精品解析：浙江省台州市书生中学2021-2022学年九年级下学期寒假作业检查（开学考）数学试题

2021学年第二学期九年级起始考（数学） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 在，0，1，四个数中，负数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2. 下列计算正确的是（   ） A. B.   C. D. 3. 宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（ ） A. B.   C.   D. 4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　） A. B. C. D. 5. 若a＞b，则（　　） A. a﹣1≥b B. b+1≥a C. a+1＞b﹣1 D. a﹣1＞b+1 6. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A. ①×2﹣② B. ②×（﹣3）﹣① C. ①×（﹣2）+② D. ①﹣②×3 7. 过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　） A. 2 B. C. D. 9. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 10. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____． 12. 已知实数，满足，则代数式的值为_____. 13. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____． 14. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 15. 如图，一副含和角的三角板和拼合在一个平面上，边 与 重合，．当点 从点出发沿 方向滑动时，点 同时从点出发沿射线 方向滑动．当点 从点滑动到点时，点 运动的路径长为_____． 16. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为6，则k的值为_____． 三、简答题（本大题共8题，共80分） 17. 计算：|﹣6|﹣+(1﹣)0﹣(﹣3)； 18. 先化简，再求值，其中． 19. 在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图： （1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形． （2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 三等分． 20. 某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图 1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图 2)．工作时如图 3，动臂BC 会绕点B 转动，当点 A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图 4)．   (1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．   (2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)? （考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，） 21. 为更好组织体育锻炼活动，随机抽取了我区部分七年级学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人） A 跳绳 59 B 健身操 C 俯卧撑 31 D 开合跳 E 其它 22 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的扇形统计图 （1）求参与问卷调查的学生总人数； （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）我区共有七年级学生8000人，估算其中最喜爱“健身操”的人数． 22. 如图，在中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切与点B，与OC相交于点D． （1）求的度数． （2）如图，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若，求的度数． 23. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展． (1)温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形 PQMN的边长． (2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”． (3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形． (4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线BN上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图3)．当tan∠NBM=时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题． 24. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021学年第二学期九年级起始考（数学） 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 在，0，1，四个数中，负数是（ ） A. B. 0 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据小于零的数是负数解答即可． 【详解】∵，∴负数是. 故答案为D. 【点睛】本题考查了正数和负数，小于零的数是负数． 2. 下列计算正确的是（   ） A. B.   C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据合并同类项的法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则以及同底数幂除法法则解答即可． 【详解】A、∵和不是同类项，∴不能加减，故此答案错误，不符合题意； B、∵，∴此答案错误，不符合题意； C、∵，∴此答案错误，不符合题意； D、∵，∴此答案正确，符合题意． 故选D 【点睛】本题主要考查了幂的运算性质以及合并同类项的法则，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 3. 宁波是世界银行在亚洲地区选择的第一个开展垃圾分类试点项目的城市，项目总投资1526000000元人民币数1526000000用科学记数法表示为（ ） A. B.   C.   D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】数字1526000000科学记数法可表示为1.526×109元． 故选C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形，从而得出答案． 【详解】∵主视图和左视图是三角形， ∴几何体是锥体， ∵俯视图的大致轮廓是圆， ∴该几何体是圆锥． 故选：A． 【点睛】本题考查了由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力． 5. 若a＞b，则（　　） A. a﹣1≥b B. b+1≥a C. a+1＞b﹣1 D. a﹣1＞b+1 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例即可判断A、B、D，根据不等式的传递性即可判断C． 【详解】解：A、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b，不符合题意； B、a＝3，b＝1，a＞b，但是b+1＜a，不符合题意； C、∵a＞b，∴a+1＞b+1，∵b+1＞b﹣1，∴a+1＞b﹣1，符合题意； D、a＝0.5，b＝0.4，a＞b，但是a﹣1＜b+1，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查不等式的性质，对性质的理解是关键． 6. 用加减消元法解二元一次方程组时，下列方法中无法消元的是（　　） A. ①×2﹣② B. ②×（﹣3）﹣① C. ①×（﹣2）+② D. ①﹣②×3 【答案】D 【解析】 【分析】根据各选项分别计算，即可解答． 【详解】方程组利用加减消元法变形即可． 解：A、①×2﹣②可以消元x，不符合题意； B、②×（﹣3）﹣①可以消元y，不符合题意； C、①×（﹣2）+②可以消元x，不符合题意； D、①﹣②×3无法消元，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了加减消元法解二元一次方程组，只有当两个二元一次方程未知数的系数相同或相反时才可以用加减法消元，系数相同相减消元，系数相反相加消元． 7. 过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意． B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意． C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意， D、无法判断两直线平行， 故选：D． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定等知识，解题的关键是读懂图象信息，属于中考常考题型． 8. 如图，正三角形ABC的边长为3，将△ABC绕它的外心O逆时针旋转60°得到△A'B'C'，则它们重叠部分的面积是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形，据此即可求解． 【详解】解：作AM⊥BC于M，如图： 重合部分是正六边形，连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都是全等的等边三角形． ∵△ABC是等边三角形，AM⊥BC， ∴AB＝BC＝3，BM＝CM＝BC＝，∠BAM＝30°， ∴AM＝BM＝， ∴△ABC的面积＝BC×AM＝×3×＝， ∴重叠部分的面积＝△ABC的面积＝； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外心、等边三角形的性质以及旋转的性质，理解连接O和正六边形的各个顶点，所得的三角形都为全等的等边三角形是关键． 9. 已知(﹣3，)，(﹣2，)，(1，)是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，然后通过增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为， ∵， ∴是y随x的增大而增大， 是y随x的增大而减小， 又∵(﹣3，)比(1，)距离对称轴较近， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，找到对称轴，注意二次函数的增减性是解题的关键． 10. 将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中是折痕．若正方形与五边形的面积相等，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，根据剪纸的过程以及折叠的性质得PH＝MF且正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积，从而用a分别表示出线段GF和线段MF的长即可求解． 【详解】连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图： 由折叠可知点P、H、F、M四点共线，且PH＝MF， 设正方形ABCD的边长为2a， 则正方形ABCD的面积为4a2， ∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等 ∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝×正方形ABCD的面积＝， ∴正方形EFGH的边长GF＝ ， ∴HF＝GF＝ ， ∴MF＝PH＝， ∴ . 故选A． 【点睛】本题考查了剪纸问题、正方形的性质以及折叠的性质，根据剪纸的过程得到图形中边的关系是解决问题关键． 二、填空题（每题5分，共30分） 11. 某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5，则这组数据的中位数是_____． 【答案】5 【解析】 【分析】先根据平均数的定义计算出x的值，再把数据按从小到大的顺序排列，找出最中间的数，即为中位数． 【详解】∵某班五个兴趣小组的人数分别为4，4，5，x，6，已知这组数据的平均数是5， ∴x=5×5﹣4﹣4﹣5﹣6=6， ∴这一组数从小到大排列为：4，4，5，6，6， ∴这组数据的中位数是5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查了平均数和中位数，弄清题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．平均数为一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数；将一组数据按从小到大顺序排列，处于最中间位置的一个位置的一个数据，或是最中间两个数据的平均数称为中位数． 12. 已知实数，满足，则代数式的值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先利用平方差公式因式分解，再将m+n、m-n的值代入、计算即可得出答案． 【详解】∵，， ∴. 故答案为3 【点睛】本题考查平方差公式，解题关键是根据平方差公式解答． 13. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B，连接AC，OC．若sin∠BAC＝，则tan∠BOC＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线的性质得到AB⊥BC，设BC＝x，AC＝3x，根据勾股定理得到AB＝＝＝2x，于是得到结论． 【详解】解：∵AB是⊙O的直径，BC与⊙O相切于点B， ∴AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∵sin∠BAC＝＝， ∴设BC＝x，AC＝3x， ∴AB＝＝＝2x， ∴OB＝AB＝x， ∴tan∠BOC＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的相关知识是解决本题的关键． 14. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x人，则可列方程_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“第二次每人所得与第一次相同，”列分式方程即可得到结论． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为： 【点睛】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系，列出分式方程，是解题的关键． 15. 如图，一副含和角的三角板和拼合在一个平面上，边 与重合，．当点从点出发沿 方向滑动时，点 同时从点出发沿射线 方向滑动．当点从点滑动到点时，点 运动的路径长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，作于点 ，由直角三角形的性质可得，，由“”可证，可得，即点在射线上移动，且当时，值最大，则可求点 运动的路径长． 【详解】解：， ， 当点沿 方向滑动，点 同时从点出发沿射线 方向滑动时，得，过点作于点，作于点 ，如图所示： ，且， ， 在和中， ， ， ，且，， 平分， 即点在射线上移动， ∴当时，值最大，此时四边形是正方形， ， 最大值 ∴当点从点滑动到点时，点 运动的路径长． 【点睛】化动为静，通过确定动点的起止位置，将路径长转化为两点间的线段长；抓住三角板边长不变的条件，避免复杂的轨迹分析． 16. 如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于A，B两点，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，连结AC交反比例函数图象于点D．AE为∠BAC的平分线，过点B作AE的垂线，垂足为E，连结DE，若AC＝3DC，△ADE的面积为6，则k的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接OE，在Rt△ABE中，点O是AB的中点，得到OE=AB=OA，根据角平分线的定义得到∠OAE=∠DAE，得到∠OEA=∠DAE，过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N，易得S梯形AMND=S△AOD，△CAM∽△CDN，得到S梯形AMND=S△AOD=S△ADE=6，求得S△AOC=9，延长CA交y轴于P，易得△CAM∽△CPO，设DN=a，则AM=3a，推出S△CAM：S△AOM=3：1，于是得到结论． 【详解】解：连接OE，在Rt△ABE中，点O是AB的中点， ∴OE＝AB＝OA， ∴∠OAE＝∠OEA， ∵AE是∠BAC的角平分线， ∴∠OAE＝∠DAE， ∴∠OEA＝∠DAE， ∴AD∥OE， ∴S△ADE＝S△AOD， 过A作AM⊥x轴于M，过D作DN⊥x轴于N， 易得S梯形AMND＝S△AOD，△CAM∽△CDN， ∵CD：CA＝1：3，S梯形AMND＝S△AOD＝S△ADE＝6， ∴S△AOC＝9， 延长CA交y轴于P，易得△CAM∽△CPO， 设DN＝a，则AM＝3a， ∴ON＝，OM＝， ∴MN＝，CN＝， ∴CM：OM＝3：1， ∴S△CAM：S△AOM＝3：1， ∴S△AOM＝， ∴k＝． 故答案为． 【点睛】本题考查反比例函数k的意义；借助直角三角形和角平分线，将△ACE的面积转化为△AOC的面积是解题的关键． 三、简答题（本大题共8题，共80分） 17. 计算：|﹣6|﹣+(1﹣)0﹣(﹣3)； 【答案】7 【解析】 【分析】根据绝对值的性质，算术平方根的定义，零指数幂运算法则对各项进行化简，最后相加减即可． 【详解】解：原式＝6﹣3+1+3＝7； 【点睛】本题考查实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 先化简，再求值，其中． 【答案】 ， 【解析】 【分析】先利用分式的减法运算法则进行分式的化简求值，再把x的值代入化简后的结果中计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 19. 在的方格纸中，点A，B，C都在格点上，按要求画图： （1）在图1中找一个格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形． （2）在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 三等分． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）对于已知的三角形的三边分别为平行四边形的对角线进行分类讨论画出图形即可； （2）根据平行线分线段成比例定理画出图形即可． 【小问1详解】 解：根据点A、B、C的位置，通过平移边找点D：例如以为平行四边形的对角线，将点向右平移2格、向下平移1格即可得到格点，顺次连接四个顶点即得到符合要求的平行四边形；或以 、为对角线，同理可得符合要求的平行四边形；画出图形如图1所示． 故图中平行四边形，平行四边形，平行四边形即为所求． 【小问2详解】 解：在过点的水平格线上，从开始顺次取3个相邻的等距格点，将最外侧的格点与点连接，再过另外两个格点作这条连线的平行线，平行线与 的两个交点就是 的三等分点，完成作图即可，即如图2所示． ∵，， ∴， 即点E，F是线段的三等分点． 20. 某挖掘机的底座高AB=0.8米，动臂BC=1.2米，CD=1.5米，BC与CD的固定夹角∠BCD=140°．初始位置如图 1,斗杆顶点D 与铲斗顶点E 所在直线DE 垂直地面AM于点E，测得∠CDE=70°(示意图 2)．工作时如图 3，动臂BC 会绕点B 转动，当点 A，B，C在同一直线时，斗杆顶点D 升至最高点(示意图 4)．   (1)求挖掘机在初始位置时动臂BC与AB的夹角∠ABC 的度数．   (2)问斗杆顶点D 的最高点比初始位置高了多少米(精确到 0.1米)? （考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，） 【答案】（1）动臂BC与AB的夹角为为；（2）斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米. 【解析】 【分析】（1）如图，过点C作于点G，可得，然后根据两直线平行，同旁内角互补解答即可； （2）如图2-2，过点C作于点P，过点B作于点Q交CG于点N. 通过解直角三角形求出DE的长；如图4，过点D作于点H，过点C作点K，通过解直角三角形求出DH的长，二者相减即可. 【详解】（1）如图2-1，过点C作于点G. ，， ， ， ， ， 所以动臂BC与AB的夹角为为. （2）如图2-2，过点C作于点P，过点B作于点Q交CG于点N. 在中，（米）. 在中，（米）. （米）. 如图4，过点D作于点H，过点C作点K. 在中，（米）. （米） （米）. 所以斗杆顶点D的最高点比初始位置高了约0.8米. 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质的应用，解直角三角形的应用，解决此问题的关键在于正确理解题意得基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题. 21. 为更好组织体育锻炼活动，随机抽取了我区部分七年级学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查（每人必须且只选其中一项），得到如图两幅不完整的统计图表．请根据图表信息回答下列问题： 最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数（人） A 跳绳 59 B 健身操 C 俯卧撑 31 D 开合跳 E 其它 22 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的扇形统计图 （1）求参与问卷调查的学生总人数； （2）在参与问卷调查的学生中，最喜爱“开合跳”的学生有多少人？ （3）我区共有七年级学生8000人，估算其中最喜爱“健身操”的人数． 【答案】（1）200人 （2）48人 （3）1600人 【解析】 【分析】本题考查调查统计，涉及扇形统计图、利用样本估计总体等： （1）用E组人数除以所占百分比可得参与问卷调查的学生总人数； （2）参与问卷调查的学生总人数乘以最喜爱“开合跳”的学生所占百分比可得答案； （3）用七年级学生总数乘以最喜爱“健身操”的人数所占比例可得答案． 【小问1详解】 解：（人）， 答：参与调查的学生总数为200人； 【小问2详解】 解：（人）， 答：最喜爱“开合跳”的学生有48人； 【小问3详解】 解：最喜爱“健身操”的学生数为（人）， （人）， 答：最喜爱“健身操”的学生数大约为1600人． 22. 如图，在中，以O为圆心，OA为半径的圆与BC相切与点B，与OC相交于点D． （1）求的度数． （2）如图，点E在⊙O上，连接CE与⊙O交于点F，若，求的度数． 【答案】（1）45º；（2）. 【解析】 【分析】（1）连接OB，证明△AOB是等腰直角三角形，再求得，由此即可求得的度数；（2）连结OE，过点O作于点H,设，由垂径定理可得，再由平行四边形的性质可得．由是等腰直角三角形，可求得⊙O的半径．在中，由勾股定理求得．在中，由，即可得． 【详解】（1）连结OB， ∵BC是⊙O的切线， ． ∵四边形OABC是平行四边形， ． ∴是等腰直角三角形． ， ， 的度数为45º． （2）连结OE，过点O作于点H,设， ， ． ∵四边形OABC是平行四边形， ． ∵是等腰直角三角形， ∴⊙O的半径． 在中，． 在中，． 【点睛】本题考查了切线和平行四边形的性质以及等腰直角三角形的性质，根据已知条件证得△AOB是等腰直角三角形是解决问题的关键． 23. 小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展． (1)温故：如图1，在△ABC中，AD⊥BC于点D，正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，若BC=6，AD=4，求正方形 PQMN的边长． (2)操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图2，任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN．小波把线段BN称为“波利亚线”． (3)推理：证明图2中的四边形PQMN是正方形． (4)拓展：在(2)的条件下，于波利业线BN上截取NE=NM，连结EQ，EM(如图3)．当tan∠NBM=时，猜想∠QEM的度数，并尝试证明． 请帮助小波解决“温故”、“推理”、“拓展”中的问题． 【答案】（1）； （3）四边形PQMN为正方形． 证明：由画法可得． 四边形PQMN为矩形，MN//M′N′． ， 同理可得． ． ， ． 四边形PQMN为正方形． （4）猜想，理由如下： 由可设MN=3k，． 则，，． ，， ． ， ， ． ， ． ， ． ． 【解析】 【分析】（1）根据，列比例式求解即可； （3）由作法知四边形PQMN为矩形，通过三角形相似证明，，从而，可证四边形PQMN为正方形； （4）可设MN=3k，．则，，．根据两边对应成比例且夹角相等可证，从而．通过证明，可得． 【详解】（1）． ． 即． 解得． （3）略 （4）拓展：略 【点睛】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．相似三角形的判定方法有：①平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似；②两角相等的两个三角形相似；③两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似判定即可；④三边对应成比例的两个三角形相似． 24. 用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观（如图1）． 科学原理：如图2，始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为H（单位：cm），如果在离水面竖直距离为h（单校：cm）的地方开大小合适的小孔，那么从小孔射出水的射程（水流落地点离小孔的水平距离）s（单位：cm）与h的关系为s2=4h（H—h）． 应用思考：现用高度为20cm的圆柱体塑料水瓶做相关研究，水瓶直立地面，通过连注水保证它始终盛满水，在离水面竖直距离h cm处开一个小孔． （1）写出s2与h的关系式；并求出当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是多少? （2）在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a，b，要使两孔射出水的射程相同，求a，b之间的关系式； （3）如果想通过垫高塑料水瓶，使射出水的最大射程增加16cm，求整高的高度及小孔离水面的竖直距离． 【答案】（1），当时，；（2）或；（3）垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm 【解析】 【分析】（1）将s2=4h(20-h)写成顶点式，按照二次函数的性质得出s2的最大值，再求s2的算术平方根即可； （2）设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则4a(20-a)=4b(20-b)，利用因式分解变形即可得出答案； （3）设垫高的高度为cm，写出此时s2关于h的函数关系式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：(1)∵s2=4h(H-h)， ∴当H=20时，s2=4h(20-h)=-4(h-10)2+400， ∴当h=10时，s2有最大值400， ∴当h=10时，s有最大值20cm． ∴当h为何值时，射程s有最大值，最大射程是20cm； 故答案为：最大射程是20cm. (2) ∵s2=4h(20-h)， 设存在a，b，使两孔射出水的射程相同，则有： 4a(20-a)=4b(20-b)， ∴20a-a2=20b-b2， ∴a2-b2=20a-20b， ∴(a+b)(a-b)=20(a-b)， ∴(a-b)(a+b-20)=0， ∴a-b=0或a+b-20=0， ∴a=b或a+b=20. 故答案为：a=b或a+b=20. (3)设垫高的高度为cm，则 ∴当时， ∴时，此时 ∴垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm． 故答案为：垫高的高度为16cm，小孔离水面的竖直距离为18cm. 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，厘清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $