精品解析：山西忻州市河曲县2025年九年级中考适应性测试数学试卷

2025年初中学业水平考试适应性测试卷 数学 满分：120分时间：120分钟 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 偏差电量是衡量电力供需平衡的关键指标，它是指在电力交易过程中，实际用电量与计划用电量之间的差值．如果实际用电量超过计划用电量8万度用万度表示，那么实际用电量低于计划用电量2万度表示为（ ） A. 万度 B. 2万度 C. 10万度 D. 万度 2. 地震应急是指破坏性地震发生前所做的各种应急准备以及地震发生后采取的紧急抢险救灾行动．下列地震应急标志中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示是一个正方体纸盒，在下面的四个图中只有一个是这个正方体纸盒的展开图，那么这个展开图是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，，过点A的切线与的延长线交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量m（克）和沙子下漏的时间t（秒）之间的关系．某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t（秒） 20 40 60 80 100 质量m（克） 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在边长为2的正六边形中，分别以点A，D为圆心，长为半径画，，则两弧与边围成图形（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 13. 书香四月，山西省图书馆策划了一场属于每个人的阅读盛会，以“重读经典·赓续三晋千年文脉”为主题，通过线上与线下、传统阅读与阅读相结合的方式，推出43项184场阅读活动，涵盖：A名人演讲、B主题展览、C诗歌快闪、D读书沙龙、E知识竞赛，带领大众重读经典．小明计划从上述五个项目中选择两个活动项目参加，则恰好选择A和D两个活动项目参加的概率是________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象经过正方形的中心点（对角线的交点），则的值为________． 15. 如图，四边形是菱形，，，点E是菱形内部一点，连接，若，，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）； （2）． 17. 如图，在五边形中，，，，连接、、、，试判断和的数量关系并说明理由． 18. 项目式学习 项目主题：探究不同介质对光折射的影响 项目背景：光的折射是自然界中常见的现象，当光从一种介质斜射入另一种介质时，其传播方向会发生偏折．不同的介质对光的折射能力不同，这可以通过折射率（α为入射角，β为折射角）来定量描述． 驱动任务：如何通过实验和数据分析，比较两种未知透明介质（A和B）的折射特性，并利用结论判断一束光的折射数据属于哪种介质？ 实践操作：某小组在实验室获取了以下数据：使用激光笔以不同入射角α照射介质A和介质B，测量对应的折射角β和γ，计算和，并对数据进行记录，从中选取10组数据绘制了如下折线统计图． 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 1.36 b 1.36 m a 1.53 c n 问题解决： 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）甲同学说：“从这10次实验中，与的方差大小关系为．”乙同学说：“根据实验数据可知，的估计值在1.54附近．”上面两位同学的说法中，合理的是________（填“甲”或“乙”） （3）该小组在后续研究中意外发现一组未标记介质类型的折射数据：当入射角为时，折射角为．请根据已有数据判断这组数据是通过介质A还是介质B得到的，并说明理由．（参考数据：，） 19. 维生素是人体所必需的有机化合物，它们不仅是常见的膳食纤维，还被广泛应用于药物治疗和预防．苦瓜和菠菜是生活中常见的蔬菜，每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等． （1）求每100克苦瓜中维生素C的含量和每100克菠菜中维生素C的含量各是多少克； （2）某校食堂为保证师生维生素的摄入，每天会采购不同种类的蔬菜．某天食堂计划购进苦瓜和菠菜共20千克，已知该地春季每千克苦瓜的价格为6元，每千克菠菜的价格为4元，若购买这两种蔬菜的费用不超过108元，则该食堂最多购买苦瓜多少千克． 20. 研学实践：泛舟禅师塔位于山西运城，是全国唯一的唐代单层圆形砖塔，在建筑设计和营造上均具有高超的艺术价值．某校研学小组在了解泛舟禅师塔的历史背景后，利用测量工具测量了相关数据． 数据采集：如下图是测量过程的几何示意图，点A是塔的顶端，AB的长表示点A到水平地面的距离．研学小组在地面上一点C处放置测角仪，测得顶端A的仰角，安装测角仪支架CD后测得顶端A的仰角，测得（米．（测角仪的高度忽略不计） 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，计算点A到地面的距离AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 21. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规作符合要求的等边三角形 数学课上，老师出示了下面一个问题： 如图1，已知点A是直线l外一点，用直尺和圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形． 同学们围绕这个问题展开讨论． 勤学小组展示了他们的作法： 如图2，过点A作于点H，再分别以点A，H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，作的平分线交直线l于点B，在l上截取．则为等边三角形． 勤学小组进行了证明： 由作法可知：． 是等边三角形．． 平分，． ，． ，，垂直平分． ．（依据1） 是等边三角形．（依据2） 雄鹰小组展示了他们的作法： 如图3，在l上取两点D，E，作等边，连接；分别以点A，D为圆心，的长为半径画弧，交点为点G；连接交直线l于点B；以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点C，连接．则为等边三角形． 雄鹰小组进行了证明： 为等边三角形， ． 任务： （1）填空：请补充上面证明过程中的“依据1”“依据2”： 依据1：________；依据2：________； （2）请将雄鹰小组的证明过程补充完整； （3）在图4中用不同于材料中的方法作一个满足条件的等边三角形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 22. 综合与实践 某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速蔓延，情况危急．接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救，如图，他们先对山坡底部点处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线的一部分．已知喷水口到地面的距离米，点到点的距离为米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（，为常数）． （1）求扑救点时抛物线的函数表达式； （2）成功扑灭点的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡段．已知该山坡的坡度为，间的直线距离为米，间的直线距离达米．由于喷射角度需维持不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控．设平移后喷头到地面的垂直距离为，求解的合理取值范围； （3）在扑救的过程中，在山坡上距离点处米的点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线的一部分．已知水流的喷射角度和首个喷头不同，水流路径恰好经过复燃点且最高点到的水平距离为米，请直接写出抛物线的函数表达式． 注：图上各点均在同一平面内． 23. 综合与探究 问题情景 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．在矩形中，，点E是射线上一点，连接，将沿折叠，点A的对应点为点F． 初步探究 （1）如图1，当点E和点B重合时，交于点H，则与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2，点E在线段上，分别交于M，N两点，将沿折叠，点F的对应点G恰好落在上，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求的长． 拓展延伸 （3）若，，在点E的运动过程中，当时，请直接写出所有满足条件的的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试适应性测试卷 数学 满分：120分时间：120分钟 第Ⅰ卷选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 偏差电量是衡量电力供需平衡的关键指标，它是指在电力交易过程中，实际用电量与计划用电量之间的差值．如果实际用电量超过计划用电量8万度用万度表示，那么实际用电量低于计划用电量2万度表示为（ ） A. 万度 B. 2万度 C. 10万度 D. 万度 【答案】A 【解析】 【分析】超过与低于是一对相反意义的量，由此可解． 【详解】解：∵实际用电量超过计划用电量8万度用万度表示， ∴实际用电量低于计划用电量2万度表示为万度． 2. 地震应急是指破坏性地震发生前所做的各种应急准备以及地震发生后采取的紧急抢险救灾行动．下列地震应急标志中，其文字上方的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形是沿一条直线折叠后，直线两旁部分能完全重合的图形，中心对称图形是绕某点旋转后能与原图形重合的图形，依据轴对称图形与中心对称图形的概念逐一判断各选项即可求解． 【详解】A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． D．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次根式加法运算 幂的运算法则，根据对应运算法则分别计算每个选项即可判断对错. 