圆锥曲线的第三定义和垂径定理课件-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线的第三定义和垂径定理 高中数学 二轮复习　 返回导航 圆锥曲线的第三定义和垂径定理是高考的热点问题，体现了高考试题与教材习题的紧密联系，一般以小题的形式命题，难度中等或偏上． 返回导航 内容索引 第一部分 热点分类　考向探究 教考衔接练 第二部分 返回导航 热点分类　考向探究 第 分 部 一 返回导航 考向 1 圆锥曲线的第三定义 返回导航 返回导航 A 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 返回导航 D 返回导航 考向 2 垂径定理 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 反思感悟 返回导航 返回导航 返回导航 返回导航 (2，1) 返回导航 返回导航 教考衔接练 第 分 部 二 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 D 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 A 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 B 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 ABD 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 13 5 14 返回导航 1 2 3 4 6 7 8 9 10 11 12 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解析：方法一　已知A(－a，0)，设P(x0，y0)，则Q(－x0，y0)，kAP＝(x0≠－a)，kAQ＝(x0≠a)，故kAP·kAQ＝·＝＝①．因为＋＝1，即y＝②，②代入①整理得＝，所以离心率e＝＝＝．故选A． 方法二　设椭圆C的右顶点为B，离心率为e，由于点P，Q均在C上且关于y轴对称，所以直线BP，AQ也关于y轴对称，即kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－＝e2－1，所以e2＝，即e＝．故选A． 1．圆锥曲线的第三定义 平面内动点到两定点A1(a，0)，A2(－a，0)[或A1(0，a)，A2(0，－a)]的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹为椭圆或双曲线(去除不符合条件的点)．其中两定点为椭圆或双曲线的顶点．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时e2－1＝－；当常数大于0时为双曲线，此时e2－1＝． 2．圆锥曲线第三定义的推广 平面内到两个关于原点对称的点A(m，n)，B(－m，－n)的斜率乘积等于常数e2－1的点的轨迹为椭圆或双曲线(去除不符合条件的点)．当常数大于－1小于0时为椭圆，此时e2－1＝－；当常数大于0时为双曲线，此时e2－1＝． 跟踪训练 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M，N两点，记直线PM，PN的斜率分别为kPM，kPN，当kPM·kPN＝－时，则椭圆方程为(　 　) A．＋＝1 B．＋＝1 C．x2＋＝1 D．＋y2＝1 解析：kPM·kPN＝－＝－，又椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为4，即a＝2，则b2＝1，所以所求椭圆方程为＋y2＝1．故选D． [教材母题]　(人教B版选择性必修第一册P179复习题B组T23)设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，斜率为1的直线不经过坐标原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．直线AB与OM能否垂直？证明你的结论． 解：不能．证明如下：∵斜率为1的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点， ∴可以设直线AB的方程为y＝x＋m，m≠0． 