第八章一元二次方程巩固提升2025-2026学年鲁教版（五四制）八年级数学下册

第八章一元二次方程巩固提升 一、单选题 1．若a是方程的一个根，则的值为（　　） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的一次项系数是（    ） A． B． C． D． 4．用配方法解一元二次方程时，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 5．一元二次方程的解是（   ） A． B． C． D．， 6．通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 7．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 8．下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 9．某商品原价元，连续两次降价后售价为元，下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 10．一元二次方程的解是（   ） A．， B．， C．， D．， 11．如图，用长的篱笆靠墙（墙足够长）围成一个面积是的长方形鸡场，鸡场有一个的门，求鸡场的长和宽．设与墙垂直的边长为，所列方程是（    ） A． B． C． D． 12．某园艺师用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．若是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 14．秦岭是全球野生大熊猫的重要分布区，大熊猫与朱鹮、林麝、金丝猴、羚牛、金钱豹并称“秦岭六宝”．某网店售卖的大熊猫玩偶原本标价为元/个，因市场波动，经过两次降价后标价变为元/个，设大熊猫玩偶两次降价的平均降价率为，则根据题意可列方程为______． 15．设，是一元二次方程的两根，则等于_______． 16．设，是方程的两个实数根，则的值为________． 17．方程的解为_________． 18．关于的一元二次方程的根的情况是______． 19．方程的根是______． 20．如图，用长为34米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为20米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在上用其他材料做了宽为1米的两扇小门（如图），所围成花圃面积为平方米；设花圃垂直于墙的边长为x米．则可列方程_______．（不用化简） 三、解答题 21．用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 22．用配方法解下列方程： (1)． (2)． 23．某线上学习平台在2025年11月初上线后，凭借其创新的学习体验迅速走红，上线当月活跃用户为120万人．经过两个月的爆发式增长，到2026年1月，活跃用户已达到172.8万人．已知活跃用户数每个月的平均增长率相同． (1)求活跃用户数每个月的平均增长率． (2)按照这个增长趋势，预测2026年2月的活跃用户数． 24．使用“公式法”解一元二次方程 (1)； (2)； (3)． 25．如图，用一段长为的篱笆围成一个一边靠墙的矩形养鸡场，墙的长度为，若矩形养鸡场的面积为，求垂直于墙的一边的长度． 26．用因式分解法解下列方程： (1)； (2)； (3)． 27．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某经销商销售某品牌头盔，进价为30元/个，经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，且从2月份到4月份销售量的月平均增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率； (2)经测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元／个，则月销售量将减少10个． ①为使月销售利润达到11250元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？ ②若想使月销售利润达到12500元，则这个要求能否实现？请通过计算说明． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把的值代入原方程，从中获取代数式的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值． 先把代入对已知进行变形，再利用整体代入法求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， 整理得：， ∴ ． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”．根据一元二次方程的定义进行解答即可． 【详解】解：A、当时，方程为，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B、，含有2个未知数，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； C、，不是整式方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； D、，是一元二次方程，故此选项符合题意； 故选：D． 3．B 【分析】本题考查一元二次方程的基本概念，依据一元二次方程一般形式中各部分的定义确定一次项系数即可． 【详解】解：∵方程可变形为 ∴该方程的一次项系数是． 故选：B． 4．A 【分析】本题主要考查配方法的掌握； 根据配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，凑成完全平方式即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∵一次项系数为4，其一半的平方为， ∴ ∴， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，掌握用直接开平方法解方程时，开平方要考虑正负两种情况，得到两个解是解题的关键． 通过直接开平方的方法求解方程，得到两个解． 【详解】解：∵ ∴ 当 时， 当 时， ∴方程的解为 , 故选：D． 6．B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 7．B 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据一元二次方程根的判别式，当判别式大于零时，方程有两个不相等的实数根． 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴判别式， ∴， ∴， 故选：B． 8．C 【分析】本题考查通过判别式判断根的情况，计算每个一元二次方程的判别式，判断是否有实数根，若则无实数根． 【详解】解：选项A：，有实数根； 选项B：，有实数根； 选项C：，没有实数根； 选项D：，有实数根； 故选C． 9．B 【分析】本题考查连续百分比变化问题，根据连续两次降价的含义，每次降价后价格是原价的倍，两次后为原价的倍，据此列方程． 【详解】∵原价为200元，连续两次降价， ∴第一次降价后价格为， 第二次降价后价格为， ∵最终售价为128元， ． 故选：B． 10．A 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 即，， ∴一元二次方程的解是，． 故选：A． 11．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为，再根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设与墙垂直的边长为，则与墙平行的边长为， 由题意得，， 故选：D． 12．A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找出等量关系是解题的关键． 根据题意，每盆增加x株，则总株数为株，平均单株盈利减少x元，即为元，每盆盈利为总株数与平均单株盈利的乘积，令其等于40元，可得方程． 【详解】解：设每盆增加x株花苗， 由题意得，， 故选：A． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握当一元二次方程的两根为和，则是解题的关键．利用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）来求解两根之和． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ， 故答案为：． 14． 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用——平均变化率问题．对于“次平均变化率”问题，核心公式为：(“”对应增长率，“”对应降价率)．本题中，初始量是50元，最终量是40元，变化次数，变化类型是降价(用“”)，代入公式即可列出方程． 【详解】解：∵大熊猫玩偶的原价为50元/个，两次降价的平均降价率为， ∴第二次降价后，价格为元/个， ∴可列方程：． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，利用根与系数的关系得到 ，并将 和 用一次项表示，再利用整体代入法求代数式的值． 【详解】解： ， 是方程 的根， ，， 、是一元二次方程的根， ，， 整理可得：，， ， 又 ， ， 又 ， ， ， 原式 ． 故答案为：. 16． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，因式分解，掌握先对代数式因式分解，再利用韦达定理代入计算是解题的关键． 利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再代入因式分解后的表达式计算． 【详解】解：∵ ， 是方程 的两个实数根， ∴ ，， ∴ ． 故答案为：． 17．， 【分析】本题考查解一元二次方程，通过因式分解法求解. 【详解】解： 故， 故或， 解得：, . 18．有两个不相等的实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．通过计算一元二次方程根的判别式，判断根的情况即可． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式， 由于， 因此， 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案为：有两个不相等的实数根． 19． 【分析】本题考查解一元二次方程，用直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：∵， ∴， 即或， 解，得，， 解，得，， ∴方程的根是， 故答案为：． 20． 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，弄清题意、用表示出的长是解答本题的关键． 用篱笆的总长减去段垂直于墙的边长，然后加上两个门的长可表示出的长，然后再根据长方形面积公式列一元二次方程即可． 【详解】解：设花圃垂直于墙的边长为x米， 则， 根据题意可得， 故答案为：． 21．(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型． （1）根据直接开平方法即可求出答案； （2）根据直接开平方法即可求出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：∵． ∴， ∴， ∴， ∴原方程的解为，． 22．(1)， (2)， 【分析】（1）先将二次项系数化为，再通过配方将方程转化为完全平方式，最后用直接开平方法求解； （2）先展开并整理方程为一般形式，再移项、配方，转化为完全平方式后求解． 【详解】（1）解：移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 开平方，得， 解得，． （2）解：原方程化为一般形式，得， 移项，得， 二次项系数化为，得， 配方，得， 开平方，得， 解得，． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，解题关键是：先将方程整理为二次项系数为的形式，再通过配方构造完全平方式，从而转化为可直接开平方的形式求解． 23．(1)活跃用户数每个月的平均增长率为 (2)预测2026年2月的活跃用户数为万 【分析】本题考查一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找到等量关系式． （1）根据增长率的列式方法，列出关于的一元二次方程求解即可； （2）利用计算即可求解． 【详解】（1）解：设活跃用户数每个月的平均增长率为． 根据题意，得． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：活跃用户数每个月的平均增长率为； （2）解：（万人）． 答：预测2026年2月的活跃用户数为万． 24．(1)或； (2)； (3)无实数根 【分析】本题考查用公式法解一元二次方程，关键是先将方程化为一般形式，确定、、的值，计算判别式，根据的符号判断根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根，最后代入求根公式求解(时无需代入)． （1）方程已为一般形式，直接确定系数，计算判别式后代入公式求解； （2）方程已为一般形式，确定系数后计算判别式，根据求相等实根； （3）先将方程化为一般形式，再确定系数、计算判别式，根据判断无实数根． 【详解】（1）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即，； （2）解：方程，其中，，， ∴， ∴， 即； （3）解：先将方程化为一般形式：， 其中，，， ∴， ∴原方程无实数根． 25．垂直于墙的一边的长度为 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，设垂直于墙的一边的长度为，则，再根据矩形面积公式建立方程求解即可． 【详解】解：设垂直于墙的一边的长度为，则， 由题意得，， 整理得， 解得或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 答：垂直于墙的一边的长度为． 26．(1)，； (2)，； (3)，； 【分析】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （1）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （2）先移项得到，然后利用因式分解法求解； （3）先把方程化为一般式，然后利用因式分解法求解． 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： 或 解得，； （3）解： 或， 所以，． 27．(1) (2)①55元；②不能实现，说明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为，根据经统计该品牌头盔2月份销售256个，4月份销售400个，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①根据使月销售利润达到11250元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； ②根据使月销售利润达到12500元，列出一元二次方程，再由根的判别式即可得出结论． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为； （2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应增长元，则此时售价为元， ①由题意得：， 解得：，， 当时，月销售量为个； 当时，月销售量为个， 因需要尽快减少库存，故应选择销售量大的方案，所以，舍去， ， 答：该品牌头盔的实际售价每个应定为55元； ②不能实现，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数根， 不能实现利润为12500元． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $