2026届高考数学二轮复习小题专题练1.2 三角函数的图象与性质

专题练1.2 三角函数的图象与性质 [分值：73分] 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=,则ω=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 2.已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于(　　) A. B.- C. D.- 3.若函数y=sin(2x+)的图象向右平移a(a>0)个单位长度后得到函数y=cos 2x的图象,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 4.已知f(x)=sin若f(x)在区间(0<a<2π)上不单调，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 5.函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 6.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 7.下列关于函数f(x)=|sin 2x|+cos 2x说法正确的是(　　) A.是函数f(x)图象的一个对称中心 B.f(x)的值域为[-1] C.f(x)在区间上单调递减 D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴 8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[+∞) C.(1) D.[1] 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象经过点(0，-)，g(x)=f(x)-1的零点之间距离的最小值为2，则(　　) A.f(2)= B.f(x)的单调递增区间为(k∈Z) C.f(x)的图象关于点(k∈Z)对称 D.f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为 10.已知函数fk(x)=sin2kx+cos2kx(k∈N*)，值域为Ak，则下列选项正确的是(　　) A.A2= B.fk(x)的图象关于直线x=对称 C.fk(x)的最大值为1 D.A3= 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,把函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列选项正确的是(　　) A.φ=- B.函数g(x)的图象关于直线x=对称 C.若函数y=f(2x)在区间[0,m]上恰有4个不同的零点,则m的取值范围为[) D.函数y=f(2x)g(x)的图象关于点(-)对称 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),-是函数f(x)的一个零点,直线x=与x=是f(x)图象的两条对称轴,则当ω取最小值时,f(x)在[-上的最大值为　　　　　. 13.已知ω>0，函数f(x)=2cos在上单调递减，则ω的取值范围是　　　　，若ω为正整数，当x∈[0，2π]时，曲线y=cos x与f(3x)交点的个数为　　　　.  14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),①由函数f(x)图象上的一个最高点与两个相邻零点构成的三角形的面积为;②将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称;③函数f(x)的图象关于直线x=对称.从以上三个条件中任选两个作为已知条件,则可以求出的f()的值是　　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 专题练1.2 三角函数的图象与性质 [分值：73分] 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知f(x)=sin ωx(ω>0),f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=,则ω=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　B　 解析 ∵f(x)在x1,x2处分别取得最小值与最大值,|x1-x2|min=,∴最小正周期为2=π,∴ω==2.故选B. 2.已知函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称，则tan 2x0等于(　　) A. B.- C. D.- 答案　D 解析　因为f(x)=sin 2x-2cos2x =sin 2x-cos 2x-1 =2-1=2sin-1， 因为函数f(x)=sin 2x-2cos2x的图象关于直线x=x0对称， 所以2x0-=kπ+k∈Z， 所以2x0=kπ+k∈Z， 所以tan 2x0=tan=tan=-k∈Z. 3.若函数y=sin(2x+)的图象向右平移a(a>0)个单位长度后得到函数y=cos 2x的图象,则a的最小值为(　　) A. B. C. D. 答案　D　 解析 函数y=sin(2x+)的图象向右平移a(a>0)个单位长度后得到函数y=sin[2(x-a)+]=sin[2x+(-2a)]的图象,所以函数sin[2x+(-2a)]=cos 2x=sin(2x+),因此-2a=2kπ+,k∈Z或-2a+=(2k+1)π,k∈Z.解得a=-kπ-,k∈Z.因为a>0,所以k<-,令k=-1,可得a=故选D. 4.已知f(x)=sin若f(x)在区间(0<a<2π)上不单调，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　画出函数f(x)的部分图象如图所示， 因为0<a<2π，所以<a+<<. 又因为f(x)在区间(0<a<2π)上不单调， 所以解得<a<. 5.函数y=f(x)的图象由函数y=cos的图象向左平移个单位长度得到，则y=f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　C 解析　因为y=cos的图象向左平移个单位长度所得图象对应的函数为y=cos=cos=-sin 2x， 所以f(x)=-sin 2x， 而y=x-显然过与(1，0)两点， 作出y=f(x)与y=x-的大致图象如图所示， 考虑2x=-2x=2x= 即x=-x=x=处f(x)与y=x-的大小关系， 当x=-时，f =-sin=-1， y=×-=-<-1； 当x=时，f =-sin=1， y=×-=<1； 当x=时，f =-sin=1， y=×-=>1. 所以由图可知，f(x)的图象与直线y=x-的交点个数为3. 6.已知函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)在区间上恰有一个最大值点和最小值点，则实数ω的取值范围为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　函数f(x)=sin ωx+cos ωx =2sin(ω>0). 由于函数y=2sin x两个相邻最大值点和最小值点为和- 故对此范围进行卡根≥-⇒ω≥且≤⇒ω≥1； 考虑其他最值不能出现，故再进行二次卡根，相邻-的最大值点为-相邻的最小值点为 故<-⇒ω<且>⇒ω<4， 综上≤ω<4. 7.下列关于函数f(x)=|sin 2x|+cos 2x说法正确的是(　　) A.是函数f(x)图象的一个对称中心 B.f(x)的值域为[-1] C.f(x)在区间上单调递减 D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴 答案　B 解析　令sin 2x≥0，即2kπ≤2x≤π+2kπ，k∈Z， 解得kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 所以当kπ≤x≤+kπ，k∈Z时，f(x)=|sin 2x|+cos 2x=sin 2x+cos 2x=sin 由kπ≤x≤+kπ，k∈Z， 得2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z， 所以f(x)∈[-1]； 令sin 2x<0，即π+2kπ<2x<2π+2kπ，k∈Z， 解得+kπ<x<π+kπ，k∈Z， 所以当+kπ<x<π+kπ，k∈Z时，f(x)=|sin 2x|+cos 2x=-sin 2x+cos 2x=-sin 由+kπ<x<π+kπ，k∈Z， 得+2kπ<2x-<+2kπ，k∈Z， 所以f(x)∈(-1]， 综上可得，f(x)=|sin 2x|+cos 2x= 且f(x)的值域为[-1]，故B正确； 作出函数f(x)的大致图象，如图， 由图可知f(x)的图象不是中心对称图形，即没有对称中心，故A错误； 因为f =sin= f(0)=sin=1， f =sin=-1， f =-sin=0， 由图可知f(x)在上单调递减，在上单调递增， 则f(x)在区间上不单调，故C错误； f(x)图象的对称轴为直线x=k∈Z，故D错误. 8.已知函数f(x)=asin x+cos x，x∈若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞，1] B.[+∞) C.(1) D.[1] 答案　C 解析　若存在x1≠x2，使得f(x1)=f(x2)，等价于函数f(x)在上不是单调函数， 易知f'(x)=acos x-sin x， 若函数f(x)在上单调递增， 则f'(x)≥0在上恒成立， 即acos x-sin x≥0， 所以a≥=tan x在上恒成立， 则a≥； 同理，若函数f(x)在上单调递减，则f'(x)≤0在上恒成立，得a≤1， 即若函数f(x)在上不单调，则1<a<. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。 9.已知函数f(x)=tan(ωx+φ)的图象经过点(0，-)，g(x)=f(x)-1的零点之间距离的最小值为2，则(　　) A.f(2)= B.f(x)的单调递增区间为(k∈Z) C.f(x)的图象关于点(k∈Z)对称 D.f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为 答案　BC 解析　由已知得，f(x)的最小正周期为2，所以ω= 因为函数f(x)=tan (ωx+φ)的图象经过点(0，-)， 所以tan φ=-因为-<φ< 所以φ=- 所以f(x)=tan 则f(2)=tan=-所以A错误； 当且仅当-+kπ<x-<+kπ(k∈Z)时，f(x)单调递增， 解得2k-<x<2k+(k∈Z)， 所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)，所以B正确； 令x-=k·(k∈Z)，得x=k+(k∈Z). 所以f(x)的图象关于点(k∈Z)对称，所以C正确； 因为f(x)=sin =sin=sin(0≤x≤5)， 可得sin=tan= 即sin=0， 所以sin=0或cos=1， 而当cos=1时，sin=0， 故只需sin=0， 则-=mπ(m∈Z)，解得x=2m+(m∈Z)， 因为0≤x≤5，故x∈ 因此，f(x)=sin(0≤x≤5)的解集为所以D错误. 10.