联立消去y得b2x2＋a2(x＋m)2－a2b2＝0， ∴(a2＋b2)x2＋2ma2x＋m2a2－a2b2＝0． ∵直线AB与椭圆相交于A，B两点， ∴Δ＝(2ma2)2－4(a2＋b2)(m2a2－a2b2)＝4(a4b2＋a2b4－m2a2b2)＝4a2b2(a2＋b2－m2)>0． 且xA＋xB＝－，xAxB＝． ∵M为线段AB的中点，∴xM＝＝－， ∴yM＝xM＋m＝－＋m＝，∴M． 假设直线OM与AB能垂直． ∵直线AB的斜率为1，∴直线OM的斜率为－1， ∴＝－，∴a＝b． ∵在椭圆方程＋＝1(a>b>0)中，a>b， ∴假设不正确，在椭圆中直线AB与OM不能垂直． [链接真题]　(2022·新高考Ⅱ卷)已知直线l与椭圆＋＝1在第一象限交于A，B两点，l与x轴、y轴分别交于M，N两点，且|MA|＝|NB|，|MN|＝2，则l的方程为________________________． x＋y－2＝0 解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为E，则kAB·kOE＝－，设直线l的方程为y＝kx＋m，k<0，m>0，M，N(0，m)，因为|MA|＝|NB|，所以E为MN的中点，所以E，所以kOE＝－k，所以－k·k＝－，解得k＝－．因为|MN|＝2，所以＝2，所以＋m2＝12．所以3m2＝12，m>0，解得m＝2．所以直线l的方程为y＝－x＋2，即x＋y－2＝0． 1．椭圆的垂径定理 (1)如图1，在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中，E为弦AB的中点，则kOE·kAB＝－． (2)如图2，在椭圆C：＋＝1(a>b>0)中，直线l与椭圆相切于E点，则kOE·kl＝－．, (3)如图3，直线l过坐标原点O，交椭圆C：＋＝1(a>b>0)于A，B两点，E是椭圆上异于A，B两点的动点，则kBE·kAE＝－． 2．双曲线的垂径定理 　　(1)如图1或图2，在双曲线C：－＝1(a>0，b>0)中，E为弦AB的中点，则kOE·kAB＝． (2)如图3，直线l与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相切于E点，则kOE·kl＝． (3)如图4，直线l过坐标原点O，交双曲线C：－＝1(a>0，b>0)于A，B两点，E是双曲线上异于A，B点的动点，则kBE·kAE＝． (4)如图5，直线l交双曲线两渐近线于A，B两点，E为线段AB的中点，则kOE·kAB＝． 跟踪训练 已知直线l的斜率为1，且与双曲线－y2＝1在第一象限相切于点A，则点A的坐标为_______． 解析：方法一(常规解法)　因为直线l的斜率为1，所以设l：y＝x＋m，联立得x2＋4mx＋2m2＋2＝0．因为直线l与双曲线相切，所以Δ＝0，即16m2－4(2m2＋2)＝0，解得m＝±1．当m＝1时，解得当m＝－1时，解得又切点A在第一象限，故点A的坐标为(2，1)． 方法二(垂径定理法)　设切点坐标为A(x0，y0)，由垂径定理得kOA·kl＝＝＝．又点A(x0，y0)在双曲线上，且位于第一象限，所以－y＝1，y0>0，解得y0＝1，则x0＝2，故点A的坐标为(2，1)． 1．(5分)(2025·黑龙江大庆二模)已知A，B，P是双曲线－＝1(a>0，b>0)上不同的三点，且点A，B连线经过坐标原点，若直线PA，PB的斜率乘积为，则该双曲线的渐近线方程为(　 　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 解析：设A(x1，y1)，P(x2，y2)，因为点A，B连线经过坐标原点，根据双曲线的对称性，得B(－x1，－y1)，所以kPA·kPB＝·＝．因为点A，P在双曲线上，所以两式相减，得kPA·kPB＝＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．故选A． 2．(5分)过点M(1，1)作斜率为－的直线与椭圆C：＋＝1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则该椭圆的离心率为(　 　) A． B． C． D． 解析：由垂径定理得，kOM·kAB＝×＝－，＝＝，即1－e2＝，因为0<e<1，所以e＝．故选A． 3．(5分)阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π、椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的面积为6π，两个焦点分别为F1，F2，点P为椭圆C的上顶点．直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，若PA，PB的斜率之积为－，则椭圆C的长轴长为(　 　) A．3 B．6 C．2 D．4 解析：椭圆的面积S＝πab＝6π，即ab＝6①．因为点P为椭圆C的上顶点，所以P(0，b)．因为直线y＝kx与椭圆C交于A，B两点，不妨设A(m，n)，则B(－m，－n)且＋＝1，所以m2＝a2－．因为PA，PB的斜率之积为－，所以·＝－，把m2＝a2－代入整理化简得＝②，①②联立解得a＝3，b＝2．所以椭圆C的长轴长为2a＝6．故选B． 4．(5分)(2025·湖北武汉二模)设直线x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于A，B，若点P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率为(　 　) A． B．6 C．2 D．4 解析：如图，设M为AB的中点，因为|PA|＝|PB|，所以PM⊥AB，又P(m，0)，所以PM：3x＋y－3m＝0．与直线AB联立，容易得M，由垂径定理得kABkOM＝e2－1⇒×＝e2－1，解得e＝．故选A． 5．(5分)(2025·重庆九隆坡区二模)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，过C中心的直线交C于M，N两点，点P在x轴上，其横坐标是点M横坐标的3倍，直线NP交C于点Q，若直线QM恰好是以MN为直径的圆的切线，则C的离心率为(　 　) A． B． C． D． 解析：如图，设M(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(－x1，－y1)，P(3x1，0)，设k1，k2，k3分别为直线MN，QM，NP的斜率，则k1＝，k2＝，k3＝＝＝k1，因为直线QM是以MN为直径的圆的切线，所以QM⊥MN，k1k2＝－1，所以k2k3＝－．又Q在直线NP上， 所以k3＝．因为M，Q在＋＝1(a>b>0)上， 所以＋＝1，＋＝1， 两式相减得＋＝0，整理得·＝－， 故k2k3＝－＝－，即＝， 则e2＝1－＝1－＝，故e＝．故选D． 6．(5分)已知点A，P，Q为椭圆C：＋＝1(a>b>0)上不重合的三点，且点P，Q关于原点对称，若kAP·kAQ＝－，则的值为(　 　) A． B． C． D． 解析：方法一　设不重合的点A(x0，y0)，P(x1，y1)(x0≠±x1)，∵点P，Q关于原点对称，∴Q(－x1，－y1)，∴kAP＝，kAQ＝，∴kAP·kAQ＝＝＝－．∵点A(x0，y0)，P(x1，y1)均在椭圆＋＝1(a>b>0)上，∴＋＝1，＋＝1，两项相减得＝－，∴kAP·kAQ＝＝－＝－，∴＝．故选A． 方法二　由题意，可取P，Q为特殊点，不妨取P，Q为椭圆左、右顶点，依据椭圆第三定义，有kAP·kAQ＝－＝－，∴＝．故选A． 7．(5分)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上、下顶点分别为A，B，直线AF2与该椭圆交于另一点M，若∠F1AF2＝90°，则直线BM的斜率为(　 　) A． B． C．－1 D．－ 解析：如图，∵∠F1AF2＝90°，∴△F1AF2为等腰直角三角形，∴b＝c，∴a2＝2b2＝2c2，∴＝，且∠AF2O＝45°，∴kMA＝－1．又kMA·kMB＝－＝－，∴kMB＝．故选B． 8．(5分)(2025·黑龙江哈尔滨二模)已知平行四边形ABCD内接于椭圆E：＋＝1(a>b>0)，且AB，AD斜率之积的范围为，则椭圆E离心率的取值范围为(　 　) A． B． C． D． 解析：由题意知B，D关于原点对称，依据椭圆第三定义知kAB·kAD＝－，又－<－<－⇒<<⇒<<．故选A． 9．(5分)已知椭圆＋＝1(0<b<2)的左顶点和右焦点分别为A，F，点B，C为椭圆上关于原点O对称的两点，且kABkAC＝－，kFBkFC＝－1，则△BFC的面积为(　 　) A． B．2 C．2 D．4 解析：由题可知A(－2，0)，设B(x0，y0)，则C(－x0，－y0)，由椭圆的第三定义知kABkAC＝－＝－＝－，即b2＝2，c2＝4－b2＝2，则F(，0)，所以kFBkFC＝·＝＝－1，即x＋y＝2，与＋＝1联立得|y0|＝，所以S△BFC＝S△FCO＋S△FBO＝|FO|×(|－y0|＋|y0|)＝×＝2．故选B． 10．