第7章 复数讲义（知识梳理+4题型突破）-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第7章 复数讲义 知识梳理 1. 复数的核心定义与表示 定义：形如 （， 为虚数单位，满足 ）的数称为复数。 实部：； 虚部：（注意：虚部是实数，不含 ）。 分类： 类型 条件 示例 实数 （即 ） 虚数 纯虚数 且 （即 ） 表示方法： 代数形式：； 几何形式：复平面内的点 （x轴为实轴，y轴为虚轴）； 向量形式：复平面内从原点指向 的向量 。 2. 复数的核心运算 （1）四则运算 设 ，（）： 加法：； 减法：； 乘法：（利用 展开）； 除法：（分母实数化，乘以共轭复数）。 （2）共轭复数 定义：复数 的共轭复数为 ； 性质：①（实数），（纯虚数或0）； ②； ③，。 （3）复数的模 定义：复数 的模（绝对值）为 ； 几何意义：复平面内向量 的长度； 性质：①；②（）；③。 3. 复数的几何意义 复数 ↔ 复平面内点 ↔ 向量 ； 复数加法的几何意义：向量加法的平行四边形法则； 复数减法的几何意义：向量减法的三角形法则（ 表示点 与 之间的距离）。 典例精讲 模块一：复数的概念与分类 典例1（复数的虚部判断）复数的虚部为（ ） A．2 B． C． D． 变式1-1复数 的虚部为（ ） A． B． C． D． 变式1-2实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 模块二：复数的几何意义 典例2（复数对应点的象限判断）已知复数 ，则在复平面内， 对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2-1已知复数 （ 为虚数单位，）在复平面内对应的点在第四象限，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 变式2-2定义运算，则符合条件的复数对应的点在第_______象限． 模块三：复数的模与最值 典例3（复数模的最值问题）已知复数 满足 ，则 的最小值是（ ） A．5 B．2 C．7 D．3 变式3复数 满足条件 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．4 D．16 模块四：复数的四则运算 典例4（复数乘法与共轭复数）已知 ，，且 是实数，则实数 ________. 变式4（1）已知复数，求. （2）已知是虚数单位，化简复数：. 模块五：重难拓展（复数方程与轨迹问题） 典例5（复数方程的实数根，重难）已知关于x的方程有实数根b． （1）求实数a，b的值； （2）若复数满足，求的最小值． 变式5（多选）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是（ ） A． B． C． D．1 【核心解题技巧】 （1）复数概念问题 虚部判断：牢记“虚部是实数，不含 ”，避免误将 当作虚部； 复数分类：纯虚数需满足“实部为0且虚部不为0”，二者缺一不可； 共轭复数：只需将虚部符号反转，实部不变。 （2）复数运算问题 乘法：按多项式乘法展开，再用 化简； 除法：核心是“分母实数化”，乘以分母的共轭复数； 模的计算：直接套用公式 ，或利用模的性质简化运算。 （3）几何意义与最值问题 距离转化： 对应复平面内两点间距离，可转化为圆上点到定点的距离最值； 轨迹问题：复数模的等式往往对应圆、直线等轨迹，先转化为直角坐标方程再求解。 【易错提醒】 虚部概念混淆：误将 的虚部写成 ，正确虚部是 ； 纯虚数条件遗漏：仅考虑实部为0，忽略虚部不为0，导致错误（如 是实数，不是纯虚数）； 模的运算错误：误以为 ，实际仅满足三角不等式 ； 复数相等条件误用：未将复数整理为标准形式就列等式，应确保实部与实部相等、虚部与虚部相等； 几何意义误解：将复平面的实轴、虚轴与直角坐标系的x轴、y轴混淆，忽略“虚轴是y轴，单位是 ”。 题型一 复数的相关概念 1．设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 2．已知i为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 3．复数，则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 4．若复数是虚数单位为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 5．已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 6．已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____. 题型二 复数的几何意义 1．设复数（i是虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（ ） A． B． C． D． 3．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是（ ） A．5 B．2 C．7 D．3 4．（多选）已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（ ） A．点的坐标为 B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称 C．复数z对应的点Z在一条直线上 D．与z对应的点Z间的距离的最小值为 5．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第________象限． 6．设复数z满足，则___________. 7．若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为______． 8．已知，，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，. （1）若，求，； （2）若，为实数，求，的值. 题型三 复数的四则运算 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（ ） A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i 2．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 3． （ ） A． B． C． D． 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 6．设（是虚数单位，，）则（ ） A． B． C． D． 7． ＝（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 8．已知是虚数单位，复数，则________． 9．计算： (1)； (2). 题型四 复数的综合问题 1．定义：若复数与满足，则称这两个复数互为倒数.已知复数，则该复数的倒数为（ ） A． B． C． D． 2．已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（ ） A．4 B．2 C．0 D． 3．（多选）设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么（ ） A．z的虚部为 B．z的虚部为1 C．z＝－－i D．z＝＋i 4．（多选）已知复数（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A． B． C． D． 5．（多选）已知复数(为虚数单位)，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（ ） A．在复平面内对应的点位于第二象限 B． C．的实部为 D．的虚部为 6．已知复数（i为虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则_____. 7．莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________. 8．从①与复数相等，②与复数成共轭复数，③在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：若复数， ．求方程的根． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 9．(1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值； (2)已知复数，，，求． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第7章 复数讲义 知识梳理 1. 复数的核心定义与表示 定义：形如 （， 为虚数单位，满足 ）的数称为复数。 实部：； 虚部：（注意：虚部是实数，不含 ）。 分类： 类型 条件 示例 实数 （即 ） 虚数 纯虚数 且 （即 ） 表示方法： 代数形式：； 几何形式：复平面内的点 （x轴为实轴，y轴为虚轴）； 向量形式：复平面内从原点指向 的向量 。 2. 复数的核心运算 （1）四则运算 设 ，（）： 加法：； 减法：； 乘法：（利用 展开）； 除法：（分母实数化，乘以共轭复数）。 （2）共轭复数 定义：复数 的共轭复数为 ； 性质：①（实数），（纯虚数或0）； ②； ③，。 （3）复数的模 定义：复数 的模（绝对值）为 ； 几何意义：复平面内向量 的长度； 性质：①；②（）；③。 3. 复数的几何意义 复数 ↔ 复平面内点 ↔ 向量 ； 复数加法的几何意义：向量加法的平行四边形法则； 复数减法的几何意义：向量减法的三角形法则（ 表示点 与 之间的距离）。 典例精讲 模块一：复数的概念与分类 典例1（复数的虚部判断）复数的虚部为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【详解】复数的虚部为: 2 故选：A 变式1-1复数 的虚部为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】复数虚部的定义是“不含 的实数部分”，与符号相关； 中，虚部为 。 变式1-2实数m分别为何值时，复数z（m2﹣3m﹣18）i是 （1）实数； （2）虚数； （3）纯虚数． 【详解】解：（1）若复数是实数，则， 即，得m＝6； （2）如复数是虚数，则， 即，则m≠﹣3且m≠6； （3）如复数是纯虚数，则， 则，即m＝1或m． 模块二：复数的几何意义 典例2（复数对应点的象限判断）已知复数 ，则在复平面内， 对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】复数 对应复平面内的点 ； 对于 ，，，对应点 ； 第四象限的点满足“横坐标正，纵坐标负”，故该点在第四象限。 变式2-1已知复数 （ 为虚数单位，）在复平面内对应的点在第四象限，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】复数 对应点 ，第四象限点需满足 ； 列不等式组：； 解得 。 变式2-2定义运算，则符合条件的复数对应的点在第_______象限． 【答案】二 【详解】解：由题意将化简得，， ， 所以， 所以复数对应的点在第二象限， 故答案为：二 模块三：复数的模与最值 典例3（复数模的最值问题）已知复数 满足 ，则 的最小值是（ ） A．5 B．2 C．7 D．3 【答案】D 【详解】几何意义： 表示复平面内以原点 为圆心、半径 的圆； 表示圆上的点到定点 的距离； 计算定点 到原点 的距离：； 圆上点到 的最小距离为 。 变式3复数 满足条件 ，则 的最小值为（ ） A．2 B．4 C．4 D．16 【答案】C 【详解】先化简复数模的等式：； 由模的定义得：； 展开整理：，化简得 ； 求 的最小值，利用基本不等式： 当且仅当 时取等号。 模块四：复数的四则运算 典例4（复数乘法与共轭复数）已知 ，，且 是实数，则实数 ________. 【答案】 【详解】先求 的共轭复数：； 计算乘法：； 展开化简：（利用 ）； 因结果为实数，虚部必须为0：，解得 。 变式4（1）已知复数，求. （2）已知是虚数单位，化简复数：. 【详解】（1），故，所以； （2） 模块五：重难拓展（复数方程与轨迹问题） 典例5（复数方程的实数根，重难）已知关于x的方程有实数根b． （1）求实数a，b的值； （2）若复数满足，求的最小值． 【详解】解：（1）是方程的实根， ， 解得． （2）设，由， 得， 即， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，如图所示， 当点在的连线上时，有最大值或最小值， ，半径， 当时，有最小值且． 变式5（多选）早在古巴比伦时期，人们就会解一元二次方程.16世纪上半叶，数学家得到了一元三次、一元四次方程的解法．此后数学家发现一元次方程有个复数根（重根按重数计）．下列选项中属于方程的根的是（ ） A． B． C． D．1 【答案】BCD 【详解】解：对A，当时， ， 故，A错误； 对B，当时， ， 故，B正确； 对C，当时， 故，C正确； 对D，显然时，满足，故D正确. 故选：BCD. 【核心解题技巧】 （1）复数概念问题 虚部判断：牢记“虚部是实数，不含 ”，避免误将 当作虚部； 复数分类：纯虚数需满足“实部为0且虚部不为0”，二者缺一不可； 共轭复数：只需将虚部符号反转，实部不变。 （2）复数运算问题 乘法：按多项式乘法展开，再用 化简； 除法：核心是“分母实数化”，乘以分母的共轭复数； 模的计算：直接套用公式 ，或利用模的性质简化运算。 （3）几何意义与最值问题 距离转化： 对应复平面内两点间距离，可转化为圆上点到定点的距离最值； 轨迹问题：复数模的等式往往对应圆、直线等轨迹，先转化为直角坐标方程再求解。 【易错提醒】 虚部概念混淆：误将 的虚部写成 ，正确虚部是 ； 纯虚数条件遗漏：仅考虑实部为0，忽略虚部不为0，导致错误（如 是实数，不是纯虚数）； 模的运算错误：误以为 ，实际仅满足三角不等式 ； 复数相等条件误用：未将复数整理为标准形式就列等式，应确保实部与实部相等、虚部与虚部相等； 几何意义误解：将复平面的实轴、虚轴与直角坐标系的x轴、y轴混淆，忽略“虚轴是y轴，单位是 ”。 题型一 复数的相关概念 1．设复数(其中，为虚数单位)，则“”是“为纯虚数”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【详解】若复数是纯虚数，则，， 则不能证得为纯虚数，为纯虚数可以证得， 故“”是“为纯虚数”的必要非充分条件， 故选：B. 2．已知i为虚数单位，则复数的虚部是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以其虚部是. 故选：A. 3．复数，则的共轭复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以其共轭复数为. 故选：D. 4．若复数是虚数单位为纯虚数，则实数的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，它为纯虚数， 则，解得． 故选：D． 5．已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（ ） A．1 B．–1 C．2 D．–2 【答案】C 【详解】因为为实数，所以， 故选：C 6．已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____. 【答案】2. 【详解】， 令得. 题型二 复数的几何意义 1．设复数（i是虚数单位），则复数在复平面内对应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】解：因为复数，则， 所以 ， 故复数在复平面内对应的点为，在第一象限． 故选：A 2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为，则对应的复数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题，在复平面对应的点为（1,1）， 关于虚轴对称点为（-1,1），所以其对应的复数为. 3．已知复数z满足|z|＝2，则|z＋3－4i|的最小值是（ ） A．5 B．2 C．7 D．3 【答案】D 【详解】|z|＝2表示复数z在圆上，而|z＋3－4i|表示圆上的点到(－3,4)的距离， ∴当且仅当复数z所在的点在原点与(－3,4)构成的线段上，|z＋3－4i|的最小. 故|z＋3－4i|的最小值为. 故选：D 4．（多选）已知复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点为，复数z满足，下列结论正确的是（ ） A．点的坐标为 B．复数的共轭复数对应的点与点关于虚轴对称 C．复数z对应的点Z在一条直线上 D．与z对应的点Z间的距离的最小值为 【答案】ACD 【详解】复数在复平面内对应的点为，A正确； 复数的共轭复数对应的点与点关于实轴对称，B错误； 设，代入，得，即，整理得，；即Z点在直线上，C正确； 易知点到直线的垂线段的长度即为、Z之间距离的最小值，结合点到直线的距离公式可知，最小值为，故D正确. 5．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于第________象限． 【答案】四 【详解】因为z1＝3－4i，z2＝－2＋3i， 所以， 故对应点为，位于第四象限， 6．设复数z满足，则___________. 【答案】 【详解】设在复平面中对应的向量为，对应的向量为，如下图所示： 因为，所以，所以， 又因为，所以， 所以， 所以，又， 故答案为：. 7．若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为______． 【答案】 【详解】设，由可得，此式表示复平面上 的点在以为圆心，1为半径的圆上及圆的内部， ，此式表示点与点的距离， 故. 所以的最小值为. 8．已知，，，，是复平面上的四个点，且向量，对应的复数分别为，. （1）若，求，； （2）若，为实数，求，的值. 【详解】（1）∵，， 所以，， 所以， 又， ∴，∴， ∴，. （2）由（1）得，， ∵，为实数， ∴，∴. 题型三 复数的四则运算 1．已知复数z1＝3＋4i，z2＝3－4i，则z1＋z2＝（ ） A．8i B．6 C．6＋8i D．6－8i 【答案】B 【详解】 z1＋z2＝(3＋4i)＋(3－4i)＝(3＋3)＋(4－4)i＝6. 故选：B. 2．已知为虚数单位，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】. 故选：B. 3． （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 解：. 故选：D． 4．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由得，故 故选：A 5．已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件，利用复数的运算，即可求解. 【详解】因为，则， 故选：D. 6．设（是虚数单位，，）则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，即， 所以，， 故选：B. 7． ＝（ ） A．1 B．-1 C．2 D．-2 【答案】D 【详解】∵，， ∴，， ∴， ， ∴， 故选：D. 8．已知是虚数单位，复数，则________． 【答案】 【详解】，所以. 9．计算： (1)； (2). 【详解】(1) . (2) . 题型四 复数的综合问题 1．定义：若复数与满足，则称这两个复数互为倒数.已知复数，则该复数的倒数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，所以，， 故选：A. 2．已知复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根，则的值为（ ） A．4 B．2 C．0 D． 【答案】C 【详解】因为复数（i为虚数单位）是关于x的方程（p，q为实数）的一个根， 所以也是方程的一个根， 故，即， 所以， 故选：C 3．（多选）设复数z满足z＋|z|＝2＋i，那么（ ） A．z的虚部为 B．z的虚部为1 C．z＝－－i D．z＝＋i 【答案】BD 【详解】解：设复数，、， 由，得， 即； 所以，所以，所以 即的虚部为1． 4．（多选）已知复数（i是虚数单位），是的共轭复数，则下列的结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】 解：∵所以， ∴，故A正确， ，故B错误， ，故C正确， 虚数不能比较大小，故D错误， 故选：AC. 5．（多选）已知复数(为虚数单位)，为的共轭复数，若复数，则下列结论正确的有（ ） A．在复平面内对应的点位于第二象限 B． C．的实部为 D．的虚部为 【答案】ABC 【详解】对选项由题得 . 所以复数对应的点为，在第二象限，所以选项正确； 对选项，因为，所以选项正确； 对选项复数的实部为，所以选项正确； 对选项,的虚部为,所以选项错误. 6．已知复数（i为虚数单位）是实系数一元二次方程的一个根，则_____. 【答案】1 【详解】解:因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以是实系数一元二次方程的一个根， 所以，， 因此. 7．莱昂哈德·欧拉是近代著名的数学家，欧拉对数学的研究非常广泛.复变函数中的欧拉公式(，其中是虚数单位)可以实现指数式和复数式的互化，那么把化成指数式为___________. 【答案】(答案不唯一) 【详解】 因为把化成指数式需满足， 又, 如当时，， 故答案为：(答案不唯一) 8．从①与复数相等，②与复数成共轭复数，③在复平面上对应的点在第一、三象限角平分线上这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答． 问题：若复数， ．求方程的根． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【详解】 （1）选择条件①：根据复数相等的充要条件，有，解得， ∴方程的根为 （2）选择条件②：根据共轭复数的定义，有，解得， ∴方程的根为 （3）选择条件③：由题意，，解得， ∴方程的根为 9．(1)已知复数是关于x的方程的一个根，求的值； (2)已知复数，，，求． 【详解】(1)因为是方程的一个根， ∴ ∴，而 ∴ ∴，∴ (2)∵，， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $