，在中，是斜边上的中线.若，，则 的长是___. 8 26 3.如图，矩形的对角线，相交于点.若，求 的度数. 27 解： 四边形 是矩形， ，， , . ， , 是等边三角形, . 28 4.如图，在矩形中，点的坐标是，连接 ，则 的长是( ) D A. 3 B. 41 C. D. 29 5.如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作 ， 垂足为.若 ，则 的度数为_____. 30 6.出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一， 最早由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形， 任意分割成多个小图形，几何图形的总面积保持不 变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理 的重要内容之一.如图，在矩形中，，，对角线 与 交于点，为边上的一个动点，， ，垂足分别为 ，，则 的值为___. 31 7.在矩形中，，，点在边上，.若 是矩形 边上一点，且与点，构成以 为腰的等腰三角形，则等腰三角形 的底边长是___________. 或 32 提示：如图. ①当 时， ， 是等腰直角三角形， 底边 . ②当 时， ， ， 33 ， 底边 . 综上所述，等腰三角形的底边长为或 . 8.如图，在矩形中，对角线，相交于点，且 ， . 35 （1）求证： . 解：证明： 在矩形中，对角线，相交于点 ， ， . ， ， ， . 36 （2）若 ，，求矩形 的面积. 解：由（1）可知， . ， 是等边三角形， . ， ， 是等边三角形， ， . 37 四边形是矩形， ， ， . 9.如图，在矩形中， 是对角线. （1）实践与操作：利用尺规作线段的垂直平分线，垂足为，交边 于点 ，交边于点 （要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母）. 39 解：如图，直线 即所求. 40 （2）猜想与证明：在（1）的条件下，试猜想线段与 的数量关系，并 加以证明. 解： . 证明： 四边形是矩形， ， ， . 是的垂直平分线， . 41 在和中， ， . 10.如图，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点落在点 处，折痕 为 . 43 （1）求证： . 解：证明： 四边形 是矩形， ， . 由折叠可得， ， ， . ， . 在和中， . 44 （2）若，，求 的长. 解：如图，过点作于点 . ， . 在中，由勾股定理得 . 设，由（1）知 . ， . 由折叠得 ， 45 ， . 在中，由勾股定理得 ， ，解得 ， . 11.如图，在中，于点，，，分别是，， 的中点. 47 （1）求证： . 解：证明： ， . ，，分别是，， 的中点， ， ， . 48 （2）小明说：“我发现了 .”请你判断小明的说法是否正确， 并说明理由. 解：正确. 理由：，分别是，的中点， , , , 又 ， ， ， 即 . 49 $