8.1 平方根 件 2025-2026学年人教版数学七年级下册

第1课时 平方根 实数 8 我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方。反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？ 思考： 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 新课探究 探究一：平方根的概念和计算 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 32 = 9，这个数可以是3； (-3)2 = 9，这个数也可以是 -3。 想一想： 3 和 -3有什么特征？ 互为相反数，3和-3一起叫做±3. 3 和 -3互为相反数，是不是巧合呢？ 因此，如果一个数的平方等于9，那么这个数是可以是 3或-3。 根据以上发现，尝试填写表格。 x2 1 16 36 49 x ±1 ±4 ±6 ±7 如果我们把上述填表的 x 的值分别叫做1，16，36，49， 的平方根，你能据此总结平方根的概念吗？ 一般地，如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫作a的平方根或二次方根。 x2 1 16 36 49 x ±1 ±4 ±6 ±7 x2=a x叫作a的平方根 (±3)2 =9 ±3是9的平方根 求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 归纳小结 如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫做a的平方根或二次方根。 求一个数的平方根的运算，叫做开平方。 平方与开平方互为逆运算。 平方 开平方 互为逆运算 例1 求下列各数的平方根： (1) 64; (3) 0.01; 解： (1) ∵(±8)2=64，∴64的平方根是±8。 (3) ∵(±0.1)2=0.01，∴0.01的平方根是±0.1。 (2) ∵ ，∴ 的平方根是 。 问题1：正数的平方根有什么特点？ x -2 -0.1 0 0.1 2 ··· 2 4 0.01 0 4 ··· 探究二：平方根的特征与表示方法 求一个数的平方根，就是思考谁的平方等于这个数 0.01 问题2：0的平方根是多少？它有几个平方根 问题3：-1，-2，-3，-4这些负数有没有平方根呢？为什么？ 问题4：如何表示2的平方根？ 总结 正数有两个平方根，它们互为相反数。 0的平方根是0。 负数没有平方根。 新知探究 a的平方根表示为： （a 是非负数） 读作：“正、负根号 a” 被开方数 根号 读作“根号 a” 读作“负根号 a” x2 = a x2 = 13 2的平方根又应该如何表示呢？ 思考：什么数有平方根？为什么？ 只有非负数才有平方根。 即当__________时， 有意义； 当__________时， 无意义。 a ≥ 0 a < 0 新知探究 例2.判断下列各式是否有意义，为什么？ 解：(1) 有意义. (2) 无意义. (4) 有意义. (5) 无意义. 例3 下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由 (1) 0.36; (2) -5; (3) (-4)2. 解： (1) (2)因为-5是负数，所以-5没有平方根。 (3) 误区诊断 误区一 对平方根的定义理解不准确。 误区诊断 误区二 对平方根的表示法中的“±”理解不准确。 1.判断题。 (1) 1的平方根是1； (2) -1的平方根是-1； (3) 0.5是0.25的一个平方根； (4) 0的平方根是0； 解： (1) 错，因为1是正数，所以1有两个平方根，是±1。 (2) 错，因为-1是负数，所以-1没有平方根。 (3) 对，因为(0.5)2=0.25，所以0.5是0.25的一个平方根。 (4) 对。 随堂练习 2.求下列各数的平方根： (2) 62 (3) 0.49 解： (2) ∵62=36 ，(±6)2=36，∴62的平方根是±6。 (1) ∵ ，∴ 的平方根是 。 (3) ∵(±0.7)2=0.49，∴0.49的平方根是±0.7。 【教材P42 练习第2题】 3.求下列各式中x的值： (1) x2 = 25； (2) 9x2 = 4； (3) (x-1) 2 = 1； 解： (1) ∵(±5) 2 = 25 ，∴x =±5。 (2) 9x2 = 4 可化简为 ，∵ ，∴ 。 (3) ∵(x-1) 2 = 1， x-1=±1，∴x = 0 或 x = 2。 【教材P42 练习第3题】 随堂演练 4.求下列各式中x的值: (1) 4x2-1=0； (2) (x+1)2=81； (2)因为(±9)2=81， 所以x+1=9或x+1= -9， 解方程，得x=8或x= -10. 所以x=8或x= -10. 随堂演练 5. 若一个数 x 的平方根是 2a+3 和 1 – 4a，求 a 和 x 的值. 解：∵ 2a +3 和 1 – 4a 是 x 的平方根, ∴ 2a +3+1 – 4a = 0, ∴ a = 2， ∴ 2a +3 = 2×2+3 = 7， ∴ x =（2a +3）2 = 72 = 49. 随堂演练 6.若a+3与2a-15是数m的平方根，求这个数. 解：由题意可得当a+3+2a-15=0时， 解得：a=4. ∴m的两个平方根分别7和-7. ∴m=(±7)2=49 当a+3=2a-15时， 解得：a=18. ∴21是m的平方根. ∴m=(21)2=441. 综上所述：这个数是49或441. 概念：如果一个数x的平方等于a，即 x2 = a，那么这个数 x 叫做a的平方根或二次方根。 表示方法：正数a的平方根记为： 性质 正数有两个平方根，它们互为相反数 0的平方根是0 负数没有平方根 开平方：求一个数的平方根的运算。 平方与开平方互为逆运算 课堂小结 $