福建省厦门集美中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测数学限时训练1试题

福建省厦门集美中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测 数学限时训练1 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题:本题共8小题，每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的. 1．已知向量，，若与共线，则m的值为（　　） A．2 B． C． D． 2．已知平面内M,N,P三点满足,则下列说法正确的是 A．M,N,P是一个三角形的三个顶点 B．M,N,P是一条直线上的三个点 C．M,N,P是平面内的任意三个点 D．以上都不对 3．已知向量＝(4，－3)，向量＝(2，－4)，则△ABC的形状为 A．等腰非直角三角形 B．等边三角形 C．直角非等腰三角形 D．等腰直角三角形 4．已知向量满足，且，则（    ） A． B． C． D．1 5．已知△ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若A＝，b＝2acos B，c＝1，则△ABC的面积等于(　　) A． B． C． D． 6．如图，海平面上的甲船位于中心的南偏西，与相距15海里的处．现甲船以35海里/小时的速度沿直线去营救位于中心正东方向25海里的处的乙船，则甲船到达处需要的时间为（    ） A．小时 B．1小时 C．小时 D．2小时 7．是内的一点，，则的面积与的面积之比为 A． B． C． D． 8．如图扇形所在圆的圆心角大小为是扇形内部（包括边界）任意一点，若，那么的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9．如图所示，四边形，，是全等的菱形，则下列结论中一定成立的是（    ） A．＝ B．与共线 C．与共线 D．＝ 10．已知点是的重心，点，，C(−2,5)，点是上靠近点B的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 11．在中，．若，则的值可以等于（    ） A． B． C．2 D．3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．若平面向量由平行于轴, ，则=____________ 13．如图，已知两个力，的大小和方向，则合力的大小为____________N；若在图示坐标系中用坐标表示合力，则合力的坐标为____________．（第一空2分；第二空3分） 14．已知向量，夹角为，，若对任意，恒有，则函数的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，已知为直角坐标系中的三个定点. (1)若点为平行四边形的第四个顶点，求； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 16．（15分）已知ABC的内角所对的边分别为且，. （1）若，求的值； （2）若ABC的面积，求的值 17．（15分）平面内给定三个向量． （1）求满足的实数m，n； （2）若，求实数k； （3）设满足，且，求． 18．（17分）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 19．（17分）十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与这个三角形的三个顶点的距离之和最小”它的答案是：“当三角形的三个角均小于时，所求的点为三角形的正等角中心，即该点与三角形的三个顶点的连线两两成角；当三角形有一内角大于或等于时，所求点为三角形最大内角的顶点．在费马问题中所求的点称为费马点．已知a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，且，点为的费马点． (1)求角； (2)若，求的值； (3)若，求的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《福建省厦门集美中学2025-2026学年高一下学期3月阶段检测》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C C B B B C C ABD AB AD 1．D 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】利用向量线性运算的坐标表示及共线向量的坐标表示求解作答. 【详解】向量，，则，， 而与共线，因此，解得， 所以m的值为. 故选：D 2．C 【知识点】向量加法的法则、向量减法的法则 【解析】根据平面向量的线性运算求解证明恒成立即可. 【详解】因为, 故 对任意情况都成立,所以M,N,P是平面内的任意三个点, 故选：C. 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,属于基础题型. 3．C 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示 【分析】由向量得出向量的坐标，然后利用平面向量的数量积运算法则求出•，得出值为0，可得两向量互相垂直，最后分别求出三向量的模，发现互不相等，进而得出三角形ABC为直角非等腰三角形． 【详解】∵＝(4，－3)，＝(2，－4)， ∴＝－＝(－2，－1)， ∴·＝(2,1)·(－2,4)＝0， ∴∠C＝90°，且||＝，||＝2，||≠||. ∴△ABC是直角非等腰三角形． 故选C. 【点睛】此题考查了三角形的形状判断，·＝0是解本题的关键. 4．B 【知识点】数量积的运算律、已知数量积求模、垂直关系的向量表示 【分析】由得，结合，得，由此即可得解. 【详解】因为，所以，即， 又因为， 所以， 从而. 故选：B. 5．B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【详解】试题分析：根据正弦定理由可得, , 在中, ,为边长为1的正三角形, .故B正确. 考点：正弦定理. 【思路点睛】本题主要考查正弦定理,属容易题.三角形问题中强调边角统一,边角互化可以用正弦定理和余弦定理.本题中应根据正弦定理将已知条件转化为角的三角函数之间的关系式,即可轻松求得所求. 6．B 【知识点】距离测量问题 【分析】利用方向坐标画出图形，结合图形利用余弦定理求出的值，再计算甲船到达处需要的时间． 【详解】解：如图所示， 中，，，； 所以， ， 又甲船的速度为， 所以甲船到达处需要的时间为． 故选：B． 【点睛】本题考查了余弦定理的应用问题，也考查了运算求解能力，属于基础题． 7．C 【知识点】向量的线性运算的几何应用 【解析】设边的中点为,则有,因为,则,即,因为,即可求出结果. 【详解】设边的中点为，则. ∵，∴，∴.∴. 故选:C. 【点睛】本题考查向量的运算和三角形面积的计算,难度一般. 8．C 【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、平面向量线性运算的坐标表示、利用平面向量基本定理求参数 【分析】建系，用三角函数表示点，再将已知向量关系用三角函数表示，得出，最后用辅助角公式得到所求的最值关系，结合正弦函数得到最大值. 【详解】以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设扇形的半径为，则， 设点， 因为， 所以，，所以，， 所以，， 因为，则， 当且时，取得最大值4. 故选：C 【点睛】关键点点睛：此题关键是用三角函数表示出向量关系，得到关系式，再用辅助角公式得到所求的最值关系. 9．ABD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量、共线向量的概念，结合几何图形即可判断各项的正误. 【详解】由四边形，，是全等的菱形，知：，即A正确； 由图形可知：与的方向相反，与方向相同且长度相同即＝， 故B、D正确；而与不一定共线，故C不一定正确. 故选：ABD. 10．AB 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】根据三角形的重心坐标公式即可求得点坐标，利用共线向量的坐标计算公式易得点坐标，利用平面向量的夹角公式计算即得，通过平面向量的线性运算求出的坐标，易得其模长. 【详解】 对于A项，如图，点是的重心，点，，，设点，则，故A选项正确； 对于B项，因点是上靠近点的三等分点，则设则 即,解得，故B项正确； 对于C项，因为，则， 故,即，故C项错误； 对于D项，因则，故D项错误. 故选:AB. 11．AD 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式、正弦定理边角互化的应用 【分析】根据两角和差的正弦公式、二倍角的正弦公式化简等式，结合因式分解法，运用正弦定义和正弦定理进行求解即可. 【详解】， 因此或， 当时，因为，所以，而，所以， 当时，， 故选：AD 12．或 【知识点】向量模的坐标表示 【分析】由平行于轴,得出,解出的纵坐标,再由,求出的横坐标 【详解】设 平行于轴,得出, 解得 , 解得,或 或 故答案为或 【点睛】本题考查共线向量的性质,以及向量模的坐标运算, 意在考查向量的基本性质,要求学生概念清晰,计算准确. 13． 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】运用向量坐标运算即可求解． 【详解】因为，，所以合力， 所以合力的大小为． 故答案为：；． 14．/ 【知识点】用定义求向量的数量积、已知数量积求模 【分析】先根据向量的夹角、模长及恒成立求出，将表示成关于t的函数，根据二次函数最值即可求解． 【详解】∵，∴， 整理可得， ∵对任意，上式恒成立，∴； 由题意知，∴，∴． ∴． 故答案为：. 15．(1) (2)点的坐标为或. 【知识点】平面向量线性运算的坐标表示、数量积的坐标表示 【分析】（1）由图可知，，可得，从而得 ； （2）可设，可得，由，解得或，从而可得结果. 【详解】（1）由图可知，， 所以 所以. （2）因为点在直线上， 所以可设， 所以， 所以，解得或. 故点的坐标为或. 16．（1）；（2）. 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系计算，再利用正弦定理计算即可； （2）先利用面积公式解得，再利用余弦定理计算b边即可. 【详解】解：（1）ABC中，，则B是锐角，， 由得，； （2）由得，，即，解得， 所以，即. 所以. 17．（1）；（2）；（3）或． 【知识点】由坐标解决线段平行和长度问题、利用平面向量基本定理求参数 【解析】(1)根据向量的坐标运算求解即可. (2)分别求得再利用平行的公式求解即可. (3)根据平行与模长的公式列式求解即可. 【详解】（1）∵, ∴. ∴解得 （2）∵,∴. 解得. （3）∵,, ∴ 解得或 ∴或. 【点睛】本题主要考查了向量坐标的运算以及平行的与模长的公式,属于中等题型. 18．(1)； (2). 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）方法1，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理求解作答；方法2，利用三角形面积公式求出，作出边上的高，利用直角三角形求解作答. （2）方法1，利用余弦定理求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答；方法2，利用向量运算律建立关系求出a，再利用三角形面积公式求出即可求解作答. 【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 19．(1) (2) (3) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据三角恒等变换即可结合同角关系求解， （2）根据余弦定义以及等面积法可得，即可根据数量积的定义求解， （3）根据余弦定理，结合（2）的结论可得，进而根据三角形相似可得，由基本不等式以及三角形边角关系可得，即可由函数的单调性求解. 【详解】（1）， ， ， ， 又，， ，,， （2）， ，又， ， 设，，， ，三角形的三个角均小于120， 根据题意可得， 又， ， ， ． （3）由 ， ，， 由余弦定理可得， 同理可得，， 相加可得， 又， 所以， 由于, 所以又 故，所以， 故，且 故，当且仅当时等号成立， 又，所以 ， 令，则， 所以， 由于函数均为上的单调递增函数，故为的单调递增函数， 故，进而 【点睛】方法点睛：处理多变量函数最值问题的方法有：（1）消元法：把多变量问题转化单变量问题，消元时可以用等量消元，也可以用不等量消元.（2）基本不等式：即给出的条件是和为定值或积为定值等，此时可以利用基本不等式来处理，用这个方法时要关注代数式和积关系的转化. （3）线性规划：如果题设给出的是二元一次不等式组，而目标函数也是二次一次的，那么我们可以用线性规划来处理. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $