模块六 几何动点问题中的最值 2026年中考数学专题复习（福建）

技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 模块六　几何动点问题中的最值 已知：如图，OA＝OB＝OC＝OD. 结论：A，B，C，D四点共圆. 依据：到定点的距离等于定长的 点都在同一个圆上 已知：如图，O为定点，A为平 面内一动点，且OA＝a. 结论：点A在以O为圆心， a为半径的圆上 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是　 　. 2－2 解析：由题意，得△EBF ≌△EB′F. ∴B′E＝BE＝AB＝2. ∴点B′在以E为圆心，B′E为半径的圆上运动，如图所示. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 故当D，B′，E共线时，B′D的值最小. ∵DE＝＝＝2， ∴B′D的最小值为DE－B′E＝2－2. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 2.如图，正方形纸片ABCD的边长为4，点E在边AD上，点F在边CD上.将正方形纸片ABCD沿EF对折，点B的对应点是点G，连接DG.若AE＝1，则DG长的最小值是　 . －3 解析：如图，设点A，C的对应点分别为H，P，连接EG. ∵正方形纸片ABCD的边长为4，AE＝1， ∴∠EHG＝90°，ED＝AD－AE＝3. 由折叠的性质，得EH＝AE＝1，HG＝AB＝4. ∴EG＝＝. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴点G在以E为圆心，EG的长为半径的圆上运动. 如图，当E，D，G三点共线时，DG的长有最小值. 此时DG＝EG－ED＝－3. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 已知：如图，∠ACB＝90°，AB＝a，C为动点. 结论：点C在以AB为直径的圆上运动，圆心位于线段AB的中点. 依据：直径所对 的圆周角为90° 已知：如图，∠ACB＝α，AB＝a，C为动点. 结论：点C在以AB为弦的圆上运动，圆心位于弦AB的垂直平分线上. 依据：同弧所对的圆 周角相等，且是圆心 角的一半 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 3.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E，F分别在CD，AD上，CE＝DF，BE，CF相交于点G，连接DG.在点E从点C运动到点D的过程中，DG的最小值为　 　. 2－2 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 解析：如图，以BC为直径作⊙O，连接OG. ∵四边形ABCD是正方形， ∴BC＝CD，∠BCE＝∠CDF＝90°. ∵CE＝DF， ∴△BCE≌△CDF(SAS). ∴∠EBC＝∠FCD. ∵∠FCD＋∠BCG＝90°， ∴∠EBC＋∠BCG＝90°. ∴∠CGB＝90°. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴点G的运动轨迹是以BC为直径的⊙O，当O，G，D三点共线时，DG的值最小. ∵在正方形ABCD中，AB＝4， ∴OC＝2，CD＝AB＝4. ∴OD＝＝＝2. ∴DG＝OD－OG＝2－2， 即DG的最小值为2－2. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 4.如图，在边长为3的等边三角形ABC中，D，E分别为边BC，AC上的两个动点，且BD＝CE，AD与BE交于点P，连接CP，则CP的最小值 为 　. 解析：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC， ∠ABC＝∠BAC＝∠BCE＝60°. 在△ABD和△BCE中， 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴△ABD≌△BCE(SAS). ∴∠BAD＝∠CBE. 又∠APE＝∠BAD＋∠ABE. ∴∠APE＝∠CBE＋∠ABE＝∠ABC. ∴∠APE＝60°. 由题意，得∠APB＝180°－∠APE＝120°. 如图，点P在以O为圆心，OA为半径的弧上运动，连接OC. 由圆周角定理及圆的内接四边形对角互补，得 ∠AOB＝120°. ∵OA＝OB， 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴∠OBA＝30°. ∴∠OBC＝90°. 由OA＝OB，AC＝BC，得OC⊥AB. ∴∠BCO＝30°. ∴OC＝＝2，OB＝. 设OC交⊙O于点N，当点P与点N重合时， CP的值最小，最小值为OC－ON＝2－＝. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 5.(2025烟台)如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6 cm.点M从点A出发，沿AC方向以1 cm/s的速度向点C运动，同时，点N从点C出发，沿CD方向以 cm/s的速度向点D运动，当一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接AN，DM交于点P.在此过程中，点P的运动路径长 为　 　cm. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 解析：如图，连接BD交AC于点J. ∵在菱形ABCD中，∠BAD＝60°，对角线AC＝6， ∴∠DAC＝30°＝∠DCA，AJ＝CJ＝3，DJ＝BJ＝AJ∙tan 30°＝，AD＝AB＝BD＝2＝CD. 设运动时间为t，则AM＝t，CN＝t. ∴＝，即＝. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴△ADM∽△CAN. ∴∠ADM＝∠CAN. ∴∠APM＝∠DAP＋∠ADM＝∠DAP＋∠CAN＝30°. ∴∠APD＝180°－30°＝150°. 作等边三角形ADO，以O为圆心，OD为半径作圆，取点K，连接AK，DK. 则OA＝OD＝AD＝2，∠AOD＝60°，∠AKD＝×60°＝30°. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴∠AKD＋∠APD＝180°. ∴P在⊙O上，且在弧AD上. ∴在此过程中，点P的运动路径长为＝(cm). 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 已知：如图，A为直线l外一点，∠A＝α(定角)，A到直线l的距离为定值h (定高)，∠A与直线l交于B，C两点. 结论：当AB＝AC时，弦BC取得最小值， △ABC的面积取得最小值，△ABC的周长 取得最小值. 依据：圆周角定理(固定角度决定圆心角)，弦高关系(固定高度决定半 径)，垂径定理(确定圆心位置) 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 6.如图，已知正方形ABCD的边长为4，动点E，F分别在BC，CD上.若∠EAF＝45°，则△AEF面积的最小值为　 　. 16－16 解析：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG， 则△ABG≌△ADF. ∴AG＝AF， ∠BAG＝∠DAF， ∠ABG＝∠D＝90°. ∵∠ABG＋∠ABC＝180°， 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴B，G，E三点共线. ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAG＝∠BAE＋∠BAG＝∠BAE＋∠DAF＝45°. ∴∠EAG＝∠EAF＝45°. ∴△AEF≌△AEG(SAS). 如图，作△AEG的外接圆⊙O，连接OA，OG，OE，过点O作OH⊥EG于点H. 设OA＝OE＝OG＝r. ∵∠EAG＝45°，∴∠EOG＝90°. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴△OEG是等腰直角三角形. ∴OH＝GH＝r. ∵AO＋OH≥AB， ∴r＋r≥4. ∴r≥8－4. ∴GE＝r≥8－8. ∵S△AEF＝S△AEG＝GE∙AB≥16－16， ∴S△AEF的最小值为16－16. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 7.如图，等边三角形ABC的边长为2＋，PB⊥AB，PC⊥AC，M，N分别在PB，PC上，∠MAN＝30°.当S△AMN最小时，MN＝　 　. 2 解析：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝2＋，∠BAC＝60°. ∵PB⊥AB，PC⊥AC， ∴∠ABP＝∠ACP＝90°. 如答图1，将△ACN绕点A顺时针旋转60°得到△ABN′. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 则△ACN≌△ABN′. ∴∠ACN＝∠ABN′. ∴∠ABN′＋∠ABP＝180°. ∴N′，B，M三点共线. ∵∠MAN＝30°，∴∠CAN＋∠BAM＝30°. ∵∠CAN＝∠BAN′， ∴∠N′AM＝∠NAM＝30°. 又AM＝AM，∴△N′AM≌△NAM. ∴N′M＝MN. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴S△AMN＝S△AMN′＝N′M∙AB. ∵AB＝2＋为定值， ∴当N′M最小时，S△AMN最小. 如答图2，作出△AN′M的外接圆，圆心为点O，连接OM，ON′，过点O作OF⊥MN′于点F. ∵∠MAN′＝30°， ∴∠MON′＝60°. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 又ON′＝OM， ∴△N′OM是等边三角形. 设OA＝OM＝ON′＝x， 则OF＝x. ∵OA＋OF≥AB，∴x＋x≥2＋. 解得x≥2. ∴MN＝N′M＝OM≥2. 综上所述，当S△AMN最小时，MN的值为2. 技法突破30　点在圆弧上(辅助圆) 上一页 1 2 3 4 5 6 7 $技法突破31　点在线段上 上一页 模块六　几何动点问题中的最值 问题提出：如图，A，B为两个定点，在直线l上找一点 P，使得PA＋PB最小. 模型解读：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B， A′B与直线l的交点即为点P，此时PA＋PB最小，且PA＋PB＝A′B. 依据：利用轴对称将问题转化为“两点之间，线段最短”. 在△A′PB中，A′P＋PB≥A′B，当且仅当 P在 A′B上时取等号 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 1.如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，M为直线BC上一动点，则MA＋MD的最小值为　 　. 解析：如图，作点A关于直线BC的对称 点A′，连接A′D交BC于点M′，则AH＝A′H，AH⊥BC，AM′＝A′M′. ∴当M，M′重合时，MA＋MD最小，最小值为A′D. ∵AB＝4，∠ABC＝30°， 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴AH＝AB＝2. ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC. ∴AA′＝2AH＝4，AA′⊥AD. ∵AD＝5， ∴A′D＝＝， 即MA＋MD的最小值为. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 2.(2025南充改编)如图，AB是⊙O的直径，AD⊥AB于点A，OD交⊙O于点C，AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点，P为线段AB上一动点.若CD＝4，则PE＋PF的最小值为　 　. 6 解析：如图，延长DO交⊙O于点M，连接PM，PF，OF，PE. ∵AE⊥OD于点E，交⊙O于点F，F为弧BC的中点， ∴＝＝. ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF. ∵∠AOC＋∠COF＋∠BOF＝180°， 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴∠AOC＝∠COF＝∠BOF＝60°. ∴∠BOM＝∠AOC＝60°＝∠BOF. ∴点F关于AB的对称点为点M. ∴PM＝PF. ∴PE＋PF＝PE＋PM≥EM. 当E，P，M三点共线时，PE＋PF最小，最小值为EM的长. ∵∠AOC＝60°，AD⊥AB， ∴∠D＝30°. ∴OD＝2OA. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∵CD＝4， ∴OD＝OC＋4＝2OA＝2OC，即OC＝4. ∴OC＝OA＝OB＝OM＝OF＝4. ∵AF⊥OC，∠AOC＝60°， ∴∠OAE＝30°. ∴OE＝OA＝2. ∴PE＋PF的最小值为EM＝OE＋OM＝2＋4＝6. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 问题提出：如图，点P为一定点，点A为直线l1上一动 点，点B为直线l2上一动点，求PA＋AB的最小值. 模型解读：作点P关于直线l1的对称点P′，作P′B⊥ 直线l2，垂足为点B，此时PA＋AB的值最小，且PA＋AB＝P′B. 依据：利用轴对称将问题转化为“垂线段最短” 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 3.(2025连云港)如图，在菱形ABCD中，AC＝4，BD＝2，E为线段AC上的动点，四边形DAEF为平行四边形，则BE＋BF的最小值为　 . 　 解析：∵四边形DAEF为平行四边形， ∴EF＝AD，DF＝AE. ∵E为线段AC上的动点， ∴可以看作EF是定线段，菱形ABCD在AC方向上水平运动. 如图，过点B作AC的平行线MN， 过点E作关于线段MN的对称点E′. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 设AC与BD交于点O，EE′交MN于点H，延长E′E交FD的延长线于点G. 由对称性，得BE＝BE′. ∴BE＋BF＝BE′＋BF≤E′F，当且仅当E′，B，F三点共线时，BE′＋BF取得最小值E′F. ∵四边形ABCD为菱形，AC＝4，BD＝2， ∴AO＝AC＝2，BO＝DO＝BD＝1，AC⊥BD. 由对称性，得EH⊥HB， ∵AC∥MN， 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴AC⊥GH. ∴∠OEH＝∠EOB＝∠EHB＝90°. ∴四边形EOBH是矩形. ∴E′H＝EH＝OB＝1. ∵四边形DAEF为平行四边形， ∴DF＝AE，DF∥AC. ∴GD⊥DO. ∴∠GDO＝∠DOE＝∠GEO＝90°. ∴四边形DOEG是矩形. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴GD＝EO，GE＝DO＝1. ∴GF＝GD＋DF＝EO＋AE＝AO＝2，GE′＝GE＋EH＋E′H＝3. ∴E′F＝＝＝， 即BE＋BF的最小值为. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 问题提出：如图，已知直线a∥b，A，B是分别位于直线a上方和直线b下方的定点，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥直线a，找 点M，N，使得AM＋MN＋NB的值最小. 模型解读：以AM，MN为邻边作▱AMNA1，转化为在直 线b上找一点N，使得A1N＋NB最小.连接A1B交直线b于点 N1，过点N1作N1M1⊥a于点M1，连接AM1，此时AM1＋M1N1＋N1B的值最小. 依据：通过平移消除定长线段(桥长)，将问题转化为“两点之间，线段最短” 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 4.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，G分别是边AB，AC上的点，CG＝2BD，线段EF在边BC上左右滑动.若BD＝，BC＝7，EF＝1，则DE＋GF的最小值为　 　. 3 解析：如图，作GG1∥BC，使得GG1＝EF＝1，作G1关于BC的对称点G2，G1G2交BC于点H，连接DG2，G1E，G2E，过点D作DM⊥BC于点M，过点G作GN⊥BC于点N. 则四边形EFGG1是平行四边形，EG1＝EG2，四边形HNGG1是矩形，∠DMB＝∠GNC＝90°. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴EG1＝FG，G1H＝GN，GG1＝HN＝1. ∴G1H＝G2H＝GN. ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°. ∴∠ABC＝∠BDM＝∠NGC＝∠ACB＝45°. ∴BM＝DM，GN＝NC. ∵BD＝，CG＝2BD，∴CG＝2. ∴由勾股定理，得BM＝DM＝1， GN＝NC＝2. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴G1H＝G2H＝GN＝2， BH＝BC－HN－CN＝7－1－2＝4. ∵DE＋EG2≥DG2， ∴当D，E，G2三点共线时，DE＋EG2的值最小，即DE＋GF的最小值为DG2. 如图，以B为原点，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 则D(1，1)，G2(4，－2). ∴DG2＝＝3. ∴DE＋GF的最小值为3. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 利用三角形的全等将两条线段在动点处拼接为“首尾”是定点的折线段，再运用“两点之间，线段最短”求线段和的最小值 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 5.如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AC＝5，BC＝4，D，E分别为边AB，AC上的动点，且AD＝CE，则CD＋BE的最小值为　 　. 解析：过点C作GK∥AB，使得CK＝AC，作BG⊥CG于点G，连接BK，EK，如图所示. ∵AB∥CK， ∴∠KCE＝∠CAD. ∵CK＝AC，AD＝CE， ∴△KCE≌△CAD. ∴EK＝CD. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴CD＋BE＝EK＋BE≥BK. ∵AB∥GK，BG⊥CG， ∴∠ABG＝90°. ∵∠ABC＝60°， ∴∠CBG＝30°，CG＝BC＝2， BG＝＝2. ∵CK＝AC＝5，∴GK＝CK＋CG＝7. ∴BK＝＝＝. ∴CD＋BE的最小值为. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 6.如图，在直角三角形ABC内部有一动点P，∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，连接PA，PB，PC.若AB＝3，则PA＋PB＋PC的最小值为　 　. 3 解析：如图，将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△EBF，连接PF，CE，AE，作EH⊥CA交CA的延长线于点H. 在Rt△ABC中， ∵∠ACB＝30°，AB＝3， ∴BC＝2AB＝6，AC＝AB＝3. 由旋转的性质，得PA＝EF，易证△PBF和△ABE均是等边三角形， 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴PF＝PB. ∴PA＋PB＋PC＝EF＋FP＋PC. ∵EF＋FP＋PC≥CE， ∴当C，P，F，E四点共线时，PA＋PB＋PC的值最小. ∵∠BAC＝90°，∠BAE＝60°， ∴∠HAE＝180°－90°－60°＝30°. ∵EH⊥AH，AE＝AB＝3， ∴EH＝AE＝，AH＝EH＝. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∴CE＝＋＝3. ∴PA＋PB＋PC的最小值为3. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 通过对称变换将折线路径转化为直线段，从而利用“两点之间，线段最短”求出最小值 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 7.(2025内江)如图，在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，AB＝2，点D，E，F分别是边BC，AB，AC上的动点，则△DEF周长的最小值是　 　 . 2 解析：如图，分别作点D关于AB，AC的对称点N，M，连接AM，AN，EN，FM，MN，AD，ND，MD. ∴△DEF的周长为DE＋EF＋FD＝NE＋EF＋FM≥MN. 当N，E，F，M四点共线时，DE＋EF＋FD取得最小值. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 ∵点N，M分别是点D关于AB，AC的对称点， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，AN＝AD＝AM. 又∠2＋∠3＝45°， ∴∠NAM＝∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°. ∴△AMN是等腰直角三角形. ∴MN＝AN＝AD. ∴当AD⊥BC时， AD取得最小值， 即△DEF的周长最小. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 又∠B＝60°，AB＝2， ∴AD的最小值为ABsin 60°＝2×＝. ∴△DEF周长的最小值为AD＝×＝2. 技法突破31　点在线段上 上一页 1 2 3 4 5 6 7 $