已知函数fk(x)=sin2kx+cos2kx(k∈N*)，值域为Ak，则下列选项正确的是(　　) A.A2= B.fk(x)的图象关于直线x=对称 C.fk(x)的最大值为1 D.A3= 答案　ABC 解析　当k=2时，f2(x)=sin4x+cos4x，将其变形可得f2(x)=-2sin2xcos2x=1-×(2sin xcos x)2=1-sin22x， 因为0≤sin22x≤1，所以≤1-sin22x≤1，即A2=故A选项正确； 若fk(x)的图象关于直线x=对称，则fk=fk. fk=sin2k+cos2kfk=sin2k+cos2k 可得sin=coscos=sin所以fk=fk即fk(x)的图象关于直线x=对称，故B选项正确； 因为sin2x∈[0，1]，cos2x∈[0，1]，所以fk(x)=sin2kx+cos2kx≤sin2x+cos2x=1，且当sin2x=1或cos2x=1时，fk(x)=1，即fk(x)的最大值为1，故C选项正确； 当k=3时，f3(x)=sin6x+cos6x，将其变形可得f3(x)=(sin2x+cos2x)(sin4x-sin2xcos2x+cos4x)=sin4x-sin2xcos2x+cos4x=-3sin2xcos2x=1-sin22x， 因为0≤sin22x≤1，所以≤1-sin22x≤1，即A3=故D选项错误. 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,把函数f(x)的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则下列选项正确的是(　　) A.φ=- B.函数g(x)的图象关于直线x=对称 C.若函数y=f(2x)在区间[0,m]上恰有4个不同的零点,则m的取值范围为[) D.函数y=f(2x)g(x)的图象关于点(-)对称 答案　BCD　 解析 设函数f(x)的最小正周期是T,由题图知A=1,-(-)=,T=2π=,则ω=1,f(x)=sin(x+φ),令+φ=+2kπ,k∈Z,即φ=2kπ-,k∈Z,又|φ|<,得φ=-,f(x)=sin(x-),所以A错误;函数f(x)=sin(x-)图象上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到y=sin(2x-)的图象,再将所得图象向左平移个单位长度,得到函数g(x)=sin 2x的图象,令2x=+kπ,k∈Z,则函数g(x)的图象关于直线x=,k∈Z对称,所以B正确;要使函数y=f(2x)=sin(2x-)在区间[0,m]上恰有4个不同的零点,因为0≤x≤m,所以-2x-2m-,则3π≤2m-<4π,即m的取值范围为[),所以C正确;因为y=f(2x)g(x)=sin(2x-)sin 2x=sin22x-sin 2xcos 2x=sin 4x=sin(4x+),令4x+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,函数y=f(2x)g(x)的图象关于点(-)对称,所以D正确.故选BCD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。 12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),-是函数f(x)的一个零点,直线x=与x=是f(x)图象的两条对称轴,则当ω取最小值时,f(x)在[-上的最大值为　　　　　. 答案　　 解析 设f(x)的最小正周期为T,由题意知-(-)=T(k1∈N),所以(k1∈N),解得ω=2k1+1(k1∈N),又T(k2∈N*),所以(k2∈N*),解得ω=(k2∈N*),ω既需要满足ω=2k1+1(k1∈N),又需要满足ω=(k2∈N*),所以此时ω取3,当ω=3时,-(-)=,解得k3=3∈N,所以ω的最小值为3,此时f(x)=sin(3x+φ).由于-是函数f(x)的一个零点,所以f(-)=sin(-+φ)=0,解得φ=kπ+(k∈Z),又|φ|<,所以k=-1,φ=-,故f(x)=sin(3x-). 由x∈[-],得3x-[-π,],故当x=时,函数f(x)取得最大值,且f(x)max=sin 13.已知ω>0，函数f(x)=2cos在上单调递减，则ω的取值范围是　　　　，若ω为正整数，当x∈[0，2π]时，曲线y=cos x与f(3x)交点的个数为　　　　.  答案　　6 解析　由x∈得ωx-∈ ∵函数f(x)=2cos在上单调递减，∴k∈Z， 解得+4k≤ω≤+2k，k∈Z， ∵π-=≤=∴0<ω≤2， ∴当k=0时≤ω≤故ω的取值范围是. 若ω为正整数，则ω=1，f(x)=2cos f(3x)=2cos 作出y=cos x与f(3x)=2cos在x∈[0，2π]上的大致图象，如图， 由图象可知，曲线y=cos x与f(3x)交点的个数为6. 14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<),①由函数f(x)图象上的一个最高点与两个相邻零点构成的三角形的面积为;②将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后关于y轴对称;③函数f(x)的图象关于直线x=对称.从以上三个条件中任选两个作为已知条件,则可以求出的f()的值是　　　　　.  答案　　 解析 若选择条件①②:设T为函数f(x)的最小正周期,由①可知三角形的面积S=1,解得T=π,所以ω==2,所以f(x)=sin(2x+φ). 由题意得f(x+)=sin(2x++φ)的图象关于y轴对称,即+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,由|φ|<可得φ=,则f(x)=sin(2x+),则f()=sin()= 若选择条件①③:由①可知f(x)=sin(2x+φ),由③得f()=sin(+φ)=±1,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,由|φ|<可得φ=,所以f(x)=sin(2x+),所以f()= 若选择条件②③:由③得f()=sin(+φ)=±1,所以+φ=+k1π,k1∈Z. 由②得f(x+)=sin(ωx++φ)关于y轴对称,即+φ=+k2π,k2∈Z,无法确定ω和φ,即无法确定f()的值. 学科网（北京）股份有限公司 $