2.1.1 平方根和算数平方根 教学设计 2025-2026学年 湘教版数学七年级下册

《2.1.1 平方根和算术平方根》教学设计 课型 新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口 教学内容分析 本节课主要包括平方根和算术平方根的定义、表示方法、性质以及它们之间的区别与联系。通过对具体数字的平方运算，引导学生逆向思考，从而引出平方根的概念，再进一步探究算术平方根的特殊性，让学生逐步理解这两个重要数学概念的内涵与外延。它为后续学习二次根式、一元二次方程等知识奠定了基础，起到了承上启下的作用。同时，这部分知识在实际生活中的应用也十分广泛，如建筑、工程计算等领域，有助于培养学生的数学应用意识。 学习者分析 七年级学生正处于从形象思维向抽象思维过渡的阶段，他们已经具备了一定的有理数运算基础，但对于新概念的理解和抽象符号的运用还存在一定困难。在学习过程中，学生可能会对平方根和算术平方根的正负性混淆，对其表示方法感到陌生。因此，在教学中要注重引导学生从具体实例出发，通过直观演示、类比等方法帮助学生理解抽象概念，逐步培养学生的抽象思维能力。 教学目标 1.能准确理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的表示方法。 2.能熟练运用平方根和算术平方根的性质进行计算，会求一个非负数的平方根和算术平方根。 3.通过对平方根概念的探究过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养归纳概括能力。 教学重点 1.学生能准确理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的表示方法。 2.能熟练运用平方根和算术平方根的性质进行计算，会求一个非负数的平方根和算术平方根。 教学难点 通过对平方根概念的探究过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养学生的归纳概括能力。 学习活动设计 教师活动 学生活动 环节一：引入新课 教师活动1： 教师出示课本引言，我国南朝科学家祖冲之（429—500）推算出了圆周率π的值在 3. 141 592 6 和 3. 141 592 7 之间 . 古往今来，数学家们乐此不疲地寻求 π 的精确值，如今借助超级计算机，π 的值已经推算到了小数点后万亿位以上，但还是无法穷尽. 除此之外，还有很多像 π 这样的数，它们都不是有理数，从而我们需要扩充对数的认识 . 学生活动1： 学生观看引言部分内容，为本节课学习新知识奠定基础。 活动意图说明：激发学生学习动机和兴趣，吸引学生注意力，为引进新知识的学习做好心理准备。 环节二：新知探究 教师活动2： 教师出示课本问题：说一说：小明将一个长为 2、宽为 1 的长方形纸片，按下图所示方法剪拼成了一个正方形 . 观察图中过程，由此你能发现这个正方形的面积是多少吗？它的边长呢？ 这个问题的实质就是要找一个数，使它的平方等于给定的数. 总结：平方根的定义 如果有一个数 r，使得 r2= a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 这就是说，若r2 = a，则 r 是a的一个平方根. 例如，由于22 = 4，因此2是4的一个平方根. 又因为（-2）2 = 4，所以-2也是4的一个平方根. 4的平方根除了2和-2以外，还有其他的数吗？ 因为边长大于 2 的正方形，它的面积一定大于 4，所以比 2 大的数都不是 4的平方根. 类似地，边长小于 2的正方形，它的面积一定小于 4，从而比 2小的正数都不是4的平方根. 又由于（-b）2 = b2，因此，大于-2或小于-2的负数都不是4的平方根. 0显然不是4的平方根. 所以4的平方根有且只有两个：2与-2. 一般地，如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r 与 -r . 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根，记作，读作“根号 a”;正数 a 的负平方根记作-，读作“负根号 a”. 这样，正数 a的两个平方根可以用“± ”来表示，读作“正、负根号a”. 于是，4的平方根是±，由上可知 ±=±2.同样，2 的平方根是±. 学生活动2： 学生思考教师提出的问题。 学生根据教师引导总结平方根的概念。 学生在理解平方根的概念的基础上探究算术平方根的定义. 活动意图说明：运用探究式教学模式，使学生体验教学再创造的思维过程，培养学生的创造意识和科学精神。 环节三：新知探究 教师提问： 【思考】0的平方根是多少？负数有平方根吗？ 由于02= 0，而非零数的平方不等于0，因此0的平方根就是0本身. 0的平方根也叫作0的算术平方根，记作，即= 0. 在目前我们所学习的数中，由于同号两数相乘得正数，且 02= 0，因此，不存在一个数的平方是负数，从而负数没有平方根. 求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数. 根号“”可理解为一种运算符号，表示对被开方数进行开平方运算 . 开平方与平方互为逆运算，根据这种关系，可以求一个数的平方根. 例如，9 的平方根是±3，±3 的平方是 9； 5 的平方根是± ，±的平方根是5. 【例1】分别求下列各数的平方根： （1） 36； （2） （3）1.21 解 ：（1） 由于（±6）2 = 36，因此36的平方根是6与-6，即 （3） 由于（±1.1）2 =1.21 ，因此1.21的平方根是1.1与-1.1，即 【例2】分别求下列各数的算术平方根： （1） 100； （2） 1. 96； （3） 解：（1） 由于10 2 =100 ，因此 （2）由于1.42=1.96 ，因此 （3） 由于 因此 议一议：下列各数有平方根吗？如有，分别是多少？ （1）| -81 |； （2）（-5）2. 解：（1）| -81 |=81，81的平方根为±9. （2）（-5）2=25，25的平方根为±5. 学生活动3： 学生探究0的平方根是多少？负数有没有平方根。 学生根据所学知识完成例题. 活动意图说明：强化课堂上所学的知识，并且培养学生综合运用所学的知识和技能解决问题的能力，培养学生的应用意识。 板书设计 课题：2.1.1 平方根和算术平方根 一、平方根 二、算术平方根 课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.平方根等于它本身的数是( A ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 4 2. 下列说法正确的是( A ). A. 任何正数都有平方根 B. 任何有理数都有平方根 C. (-2)²的平方根是-2 D. | -4 |的平方根是2 3.下列说法不正确的是( C ). A. 6是36的平方根 B. -6是36的平方根 C. 36的平方根是6 D. 36的平方根是±6 4.下列说法正确的是( A ). A. 因为52 = 25，所以5是25的算术平方根 B. 因为(-5)2= 25，所以-5是25的算术平方根 C. 因为(±5)2 = 25，所以5和-5都是25的算术平方根 D. 以上说法都不对 选做题： 5.一个数的算术平方根等于它本身，那么这个数是( C ) A. 0 B. 1 C. 1或0 D. -1 6.完全相同的4个正方形面积之和是100，则正方形的边长是( B ). A. 2 B. 5 C. 10 D. 20 【综合拓展类作业】 7.将长和宽分别为2和1的长方形沿如图虚线剪开，拼成一个与长方形面积相等的正方形，则该正方形的边长是多少？ 解：长方形的长为2，宽为1，∴长方形的面积为2×1=2， 设拼成的正方形的边长为a，则a>0且a2 =2，∴a =，即该正方形的边长是 . 课堂总结 本节课你学到了什么？ 1.如果有一个数 r，使得 r 2 = a，那么 r 叫作 a 的一个平方根，也叫作二次方根. 2.如果 r 是正数 a 的一个平方根，那么 a 的平方根有且只有两个：r与 -r . 正数 a 的正平方根叫作 a 的算术平方根. 3.0的平方根就是0本身；负数没有平方根. 4.求一个非负数的平方根的运算，叫作开平方. 这个非负数叫作被开方数. 作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 求下列各数的平方根： （1）121； （2）0.0081. 解：（1）因为(±11)2= 121，所以121的平方根是±11. （2）因为(±0.09)2= 0.008 1，所以0.0081的平方根是±0.09. 2.一个正数m的平方根是2a - 8与10 - 4a，则m的值是( C ). A. 6 B. -6 C. 36 D. 1 选做题： 3.的算术平方根是( D ）. A.±9 B.±3 C. 9 D.3 4. 若正方形的面积是100，则该正方形的边长是( C ). A.100的平方根 B. 的平方根 C.100的算术平方根 D. 的算术平方根 【综合拓展类作业】 5.已知2a-1的平方根为±，3a- 2b +1的平方根为±3， 求 4a-b 的平方根. 解：2a-1的平方根为±，∴ 2a-1 = 3，∴ a =2. ∵ 3a - 2b+1的平方根为±3，∴ 3a- 2b +1=9. ∴b= -1. ∴ 4a-b=8+1=9. ∴4a- b的平方根为±3. 教学反思 在教学过程中，通过问题情境导入，激发了学生的学习兴趣，让学生在解决实际问题中感受到数学的实用性。在概念讲解环节，注重从具体到抽象的过渡，利用实例帮助学生理解平方根和算术平方根的概念，但部分学生对其区别与联系的把握还不够精准，后续教学中需加强针对性练习。 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $