离心率的最值与范围问题课件-2026届高三数学二轮复习

离心率的最值与范围问题 高中数学 二轮复习　 返回导航 椭圆、双曲线离心率的最值与范围问题是高考的热点题型，解决方法一般有代数法与几何性质法，此类问题综合性较强，难度较大． 返回导航 内容索引 第一部分 热点分类　考向探究 培优专训　难点突破 第二部分 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 一 返回导航 考向 1 利用定义求离心率的最值(范围) B 返回导航 返回导航 解决此类题型的一般方法是利用圆锥曲线的定义，有时结合余弦定理或勾股定理，构造关于a，b，c的不等式或不等式组求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围． 反思感悟 返回导航 D 返回导航 C 返回导航 考向 2 利用几何性质求离心率的最值(范围) D 返回导航 返回导航 利用圆锥曲线的性质，如椭圆的最大角、通径、三角形中的边角关系、曲线上的点到焦点距离的范围等，建立不等式(不等式组)求解． 反思感悟 返回导航 A 返回导航 返回导航 D 返回导航 返回导航 考向 3 利用图形求离心率的最值(范围) C 返回导航 返回导航 利用几何图形中几何量的大小、点线的位置关系，例如线段的长度、角的大小、点在(曲)线上(外)等，构造几何量之间的关系． 反思感悟 返回导航 A 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 培优专训　难点突破 第 分 部 二 返回导航 C 返回导航 B 返回导航 AC 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 谢谢观看！ 返回导航 例1　(2025·湖北黄石二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过点F2的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，若|AF1|＋|BF1|＝3|F1F2|，则双曲线C的离心率的取值范围是(　 　) A．(1，3＋] B． C． D． 解析：由题意知|AF1|－|AF2|＝2a，|BF1|－|BF2|＝2a，两式相加得|AF1|＋|BF1|－(|AF2|＋|BF2|)＝4a．又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，所以|AF1|＋|BF1|－|AB|＝4a．又|AF1|＋|BF1|＝3|F1F2|＝6c，所以|AB|＝6c－4a，当AB⊥x轴时|AB|最小，此时|AB|＝，所以≤6c－4a．又b2＝c2－a2，所以≤6c－4a，整理得2c2－6ac＋2a2≤0．又离心率e＝，所以两边同除以a2得2e2－6e＋2≤0，解得≤e≤．又双曲线的离心率e>1，所以双曲线的离心率的取值范围是．故选B． 跟踪训练 (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，若C上存在点P，使得|PF1|＝3|PF2|，则C的离心率的取值范围为(　 　) A．[，＋∞) B．(1，] C．[2，＋∞) D．(1，2] 解析：因为|PF1|＝3|PF2|，|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a．又|PF2|≥c－a，所以a≥c－a，所以离心率e＝≤2．又双曲线的离心率大于1，所以1<e≤2．故选D． (2)已知F1，F2为椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的公共点，且∠F1PF2＝．设e1，e2分别为椭圆和双曲线的离心率，则3e＋e的最小值为(　 　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：设椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，椭圆和双曲线的半焦距均为c．在椭圆中满足4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1|·|PF2|＝4a－3|PF1|·|PF2|，在双曲线中满足4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝4a＋|PF1|·|PF2|，消去|PF1|·|PF2|，得4c2＝4a－3(4c2－4a)，整理得a＋3a＝4c2，则＋＝4，所以3e＋e＝(3e＋e)＝≥＝3，当且仅当e＝，e＝时等号成立．故选C． 例2　已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过C的右焦点的直线l交C于A，B两点，若存在直线l使得|AB|＝，则C的离心率的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：设C的右焦点坐标为(c，0)，长轴是过C的右焦点的最长弦，当直线l不垂直于y轴时，设直线l的方程为x＝ty＋c，由消去x得(b2t2＋a2)y2＋2b2cty－b4＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，y1＋y2＝，y1y2＝，则|AB|＝·＝·＝＝≥，当且仅当t＝0时取等号，依题意，≥，解得≤，则C的离心率e＝∈．故选D． 跟踪训练 (1)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左顶点为A，右焦点为F(c，0)，过点A且斜率为k的直线l与圆(x－c)2＋y2＝(c－a)2相切，与C交于第一象限的一点B．若≤k≤1，则C的离心率的取值范围是(　 　) A．[3，3＋2] B．[3，3＋4] C．[3＋2，7＋4] D．[3＋4，7＋4] 解析：依题意，点A(－a，0)，直线l的方程为y＝k(x＋a)，圆(x－c)2＋y2＝(c－a)2的圆心为(c，0)，半径为c－a，由直线l与圆(x－c)2＋y2＝(c－a)2相切，得＝c－a，设双曲线的离心率为e，则＝＝＝，又≤k≤1，因此1＋＝∈[，2]，即－1≤≤1，解得3≤e≤3＋2，所以C的离心率的取值范围是[3，3＋2]．故选A． (2)(2025·黑龙江大庆二模)设F1，F2为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2公共的左、右焦点，它们在第一象限内交于点M，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|＝2．若椭圆C1的离心率e∈，则双曲线C2的离心率的取值范围是(　 　) A． B． C．(1，4] D． 解析：如图，因为F1，F2为椭圆C1：＋＝1(a>b>0)与双曲线C2公共的左、右焦点，△MF1F2是以线段MF1为底边的等腰三角形，且|MF1|＝2，则|MF2|＝|F1F2|＝2c(c>0)，由椭圆C1的离心率e∈，即e＝＝∈，解得∈，由点M在第一象限，得双曲线C2的离心率e′＝＝＝∈．故选D． 例3　(2025·湖南长沙模拟)设椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点A在C上运动，点P在圆O：x2＋y2＝4a2上运动，且|PA|＋|AF1|≤3|F1F2|恒成立，则C的离心率的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：由题可得圆半径为2a，因为|PA|＋|AF1|≤3|F1F2|恒成立，所以3|F1F2|≥(|PA|＋|AF1|)max．由椭圆的定义，可得|PA|＋|AF1|＝|PA|＋2a－|AF2|，如图，当P，F2，A三点共线时，|PA|＋2a－|AF2|最大，为|PF2|＋2a，又对于圆上一点P，当P，O，F2三点共线时|PF2|最大，又|OF2|＝c，则|PF2|＋2a≤|PO|＋|OF2|＋2a＝4a＋c，即(|PA|＋|AF1|)max＝4a＋c，取最值时，P，O，F2，A四点共线，则4a＋c≤3|F1F2|＝6c，即4a≤5c，所以≤<1，即C的离心率e∈．故选C． 跟踪训练 (1)(2025·贵州黔东南模拟)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在该椭圆上，若满足△PF1F2为直角三角形的点P共有8个，则该椭圆离心率的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：如图，因为使△PF1F2为直角三角形的点P有8个，所以在△OBF2中，必有∠OBF2>45°，即|OF2|>|OB|，所以c>b⇒c2>b2，即c2>a2－c2⇒>，可得离心率e>．又椭圆的离心率e<1，所以e∈．故选A． (2)已知椭圆C：＋＝1(0<b<2)．A，B(1，0)，若椭圆C上存在3个不同的点P满足|PB|＝2|PA|，则椭圆C的离心率的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：如图，设P(x，y)，由|PB|＝2|PA|，得＝2，化简得(x＋1)2＋y2＝1，即点P的轨迹是以点(－1，0)为圆心，1为半径的圆，则该圆与椭圆C有3个交点，由消去y得(4－b2)x2＋8x＋4b2＝0，即(x＋2)＝0，显然－2是方程的一个解，点(－2，0)是圆与椭圆的1个公共点，因此－必为方程的另一个解，则－2<<0，解得b2<2，所以椭圆C的离心率e＝∈．故选C． 1．(2021·全国乙卷理)设B是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的上顶点，若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b，则C的离心率的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：设P(x0，y0)，因为B(0，b)，＋＝1，a2＝b2＋c2，所以|PB|2＝x＋(y0－b)2＝a2＋(y0－b)2＝－＋＋a2＋b2，因为－b≤y0≤b，当－≤－b，即b2≥c2时，|PB|＝4b2，即|PB|max＝2b，符合题意，由b2≥c2可得a2≥2c2，即0<≤；当－>－b，即b2<c2时，|PB|＝＋a2＋b2，即＋a2＋b2≤4b2，化简得(c2－b2)2≤0，显然该不等式不成立．故选C． 2．设F1，F2为椭圆C：y2＋＝1(0<n<1)的两个焦点，若在C上存在一点P，满足∠F1PF2＝90°，则C的离心率的取值范围为(　 　) A． B． C． D． 解析：由椭圆C：y2＋＝1(0<n<1)，可知焦点F1，F2在y轴上，且a2＝1，b2＝n，所以a＝1，b＝，c＝．在C上存在点P，满足∠F1PF2＝90°，当P在左、右顶点时，∠F1PF2取到最大值，只需P在左、右顶点时，∠F1PF2≥90°，所以b≤c，所以b2≤c2，所以a2－c2≤c2，解得e≥．又椭圆的离心率小于1，所以C的离心率的取值范围为．故选B． 3．(多选)已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)和双曲线C2：－＝1，椭圆C1的左、右焦点分别为F1，F2，则下列结论正确的是(　 　) A．若C1的离心率为，则C2的离心率为 B．若C2的一条渐近线的倾斜角为，则C1的离心率为 C．若点F1到C2的渐近线的距离为，则C2的离心率为C1离心率的2倍 D．若以F1F2为直径的圆与C1没有公共点，则C2的离心率的取值范围为 解析：设椭圆C1、双曲线C2的半焦距分别为c1，c2，离心率分别为e1，e2，则c1＝，c2＝，e1＝＝，e2＝＝，若C1的离心率为，则＝，可得＝，所以C2的离心率e2＝＝，故A正确；若C2的一条渐近线的倾斜角为，则＝tan ＝，则C1的离心率e1＝＝，故B错误；因为F1(－，0)，双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，则点F1到C2的渐近线的距离为＝，整理可得＝， 可得e1＝＝，e2＝＝，所以C2的离心率为C1离心率的2倍，故C正确；若以F1F2为直径的圆与C1没有公共点，则c1<b，则c＝a2－b2<b2，又a>b>0，整理可得1>>，则e2＝∈，故D错误．故选AC． 4．(2022·全国甲卷文)记双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为e，写出满足条件“直线y＝2x与C无公共点”的e的一个值________________________． 2(满足1<e≤皆可) 解析：因为C：－＝1(a>0，b>0)，所以C的渐近线方程为y＝±x，结合渐近线的特点，只需0<≤2，即≤4，可满足条件“直线y＝2x与C无公共点”，所以e＝＝≤＝．又因为e>1，所以1<e≤，故e满足1<e≤皆可． 5．已知椭圆＋＝1(a>b>c>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，若以F2为圆心，b－c为半径作圆F2，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，若|PT|≥ (a－c)恒成立，则该椭圆离心率e的取值范围为_________． 解析：如图所示，易知|PT|＝＝，又焦半径|PF2|的最小值为a－c，且|PT|≥(a－c)恒成立，则(a－c)2－(b－c)2≥(a－c)2，又b－c>0，a－c>0，所以(a－c)≥b－c，整理可得a＋c≥2b，即(a＋c)2≥4b2＝4a2－4c2，可得5c2＋2ac－3a2≥0，即5e2＋2e－3≥0，又e∈(0，1)，解得e≥，又b－c>0，所以a2－c2>c2，解得e<，所以e∈． $