【详解】解：A选项：， ， 故A选项错误； B选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ， 故B选项错误； C选项：先利用积的乘方等于各因式乘方的积，再利用幂的乘方底数不变，指数相乘， ， 故C选项正确； D选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ， 故D选项错误． 4. 如图所示是一个正方体纸盒，在下面的四个图中只有一个是这个正方体纸盒的展开图，那么这个展开图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图1可知，面展开后是四个相邻的面，确定展开图中与点的对应点的位置即可得到答案． 【详解】解：如图1所示，中，按逆时针排列， 中，按逆时针排列， 中，按逆时针排列， 中，按逆时针排列， 故其展开图如图2所示， 5. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式的知识，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题关键． 利用一元二次方程的根的判别式解答即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：． 故选：D 6. 小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的度数为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束与天花板所形成的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，证明，结合平行线的性质可得，，进而解得的值，再由镜面反射的特性，可知，即可求得的值，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：根据题意，可知，，， 如下图，过点作， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由镜面反射的特性，可知， ∴， ∴． 7. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加法运算，把分式通分化为同分母分式，再相加，最后把所得的结果化为最简分式即可． 【详解】解： ． 8. 如图，四边形内接于，，过点A的切线与的延长线交于点E，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据切线的性质可得，进而解得，再结合可得，由平行线的性质解得，然后由求解即可． 【详解】解：如下图，连接， ∵为切线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 9. 数学兴趣课上，同学们设计试验，探究沙漏下面瓶子内沙子的质量m（克）和沙子下漏的时间t（秒）之间的关系．某兴趣小组在不同时间称重并将部分数据记录在下表内： 时间t（秒） 20 40 60 80 100 质量m（克） 11 17 23 29 35 则m与t之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】观察表中数据变化特征，设解析式()，运用待定系数法，解二元一次方程组求解． 【详解】解：由表格知，m随t的增大而增大， 设函数表达式为 ()， 则， 解得， ∴． 故选：A． 10. 如图，在边长为2的正六边形中，分别以点A，D为圆心，长为半径画，，则两弧与边围成图形（图中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆心为O，连接，设与交点为G，根据正六边形性质，证明都是等边三角形，四边形是菱形，与互相垂直平分，求出，，，，由，得，得是等边三角形，，求出，由，得．即得 ． 【详解】解：如图，设圆心为O，连接，设与交点为G， ∵边长为2的正六边形中，内角为，中心角为， ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形， ∴与互相垂直平分，， ∴， ∴， ∴，， 由旋转对称知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 由轴对称知，点O在直线上，， ∴ ． ∵， ∴ ． 故选：A． 【点睛】设圆心为O，连接，设与交点为G，构造等腰三角形，等边三角形，菱形，轴对称图形，旋转对称图形，全等三角形． 第Ⅱ卷非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在格点上，如果将先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，则平移之后点B的对应点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由坐标系可得，则点B的对应点的坐标为，即． 13. 书香四月，山西省图书馆策划了一场属于每个人的阅读盛会，以“重读经典·赓续三晋千年文脉”为主题，通过线上与线下、传统阅读与阅读相结合的方式，推出43项184场阅读活动，涵盖：A名人演讲、B主题展览、C诗歌快闪、D读书沙龙、E知识竞赛，带领大众重读经典．小明计划从上述五个项目中选择两个活动项目参加，则恰好选择A和D两个活动项目参加的概率是________． 【答案】##0.1 【解析】 【分析】先求出从5个项目中任选2个的所有等可能结果数，再确定恰好选中A和D的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：五个项目分别记为A，B，C，D，E， 从五个项目中任选两个，所有等可能结果为：，，，，，，，，，，共种. 其中恰好选中A和D两个项目的结果有种. 根据概率公式可得：恰好选择A和D两个活动项目参加的概率是． 14. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴，轴分别交于点，，以线段为边在第一象限内作正方形，反比例函数的图象经过正方形的中心点（对角线的交点），则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一次函数的解析式求出点、的坐标，连接，过点作轴，可证，根据全等三角形的性质可以求出，，从而可得点的坐标为，把点的坐标代入反比例函数的解析式，即可求出的值． 【详解】解：如下图所示，连接，过点作轴， 当时， 可得：， 点的坐标为， ， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， ， 点的坐标为， 点是正方形的中心点， 点是的中点， 点的横坐标为，纵坐标为， 把点的坐标代入反比例函数的解析式， 可得：， 解得：． 15. 如图，四边形是菱形，，，点E是菱形内部一点，连接，若，，则的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，在上截取，连接，结合菱形的性质证明为等边三角形，易得，，再证明为等边三角形，可得，，进而证明，，由全等三角形的性质可得，过点A作于点G，利用勾股定理解得，的长度，然后可得的长度，即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接，在上截取，连接， 四边形是菱形， ， ， 为等边三角形， ，， ，， 为等边三角形， ，， ，即， ， ， 如图，过点A作于点G，则， ， 在中，， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 计算、解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）原式先计算负整数指数幂、有理数的乘方以及求绝对值，再计算乘除法，最后进行加减运算即可； （2）将方程去分母得整式方程，再解整式方程，求出未知数的值，再进行检验进行判断即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，． ∴原方程的解是． 17. 如图，在五边形中，，，，连接、、、，试判断和的数量关系并说明理由． 【答案】 解：． 理由如下：在和中，，，， ． ，． ． ，即． 又， ． ． 【解析】 【分析】先证明，得到，，从而推出，证明，即可得到结论． 【详解】略 18. 项目式学习 项目主题：探究不同介质对光折射的影响 项目背景：光的折射是自然界中常见的现象，当光从一种介质斜射入另一种介质时，其传播方向会发生偏折．不同的介质对光的折射能力不同，这可以通过折射率（α为入射角，β为折射角）来定量描述． 驱动任务：如何通过实验和数据分析，比较两种未知透明介质（A和B）的折射特性，并利用结论判断一束光的折射数据属于哪种介质？ 实践操作：某小组在实验室获取了以下数据：使用激光笔以不同入射角α照射介质A和介质B，测量对应的折射角β和γ，计算和，并对数据进行记录，从中选取10组数据绘制了如下折线统计图． 数据分析： 平均数 中位数 众数 方差 1.36 b 1.36 m a 1.53 c n 问题解决： 请认真阅读上述信息，回答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）甲同学说：“从这10次实验中，与的方差大小关系为．”乙同学说：“根据实验数据可知，的估计值在1.54附近．”上面两位同学的说法中，合理的是________（填“甲”或“乙”） （3）该小组在后续研究中意外发现一组未标记介质类型的折射数据：当入射角为时，折射角为．请根据已有数据判断这组数据是通过介质A还是介质B得到的，并说明理由．（参考数据：，） 【答案】（1）1.55，1.36，1.53； （2）乙； （3） 这组数据是通过介质A得到的， 理由如下：计算该组数据的折射率得， 由表格数据可知，与介质A的数据比较接近，且与介质B的数据相差较大， 所以这组数据是通过介质A得到的． 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数和众数的定义，即可获得答案； （2）分别计算两种数据的方差并比较，即可判断甲同学的说法；结合实验数据，可知的估计值在1.54附近，即可判断乙同学的说法； （3）计算该组数据的折射率可得，由表格数据可知，与介质A的数据比较接近，且与介质B的数据相差较大，即可获得结论． 【小问1详解】 解：根据题意，可得， 介质A的折射率实验数据按照从大到小的顺序排列， 可得1.31，1.33，1.34，1.36，1.36，1.36，1.37，1.37，1.38，1.42， 其中排在第5位和第6位的是1.36，1.36， ∴这组数据的中位数， 介质B的折射率的10个实验数据中，出现次数最多的是1.53，出现了3次， ∴这组数据的众数； 【小问2详解】 的方差， 的方差， ∴，故甲同学说法错误； 根据实验数据可知，的估计值在1.54附近，该说法正确， 故合理的是乙； 【小问3详解】 略 19. 维生素是人体所必需的有机化合物，它们不仅是常见的膳食纤维，还被广泛应用于药物治疗和预防．苦瓜和菠菜是生活中常见的蔬菜，每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等． （1）求每100克苦瓜中维生素C的含量和每100克菠菜中维生素C的含量各是多少克； （2）某校食堂为保证师生维生素的摄入，每天会采购不同种类的蔬菜．某天食堂计划购进苦瓜和菠菜共20千克，已知该地春季每千克苦瓜的价格为6元，每千克菠菜的价格为4元，若购买这两种蔬菜的费用不超过108元，则该食堂最多购买苦瓜多少千克． 【答案】（1）每100克苦瓜中维生素C的含量为56克，每100克菠菜中维生素C的含量为32克； （2）该食堂最多购买苦瓜14千克． 【解析】 【分析】（1）设每100克菠菜中维生素C的含量为x克，每100克苦瓜中维生素C的含量为y克，根据每100克苦瓜中维生素C的含量比每100克菠菜中维生素C的含量多24克，1600克苦瓜中维生素C的含量与2800克菠菜中维生素C的含量相等，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该食堂购买苦瓜m千克，则购买菠菜千克，根据总费用不超过108元，结合单价列出一元一次不等式，求解得到m的最大值，即最多可购买的苦瓜重量． 【小问1详解】 解：设每100克菠菜中维生素C的含量为x克，每100克苦瓜中维生素C的含量为y克，根据题意，得 解，得 答：每100克苦瓜中维生素C的含量为56克，每100克菠菜中维生素C的含量为32克； 【小问2详解】 解：设该食堂购买苦瓜m千克，则购买菠菜千克． 根据题意，得． 解，得． 答：该食堂最多购买苦瓜14千克． 20. 研学实践：泛舟禅师塔位于山西运城，是全国唯一的唐代单层圆形砖塔，在建筑设计和营造上均具有高超的艺术价值．某校研学小组在了解泛舟禅师塔的历史背景后，利用测量工具测量了相关数据． 数据采集：如下图是测量过程的几何示意图，点A是塔的顶端，AB的长表示点A到水平地面的距离．研学小组在地面上一点C处放置测角仪，测得顶端A的仰角，安装测角仪支架CD后测得顶端A的仰角，测得（米．（测角仪的高度忽略不计） 数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，根据上述数据，计算点A到地面的距离AB的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 【答案】点A到地面的距离AB的长约为10.2米． 【解析】 【分析】延长交于点F．证明四边形为矩形．得到，．设，根据和列方程即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点F． 由题意，得四边形为矩形． ，． 在中，，， ． 在中，，， ． ． 设， ， ． ． 解得． 答：点A到地面的距离的长约为10.2米． 21. 阅读与思考 下面是小亮同学的数学课堂学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 利用尺规作符合要求的等边三角形 数学课上，老师出示了下面一个问题： 如图1，已知点A是直线l外一点，用直尺和圆规在直线l上作点B，C，使得为等边三角形． 同学们围绕这个问题展开讨论． 勤学小组展示了他们的作法： 如图2，过点A作于点H，再分别以点A，H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点D，作的平分线交直线l于点B，在l上截取．则为等边三角形． 勤学小组进行了证明： 由作法可知：． 是等边三角形．． 平分，． ，． ，，垂直平分． ．（依据1） 是等边三角形．（依据2） 雄鹰小组展示了他们的作法： 如图3，在l上取两点D，E，作等边，连接；分别以点A，D为圆心，的长为半径画弧，交点为点G；连接交直线l于点B；以点A为圆心，的长为半径画弧，交直线l于点C，连接．则为等边三角形． 雄鹰小组进行了证明： 为等边三角形， ． 任务： （1）填空：请补充上面证明过程中的“依据1”“依据2”： 依据1：________；依据2：________； （2）请将雄鹰小组的证明过程补充完整； （3）在图4中用不同于材料中的方法作一个满足条件的等边三角形．（尺规作图，标明字母，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】（1）线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，有一个角是的等腰三角形是等边三角形； （2） 由作法可知，， 四边形是平行四边形． ，即． ． 由作法可知， 是等腰三角形． 是等边三角形； （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定和性质，垂直平分线的定义和性质、等边三角形的判定进行证明即可； （2）证明四边形AFDG是平行四边形．得到．再证明是等腰三角形即可完成证明； （3）过点A作直线的平行线，以点A为顶点在所作直线上方作等边三角形，进一步即可得到所求等边三角形． 【小问1详解】 解：由作法可知：． 是等边三角形． ． 平分， ． ， ． ，， 垂直平分． ．（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等） 是等边三角形．