圆锥曲线的基本问题课件-2026届高考数学二轮复习

圆锥曲线的基本问题 高中数学 二轮复习　 返回导航 高考对这部分知识的考查侧重三个方面：一是求圆锥曲线的标准方程；二是求椭圆的离心率、双曲线的离心率以及渐近线问题；三是抛物线的性质及应用问题． 返回导航 内容索引 第一部分 真题演练　重温高考 第三部分 主干整合　核心提炼 第二部分 热点分类　考向探究 课时作业 第四部分 返回导航 主干整合　核心提炼 第 分 部 一 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 二 返回导航 考向 1 圆锥曲线的定义与方程 返回导航 9 返回导航 求圆锥曲线的标准方程时的常见错误 1．双曲线的定义中忽略“绝对值”致错． 2．椭圆与双曲线中参数的关系式弄混，椭圆中的关系式为a2＝b2＋c2，双曲线中的关系式为c2＝a2＋b2． 3．确定圆锥曲线的方程时还要注意焦点位置． 反思感悟 返回导航 A 返回导航 返回导航 C 返回导航 考向 2 椭圆、双曲线的几何性质 A 返回导航 返回导航 C 返回导航 返回导航 ACD 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 B 返回导航 ABD 返回导航 返回导航 考向 3 抛物线的几何性质 ACD 返回导航 返回导航 返回导航 利用抛物线的几何性质解题时，要注意利用定义构造与焦半径相关的几何图形(如三角形、直角梯形等)来沟通已知量与p的关系，灵活运用抛物线的焦点弦的特殊结论，使问题简单化且减少数学运算． 反思感悟 返回导航 BCD 返回导航 返回导航 返回导航 真题演练　重温高考 第 分 部 三 返回导航 D 返回导航 C 返回导航 B 返回导航 ACD 返回导航 返回导航 返回导航 －3 返回导航 课时作业 第 分 部 四 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 C 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 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例1　(1)已知点C(2，－12)是椭圆的一个焦点，且椭圆经过A(－7，0)，B(7，0) 两点，则椭圆的另一个焦点D的轨迹方程为__________________． x2－＝1(x<0) 解析：由椭圆的定义可知|AC|＋|AD|＝|BC|＋|BD|，所以|BD|－|AD|＝|AC|－|BC|＝15－13＝2<14＝|AB|，因此点D的轨迹是以A，B为焦点，实轴长为2的双曲线的左支，故它的轨迹方程为x2－＝1(x<0)． (2)(2025·山东济南三模)双曲线C：－＝1的左焦点为F，点A(0，4)，若P为C右支上的一个动点，则|PA|＋|PF|的最小值为__． 解析：设双曲线C：－＝1的右焦点为F2．对于双曲线C：－＝1，可得a2＝4，则a＝2．因为点P在双曲线的右支上，所以|PF|－|PF2|＝2a＝4，即|PF|＝|PF2|＋4，则|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋4．根据三角形三边关系：两边之和大于第三边，可得|PA|＋|PF2|≥|AF2|，当且仅当A，P，F2三点共线时取等号．已知F2(3，0)，A(0，4)，根据两点间距离公式，可得|AF2|＝＝5，所以|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PF2|＋4≥|AF2|＋4＝5＋4＝9，即|PA|＋|PF|的最小值为9． 跟踪训练 (1)若椭圆＋＝1和双曲线－＝1的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则△PF1F2的面积为(　 　) A．4 B．8 C．12 D．16 解析：不妨设F1为左焦点，F2为右焦点，P为两曲线在第一象限的交点，则由已知得则|PF1|2＋|PF2|2＝＝＝66，|PF1||PF2|＝＝＝17，cos ∠F1PF2＝＝＝，则sin ∠F1PF2＝＝＝，所以S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝×17×＝4．故选A． (2)(2025·湖南长沙一模)已知抛物线C：y＝的焦点为F，准线为l，P为C上一点，过P作l的垂线，垂足为M．