19.1 二次根式及其性质（第1课时） 同步探究学案 2025-2026学年人教版八年级数学下册

课题

19.1 二次根式及其性质（第1课时）

单元

第十九章

学科

数学

年级

八年级

学习

目标

1．根据算术平方根的意义了解二次根式的定义．

2．通过探索二次根式有意义的条件，知道为什么被开方数（式）必须是非负的，加深对二次根式定义的理解．

重点

从算术平方根的意义出发理解二次根式的定义．

难点

二次根式有意义的条件．

探究过程

导入新课

【引入思考】

广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？

广播电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波就传播得越远，从而能收听收看到广播电视节目的区域就越广．那么，广播电视塔高h(单位：km)增加到一定的倍数，广播电视节目信号的传播半径r(单位：km)是否也会增加到相应的倍数呢？

解决上面的问题需要二次根式的有关知识．本章我们将在已学的算术平方根的基础上，类比整式、分式，学习二次根式的概念、性质和运算法则．通过本章的学习，为后面的勾股定理、一元二次方程等内容的学习打下基础。

新知探究

本节课来研究：

本节我们借助算术平方根，研究二次根式。

思考1：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：

（1）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m．

（2）一个大正方形的面积是一个边长为a的正方形与另一个边长为1的正方形的面积之和，则大正方形的边长为________．

（3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时离地面的高度h(单位：m)的关系近似为h=5t2 ．如果用含有h的式子表示t，那么t为________．

想一想：你发现这些结果有哪些共同特征？

归纳：一般地，我们把形如的式子叫作二次根式．

问题：在二次根式中，为什么a不能是负数？

阅读：回顾我们学过的式子，如 5，a，a＋b，－ab，，－x3， (a≥0)，它们都是用基本运算符号（基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式．二次根式也是_________．

例1：下列各式中，一定是二次根式的是（       ）

A．     B．   C．  D．

归纳：判断一个式子是二次根式的条件

（1）含有_________；

（2）被开方数（或式子）是_________.

例2：当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？

思考2：当 x 是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？呢？

归纳：使代数式有意义的字母取值范围的条件

（1）二次根式型：．被开方数______

（2）分式型：．分母______

（3）零指数幂型：a0＝1．底数______

课堂练习

【知识技能类练习】

必做题：

1．下列式子中，属于二次根式的是（   ）

A． B． C． D．

2．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是      ．

3．当x取何值时，下列二次根式有意义？

(1)