（有一个角是的等腰三角形是等边三角形） 故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；有一个角是的等腰三角形是等边三角形； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 综合与实践 某山区突发一场大火，火势沿着山坡迅速蔓延，情况危急．接到报警后，消防队员迅速赶往现场扑救，如图，他们先对山坡底部点处进行喷水灭火，喷出的水流是抛物线的一部分．已知喷水口到地面的距离米，点到点的距离为米，以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为（，为常数）． （1）求扑救点时抛物线的函数表达式； （2）成功扑灭点的火势后，消防救援工作争分夺秒地推进，消防队员迅速将扑救重点转移至山坡段．已知该山坡的坡度为，间的直线距离为米，间的直线距离达米．由于喷射角度需维持不变，此次灭火行动需通过上下平移喷头的方式，对水流轨迹进行精准调控．设平移后喷头到地面的垂直距离为，求解的合理取值范围； （3）在扑救的过程中，在山坡上距离点处米的点突发火情复燃，为及时控制火势，消防员需在点处增设喷头，其喷出的水流轨迹是抛物线的一部分．已知水流的喷射角度和首个喷头不同，水流路径恰好经过复燃点且最高点到的水平距离为米，请直接写出抛物线的函数表达式． 注：图上各点均在同一平面内． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法把点，的坐标代入的解析式中求出、的值，即可得到结果； （2）设平移后抛物线的函数表达式为，把点、的坐标代入函数表达式，求出的最大值和最小值，即可得到的取值范围； （3）设抛物线的解析式为，把点、的坐标代入解析式求出、的值，即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，， 抛物线经过点，， ， 解得： 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：如下图所示，过点作轴于点， 山坡的坡度为， ， 设，， ， 在中，， 即， 解得：（负值舍去）， ，， ， ， 同理可得， 喷射角度需维持不变， 平移后抛物线的形状不变． 设平移后抛物线的函数表达式为， 把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 的取值范围为； 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作轴， ， 设，， 米， ， 解得：（负值舍去）， ，， ， ，， 设抛物线的解析式为， ， 解得：， ， 即． 23. 综合与探究 问题情景 数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题展开探究．在矩形中，，点E是射线上一点，连接，将沿折叠，点A的对应点为点F． 初步探究 （1）如图1，当点E和点B重合时，交于点H，则与的数量关系为________； 深入探究 （2）如图2，点E在线段上，分别交于M，N两点，将沿折叠，点F的对应点G恰好落在上，连接． ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②若，，求的长． 拓展延伸 （3）若，，在点E的运动过程中，当时，请直接写出所有满足条件的的长． 【答案】（1）； （2）①四边形是菱形，理由如下： 沿折叠得到，点A的对应点为点F， ，， 沿折叠得到，点F的对应点为点G， ， 四边形是矩形， ，即， ∴，即， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； ②； （3）1或11 【解析】 【分析】（1）证明，由全等三角形的性质即可获得答案； （2）①根据折叠的性质证明，，，进而证明，再证明四边形是平行四边形，结合即可证明四边形是菱形；②延长交于点H，设与交于点P，则四边形是矩形，结合①可知，，进而解得，利用勾股定理解得，然后证明，结合相似三角形的性质求解即可； （3）当点E在线段上时，若，过点C作于点G，则，由勾股定理得，设，则，，，证明，在，和中计算的长度；当点E在线段的延长线上时，若，过点C作于点H，分别延长，交于点P，与交于点Q，设，则，，，易得，进而解得的长度，再在中计算的长度． 【小问1详解】 解：∵四边形为矩形， ∴， 当点E和点B重合时，由折叠的性质，可得， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 ①略 ②如图1，延长交于点H，设与交于点P，则四边形是矩形， ，， 由①知，， ， ， 在中，， 四边形是矩形， ， ，， ， ，即， 解得； 【小问3详解】 沿折叠得到，点A的对应点为点F， ∴，， 如图2，当点E在线段上时，， 过点C作于点G，则， 在中，由勾股定理得， 设，则，，， ∵， ∴，即， ∵在和中，，， 且， ∴， 又∵， ∴， 在中，，， ， 在中，， ， 在中，， 如图3，当点E在线段的延长线上时，， 过点C作于点H，分别延长，交于点P，与交于点Q， 设，则，，， 易得， ，， ， ， ， ∴在，， 综上，的长为1或11． 【点睛】本题综合性强，难度较大，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 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