8.1 平方根 第2课时 课件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第2课时 8.1 算术平方根 第八章 实数 1.7.2013 同学们好，今天我们继续学习第八章实数中的8.1节，算术平方根的第二课时。在第一课时的基础上，我们将更深入地探讨算术平方根的性质及其应用。 ‹#› 1. 什么是平方根？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x叫做a的平方根。a的平方根记为±√a，读作“正负根号a”。 2. 判断下列各数是否有平方根，如果有，请写出它们的平方根。 ① 144； ② 0.01； ③ -0.04； ④ (-5)²； ⑤ -81 ① ±12； ② ±0.1； ③ 无； ④ ±5； ⑤ 无 1.7.2013 在开始新课之前，我们先来回顾一下平方根的概念。请大家思考一下，什么是平方根？然后判断屏幕上的几个数是否有平方根，如果有，它们的平方根是什么？请大家快速作答。 ‹#› 1. 理解算术平方根的概念，掌握其表示方法，并明确其非负性。 2. 能够熟练求出一些非负数的算术平方根，并能用符号正确表示。 3. 学习使用计算器估算无理数的算术平方根。 4. 能够运用算术平方根的知识解决简单的实际问题。 1.7.2013 本节课的学习目标主要有四点。首先，我们要深入理解算术平方根的概念，掌握它的写法，并记住它总是非负的。其次，要能熟练地求出一些数的算术平方根。第三，我们会学习用计算器来处理一些复杂的算术平方根计算。最后，也是最重要的一点，我们要学会运用今天所学的知识去解决生活中的实际问题。 ‹#› 学校要举办运动会，需要搭建一个面积为36平方米的正方形领奖台， 请问这个领奖台的边长应该是多少米？ 因为6²=36， 生活中的算术平方根 所以这个正方形领奖台的边长应取6米。 1.7.2013 ‹#› 已知一个正数，求这个正数的平方，这是平方运算。 正方形的边长/m 3 0.4 1/3 正方形的面积/m2 9 0.16 1/9 填表并讨论 表1 【讨论】你能从表中发现什么共同点吗？ 1.7.2013 请大家看屏幕上的表格，根据正方形的边长，计算出对应的面积。填完之后，大家思考一下，我们刚才做的是什么运算？对，是已知边长求面积，也就是平方运算。 ‹#› 正方形的面积/m2 25 0.64 1/4 正方形的边长/m 已知一个正数的平方，求这个正数。 表2 2. 这与上一页的运算有什么关系？ 5 0.8 1/2 【讨论】1. 你能从表中发现什么共同点吗？ 互为逆运算。 1.7.2013 ‹#› 我们知道，正数a有两个平方根，其中正的平方根叫做a的算术平方根。正数a的算术平方根用√a表示，读作“根号a”。 规定：0的算术平方根是0，即 √0=0 算术平方根 a的算术平方根 取正值 被开方数 读作：根号a 怎么用符号来表示一个数的算术平方根？ (a≥0) 平方根号 a的平方根 1.7.2013 现在我们来正式定义算术平方根。一个正数的两个平方根中，那个正的平方根，我们就称之为算术平方根。它的符号是√a，读作根号a。特别地，我们规定0的算术平方根就是0。这个图示能帮助大家更好地理解平方根和算术平方根的关系。 ‹#› 1. 一个正数的算术平方根有几个？ 0的算术平方根是0。 2. 0的算术平方根是多少？ -4没有算术平方根，负数没有算术平方根。 3. -4有算术平方根吗？负数有算术平方根吗？ 一个正数的算术平方根有1个。 1.7.2013 带着这个定义，我们来思考几个问题。一个正数的算术平方根有几个？0的算术平方根是多少？负数，比如-4，有算术平方根吗？请大家根据定义来判断。 ‹#› 【例题】 【例1】求下列各数的算术平方根 ① 36； ② 1/16； ③ 0.49； ④ 0； ⑤ 10000 ① ∵6²=36，∴36的算术平方根是6，即√36=6。 ② ∵(1/4)²=1/16，∴1/16的算术平方根是1/4，即√(1/16)=1/4。 ③ ∵0.7²=0.49，∴0.49的算术平方根是0.7，即√0.49=0.7。 ④ ∵0²=0，∴0的算术平方根是0，即√0=0。 ⑤ ∵100²=10000，∴10000的算术平方根是100，即√10000=100。 1.7.2013 理论学习之后，我们来看几道例题，巩固一下。请大家尝试求出这几个数的算术平方根。我们一起看一下解题过程，关键是找到哪个非负数的平方等于这个数。 ‹#› 【跟踪训练】 1. 下列各式中哪些有意义？哪些无意义？ ① √(-2)；② √0；③ √(1/9)；④ -√4 有意义的是：②，③，④；无意义的是：①。 2. 如果√(3a-9)没有意义，则a的取值范围是？ 解：∵3a-9 < 0，∴a < 3。 1.7.2013 接下来是跟踪训练时间，请大家独立完成这两道题。第一题判断式子是否有意义，第二题根据式子无意义的条件求字母的取值范围。 ‹#› 1. 负数有算术平方根吗？ 2. √a 是什么数？ 3. √a 中的 a 可以取任何数吗？ 也就是说，非负数的算术平方根也是非负数。 负数不存在算术平方根，即当 a < 0 时，√a 无意义。 算术平方根的双重非负性 √a 的双重非负性 1. 被开方数 a ≥ 0 2. 算术平方根 √a ≥ 0 1.7.2013 通过刚才的练习，我们可以总结出算术平方根的一个非常重要的性质——双重非负性。请大家记住，根号下的数必须是非负的，同时，算术平方根的结果本身也是非负的。这两点非常关键。 ‹#› 平方根与算术平方根的联系与区别 联系： 1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种。 2. 取值范围：只有非负数才有平方根和算术平方根。 3. 特殊值：0的平方根是0，算术平方根也是0。 区别： 1. 个数不同：一个正数有两个平方根，但只有一个算术平方根。 2. 表示法不同：平方根表示为±√a，而算术平方根表示为√a。 1.7.2013 现在我们来梳理一下平方根和算术平方根的联系与区别。它们既有联系，比如都只有非负数才有，0的平方根和算术平方根都是0；也有区别，主要体现在个数和表示方法上。大家一定要分清这两个概念。 ‹#› 例2 下列各式是否有意义，为什么？ (1) √(-7)；(2) √(0.01)；(3) -√(1/2)；(4) √((-6)²) 解： （1）无意义，被开方数是负数。 （2）有意义，被开方数是非负数。 （3）有意义，被开方数非负，负号在根号外。 （4）有意义，(-6)²=36是正数。 【例题】 1.7.2013 我们再来看一道例题，判断这些式子是否有意义。关键还是看根号下的数是否为非负数。注意第三题，负号在根号外面，不影响根号内的数，所以它是有意义的。第四题，根号下是一个数的平方，结果一定是非负的，所以也有意义。 ‹#› 【跟踪训练】 1. 下列各式是否有意义，为什么？ √10 √-π √a² -√0 有意义 无意义 有意义 有意义 2. 下列各式中，x为何值时有意义？ √(5-x) √(x²+2) 解: ∵5-x ≥ 0 ∴x ≤ 5 解: ∵x²+2 ≥ 2 > 0 恒成立 ∴x为任何实数 1.7.2013 继续我们的跟踪训练。第一题还是判断式子是否有意义，第二题则是根据式子有意义的条件来求x的取值范围。请大家动笔算一算。 ‹#› 解：因为 |x-2| ≥ 0，√(y+3) ≥ 0，又 |x-2| + √(y+3) = 0， 所以 |x-2| = 0，√(y+3) = 0， 所以 x-2 = 0，y+3 = 0，即 x=2，y=-3， 所以 x+y = 2 + (-3) = -1。 例3 若 |x-2| + √(y+3) = 0，求x+y的值。 总结：几个非负数的和为0，则每个数均为0。初中阶段学过的非负数有：绝对值、偶次幂、算术平方根。 【例题】 1.7.2013 这是一道综合运用题，涉及到绝对值和算术平方根的非负性。因为两个非负数相加等于0，所以这两个数必须都为0。由此我们可以解出x和y的值，进而求出x+y的值。这是一个非常重要的解题思路。 ‹#› 用计算器求算术平方根 对于非完全平方数的算术平方根，我们可以用计算器来估算其近似值。 （1）依次按键：√ 2 = 显示：1.414213562，所以√2 ≈ 1.414 （2）依次按键：√ 0.03 = 显示：0.173205081，所以√0.03 ≈ 0.173 （3）依次按键：√ 150 = 显示：12.24744871，所以√150 ≈ 12.247 1.7.2013 当我们遇到像√2这样的非完全平方数时，无法得到一个精确的有理数结果，这时就需要借助计算器来求它的近似值。大家可以看一下屏幕上的操作步骤和结果，动手试一试。 ‹#› 例4 小明想用一块面积为625cm2的正方形木板，沿着边的方向裁出一块面积为400cm2的长方形木板，使得它的长与宽的比为5:4。 请问小明能裁出符合要求的木板吗？ 算术平方根的实际应用 1.7.2013 学完了理论知识，我们来解决一个实际问题。小明有一块正方形木板，想裁出一个特定比例的长方形木板，他能做到吗？我们一起来分析一下。 ‹#› 【解析】 设长方形木板的长为5x cm，宽为4x cm。 根据题意，得：5x · 4x = 400 20x² = 400 ⇒ x² = 20 ⇒ x = √20 所以长方形木板的长为5√20 cm。 ∵√20 > √16，即√20 > 4，∴5√20 > 5 × 4 = 20 正方形木板的边长为√625 = 25 cm ∵5√20 > 20，且20 < 25，所以能裁出。 结论：小明能裁出符合要求的木板。 1.7.2013 我们设长方形的长和宽分别为5x和4x，根据面积公式列出方程，解得x等于根号20。那么长方形的长就是5倍的根号20。我们知道根号20大于4，所以5倍的根号20就大于20。而正方形木板的边长是25厘米，20小于25，所以是可以裁出来的。 ‹#› 【跟踪训练】 一个面积为100平方米的正方形花园，要改建为面积为90平方米的长方形花园，且长与宽的比为5:2。问是否可以在原花园内完成改建？ 1.7.2013 这是一道类似的实际应用题，请大家独立思考并解答。关键是比较改建后的长方形的长是否超过原正方形的边长。 ‹#› 【解析】设长方形花园的长为5xm，宽为2xm。 根据题意，得：5x·2x= 90 10x²= 90 ⇒x²= 9 ⇒x= 3 所以长方形花园的长为5×3 = 15 m。 正方形花园的边长为√100 = 10 m。 ∵ 15 > 10， ∴ 无法在原花园内完成改建。 结论：不能在原花园内完成改建。 1.7.2013 我们来一起看一下这道题的解析。设未知数，列方程，解得长方形的长是15米。而原正方形花园的边长只有10米，15米大于10米，所以是无法在原花园内完成改建的。 ‹#› 课堂小结 1. 算术平方根的定义：正数a的正的平方根，记作√a。0的算术平方根是0。 2. 算术平方根的双重非负性：被开方数a≥0，算术平方根√a≥0。 3. 联系与区别：明确平方根与算术平方根的包含关系与区别。 4. 实际应用：掌握利用算术平方根解决实际问题的方法。 1.7.2013 好了，本节课的内容就到这里。我们来简单回顾一下，今天我们学习了算术平方根的定义，重点掌握了它的双重非负性，区分了平方根和算术平方根，并运用所学知识解决了实际问题。希望大家都有所收获。 ‹#› 1. 判断 （1）7是49的算术平方根； （2）-9是81的算术平方根； （3）0.04是0.2的算术平方根； （4）-6是-36的算术平方根。 1.7.2013 最后是我们的随堂练习时间，请大家快速判断这几个说法的对错。 ‹#› 2.（2024•苏州中考）25的算术平方根是？ 【解析】25的算术平方根是5。 答案：5 5 1.7.2013 这是一道中考真题，考察的是最基础的算术平方根的计算，答案是5。 ‹#› 3. 若x,y为实数，且 |x-1| + √(y+2) = 0，则x+y的值为？ 【解析】由 |x-1| ≥ 0，√(y+2) ≥ 0，且和为0，得x-1=0，y+2=0， ∴x=1，y=-2， ∴x+y = 1 + (-2) = -1。 答案：-1 1.7.2013 这道题再次考察了非负数的性质，大家要熟练掌握这种题型的解法。 ‹#› 随堂练习 4. 一个长方形的长和宽分别是√10 cm和2 cm，求这个长方形的面积。 【解析】 面积 = 长 × 宽 = √10 × 2 = 2√10 (cm²) 答案：2√10 cm² 1.7.2013 最后一题，是算术平方根在几何中的简单应用，计算长方形的面积。答案是2倍根号10平方厘米。今天的课就到这里，同学们再见！ ‹#› $