21.1.1 四边形及其内角和 课件 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版 数学 八年级 下册 21.1 四边形及多边形 课时1 四边形及其内角和 第二十一章 四边形 1 七彩城就梦想 学习目标 1.了解四边形的概念及四边形的边、顶点、对角线、 内角与外角． 2. 探索并掌握四边形的内角和与外角和，提升推理能力． 3.了解四边形的不稳定性及其在生活中的一些应用． 大家仔细观察，生活中有哪些类似四边形的形状？ 新课导入 问题1：观察画四边形的过程，类比三角 形的概念，你能说出什么是四边形吗？ 在平面内，由不在同直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形. A B C D 探究1 四边形的定义 探究新知 内角：四边形相邻两边组成的角. 顶点：每相邻两条线段的公共端点. 边：组成四边形的各条线段. 外角：四边形角的一边与另一边的延长线组成的角. 对角线：连接四边形不相邻的两个顶点的线段. 问题2：根据图示，类比三角形的有关概念，说明什么是四边形的边、顶点、内角、外角、对角线． 探究2 四边形的内角和 思考2：你知道长方形和正方形的内角和是多少度？ 思考1：三角形内角和是多少度？ 三角形内角和是180°. 都是360°. 思考3：猜想任意四边形的内角和是多少度？ 由此可得∠DAB＋∠B＋∠BCD＋∠D ＝∠1＋∠2＋∠B＋∠3＋∠4＋∠D ＝(∠1＋∠B＋∠3)＋(∠2＋∠4＋∠D) ＝180°＋180°＝360°. 证明： 如图，在四边形 ABCD 中，连接对角线 AC，则四边形 ABCD 被分为△ABC 和△ACD 两个三角形， 在△ABC 中，由三角形内角和定理，得 同理∠2＋∠4＋∠D＝180°. ∠1＋∠B＋∠3＝180°. A B C D 即四边形的内角和等于360°. 2 1 3 4 七彩城就梦想 例1 如图，在四边形的每个顶点处各取个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和. 四边形的外角和等于多少? A B C D 2 1 3 4 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. 探究3 四边形的外角和 A B C D 2 1 3 4 解：如图.∵∠DAB 与∠1 是邻补角， ∴∠DAB＋∠1＝180°. 同理∠ABC＋∠2＝180°， ∠BCD＋∠3＝180°， ∠CDA＋∠4＝180°. ∴∠DAB＋∠1＋∠ABC＋∠2＋∠BCD＋∠3＋∠CDA＋∠4＝720°. 而∠DAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDA＝360°， ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝360°. 四边形外角和 360°. 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？试说明理由. 解： 如图，四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°. ∠A+∠B+∠C+∠D=(4–2) ×180 °= 360 °， 因为 ∠B＋∠D= 360°–（∠A＋∠C） = 360°– 180° =180°. 所以 A B C D 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补. 运用四边形内角和定理进行证明或计算 例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？ 分析：因为四边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，所以四边形的外角和与内角和的总和为4×180°. 根据这个关系，可以利用四边形的内角和求出其外角和. A B C D 2 4 3 1 解：∵∠DAB与∠1是邻补角， ∴∠DAB+∠1=180°. 同理∠ABC+∠2=180°，∠BCD+∠3=180°，∠CDA+∠4=180°. ∴∠DAB+∠1+∠ABC+∠2+∠BCD+∠3+∠CDA+∠4=720°. 而∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠CDA=360°， ∴∠1+∠2+∠3+∠4=360°. 例1 如图，在四边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫作四边形的外角和.四边形的外角和等于多少？ A B C D 2 4 3 1 四边形的外角和等于360° 大小和形状固定不变 三角形的稳定性 在“三角形”一章中，我们通过实验发现三角形具有稳定性，并在学习全等三角形时明白了其中的道理，那么四边形是否也具有稳定性呢？ 探究4 四边形的不稳定性 可以发现，四边形木架的形状会改变. 因为四边形的四条边确定后，四个角并不确定，这说明四边形不具有稳定性. 而再钉一根木条后，四边形木架变成两个三角形木架，由于三角形具有稳定性、这时四边形木架的形状不会改变. 图 （1） 图（2） 探究 如图(1)，在每个角上钉一枚钉子，将四根木条钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？ (1) (2) 如图(2)，在四边形木架上再钉一根木条，将它的一对不相邻的顶点连接起来，然后再扭动它，这时木架的形状还会没变吗？为什么？ 1. 四边形不具有稳定性. 2. 三角形具有稳定性. 在日常生活中，有时需要利用四边形的不稳定性，如图中的伸缩门、升降机等；有时又需要克服四边形的不稳定性，如图中在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上钉一根木条，以防窗框变形等. 想一想：在日常生活中， 有哪些是需要克服四边形不稳定性的例子呢? 在中的栅栏两横梁之间加钉斜木条 四边形及 其内角和 定义：在平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫作四边形 内角和与外角和：四边形的内角和是360°，四边形的外角和等于360° 四边形的不稳定性 课堂小结 1. 在四边形 ABCD 中，∠A 与∠C 互补，∠B = 80°，则∠B 的度数是（ ） A．60° B．80° C．100° D．120° C 当堂练习 2. 在四边形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C，∠D 的度数之比为1∶2∶3∶3，则∠B 的度数为（ ） A. 30° B. 40° C. 80° D. 120° C $