若|MF|＝|PF|，则|PF|＝(　 　) A．2 B． C．4 D．2 解析：如图，由抛物线的定义知|PF|＝|PM|，又|MF|＝|PF|，所以△PMF为等边三角形，∠FMN＝30°(N为准线与y轴的交点)，抛物线y＝的焦点F(0，1)，准线l：y＝－1，故∣MF∣＝＝＝4，故|PF|＝4．故选C． 角度1　椭圆、双曲线的离心率 (1)(2025·福建龙岩二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点．若椭圆C上的点M满足|OM|＝|MF1|，|F1F2|＝|MF2|，则椭圆C的离心率为(　 　) A．2－ B．－ C．2－ D．－1 解析：如图，过点M作MN⊥OF1，垂足为N， 设椭圆的焦距为2c，由|MF1|＝|OM|，知|NF1|＝|ON|＝，所以|NF2|＝c，而|F1F2|＝|MF2|＝2c，所以|MN|＝＝，则|MF1|＝＝c，由椭圆的定义知，|MF1|＋|MF2|＝2a，即c＋2c＝2a，所以椭圆的离心率e＝＝＝2－．故选A． (2)(2025·安徽合肥三模)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2且斜率为－2的直线在第一象限交C于点P，若|PF1|＝|F1F2|，则C的离心率为(　 　) A．2 B．2 C．3 D．3 解析：如图，设双曲线的焦距为2c，则|PF1|＝|F1F2|＝2c，又|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF2|＝|PF1|－2a＝2c－2a．由直线PF2的斜率为－2，得tan ∠PF2F1＝2＝，结合sin2∠PF2F1＋cos2∠PF2F1＝1，得cos∠PF2F1＝，在△PF1F2中，由余弦定理的推论得cos ∠PF2F1＝＝＝，整理得＝0，解得＝3或＝1(不合题意舍去)．故选C． 角度2　椭圆、双曲线的其他几何性质 例3　(多选)(2025·江苏苏州三模)某数学兴趣小组研究发现，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝的图象是双曲线C，记其焦点分别为M，N，若P为其图象上任意一点，则(　 　) A．y轴是C的一条渐近线 B．点(1，1)是C的一个焦点 C．||PM|－|PN||＝2 D．C的离心率是 解析：对于A，反比例函数y＝的图象的两条渐近线为x轴和y轴，A正确；对于D，反比例函数y＝的图象的两条渐近线垂直，故双曲线C为等轴双曲线，因此，双曲线C的离心率是，D正确；对于B，反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，其图象的一条对称轴的方程为y＝x，联立解得或所以点(1，1)是C的一个顶点，B错误；对于C，双曲线C的实半轴长为＝，故||PM|－|PN||＝2，C正确．故选ACD． 1．确定椭圆和双曲线的离心率的值或范围，其关键就是确立一个关于a，b，c的等量关系或不等关系，然后用a，c代换b，进而求的值或范围． 2．求双曲线渐近线方程的关键在于求或的值，也可将双曲线方程中等号右边的“1”变为“0”，然后因式分解得到． 跟踪训练 (1)(2025·湖北天门二模)已知椭圆＋＝1(a＞4)的焦点在圆x2＋y2＝9上，则此椭圆的离心率为(　 　) A． B． C． D． 解析：已知椭圆＋＝1(a>4)，则椭圆的焦点坐标为(±，0)．因为椭圆的焦点在圆x2＋y2＝9上，将焦点坐标(±，0)代入圆的方程可得(±)2＋02＝9，即a2－16＝9，移项可得a2＝9＋16＝25．因为a>0，所以a＝5．此椭圆的离心率为＝．故选B． (2)(多选)(2025·河北唐山三模)已知点P，Q分别为双曲线C：x2－y2＝a2(a>0)的左、右顶点，点A，B是C右支上不同两点，若＋＋＝0且△PAB的面积为12，则下列结论正确的是(　 　) A．双曲线C的渐近线方程为y＝±x B．点Q为△PAB的重心 C．a＝4 D．△PAB为等边三角形 解析：由于双曲线C是等轴双曲线，故其渐近线为y＝±x，故A正确；由＋＋＝0知点Q为△PAB的重心，故B正确；设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知P(－a，0)，Q(a，0)，由点Q为△PAB的重心知x1＋x2－a＝3a，y1＋y2＋0＝0，故A，B关于x轴对称且x1＝x2＝2a，y＝x－a2＝3a2，故△PAB的面积S＝×3a×2a＝12，解得a＝2，故C错误；由C可知，A，B关于x轴对称且x1＝x2＝2a，|y1|＝a，所以tan ∠APQ＝＝，所以∠APQ＝，所以∠APB＝，因此△PAB为等边三角形，故D正确．