(5分)双曲线C：－＝1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C上且直线PA2斜率的取值范围是[－2，－1]，则直线PA1斜率的取值范围是(　 　) A． B． C． D． 解析：设点P(x，y)，则直线PA1的斜率k1＝＝，直线PA2的斜率k2＝＝，k1·k2＝·＝．∵点P(x，y)满足－＝1，∴x2－＝4，即x2－4＝，故k1·k2＝＝，k1＝·．∵k2∈[－2，－1]，k1＝·在[－2，－1]上单调递减，∴k1∈．故选B． 11．(8分，多选)已知椭圆＋＝1上一点P位于第一象限，左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，∠F1PF2的平分线与x轴交于点G，与y轴交于点H，则(　 　) A．四边形HF1PF2的周长为4＋ B．直线A1P，A2P的斜率之积为－ C．|F1G|∶|F2G|＝3∶2 D．四边形HF1PF2的面积为2 解析：由题意知，长半轴长a＝2，短半轴长b＝，半焦距c＝1，∴F1(－1，0)，F2(1，0)．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，易得|HF1|＝|HF2|＝＝，∴四边形HF1PF2的周长为4＋，故A正确．由椭圆的第三定义知kA1P·kA2P＝－＝－，故B正确．设P(x0，y0)，则＋＝1，0<x0<2，0<y0<，则直线PF1：y＝(x＋1)，即y0x－(x0＋1)y＋y0＝0，同理可得直线PF2：y0x－(x0－1)y－y0＝0． ∵PH是∠F1PF2的平分线，∴点H到直线PF1的距离与点H到直线PF2的距离相等，∴＝．又＝＝(x0＋4)，同理得＝(4－x0)，∴＝，整理得y0＝，∴x0＝1，∴四边形HF1PF2的面积为×|F1F2|×＝2，故D正确． kPH＝＝2，直线PH：y＋＝2x，即y＝2x－，令y＝0，得x＝，故G，∴|F1G|＝－(－1)＝，|F2G|＝1－＝，∴|F1G|∶|F2G|＝5∶3，故C错误．故选ABD． 12．(7分)已知椭圆Γ：＋＝1(a>b>0)，过原点的直线交椭圆于A，B(A在第一象限)两点，由A向x轴作垂线，垂足为C，连接BC交椭圆于D，若△ABD为直角三角形，则的值为_____． 解析：如图所示，设点A(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则B(－x0，－y0)，C(x0，0)，则kAB＝，kBC＝，设点D(x1，y1)，则作差可得＋＝0，所以＝－，所以kDAkDB＝·＝＝－≠－1，则AD，BD不互相垂直，所以AD⊥AB，则kADkAB＝－1，所以kAD＝－＝－．又因为kDAkDB＝kDAkBC＝－·＝－，所以＝． 13．(7分)双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，B为虚轴的端点，直线F1B与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，线段PQ的中垂线与x 轴交于点M，若|MF2|＝|F1F2|，则双曲线C的离心率为_____． 解析：方法一(常规设线求解)　如图1所示，不妨设B为虚轴上端点，依题意有B(0，b)，F1(－c，0)，所以直线F1B的方程为y＝x＋b． 设点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由消去y得b2x2－2a2cx－a2c2＝0，所以x1＋x2＝，于是有y1＋y2＝(x1＋x2)＋2b＝，故PQ的中点N． 又kMN＝－＝－，所以直线MN的方程为y－＝－，令y＝0，得xM＝． 又因为|MF2|＝|F1F2|，所以－c＝2c，即c2＝3b2＝3(c2－a2)，解得＝，即双曲线的离心率为． 方法二(设线后巧用垂径定理)　如图2所示，不妨设B为虚轴上端点，N为PQ的中点，连接ON，则由垂径定理有kPQ·kON＝， 又B(0，b)，F1(－c，0)，M(3c，0)，所以直线F1B的方程为y＝x＋b，直线MN的方程为y＝－(x－3c)． 于是由得N，所以kPQ·kON＝·＝， 即＝＝，解得＝，即双曲线的离心率为． 14．(8分)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右顶点分别为M，N，P为C上异于M，N的一点，若直线PM，PN的斜率之积为，且C的焦距为4，则双曲线C的实轴长为_______． 6 解析：由双曲线的第三定义可知kPM·kPN＝＝，即a2＝3b2，又双曲线C的焦距为4，即c＝2，由得故双曲线的实轴长为2a＝6． $