精品解析：上海市南洋模范中学2026届高三下学期数学练习一

2026届高三下数学练习一 一、填空题 1. 已知复数满足，则复数的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，求复数的虚部可转化为先求，从而解得． 【详解】因为， 所以，故， 故复数的虚部为. 故答案为：. 2. 若幂函数在单调递减，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】 幂函数具有的形式 【详解】为幂函数 故，故或 或 在单调递减，故 故答案为： 3. 已知为可导函数，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在处的导数的定义及极限的运算即可求解. 【详解】解：因为. 故答案为：. 4. 随机变量，若，则________． 【答案】0.18 【解析】 【分析】根据正态分布的性质计算即可. 【详解】因为随机变量，，， 所以. 根据正态分布的对称性可得. 5. 已知一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为，则该圆锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用侧面积求母线长，然后求高即可. 【详解】底面半径为1cm 侧面积： 所以 所以高：； 所以体积：. 故答案为： 6. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】由随机事件互斥, 发生的概率均不等0 ,且,由此能求出实数的取值范围. 【详解】 随机事件互斥, 发生的概率均不等于0, 且 , ，即， 解得: . 故答案为：. 7. 若，则________． 【答案】3124 【解析】 【分析】由多项式分析知：为奇数，系数为负； 为偶数，系数为正，可得，再应用赋值法求、，即可得结果. 【详解】由题设，含的项中，当为奇数，系数为负，而当为偶数，系数为正， 所以， 令，则； 令，得， 所以． 8. 直线是曲线的切线，则的最小值为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】设直线与曲线相切于点，根据导数的几何意义求出切线方程，可得，再根据基本不等式可得的最小值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 当时，直线不是曲线的切线，故, 由得， 所以切线方程为， 即， 所以， 所以， 当且仅当时，等号成立，所以． 故答案为：2. 【点睛】本题考查了导数的几何意义，考查了基本不等式求最值，属于基础题. 9. 如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】选取为基底，其他向量用基底表示再运算． 【详解】由题意 ， ∴，∴． 故答案为： 10. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率 的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先利用已知条件设出椭圆的左焦点，进一步根据垂直的条件得到长方形，得到，再根椭圆的定义，由离心率的公式得到，即可求解答案. 【详解】已知椭圆 上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点， 设椭圆的左焦点为，连接，所以四边形为长方形， 根据椭圆的定义，且，则， 所以， 又由离心率的公式得， 由，则， 所以 ，即椭圆的离心率的取值范围是. 【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程及简单的几何性质，以及三角函数的图象与性质，其中解答中根据椭圆的几何性质，把椭圆的离心率转化为的三角函数，利用三角函数的值域求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 11. 若函数在上存在唯一的零点，若函数在上存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据导数的性质，结合函数的零点定义进行求解即可. 【详解】由， 因为，所以，因此，所以单调递增， 故，因为在上存在唯一的零点，所以有； 由， 由函数的性质可知：当时，，函数单调递减， 当时，单调递增， 要想，只需， 综上所述：． 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用导数的性质，结合函数零点的定义是解题的关键. 12. 已知函数 ，正数数列满足，若对任意正整数n，不等式都成立，则实数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，即为，即，令，则，从而可得函数的图象表示双曲线的上支，再根据的几何意义即可得出答案. 【详解】解：因为，则， 即为， 即， 令，则， 表示双曲线的上支， 而表示双曲线上两点连线的斜率， 当时，趋向于渐近线的斜率， 而双曲线的渐近线为， 所以， 所以， 即实数的最小值为. 故答案为：. 二、选择题 13. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断可得. 【详解】由，两边同时平方可得， 所以，得，故充分性成立， 若，当时，，， 此时不成立，故必要性不满足， 所以“”是“”的充分而不必要条件. 14. 已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知，点在圆上，利用圆的几何性质可求得的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】由题意可得，即，即点在圆上， ，所以，原点在圆内，如下图所示： 圆的圆心为，半径为， 由三角不等式可得，即， 所以，B选项合乎要求. 