故选ABD． 例4　(多选)已知直线y＝k(x－1)与抛物线y2＝4x交于A，B两点，F是抛物线的焦点，则下列结论正确的是(　 　) A．若k＝1，则|AB|＝8 B．＋＝2 C．过点B作x＝－1的垂线，垂足为D，则A，O，D三点共线 D．以AB为直径的圆与直线x＝－1相切 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)．当k＝1时，由得x2－6x＋1＝0，故x1＋x2＝6，由于直线过点F(1，0)，p＝2，故|AB|＝x1＋x2＋p＝8，A正确；如图，不妨设B位于第一象限，设直线倾斜角为θ，由p－|AF|cos θ＝|AF|，故|AF|＝，同理|BF|＝，故＋＝＝1，B错误；由题意知直线x＝－1是抛物线的准线，如图，过点B作BD垂直于直线x＝－1于点D，D(－1，y2)，联立得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1x2＝1，则y1y2＝－＝－4，因为kOA＝＝， kOD＝－y2＝，所以kOA＝kOD，所以A，O，D三点共线，C正确；过点A作AC垂直于直线x＝－1于点C，取AB的中点M，过点M作MM1垂直于直线x＝－1于点M1，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AC|＋|BD|＝2|MM1|，所以以AB为直径的圆与准线x＝－1相切，D正确．故选ACD． 跟踪训练 (多选)(2025·安徽黄山二模)已知抛物线C：y2＝2px的焦点为F，O为坐标原点，点A(8，8)在抛物线上，过点F作直线交抛物线于M(x1，y1)，N(x2，y2)两点，则(　 　) A．|MN|的最小值为4 B．以MN为直径的圆与直线x＝－2相切 C．当＝2时，|MN|＝9 D．·＝－12 解析：由题设82＝2p×8⇒p＝4，则抛物线C：y2＝8x，F(2，0)，可设MN：x＝ty＋2，联立消去x得y2－8ty－16＝0，显然Δ>0，所以y1＋y2＝8t，y1y2＝－16，则|MN|＝·＝8(1＋t2)≥8，当且仅当t＝0时等号成立，A错误；由抛物线的定义知|MN|＝x1＋x2＋4，而MN的中点横坐标为，所以MN的中点到直线x＝－2的距离为＋2，即为|MN|的一半，所以以MN为直径的圆与直线x＝－2相切，B正确；不妨设M在第一象限，如图，若＝2，且y1>0>y2， 则y1＝2|y2|，而y1y2＝－16，所以y1＝4，y2＝－2，则y1＋y2＝8t＝2⇒t＝，所以x1＋x2＝t(y1＋y2)＋4＝×2＋4＝5，则|MN|＝x1＋x2＋4＝9，C正确； 由·＝x1x2＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋2t(y1＋y2)＋4＝－16t2－16＋16t2＋4＝－12，D正确．故选BCD． 1．(2025·全国一卷)已知双曲线C的虚轴长是实轴长的倍，则C的离心率为(　 　) A． B．2 C． D．2 解析：设双曲线的实轴长、虚轴长、焦距分别为2a，2b，2c，由题知，b＝a，于是a2＋b2＝c2＝a2＋7a2＝8a2，则c＝2a，即离心率e＝＝2．故选D． 2．(2025·全国二卷)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在C上，过A作C的准线的垂线，垂足为B．若直线BF的方程为y＝－2x＋2，则|AF|＝(　 　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：如图，y＝－2x＋2，令y＝0，得x＝1，所以F(1，0)，p＝2，即抛物线C：y2＝4x，故抛物线的准线方程为x＝－1，故B(－1，4)，则yA＝4，代入y2＝4x得xA＝4，所以|AF|＝|AB|＝xA＋＝4＋1＝5．故选C． 3．(2023·全国甲卷文)设F1，F2为椭圆C：＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若·＝0，则|PF1|·|PF2|＝(　 　) A．1 B．2 C．4 D．5 解析：方法一　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝|PF1|·|PF2|＝b2tan ，得|PF1|·|PF2|＝1×tan ，所以|PF1|·|PF2|＝2．故选B． 方法二　因为·＝0，所以PF1⊥PF2，所以|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝16．因为|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以(|PF1|＋|PF2|)2＝20，即|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|＝20，所以|PF1|·|PF2|＝2．故选B． 4．(多选)(2025·全国二卷)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，以F1F2为直径的圆与C的一条渐近线交于M，N两点，且∠NA1M＝，则(　 　) A．∠A1MA2＝ B．|MA1|＝2|MA2| C．C的离心率为 D．当a＝时，四边形NA1MA2的面积为8 解析：如图，不妨设渐近线方程为y＝x，M在第一象限，N在第三象限，由双曲线的对称性可得A1MA2N为平行四边形，故∠A1MA2＝π－＝，故A正确；因为M在以F1F2为直径的圆上，所以F1M⊥F2M且|MO|＝c，设M(x0，y0)，则故故MA2⊥A1A2，由A得∠A1MA2＝，故|MA2|＝|MA1|×，即|MA1|＝|MA2|，故B错误； 因为＝(＋)，故42＝2＋2·＋2，由B可知|MA2|＝b，|MA1|＝b，故4c2＝b2＋b2＋2×b×b×＝b2＝(c2－a2)，即c2＝13a2，故离心率e＝，故C正确；当a＝时，由C可知e＝，故c＝，故b＝2，故四边形NA1MA2的面积为2S△MA1A2＝2××2×2＝8，故D正确．故选ACD． 5．(2022·北京卷)已知双曲线y2＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m＝___． 解析：依题意得m＜0，双曲线的方程化为标准方程为y2－＝1，令y2－＝0，得y＝±x，则±＝±，解得m＝－3． 1．(5分)(2025·山西临汾三模)已知动点M(x，y)满足＋＝10，则动点M的轨迹方程是(　 　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．＋＝1 D．＋＝1 解析：由题意可得动点M(x，y)到(－3，0)与(3，0)两点的距离之和为10，且10>3＋3＝6，则动点M(x，y)的轨迹为椭圆，易知a＝5，c＝3，b＝＝4，即轨迹方程是＋＝1．故选C． 2．(5分)(2025·北京海淀区二模)已知A(－2，0)，B(2，0)．若动点P满足|PA|－|PB|＝2，则P的轨迹方程为(　 　) A．x2－＝1 B．x2－＝1(x≤－1) C．－x2＝1 D．x2－＝1(x≥1) 解析：∵A(－2，0)，B(2，0)，动点P满足|PA|－|PB|＝2<|AB|＝4，∴动点P的轨迹为双曲线且为右支，|PA|－|PB|＝2＝2a⇒a＝1，c＝2，b＝，∴P的轨迹方程为x2－＝1(x≥1)．故选D． 3．(5分)(2025·北京丰台区一模)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上．若M的横坐标为1，且|MF|＝2，则p的值为(　 　) A． B．1 C．2 D．4 解析：由已知可得抛物线的准线方程为x＝－，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以|MF|＝＋xM＝＋1＝2，解得p＝2．故选C． 4．(5分)(2025·湖南湘潭三模)已知椭圆C：＋y2＝1的离心率为m，则C的短轴长为(　 　) A． B．1 C．2 D．3 解析：依题意，0<m<1，即0<m<，则C的焦点在y轴上，因此m＝，所以m＝，故C的短轴长为2m＝1．故选B． 5．(5分)(2025·河南安阳一模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线与C的右支交于A，B两点，且|AF2|∶|BF2|∶|AF1|＝1∶2∶3，若△ABF1的周长为20，则C的实轴长为(　 　) A．1 B．2 C．4 D．6 解析：设|AF2|＝m，因为|AF2|∶|BF2|∶|AF1|＝1∶2∶3，所以|BF2|＝2m，|AF1|＝3m．由点A在双曲线右支上，得|AF1|－|AF2|＝2a，即3m－m＝2a，可得2m＝2a①．由点B在双曲线右支上，得|BF1|－|BF2|＝2a，则|BF1|＝|BF2|＋2a＝2m＋2a．已知△ABF1的周长为20，△ABF1的周长L＝|AF1|＋|BF1|＋|AB|，而|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝m＋2m＝3m，所以L＝3m＋(2m＋2a)＋3m＝20，即8m＋2a＝20②．将①代入②中，得到4×2a＋2a＝20，即10a＝20，解得a＝2．根据双曲线的性质，双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长为2a．把a＝2代入，可得实轴长为2×2＝4．故选C． 6．(5分)(2025·河北唐山三模)已知点P是抛物线C：y2＝8x上一动点，记点P到直线x＝－1的距离为d1，点P到圆M：(x－2)2＋y2＝r2(r>0)上的点的距离的最小值为d2，若0<d2≤d1，则r可以取的值为(　 　) A． B． C．2 D．2 解析：由抛物线的定义知d1＋1＝d2＋r，故r＝d1－d2＋1≥1．再由d2≠0知，圆M与抛物线C没有公共点，不妨设点P(x0，y0)，则r2<(x0－2)2＋y＝(x0－2)2＋8x0＝(x0＋2)2对任意x0≥0恒成立，所以r2<4，解得0<r<2，又r≥1，故1≤r<2．故选B． 7．(5分)(2025·浙江嘉兴二模)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，点P在C上，O为坐标原点，|OP|＝c，PQ是∠F1PF2的平分线，OQ∥PF2，|OQ|＝2b，则C的离心率e＝(　 　) A． B． C．2 D． 解析：不妨设P在右支上，则|PF1|>|PF2|，因为|OP|＝c，所以|OF1|＝|OF2|＝|OP|，故F1P⊥F2P，如图，取PF1的中点M，则OM∥PF2，而OQ∥PF2，Q在直线MO上，而|PF1|>|PF2|，故Q在MO的延长线上，由F1P⊥F2P，OM∥PF2可得OM⊥MP，而PQ是∠F1PF2的平分线，故∠MPQ＝45°，故|MP|＝|MQ|＝|PF2|＋2b，故|PF1|＝|PF2|＋4b，故|PF1|－|PF2|＝4b，所以2a＝4b，即a＝2b，故e＝＝．故选D． 8．(5分)已知F为椭圆C：＋＝1的上焦点，P为C上一点，Q为圆M：x2＋y2－8x＋15＝0上一点，则|PQ|＋|PF|的最大值为(　 　) A．1＋2 B．3＋2 C．5＋2 D．7＋2 解析：如图，由圆M的方程得圆心M(4，0)，半径r＝1；由椭圆C的方程得a＝3，c＝2，设椭圆C的下焦点为F′，则F′(0，－2)，由椭圆的定义知，|PF′|＋|PF|＝2a＝6，∴|PQ|＋|PF|＝6＋|PQ|－|PF′|．∵|PQ|≤|PM|＋r(当且仅当P，M，Q三点共线时取等号)，∴|PQ|＋|PF|＝6＋|PQ|－|PF′|≤7＋|PM|－|PF′|．又|PM|－|PF′|≤|MF′|(当且仅当M，P，F′三点共线时取等号)，∴|PQ|＋|PF|≤7＋|MF′|＝7＋＝7＋2，即|PQ|＋|PF|的最大值为7＋2．故选D． 9．(8分，多选)已知双曲线E：－＝1(m>0)的实轴长是虚轴长的3倍，则(　 　) A．m＝18 B．E的渐近线方程为y＝±x C．E的焦距为2 D．E的离心率为 解析：由双曲线E的实轴长是虚轴长的3倍，得2＝3×2，解得m＝18，A正确；双曲线E：－＝1的渐近线方程为y＝±x，B正确；E的焦距为2＝4，C错误；E的离心率为＝，D正确．故选ABD． 10．(8分，多选)(2025·辽宁大连一模)在平面内，存在定圆M和定点A，点P是圆M上的动点，若线段PA的中垂线交直线PM于点Q，关于点Q的轨迹叙述正确的是(　 　) A．当点A与圆心M重合时，点Q的轨迹为圆 B．当点A在圆M上时，点Q的轨迹为拋物线 C．当点A在圆M内且不与圆心M重合时，点Q的轨迹为椭圆 D．当点A在圆M外时，点Q的轨迹为双曲线 解析：当点A与圆M的圆心重合时，线段PA的中垂线与直线PM的交点Q，即Q为PM的中点，因此点Q的轨迹为圆，故A正确；当点A在圆M上时，PA的中垂线恒过圆心M，即点Q的轨迹为一个点M，故B错误；如图，当点A在圆M内且不与圆心M重合时，|QP|＝|QA|，则|QM|＋|QA|＝r>|AM|(其中r为圆M的半径)，因此点Q的轨迹为以A，M为焦点的椭圆，故C正确； 如图，当点A在圆M外时，|QP|＝|QA|，则|QM|－|QA|＝r<|AM|或|QA|－|QM|＝r<|AM|(其中r为圆M的半径)，因此点Q的轨迹为以A，M为焦点的双曲线，故D正确．故选ACD． 11．(8分，多选)已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线与圆E：(x－1)2＋y2＝4相切，点M为抛物线C与圆E的一个交点，过圆心E作直线l与C相交于A，B两点，则(　 　) A．圆心E为抛物线C的焦点 B．点M到C的准线的距离为2 C．以AB为直径的圆与y轴相切 D．|AB|的最小值为4 解析：因为C的准线x＝－与圆E相切，所以1＋＝2，即p＝2，所以C的焦点为E(1，0)，A正确；由抛物线的定义知，点M到C的准线的距离等于|ME|＝2，B正确；设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则线段AB的中点Q，由抛物线的焦点弦长公式可得|AB|＝x1＋x2＋2，点Q到抛物线C的准线的距离d＝＋1，故d＝，因此，以AB为直径的圆与C的准线相切，C错误；若直线l与x轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，不合乎题意，设直线l的方程为x＝my＋1，由C知A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立可得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16>0，由根与系数的关系，得y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以|AB|＝x1＋x2＋2＝my1＋1＋my2＋1＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4≥4，当且仅当m＝0时，|AB|取最小值4，D正确．故选ABD． 12．(5分)(2025·山东潍坊二模)若抛物线的准线与直线y＝1之间的距离为2，写出一个满足条件的抛物线的标准方程：___________________________________． 解析：依题意，抛物线的准线与直线y＝1平行，且距离为2，故抛物线的准线方程为y＝3或y＝－1，当抛物线的准线方程为y＝3时，抛物线的焦点在y轴的负半轴上，且＝3，p＝6，故抛物线的标准方程为x2＝－12y；当抛物线的准线方程为y＝－1时，抛物线的焦点在y轴的正半轴上，且＝1，p＝2，故抛物线的标准方程为x2＝4y．综上可知，满足条件的抛物线的标准方程可以是x2＝－12y或x2＝4y． 13．(5分)(2025·江西萍乡三模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C上，记△MF1F2的外心为A，内切圆半径为r，若|AF1|＝2r，且∠F1MF2 ＝60°，则C的离心率为____． 解析：设|MF1|＝t1，|MF2|＝t2，则t1＋t2＝2a①，如图，在△F1MF2中，由∠F1MF2＝60°及余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1|·|MF2|·cos 60°，即t＋t－t1t2＝4c2②，①2－②得t1t2＝(a2－c2)，所以S△F1MF2＝t1t2sin 60°＝(a2－c2)．由S△F1MF2＝(2a＋2c)r⇒r＝(a－c)，由＝2|AF1|⇒|AF1|＝．因为|AF1|＝2r，所以＝(a－c)，可得＝，即C的离心率为． 14．(6分)(2025·辽宁辽阳一模)若双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线上的点M(－，3)关于另一条渐近线的对称点恰为右焦点F，则双曲线C的渐近线方程为__________________，实轴长为______． y＝±x 2 解析：由点M(－，3)在双曲线C的一条渐近线上，可得＝＝，则双曲线C的渐近线方程为y＝±x；记坐标原点为O，则|OM|＝|OF|，即c＝＝2．因为c2＝a2＋b2，所以4a2＝24，a＝，故实轴长为2a＝2． $