8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 32999 1. 掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式； 2. 能应用公式求柱体、锥体、台体和球的表面积、体积； 3. 熟悉柱体与锥体、台体之间转换关系. 学 习 目 标 32999 情境：某森林公园计划在园中修建一条游览步道，修建过程中需要使用某压路机，假设路面宽度与压路机滚筒宽度一致，修路过程中，该压路机滚筒向前滚动了 1000圈，请问该步道的长度与面积分别为多少？ （已知该压路机滚筒宽度为 2 m，滚筒直径为 1 m ） 分析：将滚筒侧面展开，得到下图； 情 景 导 入 32999 = 2 m，r = 0.5m 问题1：该压路机滚筒向前滚动了 1000 圈，请问该步道的长度与面积分别为多少？（已知该压路机滚筒宽度为 2 m，滚筒直径为 1 m ） 滚筒底面周长：C底 = 2πr = π (m)；滚筒的侧面积：S侧 = 2πrl = 2π (m2)； 已知修路过程中，滚筒向前滚动 1000 圈，所以： 滚过的长度：1000×C底 = 1000 π (m)；滚过的面积：1000×S侧 = 2000π (m2)； 所以该游览步道的长度为 1000 π (m)，面积为 2000π (m2). 问 题 探 究 32999 问题2：结合圆柱的侧面展开图，说说圆锥、圆台的侧面展开图分别是什么？ 思考：结合圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，分别推导它们的表面积公式？ 矩形 扇形 扇环 问 题 探 究 32999 几何体 圆柱 圆锥 圆台 图形 表面积 公式 S圆柱 = 2πr (r + l) (r 是底面半径，l 是母线长) S圆台 = π (r' 2 + r2 + r'l + rl) (r'，r 分别是上、下底面半径， l 是母线长). S圆锥 = πr (r + l) (r 是底面半径，l 是母线长) 思考：观察圆柱、圆锥、圆台的结构，说说它们的表面积之间有什么关系？ 知 识 梳 理 32999 圆柱、圆锥、圆台表面积之间的关系 知 识 梳 理 32999 例1：一个圆柱形的锅炉，底面直径 d = 1 m，高 h = 2.3 m. 求锅炉的表面积 (精确到 0.1 m2 ). 因此锅炉的表面积约为 8.8 m2. 解：S表 = S侧 + 2S底 = πdh + 2π = π×1×2.3 + 2π×0.25 = 2.8π ≈ 8.8 (m2)， 注意：计算锅炉表面积时不能忘记两个底面的面积. 典 型 例 题 32999 问题3：回顾圆柱、圆锥的体积公式？ 思考：结合圆锥与圆台的关系，试着利用圆锥的体积公式，推导圆台的体积公式？ V圆柱 = πr2h V圆锥 = πr2h V圆台 = πh(r12 + r1r2 + r22 ) r r r2 r1 问 题 探 究 32999 圆柱、圆锥、圆台体积之间的关系 知 识 梳 理 32999 柱体、锥体、台体体积之间的关系 知 识 梳 理 32999 球的表面积: 设球的半径为 R，它的表面积只与半径 R 有关，是以 R 为自变量的函数. 如果球的半径为 R，那么它的表面积是 S球 = 4πR2. · 知 识 梳 理 32999 例2：某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是 0.3 m，圆柱高 0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要 0.5 kg 涂料，那么给 1000 个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π 取 3.14 ) 解：一个浮标的表面积为： 2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 = 0.8478 (m2)， 所以给 1000 个这样的浮标涂防水漆约需涂料： 0.8478×0.5×1000 = 423.9 (kg). 典 型 例 题 32999 问题4：如何利用球的表面积公式求出球的体积. 将球 O 的表面分成 n 个小网格，连接球心 O 和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成 n 个“小锥体”． n 越大，每个小网格就越小，每个“小锥体”的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径 R． 问 题 探 究 32999 设 O-ABCD 是其中一个“小锥体”，则它的体积是 由于球的体积是这 n 个“小锥体”的体积之和，而这 n 个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积． 即 V球 V球 S球R 因此球的体积 问 题 探 究 32999 例3：圆柱的底面直径和高都等于球的直径， 求球与圆柱的体积之比. 解：设球的半径为 R，则圆柱的底面半径为 R，高为 2R，则： V球 ：V圆柱 V圆柱 V球 典 型 例 题 32999 根据今天所学，回答下列问题： （1）回顾柱体、椎体、台体、球的表面积和体积公式； （2）说说柱体、椎体、台体的表面积和体积公式之间的转化关系. 课 堂 总 结 32999 课 外 拓 展 32999 $