故选：B. 【点睛】结论点睛：若点在圆内，为圆上一点，则. 15. 定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，且对任意只都有，则方程实数根的个数为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2027 【答案】D 【解析】 【分析】由于函数的图象关于直线对称，当，时，，对任意都有，可得函数在，上以4为周期，令，则，即可得出结论． 【详解】由于函数的图象关于直线对称，当时，， 对任意都有，得函数在上以4为周期， 做出函数一个周期的图象： 令，则，令，则， 对于与两个图象，在轴右侧， 因为，而在第一个周期有三个交点，后面每个周期有二个交点， 所以共有个交点，又， 由对称性，所求交点有2027个，所以方程实数根的个数为2027， 故选：D 16. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列前n项和以及组合数问题可解 【详解】根据题意得 ，因为在中恰好有2个0的有=28种可能，即所有符合条件的二进制数 的个数为28． 所以所有二进制数对应的十进制数的和中，出现=28次，，…，2，均出现=21次，所以满足中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的和为 故选：D． 三、解答题 17. 如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）直线上是否存在点，使直线分别与平面，直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）证明，可得平面，根据线面平行的性质可得，再根据面面垂直的性质可得平面，即可得证； （2）取中点，连接，，说明，，两两垂直，分别以线段，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法可得出答案. 【小问1详解】 ∵，分别是，的中点，∴， 又平面，平面，∴平面， 又平面，平面平面，∴， 又，平面平面，平面平面， ∴平面，则平面； 【小问2详解】 取中点，连接，∵，∴， ∵平面平面，平面平面， 又∵平面，∴平面， 又∵是以为直径的圆上异于，的点，∴， ∵点，分别是，中点， 连接，则， 分别以线段，，所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， ∴，， 设，， 设平面的法向量为， 则，取，得， 所以， ， 依题意，得， 即，解得，即， ∴， ∴直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，且． 18. 已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数． （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过辅助角公式化简，再利用平移的性质得出，最后利用是奇函数的性质得出的表达式，结合求出的最小值； （2）先求出最小时的，从而得到，利用积化和差公式化简，最后结合余弦函数值域范围求出取最大值时的取值范围． 【小问1详解】 ， 又将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像， ， 是奇函数，，即， ，解得，，时，取最小正值． 【小问2详解】 当时，， ， ， ， ， 当时，取最大值，此时，解得， 的取值集合为：． 19. 为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，. （1）这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； （2）若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； （3）在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件. 参考公式：（1）线性回归方程：，其中，. （2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量. 【答案】（1）600个 （2） （3）个 【解析】 【分析】（1）利用样本质量合格的频率估计总体的概率，求总体中质量合格的零件数量. （2）根据给出的公式可求的值. （3）根据期望的线性性质求解. 【小问1详解】 因为在这100个零件中，合格的零件为60个， 故质量合格的零件所占样本比例为. 而在这1000个零件中，质量合格的零件数为：(个). 【小问2详解】 由可得，， 又因为，， 因此可得：. 代入数据可得：. 【小问3详解】 用表示抽查的结果，若第个零件与第个零件被选中，则记； 若结果是其余情况，则记，. 由线性期望的性质可得： (个). 20. 设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． （1）若，且四边形为矩形，求的离心率； （2）若，且的周长的最大值为12，求的方程； （3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）求出，根据题意得到，从而求出离心率； （2）根据，再由题意可求出，即可求出方程； （3）设，根据题目信息求出，将点代入椭圆方程并化简得到，根据点均在上以及得到，解方程即可求出；根据题目信息及求出的可得，求出的长及原点到直线的距离，利用三角形面积公式即可求出答案. 【小问1详解】 由，得，， 将代入椭圆方程得，解得，则， 又四边形是矩形，则，即离心率. 【小问2详解】 由得，，即轴， 则， 当且仅当过右焦点时等号成立，即的周长的最大值为， 即，即， 则方程为 【小问3详解】 设， 由得，点，又， 则， 因为点在上，所以 则， 又点均在上，则， 由得，即， 则，又，即. 由得，， 又，即直线， 由得，， 则， 则 由得，， 即， 即， 化简整理得，，则， 又原点到直线的距离为， 则 则. 21. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 【答案】（1）函数具有性质，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导，将问题转化为函数的零点问题，进而结合单调性与零点存在性定理求解即可； （2）根据函数定义，将问题转化为存在实数，使得有三个实数根问题，再构造函数求解即可. （3）由题将问题转化为存在实数根的充要条件为充分性的证明方面，先验证当时，函数具有性质，再讨论当且时，结合函数隐零点得存在满足，即成立；再证必要性：先说明不成立，再研究的性质得函数在严格减函数，严格增函数，进而得得矛盾即可证明. 【小问1详解】 解：由得， 设， 当时，， 又 则存在，使得，即 故函数具有性质 【小问2详解】 解：由得，， 因为函数具有性质， 所以存在实数，使得， 即，即， 即存在实数，使得有三个实数根 设，则， 令，解得或，列表如下： 0 0 + 0 ↘ 极小值0 ↗ 极大值 ↘ 因为函数具有性质时，的值恰有三个， 所以满足条件的的取值范围是． 【小问3详解】 证明：由得，， 由得，， 设， 先证充分性：当时，， 考虑函数，则， 当时，，当时，，当时，， 所以函数在上严格单调递减，在上严格单调递增，在时有极小值， 所以，当时，，函数具有性质， 当且时，， 且当时，，则， 则存在满足，即成立， 所以函数具有性质 再证必要性：即证函数具有性质，则 由得， 若，则，与已知矛盾； 若，设，则，即函数是严格减函数， 所以函数是严格增函数， 又，， 则存在使得，即， 当时，，即函数严格减函数， 当时，，即函数严格增函数， 所以， 需证， 令，则，在单调递增， 所以， 所以， 则不存在，使得成立，与具有性质矛盾； 综上，函数具有性质的充要条件为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三下数学练习一 一、填空题 1. 已知复数满足，则复数的虚部为__________. 2. 若幂函数在单调递减，则___________ 3. 已知为可导函数，且，则_______． 4. 随机变量，若，则________． 5. 已知一个圆锥的底面半径为1cm，侧面积为，则该圆锥的体积为______． 6. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于，且，，则实数的取值范围为________． 7. 若，则________． 8. 直线是曲线的切线，则的最小值为__________． 9. 如图所示在中，边上的中垂线分别交、于点、，若，，则______ 10. 已知椭圆上一点关于原点的对称点为点为其右焦点，若，设，且，则该椭圆的离心率 的取值范围是__________． 11. 若函数在上存在唯一的零点，若函数在上存在唯一的零点，且，则实数的取值范围是______． 12. 已知函数 ，正数数列满足，若对任意正整数n，不等式都成立，则实数的最小值为___________. 二、选择题 13. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 14. 已知直线经过点，则原点到点的距离可以是（ ） A. B. C. D. 15. 定义域为的函数的图象关于直线对称，当时，，且对任意只都有，则方程实数根的个数为（ ） A. 1013 B. 1014 C. 2026 D. 2027 16. 二进制数是用0和1表示的数，它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，二进制数(）对应的十进制数记为，即 其中， ，则在中恰好有2个0的所有二进制数对应的十进制数的总和为（ ） A. 1910 B. 1990 C. 12252 D. 12523 三、解答题 17. 如图，是以为直径的圆上异于，的点，平面平面，，，，分别是，的中点，记平面与平面的交线为直线. （1）求证：直线平面； （2）直线上是否存在点，使直线分别与平面，直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数，将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，若是奇函数． （1）求的最小值； （2）当最小时，求函数取得最大值时的取值集合． 19. 为了检查一批零件的质量是否合格，检查员计划从中依次随机抽取零件检查：第次检查抽取号零件，测量其尺寸(单位：厘米).检查员共进行了100次检查，整理并计算得到如下数据：，，. （1）这批零件共有1000个.若在抽查过程中，质量合格的零件共有60个，估计这批零件中质量合格的零件数量； （2）若变量与存在线性关系，记，求回归系数的值； （3）在抽出的100个零件中，检查员计划从中随机抽出20个零件进行进一步检查，记抽出的20个零件中有对相邻序号的零件，求的数学期望. 示例零件序号为“1、2、4、5”与“1、2、3、5”时均恰有2对相邻序号的零件. 参考公式：（1）线性回归方程：，其中，. （2）期望的线性性质：，其中是若干随机变量. 20. 设是不全为零的实数，椭圆分别为的左、右两个焦点，直线与交于两点，为坐标原点． （1）若，且四边形为矩形，求的离心率； （2）若，且的周长的最大值为12，求的方程； （3）若，直线与的斜率之积为为上的一点，且，直线与椭圆交于点，且，求的值以及的面积的值． 21. 设函数的定义域为，导函数为，对于实数，若存在，使得成立，则称函数具有性质． （1）若函数，请判断该函数是否具有性质，并说明理由； （2）设，若函数具有性质，且的值恰有三个，求的取值范围； （3）若函数，求证：该函数具有性质的充要条件是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $