8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 （教学课件）-【上好课】高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019）

第 8 章 立体几何初步 高一数学必修第二册同步高效课堂（人教A版2019） 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 学习目标 1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积的计算公式. 2.理解并掌握侧面展开图与几何体的表面积之间的关系， 并能利用计算公式求几何体的表面积与体积． 目录 CATALOG 01.圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 03.题型强化训练 02.球的表面积和体积公式 04.小结及随堂练习 01 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 复习旧知 棱柱的体积: 棱锥的体积： 棱台的体积: 学习新知 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 １.圆柱、圆锥、圆台的表面积 与多面体一样，圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它们的各个面的面积和．不同之处在于，围成圆柱、圆锥、圆台的面中有曲面，利用的展开图，可以得到它们的表面积公式． （1）圆柱的表面积 O′ O r ( r是底面半径，l是母线长 ) 学习新知 （2）圆锥的表面积 r O S (r是底面半径，l是母线长) 注：扇形的面积公式 (r是扇形所在圆半径，l是弧长) 学习新知 O′ O (r′、r分别是上、下底面半径，l是母线长) （3）圆台的表面积 学习新知 【思考】 圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 学习新知 2. 圆柱、圆锥、圆台的体积 (r是底面半径，h是高) 我们以前已经学习过了圆柱、圆锥的体积公式： (r是底面半径，h是高) 由于圆台是由圆锥截成的，因此可以利用圆锥的体积公式推导出圆台的体积公式： (r′、r分别是上、下底面半径，h是高) 学习新知 【思考】 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？你用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 学习新知 【思考】 结合棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式，你将它们统一成柱体、锥体、台体的体积公式吗？ (S为底面积，h为柱体高) (S为底面积，h为锥体高) (S′、S分别为上、下底面面积，h为台体高) 02 球的表面积和体积公式 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 学习新知 2．球的表面积和体积 O 学习新知 例3： 如图8.3-4，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，圆柱高0.6m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？（π取3.14） 学习新知 【思考】 小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗?类比这种方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式? 第一步：分割．如图所示将球O的表面分成n个小网格，连接球心O和每个小网格的顶点，整个球体就被分割成n个“小锥体”． 学习新知 第二步：近似替代．当n越大时，每个小网格就越小，每个“小锥体” 的底面就越平，“小锥体”就越近似于棱锥，棱锥的高近似于球半径R．设O-ABCD是其中一个“小锥体”，则它的体积是 第三步：由近似和求得球体积．由于球的体积是这n个“小锥体”的体积 之和，而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积．因此球的体积： 学习新知 学习新知 【详解】 学习新知 【感悟提升】 求几何体积的常用方法 (1)公式法：直接代入公式求解． (2)等积法：例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的几何体即可． (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，棱台补成棱锥等． (4)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积． 学习新知 例4： 如图8.3-6，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比． 学习新知 【变式】 古希腊数学家阿基米德的墓碑，上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现，即：圆柱的内切球体积与圆柱体积比为定值，则该定值为（ ） 【详解】 学习新知 【感悟提升】 求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算． 学习新知 本节我们学习了柱体、锥体、台体、球的表面积与体积的计算方法．在生产、生活中遇到的物体，往往形状比较复杂，但很多物体都可以看作是由这些简单几何体组合而成的，它们的表面积与体积可以利用这些简单几何体的表面积与体积来计算． 03 题型强化训练 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 能力提升 【练习1】 题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 大数学家阿基米德的墓碑上刻有他最引以为豪的数学发现的象征图——球及其外切圆柱(如图).以此纪念阿基米德发现球的体积和表面积，则球的体积和表面积均为其外切圆柱体积和表面积的（ ） 能力提升 【详解】 能力提升 题型一　圆柱、圆锥、圆台的表面积 【感悟提升】 圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解，基本步骤如下： (1) 得到空间几何体的平面展开图． (2) 依次求出各个平面图形的面积． (3) 将各个平面图形的面积相加． 通性通法 1．求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤 (1) 得到空间几何体的平面展开图； (2) 依次求出各个平面图形的面积； (3) 将各平面图形的面积相加． 2．球的表面积的求法 要求球的表面积，关键是知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入球的表面积公式求解． 能力提升 题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积 【练习2】如图，何尊是我国西周早期的青铜礼器，其造型浑厚，工艺精美，尊内底铸铭文中的“宅兹中国”为“中国”一词最早的文字记载，何尊还是第一个出现“德”字的器物，证明了周王朝以德治国的理念．何尊的形状可近似看作是由上部分圆台和下部分圆柱的组合体，组合体的高约为40cm，上口直径约为28cm，圆柱的底面直径约 为18cm．取 的近似值为3，经计算得到圆柱的侧面积 约为1296cm2，则该组合体上部分圆台的体积约为（ ） A．6448cm3 B．6548cm3 C．5548cm3 D．5448cm3 能力提升 【详解】 能力提升 题型二　圆柱、圆锥、圆台的体积 【感悟提升】 圆柱、圆锥、圆台的体积的解题策略 1.求圆柱、圆锥、圆台的体积的关键是求其底面面积和高，其中高一般利用几何体的轴截面求得， 2.其中高一般利用几何体的轴截面求得，圆锥、圆台的高是由母线、高、半径(半径的差)组成的直角三角形的边长列出方程并求解． 通性通法 (1)直接法：根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出； (2)分割法：将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积； (3)补体法：将几何体补成易求解的几何体，先求再去． 圆柱、圆锥、圆台的体积求法 能力提升 题型三　组合体的表面积与体积 【练习3】如图所示，一圆柱内挖去一个圆锥，圆锥的顶点是圆柱底面的圆心，圆锥的底面是圆柱的另一个底面.圆柱的母线长为6，底面半径为2.求该组合体的表面积与体积. 能力提升 题型三　组合体的表面积与体积 【感悟提升】 1.求组合体的表面积与体积的方法 (1) 求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则的(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体． (2) 解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢． 能力提升 题型三　组合体的表面积与体积 【感悟提升】 2.关于组合体的表面积与体积问题的解题策略 (1) 分析结构特征：弄清组合体的组成形式，找准有关简单几何体的关键量． (2) 设计计算方法：根据组成形式，设计计算方法，特别要注意“拼接面”面积的处理，利用“切割”“补形”的方法求体积． (3) 计算求值：根据设计的计算方法求值． 能力提升 题型四：球的表面积与体积 【练习4】 能力提升 题型四：球的表面积与体积 球的体积与表面积的求法及其注意事项 (1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解． (2)半径和球心是球的最关键要素，把握住了这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了． 能力提升 题型五：与球有关的切接问题 【练习5】 【详解】 能力提升 题型五：与球有关的切接问题 与球有关的切接问题的一般处理方法 （1）正方体的内切球 能力提升 题型五：与球有关的切接问题 与球有关的切接问题的一般处理方法 （2）长方体的外接球 （3）正四面体的外接球 学习新知 球的切接问题处理策略及常用结论 04 小结及随堂练习 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 课堂总结1 1．知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的表面积． (2)圆柱、圆锥、圆台的体积． (3)球的表面积和体积． 2．方法归纳：公式法． 3．常见误区：平面图形与立体图形切换不清楚． 课堂总结2 圆柱的体积： 圆锥的体积： 棱柱的体积: 棱锥的体积： 棱台的体积: 圆台的体积: 球 课堂总结3 作业 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积 教材第 119 页第 1,3 题 练习（第119页） 1.已知圆锥的表面积为a m2,且它的侧面展开图是一个半圆,求这个圆锥的底面直径. 2．当一个球的半径满足什么条件时，其体积和表面积的数值相等？ 3．将一个棱长为6cm的正方体铁块磨制成一个球体零件，求可能制作的最大零件的体积． 正方体的内切球 内切球的直径等于正方体的棱长 4.一个长、宽、高分别是80cm,60cm,55cm的水槽中有水200 000cm3.现放入一个直径为50cm的木球,如果木球的三分之二在水中,三分之一在水上,那么水是否会从水槽中流出? 习题5.2（第119页） 1.如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内，如果四边形ABCD是边长为30cm的正方形，那么这个八面体的表面积是多少？ A B C D E F 2.如图,将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥,求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比. 【补充例题】从一个正方体中，如图那样截去4个三棱锥后，得到一个正三棱锥A－BCD，求它的体积是正方体体积的几分之几？ 3.如图,一个三棱柱形容器中盛有水,且侧棱AA1=8,若侧面AA1B1B水平放置时,液面恰好过AC,BC,A1C1,B1C1的中点.当底面ABC水平放置时,液面高为多少? 当三棱柱形容器的侧面AA1B1B水平放置时，液面部分是四棱柱形，其高为原三棱柱形容器的高，侧棱AA1=8，当底面ABC水平放置时，液面高为h，由已知条件知：四棱柱底面与原三棱柱底面面积之比为3：4，由于两种状态下，液体体积相等， 所以3×8=4×h，h=6，因此当 底面水平放置时，水面高为6. 5.一个正方体的顶点都在球面上,它的棱长是a cm,求球的体积. 6．如图是一个烟筒的直观图（图中数据的单位为厘米），它的下部是一个正四棱台形物体，上部是一个正四棱柱形物体（底面与四棱台形物体的上底面重合）．为防止雨水的侵蚀，同时使烟筒更美观，现要在烟筒外部粘贴瓷砖，请你计算需要多少平方厘米的瓷砖？（结果精确到1cm2，可用计算工具）． 由题意， 需贴瓷砖的部分为四棱柱与四棱台的侧面积． 7．有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.9×103kg/m3）六角螺母共重5.8kg．如图，每一个螺母的底面是正六边形，边长为12mm，内孔直径为10mm，高为10mm，这堆螺母大约有多少个？（可用计算工具，π取3.14） 答：这堆螺帽大约有248个． 8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积之间有什么关系？ b a 8．分别以一个直角三角形的斜边、两条直角边所在直线为轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成3个几何体．这3个几何体的体积之间有什么关系？ 9.如图是一个奖杯的三视图,试根据奖杯的三视图计算它的表面积和体积(尺寸如图,单位:cm,π取3.14,精确到1 cm3,可用计算器). 由三视图画出它的直观图如图所示 人教A版2019必修第一册 THANKS 感谢您的聆听 【变式】万花筒（Kaleidoscope），是由苏格兰物理学家大卫·布鲁斯特爵士发明的一种光学玩具，将有鲜艳颜色的实物放于圆筒的一端，圆筒中间放置一正三棱镜（正三棱柱），另一端用开孔的玻璃密封，由孔中看去即可观测到对称的美丽图像．如图，已知正三棱镜底面边长为6cm，高为16cm，现将该三校镜放进一个圆柱形容器内，则该圆柱形容器的侧面积至少为（    ）（容器壁的厚度忽略不计，结果保留 ） A． B． C． D． 由题意，圆柱的高为16cm，底面圆即为三棱柱底面的外接圆， 设底面圆半径为 ，由正弦定理，边长6cm等边三角形外接圆半径满足，故 ，于是侧面积为 . 故选：B A． B． C． D． 设球的半径为 ，则圆柱的底面半径为 ， 高为 ，所以 . 故选：B A． B． C． D． 设球的半径为 ,则圆柱的底面半径为 ，高为 所以球的体积为 , 表面积为 . 圆柱的体积为： ,所以其体积之比为： 圆柱的侧面积为： , 圆柱的表面积为： 所以其表面积之比为： 故选：C 设圆柱的高为 ，则 ，则圆台的高 为16cm， 设圆台上底面的面积为 ，下底面的面积为 ， 则 故选：A. 【详解】挖去的圆锥的母线长为 ，则圆锥的 侧面积等于 .圆柱的侧面积为 ，圆柱的 一个底面面积为 ，所以组合体的表面积为 .体积为 . 则内切球的体积 . 故选：B. 已知某圆锥的轴截面为等边三角形，且圆锥侧面积为 ， 则该圆锥的内切球体积为（   ） A． B． C． D． 【详解】设圆锥的底面半径为 ,因为圆锥的轴截面为等边三角形, 所以圆锥的母线长为 依题意： ,解得 . 设圆锥的内切球半径为 ,又圆锥的轴截面为等边三角形， 所以 ， 已知球的表面积为 ，则它的内接正方体的表面积S的值是（    ） A． B． C． D． ． 设球的内接正方体的棱长为 ， 球的半径为 ， 因为 ，所以 ， 因为正方体内接于球，所以 ， 所以 ，所以 ， 所以正方体的表面积 故选：B． 球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球， 此时球的半径为r1＝ eq \f(a,2) ， 过在一个平面上的四个切点作截面如图(1).　 长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长为a 正四面体的棱长a与外接球半径R的关系为2R＝ eq \f(\r(6),2) a.　　 b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径 为r2＝ eq \f(1,2) eq \r(a2＋b2＋c2) ，如图(2).　　 (1)在处理与球有关的相接、相切问题时，一般要通过作一适当的截面，将立体问题转化为平面问题解决，而这类截面往往指的是圆锥的轴截面、球的大圆等； (2)几个常用结论 ①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径； ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径； ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径； ④球与棱锥相切，则可利用V棱锥＝eq \f(1,3)S底h＝eq \f(1,3)S表R，求球的半径R.　　　　 $$