精品解析：吉林长春吉大附中力旺实验中学2021-2022学年八年级下学期开学考试数学试卷

2021-2022学年吉林大学附中力旺实验中学八年级（下）开学数学试卷 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列无理数，与3最接近的是（ ） A. B. C. D. 2. 化简正确结果是（ ） A. 4 B. C. D. 3. 用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于等于 C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都小于 4. 下列分式中是最简分式是（    ） A. B. C. D. 5. 在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（ ） A 4 B. 6 C. 8 D. 10 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 8. 如图，在边长为4的正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足．若，则的长为（ ）． A. 2.4 B. 3.4 C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 要使分式有意义，则的取值应满足的条件是__________． 10. 已知a，b都实数，若则_______． 11. 如图，在中，点D是边BC上的一点．若，，则∠C的大小为____________． 12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________． 13. 如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S□AEPH＝______． 14. 如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是______． 三、解答题（共6小题，共计44分） 15. 计算：． 16. 先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4． 17. 小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本． 18. 如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC， （1）求证：△ABE≌△ACF； （2）若∠BAE=30°，则∠ADC=______°． 19. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． 20. 如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． （1）①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． （2）用代数式表示S； （3）当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年吉林大学附中力旺实验中学八年级（下）开学数学试卷 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列无理数，与3最接近是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先比较各个数平方后的结果，进而即可得到答案． 【详解】解：∵32=9，()2=6，()2=7，()2=10，()2=11， ∴与3最接近的是， 故选C． 【点睛】本题主要考查无理数的估计，理解算术平方根与平方的关系，是解题的关键． 2. 化简的正确结果是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用 直接化简即可得到答案． 【详解】解： 故选： 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，掌握积的算术平方根的含义是解题的关键． 3. 用反证法证明命题“钝角三角形中必有一个内角小于”时，首先应该假设这个三角形中（ ） A. 有一个内角小于 B. 每一个内角都大于等于 C. 有一个内角大于等于 D. 每一个内角都小于 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反证法，反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．解此题关键要懂得反证法的意义及步骤． 【详解】解：用反证法证明“钝角三角形中必有一个内角小于”时， 应先假设这个三角形中每一个内角都不小于，即每一个内角都大于或等于． 故选：． 4. 下列分式中是最简分式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一个分式的分子分母无公因式或公因数叫最简分式，四个选项逐个分析排除，只有选项A是最简分式，选项B、C、D中分子分母分别有公因数2、公因式、公因式，都不是最简分式． 【详解】选项A不能约分，是最简分式； 选项B中分子分母有公因数2，可约分，不是最简分式； 选项C中，分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； 选项D中分子分母有公因式，可约分，不是最简分式； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了最简分式的概念，最简分式指的是分子分母无无公因式或公因数的分式，有时需要将分子分母进行因式分解再判断． 5. 在矩形中，、相交于点，若的面积为2，则矩形的面积为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到OA=OB=OC=OD，推出，即可求出矩形ABCD的面积. 【详解】∵四边形ABCD是矩形，对角线、相交于点 ∴AC=BD，且OA=OB=OC=OD ∴ ∴矩形的面积为 故选：C 【点睛】此题考查矩形的性质：矩形的对角线相等，且互相平分，由此可以将矩形的面积四等分，由此可以解决问题，熟记矩形的性质定理是解题的关键. 6. 如图，在中，，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，角平分线和垂线的尺规作图，灵活运用所学知识是解题的关键． 先根据作图方法可知平分，，由角平分线的性质可得即可判断C；证明，得到，即可判断D；根据直角三角形两锐角互余即可判断A；根据现有条件无法证明，即可判断B． 【详解】解：由作图方法可知，平分，， 又∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D不符合题意； ∵， ∴，故A不符合题意； 根据现有条件无法证明，故B符合题意； 故选B． 7. 如图，在中，的平分线交于点E，的平分线交于点F，若，，则的长是（ ） A. 1 B. 2 C. 2.5 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】由角平分线的定义可得，，由平行四边形的性质可得，，结合平行线的性质可得，，从而得出，，最后根据线段的和差计算即可得出结果． 【详解】解：∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 8. 如图，在边长为4正方形中，点、点分别是、上的点，连接、、，满足．若，则的长为（ ）． A. 2.4 B. 3.4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作的垂线交于，设，则，根据勾股定理得，由角平分线的性质得：，建立等式求解即可． 【详解】解：过点作的垂线交于，如下图： 设，则， ，则， ， ， 为的角平分线， 根据角平分线的性质得：， ， ， ， ， ， 解得：（舍去）， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质、角平分线、勾股定理，解题的关键是利用面积之间的关系建立等式． 二、填空题（每题4分，共24分） 9. 要使分式有意义，则的取值应满足的条件是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，理解分式有意义的条件是：分母不为零是解题的关键． 10. 已知a，b都是实数，若则_______． 【答案】-3 【解析】 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，a+1=0，b-2=0， 解得a=-1，b=2， 所以，a-b=-1-2=-3． 故答案为：-3． 【点睛】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0． 11. 如图，在中，点D是边BC上的一点．若，，则∠C的大小为____________． 【答案】34° 【解析】 【分析】根据等腰三角形性质和三角形内角和，可以先计算出∠ADB的度数，然后再根据AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC，即可得到∠C的度数． 【详解】解：∵AB=AD， ∴∠B=∠ADB， ∵∠BAD=44°， ∴∠ADB==68°， ∵AD=DC，∠ADB=∠C+∠DAC， ∴∠C=∠DAC=∠ADB=34°， 故答案为：34°． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形内角和定理，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 12. 如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为_________． 【答案】100． 【解析】 【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母A所代表的正方形的面积A=36+64=100． 【详解】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方=36，一条直角边的平方=64，则斜边的平方=36+64． 故答案为：100． 【点睛】本题考查了正方形的面积公式以及勾股定理． 13. 如图，在□ABCD中，过对角线BD上一点P作EF∥BC，GH∥AB，且CG＝2BG，S△BPG＝1，则S□AEPH＝______． 【答案】4 【解析】 【分析】由条件可证明四边形HPFD、BEPG为平行四边形，可证明S四边形AEPH=S四边形PFCG．，再利用面积的和差可得出四边形AEPH和四边形PFCG的面积相等，由已知条件即可得出答案． 【详解】解：∵EF∥BC，GH∥AB， ∴四边形HPFD、BEPG、AEPH、CFPG为平行四边形， ∴S△PEB=S△BGP， 同理可得S△PHD=S△DFP，S△ABD=S△CDB， ∴S△ABD-S△PEB-S△PHD=S△CDB-S△BGP-S△DFP， 即S四边形AEPH=S四边形PFCG． ∵CG=2BG，S△BPG=1， ∴S四边形AEPH=S四边形PFCG=4×1=4； 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键，即①两组对边分别平行⇔四边形为平行四边形，②两组对边分别相等⇔四边形为平行四边形，③一组对边平行且相等⇔四边形为平行四边形，④两组对角分别相等⇔四边形为平行四边形，⑤对角线互相平分⇔四边形为平行四边形． 14. 如图，正方形的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到位置，使得点B落在对角线上，则阴影部分的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC=，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP=，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解． 【详解】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP,如下图所示， ∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1， ∴△ENC为等腰直角三角形， ∴MB=CN=EC=， 又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形， ∴△PEC≌△PBC(HL)， ∴PB=PE， 又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE， ∴△MPE为等腰直角三角形， 设MP=x，则EP=BP=， ∵MP+BP=MB， ∴，解得， ∴BP=， ∴阴影部分的面积=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质及旋转的性质，本题关键是能想到过E点作BC的平行线，再证明△ENC、△MPF为等腰直角三角形进而求解线段长. 三、解答题（共6小题，共计44分） 15. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的运算，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ； 16. 先化简，再求值：（＋1）÷，其中a＝﹣4． 【答案】a＋1，﹣3 【解析】 【分析】根据分式的加法和除法可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（＋1）÷ ＝ ＝ ＝a＋1， 当a＝﹣4时，原式＝﹣4＋1＝﹣3． 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行化简，代入数值后准确进行计算． 17. 小江与小杰两名同学为学校图书馆清点一批图书，小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min．已知小江平均每分钟清点图书的数量是小杰的1.25倍，求两名同学平均每分钟清点图书各多少本． 【答案】小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本 【解析】 【分析】设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本，利用时间＝清点图书的总数÷平均每分钟清点图书的数量，结合小江清点完600本图书比小杰清点完540本图书少用了5min，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出小杰平均每分钟清点图书数量，再将其代入1.25x中可求出小江平均每分钟清点图书数量． 【详解】解：设小杰平均每分钟清点图书x本，则小江平均每分钟清点图书1.25x本， 依题意得：﹣＝5， 解得：x＝12， 经检验，x＝12是原方程的解，且符合题意， ∴1.25x＝1.25×12＝15． 答：小杰平均每分钟清点图书12本，小江平均每分钟清点图书15本． 【点睛】本题考查了分式方程应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 18. 如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC， （1）求证：△ABE≌△ACF； （2）若∠BAE=30°，则∠ADC=______°． 【答案】（1）证明见解析；（2）75． 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS证明△ABE≌△ACF即可； （2）根据△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根据AD=AC，利用等腰三角形的性质即可求得∠ADC的度数． 【详解】证明：（1）∵AB=AC， ∴∠B=∠ACF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）； （2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°， ∴∠CAF=∠BAE=30°， ∵AD=AC， ∴∠ADC=∠ACD， ∴∠ADC==75°， 故答案为:75 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质与定理是解题的关键． 19. 如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，且交BF于点C，BD平分∠ABF，且交AE于点D，连接CD． （1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）若∠ADB=30°，BD=6，求AD的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）由平行线的性质和角平分线定义得出∠ABD=∠ADB，证出AB=AD，同理：AB=BC，得出AD=BC，证出四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论； （2）由菱形的性质得出AC⊥BD，OD=OB=BD=3，再由三角函数即可得出AD的长． 【详解】（1）∵AE∥BF， ∴∠ADB=∠CBD， 又∵BD平分∠ABF， ∴∠ABD=∠CBD， ∴∠ABD=∠ADB， ∴AB=AD， 同理：AB=BC，∴AD=BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB=AD， ∴四边形ABCD是菱形； （2）∵四边形ABCD菱形，BD=6， ∴AC⊥BD，OD=OB=BD=3， ∵∠ADB=30°， ∴cos∠ADB=， ∴AD=． 20. 如图，在中，，，点P从点A出发，沿向终点C运动，同时点Q从点C出发，沿运动，它们的速度均为每秒个单位长度，点P到达终点时，P、Q同时停止运动，当点P不与点A、C重合时，过点P作于点N，连接，以、为邻边作．设与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为秒． （1）①的长为 ； ②的长用含t的代数式表示为 ． （2）用代数式表示S； （3）当过点P且平行于的直线经过一边中点时，直接写出t的值． 【答案】（1）①；② （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）①由勾股定理计算即可得出结果；②由等腰直角三角形的性质可得，由题意可得，结合， 为等腰直角三角形，再由勾股定理计算即可得出结果； （2）先求出当为矩形时，，再分两种情况：当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点；当时，与重叠部分图形为梯形；分别计算即可得出结果； （3）由（2）可得，，，，，分两种情况：当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作；，与交于点，为中点，过点作；分别计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∴； ②∵在中，，， ∴， 由题意可得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，当为矩形时，则，， ， 由题意可得：，， ∵， ∴、均为直角三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 即当为矩形时，， 如图，当时，在内部，重叠部分图形为，延长交于点， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 如图，当时，与重叠部分图形为梯形， ， 此时，， ∴， ∴此时与重叠部分图形的面积为； 综上所述，； 【小问3详解】 解：由（2）可得，，，，， 当点经过平行于的直线，且经过的边中点时，如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； 如图，，与交于点，为中点，过点作， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵为中点，， ∴， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，过点P且平行于的直线经过一边中点． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，列代数式等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $