9.8相似三角形的性质（10大题型）（题型专练）数学鲁教版五四制八年级下册

9.8 相似三角形的性质 题型一 利用相似三角形的性质求角度 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的对应角相等． 利用相似三角形的性质直接写出答案即可． 【详解】解：， ， 故选：B． 2．（23-24九年级上·浙江·期中）已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应角度数是解题关键． 利用相似三角形的对应角相等的性质，结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解： ， 对应角相等，即，，． 在中，根据三角形内角和定理： ． 故选：C． 3．（2024秋•新化县期末）如图，AB，CD相交于点O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．56° C．86° D．94° 【答案】C． 【分析】根据△AOD∽△COB，则∠A＝∠C，根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和计算即可． 【解答】解：∵△AOD∽△COB， ∴∠A＝∠C， ∵∠A＝56°， ∴∠C＝56°， ∵∠AOC＝∠B+∠C，∠B＝30°， ∴∠AOC＝30°+56°＝86°． 故选：C． 4．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，，若，，则的大小为 ． 【答案】/45度 【分析】本题考查了三角形内角和定理，相似三角形的性质，由三角形内角和定理得到，由相似三角形的性质即可得到，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5．如图，△PCD是等边三角形，C，D在线段AB上，AC≠DB，△ACP∽△PDB，求∠APB的度数． 【答案】120°． 【分析】根据等边三角形的性质得到∠PCD＝60°，根据三角形的外角性质得到∠A+∠APC＝60°，根据相似三角形的性质得到∠APC＝∠B，根据三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝60°， ∴∠A+∠APC＝∠PCD＝60°， ∵△ACP∽△PDB， ∴∠APC＝∠B， ∴∠A+∠B＝60°， ∴∠APB＝180°﹣∠A﹣∠B＝120°． 题型二 利用相似三角形的性质求线段长 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由，则，然后代入求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知，与的面积分别为9和36，若，则其对应边的长为（    ） A．1 B．2 C．8 D．16 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质可知，然后问题可求解． 【详解】解：∵，它们的面积分别为 9 和36， ， ， ， ， 故选：C． 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 【答案】8 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的对应高的比等于相似比，列式解答即可． 本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，分别是它们对应的高线， ∴， ∵，， ∴， 解得． 题型三 利用相似三角形的性质求对应线段的比 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比是解题的关键． 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，对应线段（如角平分线）之比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵，面积比为．设相似比为k， ∴ ∴ ∴与的对应角的角平分线之比 故选：A． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握性质是解题的关键．根据相似三角形的对应角的角平分线之比等于相似比，即可求解． 【详解】解：∵，，分别是，的角平分线，， ∴， 故选：C． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）若两个相似三角形的面积比是，则它们对应高之比为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由两个相似三角形面积之比为，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得它们的相似比，又由相似三角形对应高的比等于相似比，即可求得答案． 【详解】解：∵两个相似三角形面积之比为， ∴相似比为， ∴对应高之比为． 故选：C． 4．（24-25九年级上·吉林·期末）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，直接根据相似三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们对应的角平分线之比是， 故答案为：． 5．（24-25九年级下·广东揭阳·阶段练习）已知两个相似三角形的面积之比为，则这两个相似三角形的相似比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积之比为， ∴这两个相似三角形的相似比为． 故答案为：． 题型四 利用相似三角形的性质求周长 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比，进行求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的面积比是， ∴两个相似三角形的周长比为； 故选B． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知的三边长分别为5，6，7，另有一个与它相似的，其最短边为15，则的周长是（　　） A．45 B．48 C．51 D．54 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的性质：周长的比等于相似比，掌握此性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质即可求得． 【详解】解：∵和相似， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 3．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握以上知识是解答本题的关键；先证得，然后根据相似三角形相似比等于周长比即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，的周长为， ∴， 解得：， 故选：A． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在与中，已知，且的周长为，则的周长为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，特别是周长比与相似比的关系。 根据周长比等于相似比即可求解。 【详解】 ． 又的周长为， 的周长为． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知两个相似三角形对应角平分线的比为，周长和为，那么这两个三角形的周长分别是 ． 【答案】， 【分析】此题考查相似三角形的性质：两个相似三角形的对应角平分线的比、对应高的比、对应中线的比、周长的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方，据此解答． 【详解】解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为， ∴相似比为， ∴周长比为 ∵这两个三角形的周长和为， ∴这两个三角形的周长分别是， 故答案为：． 题型五 利用相似三角形的性质求面积 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解： ，且， ， 即， 故选：C． 2．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，根据三角形中位线定理得到，证明，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵点D，E，F分别是三边上的中点， ∴都是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为12， ∴的面积为3， 故选：A． 3．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，点O是的两条中线和的交点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．先得出为的中位线，推出，，再利用，即可求解． 【详解】解：∵点、分别为、的中点， ∴为的中位线， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方． 根据条件证明，得到相似比，然后利用三角形的面积比等于相似比的平方求出的面积，最后利用面积的和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵ ∴相似比为， , ∴四边形的面积为， 故答案为：10． 5．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 【答案】8 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平移的性质，掌握平移的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．设与交于点，根据平移的性质及相似三角形的判定与性质计算的面积即可． 【详解】解：如图，设与交于点， ∵将沿边向右平移2个单位长度得到， ∴， ∴，， ∴， ∵，即， ∴． 故答案为：8． 题型一 利用相似三角形的判定和性质证明角相等 1．（2024秋•房山区期末）如图，已知AB∥CD，．求证：∠B＝∠C． 【分析】根据两边对应成比例且夹角相等可得△ABD∽△DCE，进而可得∠B＝∠C． 【解答】证明：∵AB∥CD， ∴∠A＝∠CDE． ∵， ∴△ABD∽△DCE． ∴∠B＝∠C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 2．如图，∠1＝∠2，AC＝6，AB＝12，AE＝4，AF＝8．试说明：∠ACE＝∠ABF． 【分析】先根据已知条件判断出△ACE∽△ABF，再根据相似三角形的对应角相等即可解答． 【解答】解：∵AC＝6，AB＝12，AE＝4，AF＝8， ∴， ∵∠1＝∠2， ∴△ACE∽△ABF， ∴∠ACE＝∠ABF． 【点评】本题比较简单，考查的是相似三角形的判定定理及性质，根据题中所给的数据判断出两三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 3．（2024秋•辽宁期末）如图，在△ABC与△ADE中，连接BD、CE并延长CE交BD于G．若∠BGC＝∠BAC，∠DAE＝∠BAC，求证：∠AED＝∠ACB． 【分析】根据题意先证明△DAB∽△EAC，再利用两边对应成比例且夹角相等证明△DAE∽△BAC即可解答． 【解答】证明：∵∠BGC＝∠BAC， ∴∠DBA＝∠ACE． ∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠DAB＝∠EAC． ∴△DAB∽△EAC， ∴， ∴， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△DAE∽△BAC， ∴∠AED＝∠ACB． 【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． 4．（2024•青海模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长． 【分析】（1）由已知条件可证得△ABD∽△CAE，由相似三角形的性质可得∠DAC＝∠B； （2）由（1）得∠DAC＝∠B，结合∠BCA＝∠ACD，即有△ABC∽△DAC，从而得AC2＝BC•CD，再结合AD是△ABC的中线，从而可求解． 【详解】（1）证明：∵，∠BAD＝∠ECA， ∴△ABD∽△CAE， ∴∠DAC＝∠B； （2）解：由（1）得∠DAC＝∠B， ∵∠BCA＝∠ACD， ∴△ABC∽△DAC， ∴，即AC2＝BC•CD， ∵AD是△ABC的中线， ∴BC＝2DC， ∵AC＝4， ∴42＝2DC•DC， 解得：DC． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解答的关键是证得△ABC∽△DAC． 5．（2024秋•余杭区月考）如图，线段BE，AC交于点F，点D在线段BE上，连结AB，BC，CE，EA，AD，且． 求证：（1）△ABD∽△ACE． （2）∠BAD＝∠EBC． 【分析】（1）由题意可证△ABC∽△ADE，可得∠BAC＝∠DAE，即∠BAD＝∠CAE，则可得结论； （2）由相似三角形的性质可得∠ABC＝∠ADE，由外角的性质可求解． 【解答】证明：（1）∵， ∴△ABC∽△ADE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAD＝∠CAE， ∵， ∴， ∴△ABD∽△ACE， （2）∵△ABC∽△ADE， ∴∠ABC＝∠ADE， ∵∠ADE＝∠BAD+∠ABD，∠ABC＝∠ABD+∠CBE， ∴∠BAD＝∠EBC． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 题型二 利用相似三角形的判定和性质证明线段成比例 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点D，E分别为，边上两点，且，，，．求证：． 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据已知可得出，然后证明，最后根据相似三角形的性质即可得证． 【详解】证明：∵，，，， ∴，， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 2．（2024•闵行区）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，AC2＝AD•AB，AC＝AE，过点D作DF∥CE交边AC于点F． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）求证：AE•EB＝AB•FC． 【分析】（1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理求出DE＝FC，根据比例性质及等量代换求解即可． 【解答】证明：（1）∵AC2＝AD•AB， ∴， 又∵∠CAD＝∠BAC， ∴△ACD∽△ABC； （2）∵DF∥CE， ∴， ∵AC＝AE， ∴DE＝FC， ∴AC＝AE＝AB﹣DE，AD＝AE﹣DE＝AE﹣FC， ∵， ∴， ∴AB•AE﹣BE•AE＝AB•AE﹣AB•FC， ∴AE•EB＝AB•FC． 【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． 3．（24-25九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，注意运用数形结合的思想方法，从图形中寻找角之间的和差关系． （1）根据正方形的性质得到，，从而利用全等三角形的判定定理推出，进而利用全等三角形的性质进行证明即可； （2）根据正方形的性质得到，推出，可利用相似三角形的判定定理即可得到；再根据相似三角形的性质进行求解即可． 【详解】（1）证明：是正方形的对角线， ，， 在和中， ， ， ； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 即， 4．（2024秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，点E在BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF＝∠B． 求证： （1）△BDE～△CFD； （2）DF2＝EF•CF． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得∠B＝∠ACB，由外角的性质可得∠DEB＝∠CDF，即可得结论； （2）由相似三角形的性质可得，可证△CDF∽△DEF，可得，即可求解． 【解答】证明：（1）∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵∠EDF＝∠B，∠EDC＝∠B+∠BED＝∠EDF+∠FDC， ∴∠DEB＝∠CDF， ∴△BDE∽△CFD； （2）∵点D是BC的中点， ∴BD＝CD， 由（1）可知：△BDE∽△CFD， ∴， ∴， 又∵∠EDF＝∠B＝∠ACB， ∴△CDF∽△DEF， ∴， ∴DF2＝EF•CF． 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 5．（2024秋•徐汇区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD． （1）求证：AD•CD＝CE•DE； （2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2． 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质求解即可； （2）结合平行四边形的性质利用AAS证明△ADE≌△BFE，根据全等三角形的性质得出DE＝EF，等量代换即可得解． 【详解】证明：（1）在▱ABCD中，AB∥CD， ∴∠AED＝∠CDE， ∵DE2＝AE•CD， ∴， ∴△ADE∽△ECD， ∴， ∴AD•CD＝CE•DE； （2）如图， 在▱ABCD中，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠A＝∠FBE，∠ADE＝∠F， ∵点E是边AB的中点， ∴AE＝BE， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， ∴DE＝EF， ∵DE2＝AE•CD， ∴EF2AB•AB， ∴AB2＝2EF2． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的性质，熟记相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型三 利用相似三角形的性质求点的坐标 1．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 2．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【答案】B 【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）． 故选：B． 点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点． 3．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 【答案】C 【详解】过点A作AE⊥OB于E，如图： ∵点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0）， ∴AE=2， ∵AE∥OD， ∴△COD∽△CEA， ∴， 可得：， 解得：OC=1， OE=EC﹣OC=2﹣1=1， 所以点A的坐标为（2，1）， 故选C． 4．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ） A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4） 【答案】B 【详解】试题分析：过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F， ∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC=OB，∴∠CAF=∠BOE， 在△ACF和△OBE中， ∵∠F=∠BEO=90°，∠CAF=∠BOE，AC=OB，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE=CF=4﹣1=3， ∵∠AOD+∠BOE=∠BOE+∠OBE=90°，∴∠AOD=∠OBE， ∵∠ADO=∠OEB=90°，∴△AOD∽△OBE，∴AD：OE=OD：BE，即1：OE=2：3， ∴OE=，即点B（，3），∴AF=OE=，∴点C的横坐标为：， ∴点C（，4）．故选B． 5．（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 【答案】 【分析】过点B作BC⊥OA于点C，由题意易得OA=10，然后由勾股定理可得，进而可得△BOC∽△AOB，设OC=x，则有BC=2x，最后利用勾股定理可求解． 【详解】解：过点B作BC⊥OA于点C，如图所示： ∵∠B=∠BCO=90°，∠BOA=∠BOA， ∴△BOC∽△AOB， ∵点， ∴OA=10， ∵， ∴， ∴AB=2OB， ∴BC=2OC， ∴在Rt△BOC中， ，即， ∴， ∴BC=4， ∴点B的坐标为； 故答案为． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 题型四 相似三角形与网格作图问题 1．（2025·江苏泰州·二模）如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 过点D作交于点G，证出得，再证得，然后利用勾股定理即可求解． 【详解】解：过点D作交于点G， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法．先分别求出各个三角形的三边长，再求出每个三角形的三边之比，若其它三个三角形中某个三角形的三边之比与的三边之比相等，则该三角形与相似． 【详解】解：在中，，，， 的三边之比为：； 在中，，，， 的三边之比为：， 与相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 在中，，，， 的三边之比为：， 与不相似； 故答案为：． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共 有 个． 【答案】6 【分析】本题考查了在直角坐标系中画出与已知三角形相似的图形，解题的关键在于找出与已知三角形各边长成比例的三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 根据题意，得出的三边之比，并在直角坐标系中找出与各边长成比例的相似三角形，并在直角坐标系中无一遗漏地表示出来． 【详解】解：有图可知：的三边为： ，， ， 如图所示： 可能出现的相似三角形共有以下六种情况： ， 故答案为：6． 3．（2024秋•前郭县期末）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画△ADE，使△ADE与△ABC相似，且相似比为2； （2）在图②中，在BC上找一点E，使． 【分析】（1）延长AB交格点于点D，此时AD＝2AB，再延长AC交格点于点E，此时AE＝2AC，连接DE，则△ADE∽△ABC，且相似比为2． （2）取格点M，N，使BM∥CN，且BM＝1，CN＝2，连接MN，交BC于点E，则点E即为所求． 【详解】解：（1）如图①，延长AB交格点于点D，延长AC交格点于点E，连接DE， 此时AD＝2AB，AE＝2AC， ∵∠DAE＝∠BAC， ∴△ADE∽△ABC，且相似比为2． 则△ADE即为所求． （2）如图②，取格点M，N，使BM∥CN，且BM＝1，CN＝2，连接MN，交BC于点E， 则△BEM∽△CEN， ∴， 则点E即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 5．（2023•武汉模拟）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，P是网格线上的一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先画出△ABC的角平分线BD，再在AC上画点E，使△BCE∽△DCB； （2）在图2中，先画出点P关于直线AC的对称点Q，再画∠QAR，使∠QAR＝2∠BAC． 【分析】（1）取格点E、F、G，连接CF、EG交于点O，连接BO交AC于点D，线段BD即为所求，连接BE，△BCE即为所求； （2）作点P关于直线AC的对称点Q，取格点K，连接CK、HK，CK交AP于L，过点L作AB的垂线交HK于点R，∠QAR即为所求． 【详解】解：（1）如图1，连接矩形CEFG的对角线CF、EG交于点O，连接BO交AC于点D， 即BD是△ABC的角平分线， 连接BE，则△BCE∽△DCB， 则BD和BE即为所求； （2）如图2，点P与点Q关于直线AC对称，连接AP交CK于L，过点L作AB的垂线交HK于R，连接AR，则∠QAR＝2∠BAC， 如图所示，∠QAR即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是掌握三角形的高，中线，轴对称变换的性质，属于中考常考题型． 题型一 相似三角形的综合应用 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等量代换等知识，属于相似形综合题，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键 （1）由与垂直，、为高，利用垂直的定义得到直角相等，利用等式的性质得到一对角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证； （2），理由为：由（1）中相似三角形，得比例，再利用两角相等的三角形相似得到，得比例，等量代换即可得证； 【详解】（1）证明∶、是的高， ， ，， ， ， ． （2）解：，理由如下： ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 2．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点． (1)求证：． (2)求菱形的面积． (3)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与相似三角形的性质，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）连接交于点，由菱形的性质得，，则，而，所以； （2）由，得，由，，求得，则，所以； （3）设交于点，证明，则，证明得出，进而根据，得出即可求解． 【详解】（1）证明：连接交于点， 四边形是菱形， ，， ， 延长、交于点，平分交于点， ， ， ， ． （2）解：，， ， ， ， ， ， 菱形的面积为． （3）解：设交于点， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 3．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）设，则，，再根据三角形内角和定理即可求解； （）证明即可求证； （）过点作于，设，则，，由是等腰直角三角形可得，，即得，由得到，由可得，得到，，即得，由得，得到，即可得，，最后代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：，理由如下： ∵，平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，过点作于， ∵， ∴设，则，， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 4．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点． (1)若，点是的中点，求线段的长； (2)连接，若， ①求证：点为边的中点； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见详解；②． 【分析】（1）根据正方形可得，由点是的中点，可求，根据勾股定理在中，，由平分与，可得即可； （2）①证明即可证明点为边的中点； ②设，则，由①知，可证，可得可求，再求即可． 【详解】（1）解：在正方形中，， ∵点是的中点， ∴， 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：①∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点为边的中点； 解：②∵点为边的中点； 设，则， 由①知， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形性质，中点定义，勾股定理，角平分线定义，等腰三角形判定与性质，三角形全等判定与性质，三角形相似判定与性质，掌握以上知识是解题关键． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形中，M是的中点． (1)如图1，Q是上异于M的一点，连接，N是的中点，连接，． ①求证：； ②连接交于P，交于G，求证：平分； (2)如图2，H是上一点，，若，直接写出的值________． 【答案】(1)①见解析  ②见解析 (2) 【分析】（1）①根据直角三角形斜边中线性质解答即可； ②在上截取，则M是的中点，即可得到，然后根据得到，即可得到，根据三角形的中位线定理得到，然后根据平行线的性质解答即可； （2）取的中点F，过F作交于点，连接，得到，然后根据勾股定理求出长，然后证明，根据对应边成比例得到长，解答即可． 【详解】（1）①证明：∵是矩形， ∴， 又∵点N是的中点， ∴； ②在上截取，则M是的中点， 又∵点M是的中点， ∴， ∴，即， 又∵是矩形， ∴，， ∴， ∴， 又∵点M，N是和的中点， ∴， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴平分； （2）解：取的中点F，过F作交于点，连接， 则， ∵M是的中点， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形斜边的中线性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形中位线性质，相似三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 9.8 相似三角形的性质 题型一 利用相似三角形的性质求角度 1．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，．若，则的对应角的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江·期中）已知，且，，则∠C的度数为(    ) A． B． C． D． 3．（2024秋•新化县期末）如图，AB，CD相交于点O，且△AOD∽△COB，若∠A＝56°，∠B＝30°，则∠AOC的度数为（　　） A．30° B．56° C．86° D．94° 4．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，，若，，则的大小为 ． 5．如图，△PCD是等边三角形，C，D在线段AB上，AC≠DB，△ACP∽△PDB，求∠APB的度数． 题型二 利用相似三角形的性质求线段长 1．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．（24-25九年级上·河北沧州·期末）如图，已知，点，，在同一条直线上，点在边上．若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·广东清远·期末）已知，与的面积分别为9和36，若，则其对应边的长为（    ） A．1 B．2 C．8 D．16 4．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）如图，，，其中，的长为（　　） A．2 B． C． D． 5．（24-25九年级上·陕西榆林·阶段练习）如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 题型三 利用相似三角形的性质求对应线段的比 1．（24-25九年级上·陕西咸阳·阶段练习）已知，若和的面积之比为，则与的对应角的角平分线之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·陕西榆林·期末）如图，，，分别是，的角平分线，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）若两个相似三角形的面积比是，则它们对应高之比为（　　） A． B．3 C． D． 4．（24-25九年级上·吉林·期末）已知两个相似三角形的相似比是，那么它们对应的角平分线之比是 ． 5．（24-25九年级下·广东揭阳·阶段练习）已知两个相似三角形的面积之比为，则这两个相似三角形的相似比为 ． 题型四 利用相似三角形的性质求周长 1．（23-24九年级上·甘肃兰州·期末）两个相似三角形的面积比是，那么它们的周长比是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·广东梅州·期末）已知的三边长分别为5，6，7，另有一个与它相似的，其最短边为15，则的周长是（　　） A．45 B．48 C．51 D．54 3．（2025·云南西双版纳·二模）如图，在中，点在边上，连接，若，，的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）在与中，已知，且的周长为，则的周长为 ． 5．（24-25九年级上·全国·随堂练习）已知两个相似三角形对应角平分线的比为，周长和为，那么这两个三角形的周长分别是 ． 题型五 利用相似三角形的性质求面积 1．（24-25九年级上·山东济南·阶段练习）如图，，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·湖南岳阳·阶段练习）如图，点，，分别是三边上的中点，若的面积为12，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（24-25九年级上·云南昆明·阶段练习）如图，点O是的两条中线和的交点，连接，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，在中，点D，E分别是边上的点，且，，的面积是18，则四边形的面积是 ． 5．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ． 题型一 利用相似三角形的判定和性质证明角相等 1．（2024秋•房山区期末）如图，已知AB∥CD，．求证：∠B＝∠C． 2．如图，∠1＝∠2，AC＝6，AB＝12，AE＝4，AF＝8．试说明：∠ACE＝∠ABF． 3．（2024秋•辽宁期末）如图，在△ABC与△ADE中，连接BD、CE并延长CE交BD于G．若∠BGC＝∠BAC，∠DAE＝∠BAC，求证：∠AED＝∠ACB． 4．（2024•青海模拟）如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：∠DAC＝∠B； （2）若AD是△ABC的中线，AC＝4，求CD的长． 5．（2024秋•余杭区月考）如图，线段BE，AC交于点F，点D在线段BE上，连结AB，BC，CE，EA，AD，且． 求证：（1）△ABD∽△ACE． （2）∠BAD＝∠EBC． 题型二 利用相似三角形的判定和性质证明线段成比例 1．（24-25九年级上·全国·随堂练习）如图，点D，E分别为，边上两点，且，，，．求证：． 2．（2024•闵行区）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，AC2＝AD•AB，AC＝AE，过点D作DF∥CE交边AC于点F． （1）求证：△ACD∽△ABC； （2）求证：AE•EB＝AB•FC． 3．（24-25九年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，在正方形中，点是对角线上一点，的延长线交于点，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 4．（2024秋•静安区期末）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，点E在BA延长线上，点F在AC边上，∠EDF＝∠B． 求证： （1）△BDE～△CFD； （2）DF2＝EF•CF． 5．（2024秋•徐汇区期末）如图，在▱ABCD中，点E在边AB上，DE2＝AE•CD． （1）求证：AD•CD＝CE•DE； （2）当点E是边AB的中点时，分别延长DE、CB交于点F，求证：AB2＝2EF2． 题型三 利用相似三角形的性质求点的坐标 1．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 2．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 3．如图，在平面直角坐标系中，点B、C在y轴上，△ABC是等边三角形，AB=4，AC与x轴的交点D的坐标是（，0），则点A的坐标为（ ） A．（1，2） B．（2，2） C．（2，1） D．（2，2） 4．如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是（ ） A．（，3）、（﹣，4） B．（，3）、（﹣，4） C．（，）、（﹣，4） D．（，）、（﹣，4） 5．（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，则点坐标为 ． 题型四 相似三角形与网格作图问题 1．（2025·江苏泰州·二模）如图，在的正方形网格中，A、B、C为格点，连接交格线于点D，连接，交过点A的水平格线于点E．若小正方形边长为1，则 ． 2．（24-25九年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图所示的网格中每个小正方形的边长都是，，，，的顶点都在小正方形的顶点，其中与相似的三角形是 ． 3．（24-25九年级上·上海虹口·期中）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．如图，是格点三角形，在图中的正方形网格中作出格点三角形（不含），使得（同一位置的格点三角形只算一个），这样的格点三角形一共 有 个． 3．（2024秋•前郭县期末）图①、图②均是5×5的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画△ADE，使△ADE与△ABC相似，且相似比为2； （2）在图②中，在BC上找一点E，使． 5．（2023•武汉模拟）如图是由小正方形组成的7×7网格，每个小正方形的顶点叫做格点，△ABC的三个顶点都是格点，P是网格线上的一点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． （1）在图1中，先画出△ABC的角平分线BD，再在AC上画点E，使△BCE∽△DCB； （2）在图2中，先画出点P关于直线AC的对称点Q，再画∠QAR，使∠QAR＝2∠BAC． 题型一 相似三角形的综合应用 1．（24-25八年级下·黑龙江大庆·阶段练习）如图，、是的两条高，过点作，垂足为，交于，、的延长线交于点． (1)求证：； (2)试探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 2．（24-25九年级下·浙江绍兴·阶段练习）如图，在菱形中，，．点是边的中点，延长、交于点，平分交于点． (1)求证：． (2)求菱形的面积． (3)求的长． 3．（2025·山东泰安·三模）如图，在中，，平分，交于点，交于点，作交于点，交于点，且． (1)求的度数； (2)探究线段的数量关系，并说明理由； (3)若，求的值．（直接写出计算的结果） 4．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在正方形中，点在边上，连接，的平分线与边交于点，与的延长线交于点． (1)若，点是的中点，求线段的长； (2)连接，若， ①求证：点为边的中点； ②求的值． 5．（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在矩形中，M是的中点． (1)如图1，Q是上异于M的一点，连接，N是的中点，连接，． ①求证：； ②连接交于P，交于G，求证：平分； (2)如图2，H是上一点，，若，直接写出的值________． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $