第三章问题解决活动-最短距离教学设计 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

该初中数学教学设计聚焦最短距离问题，以“将军饮马”历史故事引入，抽象为数学模型，连接轴对称性质与线段公理，搭建从历史情境到数学转化的学习支架。 特色在于“综合与实践”活动设计，通过小组探究地下通道出口问题，利用平移转化为两点之间线段最短，培养几何直观（数学眼光）、推理能力（数学思维）和模型意识（数学语言）。分层练习助学生巩固转化思想，教师可直接应用提升课堂效率。

北师大版（2026）八年级数学下册第三章《图形的平移与旋转》 问题解决活动--最短距离教学设计 学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 三 课题 问题解决活动--最短距离 课时 1 课标要求 1、 能利用图形的对称、平移等变换探索图形的性质，解决简单的最短距离问题； 2、 掌握两点之间线段最短等基本公理，并将其作为解决最短路径的理论依据； 3、 能识别并构建“将军饮马”模型，体会数学在解决实际问题中的运用价值，增强运用意识。 教材分析 本节课是典型的“综合与实践”活动，它不仅是已学知识（轴对称性质、线段公理、三角形三边关系）的综合运用，也是为后续学习《一次函数》，《锐角三角函数》以及高中的解析几何奠定重要的模型基础。 本节教材编排蕴含丰富的数学思想（转化与化归思想、建模思想、对称思想、数形结合思想），是教学中的重中之重。 学情 分析 学生虽然对轴对称的基本作图已经很熟悉，但在解决最短路径问题时，往往存在以下困难： ①想不到为什么要作对称点（或平移），找不到知识的连接点；②不会证为什么只有这样路径最短；③无法识别背后的“将军饮马”模型 核心素养目标 1、 能利用轴对称、平移、旋转的性质解决“两点在一条直线异侧”的最短路径问题。 2、 通过“将军饮马”模型的探究，体会“化折为直”的转化思想，经历将实际问题抽象为数学模型的过程。 3、 感受数学在生活中的应用价值，培养勇于探索、严谨求实的科学态度。 教学重点 构建模型、转化思想。 教学难点 严谨的逻辑语音证明最短距离问题。 教学 准备 教学过程 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 一、温故 ”将军饮马“由来       相传亚历山大城有一位精通数学的学者海伦。某日，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题。将军每天从军营A出发，先到河边饮(yìn)马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传。  抽象为数学模型：直线同侧有两个定点A、B,请在直线上找一点C,使AC+BC值最小。如果点A、B在直线的两侧，我们便可用两点之间线段最短，找到点C的位置了。即连接AB交直线于点C。  因此，构造点A关于直线l的对称点A’，连接A’B交直线于点C，点C就找到了。（找对称点，本质上是通过AC=A'C,把问题转化为求A'C+BC最小值） 了解“将军饮马”的由来，并抽象为数学模型，转化为两点之间线段最短。 温故知新，为新授奠基。 二、活动探究 提出问题 如图3-32，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过地下通道去工厂上班，已知地下通道长a米，那么地下通道的两个出口应该设计在何处，才能使居民经过地下通道去工厂上班的线路最短？请画出这条最短线路并说明理由（不考虑地面到地下通道地面的高度） 理解问题 上述问题可以抽象怎样的数学问题，试着写一写，画一画。 C、D在什么位置，使AC+CD+DB最短？ 拟定计划 （1）你以前遇到过类似的问题吗？ （2）解决这个问题的最大困难时什么？ （3）地下通道将居民区到工厂的路从中间分成两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗？ 实施计划 （1）写出你的解决方案， （2）说明方案的合理性。 （1）居民区点A沿城铁方向平移am到 ，连接B交城铁线点C. （2）作AD平行C,交城铁线点D 理论根据：AD+DC+CB= C+CB+a= B+a (两点之间线段最短） 回顾反思 将固定的一段线路平移，将问题转化成两点之间线段最短的问题来解答；解决最短距离问题的关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决 活动小结： 最短距离问题，关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。 1、 小组活动：提出问题、理解问题、拟定计划（相互补充完善）、实施计划，回顾反思（畅所欲言，发表自己的见解）。 2、 活动小结最短距离问题解决的关键是什么？理论根据是什么？ 活动过程按：提出问题、理解问题、拟定计划、实施计划，回顾反思这几个步骤进行，重点是回顾反思阶段。 三、尝试 基础达标： 1.如图，直线L是一条河，P，Q是两个村庄，欲在l上的某处修建一个水泵站，向P，Q两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是（　C　） 2.如图，已知∠O，点P为其内一定点，分别在∠O的两边上找点A、B，使ΔPAB周长最小的是( D ) 3.如图，在△ABC中，AB=3，AC=4，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（　A　） A.4 B.5 C.6 D.7 4.A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，使从A到B的路径AMNB最短的是（假定河的两岸是平行线，桥与河岸垂直）（ D ） 5.如图，某工厂甲、乙两个单位分别位于厂内一条封闭的道路两旁，现计划修建一座天桥，要求天桥与道路垂直，那么天桥建在何处才能使由甲到乙的路程最短？ 解析：把甲点沿垂直方向平移至C，平移距离等于天桥的长度,连接C乙两点，交道路的另一边于N,作MN垂直于道路。则MN就是天桥的位置。 能力提升： 6. 已知点P（0，1），Q（5，4），点M在x轴上运动，当MP+MQ的值最小时，点M的坐标为______ ． 解答提示： 找点P关于x轴的对称点 （0，-1），求直线Q的解析式y=x-1,当Y=0,X=1,所以M(1,0) 拓展迁移 7.如图，在△ABC中，AB=AC． （1）利用尺规作线段AB的垂直平分线DE，垂足为E，交AC于点D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下， ①若∠A=30°，求∠DBC的度数； ②若△ABC的面积是12，BC=4，点M、N分别是BC、DE上的动点，求BN+NM的最小值． 解：（1）如图，DE为所作； （2）①∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=12×（180°-30°）=75°， ∵DE垂直平分AB， ∴DA=DB， ∴∠DBA=∠A=30°， ∴∠DBC=∠ABC-∠DBA=75°-30°=45°； ②如图，∵DE垂直平分AB， ∴NA=NB， ∴BN+NM=AN+MN≥AM（当且仅当A、N、M共线时取等号）， ∵当AM⊥BC时，AM的长度最小， ∵ AM•BC=12， ∴AM=6， ∴BN+NM的最小值为6 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 四、提升 最短距离问题 关键是要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点、旋转点，将复杂的图形转化成简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”，“垂线段最短”等进行解决。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。 板书设计 最短距离问题 提出问题--理解问题--拟定计划--实施计划--回顾反思 理论根据： 两点之间线段最短；三角形两边之和大于第三边；垂线段最短。 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。 作业设计 （课外练习） 基础达标： 1.如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，4），B（4，2），在x轴上取一点P，使点P到点A和点B的距离之和最小，则点P的坐标是（　C　） A．（－2，0）   B．（4，0）   C．（2，0）   D．（0，0） 2．如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF＋CF取得最小值时，则∠ECF的度数为（　C　）． A．15°   B．22．5°   C．30°  D．45° 第1题 第2题 第3题 3．如图，锐角三角形ABC中，∠C＝45°，N为BC上一点，NC＝5，BN＝2，M为边AC上的一个动点，则BM＋MN的最小值是（  C ）． A． B． C． D． 4.已知，如图，一牧童在A处牧马，牧童家在B处，A，B两处距河岸的距离AC，BD的长分别为700米，500米，且CD的距离为500米，天黑前牧童从A点将马牵到河边去饮水后，再赶回家，那么牧童最少要走（  B   ）米． A． 1400    B． 1300    C． 1200    D． 1100 第4题 第5题 5.如图，某工厂计划在一条笔直的道路上新建两个储物点，两个储物点的距离固定，工作人员每天进入大门后先到甲储物点取物品。然后沿道路到乙储物点取物品，最后到另一侧的车间，请画图说明两个储物点设在何处，使工作人员所走的路程最短？ 解析：大门沿道路方向平移至点A， 平移距离等于两个储物点之间的距离， 连接A和车间两点，和道路相交的点 就是乙储物点。根据两储物点的距离 是固定的，再确定甲储物点的位置。 能力提升： 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝4，E是AB边的中点，F是AC边的中点，则（1）EF＝ 2 ；（2）若D是BC边上一动点，则△EFD的周长最小值是 ． 第6题 第7题 拓展迁移： 7. 在某一地方，有条小河和草地，一天某牧民的计划是从A处的牧场牵着一只马到草地牧马，再到小河饮马，你能为他设计一条最短的路线吗？（在N上任意一点即可牧马，M上任意一点即可饮马．）（保留作图痕迹，需要证明） 解：沿AC－CD－DB路线走是最短的路线如图（1）所示 证明：在ON上任意取一点T，在OM上任意取一点R，连接FR、BR、RT、ET、AT， ∵A、E关于ON对称， ∴AC＝EC， 同理BD＝FD，FR＝BR，AT＝ET， ∴AC＋CD＋DB＝EC＋CD＋FD＝EF， AT＋TR＋BR＝ET＋TR＋FR， ∵ET＋TR＋FR＞EF， ∴AC＋CD＋DB＜AT＋TR＋BR， 即沿AC－CD－DB路线走是最短的路线． 教学反思 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $