19.2二次根式的乘法与除法 课件2025-2026学年 人教版数学八年级下册

19.2二次根式的乘法与除法 情景导入 站在水平高度为h米的地方看到可见的水平距离为d米，它们近似地符合公式为 . 问题1 某一登山者爬到海拔100米处，即 时，他看到的水平线的距离d1是多少？ 解： 问题2 某一登山者爬到海拔200米处，即 时，他看到的水平线的距离d2是多少？ 解： 问题3 他从海拔100米处登上海拔200米高的山顶，那么他看到的水平线的距离是原来的多少倍？ 解： 思考：这是什么运算，这样的式子如何计算呢？ 知识点1： 二次根式的除法 计算下列各式： 2 3 4 5 6 7 观察两者有什么关系？ 合作探究 观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式： 猜测 你发现了什么规律？能用字母表示你所发现的规律吗？ 从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范围有没有限制呢？ 猜测： (1) (2) (3) 不是的.应该是 a≥0， b＞0. 若 b = 0 时，等式两边的二次根式就没有意义啦！ 回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道 那么对于 是否同样是 a≥0，b≥0？ 课堂导入             对比上面二次根式化简前后的结果，被开方数发生了什么变化呢？ 最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 . 知识点：最简二次根式 新知探究 即被开方数必须是整数（式） 注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 例题练习 化简：(1) (2) (3) . 解：(2) 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. (3) 归纳总结 化成最简二次根式的一般方法： （1）将被开方数中能开得尽方的因数或者因式进行开方， 如 ； （2）若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再去分母，并将能开得尽方的因数或者因式进行开方， 如 ； （3）若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数后再进行化简，如 . 例题练习 化简： 补充解法： 探究新知 总结一下二次根式的运算结果有什么特征吗？ （1）被开方数不含分母； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 【注意】在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式. 分母有理化一般经历如下三步： “一移”，即将分子、分母中能开得尽方的因数(式)移 到根号外； “二乘”，即将分子、分母同乘分母的有理化因数(式)； “三化”，即化简计算． 归纳： 针对练习 1.下列各式计算正确的是(　　) A. B. C. D. 2.若 ，则a的取值范围是(　　) A．a≤0 B．a<0 C．a>0 D．0<a≤1 C D 知识点三 最简二次根式 定义：如果一个二次根式满足以下两个条件，那么这个二次根式叫做最简二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 最简二次根式必须满足： (1)被开方数不含分母，也就是被开方数必须是整数(式)； (2)被开方数中每个因数(式)的指数都小于根指数2，即每个因数(式)的指数都是1. 针对练习 1.把下列二次根式化成最简二次根式： (1) (2) (3) (4) (1) ; (2) ; (3) (4) 解： 小结 最简二次根式 1.被开方数不含分母； 2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 3.化简与计算：         10．一个长方体的长、宽、高分别为3，2，求这个长方体的体积． 解：这个长方体的体积为 3×2×=3×2=36. 7．【例4】计算与化简： (1)2××10; (2)(x>0)． 解：(1)原式=2×2××10=3×10=30. (2)原式==4x. 小结:将能开得尽方的因式或因数开方后移到根号外. 练习5 把下列二次根式化成最简二次根式： (1) ； (2) . 解：(1) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ； (2) EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 练习6 计算：（1） ； （2） . 解：（1） ； （2） . 练习7 化简：（1） ； （2） ； （3） . 解：（1） ； （2） ； （3） . $