23.2 一次函数的图象和性质 题型专练 2025-2026学年人教版数学八年级下册

人教版（2024）八年级下册 23.2 一次函数的图象和性质 题型专练 【题型1】正比例函数图象及图象上的点 【典例】如图所示函数图象中，正比例函数的图象是（　　） A.    B.      C.    D. 【强化训练1】正比例函数y＝﹣3x的图象经过（　　）象限． A.第一、三象限    B.第二、四象限      C.第一、四象限    D.第二、三象限 【强化训练2】正比例函数y＝﹣x的图象平分第　       　象限． 【强化训练3】已知y和x－3成正比例，当x＝1时，y＝－4. (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值. 【强化训练4】用两点法画出下列函数的图象. (1)y＝－3x； (2)y＝x. 【题型2】正比例函数的增减性 【典例】若点，都在函数y＝－2x的图象上，则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1<y2                  B.y1＝y2 C.y1>y2                D.无法确定 【强化训练1】关于函数y＝2x，下列说法错误的是（　　） A.它是正比例函数    B.图象经过（1，2）      C.图象经过一、三象限    D.当x＞0，y＜0 【强化训练2】已知点A(－6，y1)和B(－3，y2)都在直线y＝－x上，则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1>y2                  B.y1＝y2 C.y1<y2                D.无法确定 【强化训练3】正比例函数y＝（1﹣k）x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是　    　． 【强化训练4】已知正比例函数y＝kx中，y的值随x的增大而增大，则(,k)在第 　  　象限． 【强化训练5】已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限． （1）求m的值； （2）当﹣≤x＜2时，求y的最小值． 【题型3】用正比例函数性质求其解析式 【典例】已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（　　） A.y＝x      B.y＝﹣x      C.y＝﹣3x      D.y＝﹣x/3 【强化训练1】已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　） A.3    B.﹣3    C.12    D.﹣12 【强化训练2】函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（　　） A.y＝2x      B.y＝﹣2x      C.y＝x      D.y＝﹣x 【强化训练3】已知正比例函数的y值随x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数表达式 　 　． 【强化训练4】若y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝6时，x的值是多少？ 【强化训练5】已知正比例函数y＝kx（k≠0且是常数）的图象经过点（﹣1，2）． （1）求此正比例函数的解析式； （2）画出这个函数图象． 【题型4】一次函数的图象 【典例】一次函数y＝﹣2x+2的图象大致是（　　） A.    B.      C.    D. 【强化训练1】如图，一次函数y＝－2x＋1的图象可以是(　　) A.直线l1 B.直线l2 C.直线l3 D.直线l4 【强化训练2】如图，直线l是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则b＝　   　． 【强化训练3】问题：探究函数y＝－|x|＋4的图象与性质. 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝－|x|＋4的图象与性质进行了探究： (1)在函数y＝－|x|＋4中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值. ①表格中a的值为　　　　； ②若(b，－8)为该函数图象上的点，则b＝　　　　； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为　　　　； ②写出该函数的一条性质：　　　　. 【强化训练4】(教材改编)分别画出下列函数的图象： (1)y=4x；(2)y=4x+1；(2)y=-4x+1；(4)y=-4x-1. 【题型5】已知一次函数经过的象限，求参数取值 【典例】如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（　　） A.y随x增大而增大    B.图象经过第三象限      C.b＜0      D.当x≥0时，y≤b 【强化训练1】两条直线y＝ax+b与y＝bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是（　　） A.    B.      C.    D. 【强化训练2】已知点（m，n）在第二象限，则直线y＝nx+m图象大致是下列的（　　） A.    B.      C.    D. 【强化训练3】请写出一个图象经过二.三.四象限的一次函数解析式：　   　.（答案不唯一，只要符合题意均可得分） 【强化训练4】已知一次函数y＝（1﹣m）x+3m的图象不经过平面直角坐标系中的第四象限，那么m的取值范围是 　     　． 【强化训练5】已知一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）． （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，直线位于第二.三.四象限？ 【题型6】判断点是否为一次函数图象上(或经过)的点 【典例】下列四点中，在函数y＝3x+2的图象上的点是（　　） A.（﹣1，1）    B.（﹣1，﹣1）    C.（2，0）    D.（0，﹣1.5） 【强化训练1】如图，在M.N.P.Q四个点中，一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象不可能经过的点是（　　） A.点Q      B.点N      C.点M      D.点P 【强化训练2】如图，在M.N.P.Q四个点中，一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象不可能经过的点是（　　） A.点Q      B.点N      C.点M      D.点P 【强化训练3】下列各点中，在函数y＝﹣x+1的图象上的是（　　） A.（0，1）    B.（0，﹣1）    C.（1，2）    D.（﹣1，0） 【题型7】已知一次函数图象上的点，求参数或代数式的值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y＝x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（　　） A.6    B.4    C.8    D.6 【强化训练1】直线y＝2x+n经过点（1，5），则n＝（　　） A.1    B.2    C.3    D.4 【强化训练2】已知点（﹣2，m），（3，n）都在直线y＝﹣3x+b上，则m与n的大小关系是（　　） A.m＜n      B.m＞n      C.m≥n    D.无法确定 【强化训练3】直线y＝2x+n经过点（1，5），则n＝（　　） A.1    B.2    C.3    D.4 【强化训练4】正比例函数y＝﹣2x的图象过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1﹣x2＝3，则y1﹣y2的值为（　　） A.3    B.﹣3    C.6    D.﹣6 【题型8】一次函数图象与坐标轴交点问题 【典例】一次函数图象过点（0，2）和（4，0），其函数表达式为（　　） A.y＝x+2      B.y＝2x+4      C.y＝﹣2x+2      D.y＝﹣x+2 【强化训练1】关于一次函数y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　） A.图象与y轴的交点坐标为（0，1）      B.图象与x轴的交点坐标为（，0）      C.y随x的增大而增大      D.图象不经过第三象限 【强化训练2】下列关于一次函数y＝﹣2x+2的图象的说法中，错误的是（　　） A.函数图象经过第一.二.四象限      B.函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）      C.函数图象与y轴的交点坐标为（0，2）      D.y的值随着x值的增大而减小 【强化训练3】若一条直线经过点(－1，1)和点(1，5)，则这条直线与x轴的交点坐标为　　　　　　. 【强化训练4】若一次函数y＝k（x﹣1）的图象经过点M（﹣1，﹣2），则其图象与y轴的交点坐标是　     　． 【强化训练5】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求O点到直线AB的距离． 【题型9】一次函数图象与平移问题 【典例】要得到y＝-的图象，可把直线y＝向（　　） A.左平移4个单位    B.右平移4个单位      C.上平移4个单位    D.下平移4个单位 【强化训练1】如图，已知直线l1：y＝x+4和直线l2：y＝﹣2x+6，将直线l2向下平移m个单位长度后，与直线l1 的交点在第二象限，则m的值可以是（　　） A.2    B.10    C.14    D.16 【强化训练2】把直线y＝﹣x向上平移3个单位长度，所得的直线图象大致是（　　） A.    B.      C.    D. 【强化训练3】把直线y＝﹣x﹣3 向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m的整数值可以是（　　） A.1    B.3    C.7    D.8 【强化训练4】将直线y＝﹣x+3沿y轴向下平移6个单位长度后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（　　） A.（0，﹣3）    B.（﹣2，0）    C.（4，0）    D.（6，0） 【强化训练5】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+k平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为　    　，y随x的增大而　     　． 【强化训练6】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l恰好经过点D．若OD＝2，则a的值为 　    　． 【强化训练7】如图，直线y＝﹣x+5交坐标轴于点A.B，与坐标原点构成的△AOB向x轴正方向平移4个单位长度得△A′O′B′，边O′B′与直线AB交于点E，则图中阴影部分面积为 　     　． 【强化训练8】如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 　       　． 【题型10】由一次函数增减性求参数取值 【典例】若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是（　　） A.k＜0      B.k＞0      C.k＜2      D.k＞2 【强化训练1】在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是(　　) A.将l1向下平移3个单位长度 B.将l1向下平移6个单位长度 C.将l1向上平移2个单位长度 D.将l1向上平移6个单位长度 【强化训练2】如图，直线y＝kx＋b(k<0)经过点P(1，1)，若kx＋b≤x，则x的取值范围是(　　) A.x≥1      B.x>1 C.x≤1      D.x<1 【强化训练3】已知关于x的一次函数y＝（2k﹣6）x+（2k+1），当y的值随x增大而增大时，写出k满足的条件 　    　． 【强化训练4】若一次函数y＝（m﹣3）x+3中，y随x的增大而增大，则m的值可以是 　 　（写出一个即可）． 【强化训练5】已知直线y＝(2m＋4)x＋m－3，求： (1)当m为何值时，y随x的增大而增大？ (2)当m为何值时，图象与y轴的交点在x轴下方？ (3)当m为何值时，函数图象经过原点？ (4)当m为何值时，这条直线平行直线y＝－x？ 【题型11】由一次函数增减性比较函数值的大小 【典例】已知A(－1，a)，B(2，b)两点都在关于x的一次函数y＝－x＋m的图象上，则a，b的大小关系为(　　) A.a≥b                  B.a>b C.a<b                D.无法确定 【强化训练1】若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A.y1＞y2＞y3      B.y2＞y1＞y3      C.y1＞y3＞y2      D.y3＞y2＞y1 【强化训练2】若(－4，y1)，(－2，y2)两点都在直线y＝2x＋b上，则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1>y2                  B.y1＝y2 C.y1<y2                D.无法确定 【强化训练3】点M（﹣2，y1），N（3，y2）是函数y＝-x+b图象上两点，则y1与y2的大小关系（　　） A.y1＞y2      B.y1＜y2      C.y1＝y2    D.无法确定 【强化训练4】若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数y＝﹣x+1图象上的点，则（　　） A.y3＜y2＜y1      B.y1＜y2＜y3      C.y1＜y3＜y2      D.y2＜y3＜y1 【强化训练5】已知直线y＝kx＋2(k<0)经过点(k－1，y1)和(－k＋2，y2)，则y1，y2的大小关系为　　　　. 【强化训练6】已知直线y＝kx＋2(k<0)经过点(k－1，y1)和(－k＋2，y2)，则y1，y2的大小关系为　　　　. 【强化训练7】在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣2，y1），B（1，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则y1　  　y2 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【题型12】用已知自变量和函数值或图象上点的坐标 【典例】一次函数y＝mx+|m﹣1|的图象过点（0，2），且y随x的增大而增大，则一次函数解析式为（　　） A.y＝3x+2       B.y＝3x-2 C.y＝3x+1      D.y＝3x-1 【强化训练1】已知一次函数y＝﹣x+b，过点（﹣8，﹣2），那么一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2      B.y＝﹣x﹣6      C.y＝﹣x﹣10      D.y＝﹣x﹣1 【强化训练2】已知一次函数y＝kx+b，当﹣3＜x＜1时，对应的y值为﹣1＜y＜3，则此一次函数解析式是（　　） A.y＝﹣x      B.y＝x+2      C.y＝-x+2      D.y＝x+2或y＝﹣x 【强化训练3】一次函数y＝kx+b的图象如图，则其函数关系式为 　       　． 【强化训练4】依据给定的条件，求一次函数的解析式． （1）已知一次函数的图象如图，求此一次函数的解析式，并判断点（6，5）是否在此函数图象上． （2）已知一次函数y＝2x+b的图象与y轴的交点到x轴的距离是4，求其函数解析式． 【题型13】用表格中已知的数据 【典例】小明根据某个一次函数关系式填写了的表格：则空格中的数为（　　） A.16    B.8    C.12    D.24 【强化训练1】已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则a等于(　　) A.－1          B.0          C.－2          D. 【强化训练2】已知变量y与x的关系满足下表，那么能反映y与x之间的函数关系的解析式是（　　） A.y＝﹣2x      B.y＝x+4      C.y＝﹣x+2      D.y＝2x﹣2 【强化训练3】小明根据某个一次函数关系式填写了下表：其中有一格不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是　　． 【强化训练4】写出满足如表条件的一次函数表达式为　       　． 【强化训练5】小明根据某个一次函数关系式填写了下面的这张表： 其中有一格不慎被墨迹遮住了，想想看，该空格里原来填的数是多少？写出你的理由． 【题型14】用实际问题中的数据 【典例】下表列出了一项实验的统计数据（单位：cm）： 它表示皮球从一定高度落下时，弹跳高度y是下落高度x的一次函数，那么变量y与x之间的关系式为 　     　． 【强化训练1】某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路，如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120范围内，具有一次函数的关系，如下表所示． 则y关于x的函数解析式为　        　．（写出自变量取值范围） 【强化训练2】某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数的关系，其中20≤x≤40． （1）根据表格求y关于x的函数解析式； （2）设销售这种产品每天的利润为W（元），求W关于销售单价x之间的函数解析式. 【强化训练3】国庆长假，小明从老家乘车去上海．一路上，小明记下了如下数据（注：“上海90 km”表示离上海的距离为90 km）： 假设汽车离上海的距离s（km）是行驶时间t（min）的一次函数，求s关于t的函数关系式． 【题型15】一次函数性质的综合 【典例】如果y＝，那么y的最大值为（　　） A.3    B.2    C.1    D.不存在 【强化训练1】一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），若自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5，则y的最小值是（　　） A.﹣10    B.﹣7    C.7    D.11 【强化训练2】已知一次函数y＝kx+b的图象如图，当x＜1时，y的取值范围是（　　） A.﹣2＜y＜0      B.﹣4＜y＜0      C.y＜﹣2      D.y＞﹣2 【强化训练3】在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+1的图象经过点P（1，3），则随着x的增大，y的值 　     　（填“增大”或“减小”）． 【强化训练4】函数y＝﹣2x+6的图象如图所示，P（2，2）是图象上的一点，观察图象回答问题． （1）当x为何值时，y＜0？ （2）当x为何值时，y＝0？ （3）求当0≤x≤2时，y的取值范围． 【强化训练5】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题： （1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？ （2）当x取何值时，y＝0？ （3）当x取何值时，y＜0？ 【题型16】一次函数的规律探究 【典例】如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝-和点P（1，0），过点P（1，0）作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（　　） A.﹣26    B.﹣27    C.﹣214    D.﹣215 【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝的图象分别为直线l1.l2，过点A1(1,-)作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5…依次进行下去，则点A2023的横坐标为（　　） A.21012    B.﹣21012    C.﹣21011    D.21011 【强化训练2】如图，△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在正比例函数y＝kx的图象l上，则点B2023的坐标是（　　） A.，2023）    B.（﹣2023，） C.，2022）    D. 【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝的图象分别为直线l1.l2，过点A1(1,-)作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5…依次进行下去，则点A2023的横坐标为（　　） A.21012    B.﹣21012    C.﹣21011    D.21011 【强化训练4】如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝-和点P（1，0），过点P（1，0）作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（　　） A.﹣26    B.﹣27    C.﹣214    D.﹣215 【强化训练5】在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A1（1，0）且与x轴正方向夹角为30°，如图所示依次作正方形A1B1C1O.正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2.….正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3.…在直线l上，点C1、C2、C3…在y轴正半轴上，则A2023B2023的长度是 　       　． 【强化训练6】如图，直线l1：y＝x+1，直线l2：y＝2x+2分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线l1于A1，过A1作A1B垂线交l2于B1，再过B1，作A1B1垂线交直线l2于A2，过A2作A2B1垂线交l2于B2，…依次类推，则B8的坐标是 　        　． 【强化训练7】在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A1（1，0）且与x轴正方向夹角为30°，如图所示依次作正方形A1B1C1O.正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2.….正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3.…在直线l上，点C1、C2、C3…在y轴正半轴上，则A2023B2023的长度是 　       　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 人教版（2024）八年级下册 23.2 一次函数的图象和性质 题型专练 （参考答案） 【题型1】正比例函数图象及图象上的点 【典例】如图所示函数图象中，正比例函数的图象是（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】C 【解析】 解：∵正比例函数的图象是一条经过原点的直线， ∴只有答案C符合要求． 故选：C． 【强化训练1】正比例函数y＝﹣3x的图象经过（　　）象限． A.第一、三象限    B.第二、四象限      C.第一、四象限    D.第二、三象限 【答案】B 【解析】 解：在正比例函数y＝﹣3x中， ∵k＝﹣3＜0， ∴正比例函数y＝﹣3x的图象经过第二.、四象限， 故选：B． 【强化训练2】正比例函数y＝﹣x的图象平分第　       　象限． 【答案】 二.四 【解析】 解：∵k＝﹣1＜0， ∴一次函数y＝﹣x的图象经过第二.四象限，且平分第二.四象限． 故答案为：二.四． 【强化训练3】已知y和x－3成正比例，当x＝1时，y＝－4. (1)求y关于x的函数表达式； (2)若点是该函数图象上的一点，求a的值. 【答案】解　(1)∵y和x－3成正比例， ∴设y＝k， 将(1，－4)代入得k＝－4，解得k＝2， ∴y＝2＝2x－6. (2)由(1)知y＝2x－6， ∵点是该函数图象上的一点， ∴把点代入y＝2x－6，得2－6＝4，解得a＝8. 【强化训练4】用两点法画出下列函数的图象. (1)y＝－3x； (2)y＝x. 【答案】解　①列表； ②描点、连线，画图如图所示. 【题型2】正比例函数的增减性 【典例】若点，都在函数y＝－2x的图象上，则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1<y2                  B.y1＝y2 C.y1>y2                D.无法确定 【答案】C 【解析】∵y＝－2x，k＝－2<0， 点，都在函数y＝－2x的图象上，－1<2， ∴y1>y2. 【强化训练1】关于函数y＝2x，下列说法错误的是（　　） A.它是正比例函数    B.图象经过（1，2）      C.图象经过一、三象限    D.当x＞0，y＜0 【答案】D 【解析】 解：关于函数y＝2x， A.它是正比例函数，说法正确，不合题意； B.当x＝1时，y＝2，图象经过（1，2），说法正确，不合题意； C.图象经过一、三象限，说法正确，不合题意； D.当x＞0时，y＞0，说法错误，符合题意； 故选：D． 【强化训练2】已知点A(－6，y1)和B(－3，y2)都在直线y＝－x上，则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1>y2                  B.y1＝y2 C.y1<y2                D.无法确定 【答案】A 【解析】∵y＝－x，k＝－<0， ∴y随x的增大而减小， 又∵－6<－3，∴y1>y2. 【强化训练3】正比例函数y＝（1﹣k）x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），当x1＜x2时，y1＞y2，则k的取值范围是　    　． 【答案】 k＞1 【解析】 解：∵正比例函数y＝（1﹣k）x图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）， 当x1＜x2时，y1＞y2， ∴y随x的增大而减小， ∴1﹣k＜0， 解得：k＞1， 则k的取值范围是：k＞1． 故答案为：k＞1． 【强化训练4】已知正比例函数y＝kx中，y的值随x的增大而增大，则(,k)在第 　  　象限． 【答案】 一 【解析】 解：∵正比例函数y＝kx中，y的值随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴点（，k）在第一象限． 故答案为：一． 【强化训练5】已知正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限． （1）求m的值； （2）当﹣≤x＜2时，求y的最小值． 【答案】 解：由正比例函数y＝（3m﹣2）x3﹣|m|的图象经过第一、三象限， 可得：3m﹣2＞0，3﹣|m|＝1， 解得m＝2； （2）由（1）知，m＝2， ∴正比例函数的解析式为y＝4x， 当x＝﹣时，y＝﹣3，当x＝2时，y＝8， ∴当﹣≤x＜2时，y的最小值是﹣3． 【题型3】用正比例函数性质求其解析式 【典例】已知正比例函数的图象如图所示，则这个函数的关系式为（　　） A.y＝x      B.y＝﹣x      C.y＝﹣3x      D.y＝﹣x/3 【答案】B 【解析】 解：设函数解析式为y＝kx（k≠0）， ∵图象经过（3，﹣3）， ∴﹣3＝k×3， 解得k＝﹣1， ∴这个函数的关系式为y＝﹣x， 故选：B． 【强化训练1】已知y关于x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣6，则当x＝1时，y的值为（　　） A.3    B.﹣3    C.12    D.﹣12 【答案】B 【解析】 解：设y＝kx， ∵当x＝2时，y＝﹣6， ∴2k＝﹣6，解得k＝﹣3， ∴y＝﹣3x， ∴当x＝1时，y＝﹣3×1＝﹣3． 故选：B． 【强化训练2】函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（﹣2，1），则这个函数的解析式是（　　） A.y＝2x      B.y＝﹣2x      C.y＝x      D.y＝﹣x 【答案】D 【解析】 解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点A（﹣2，1）， ∴﹣2k＝1， 解得k＝﹣， ∴正比例函数的解析式为y＝﹣x． 故选：D． 【强化训练3】已知正比例函数的y值随x的增大而增大，请写出一个符合条件的函数表达式 　 　． 【答案】 y＝x（答案不唯一） 【解析】 解：∵正比例函数的y值随x的增大而增大， ∴k＞0， ∴函数表达式可以为y＝x． 故答案为：y＝x（答案不唯一）． 【强化训练4】若y与x成正比例，且当x＝2时，y＝﹣4． （1）求y与x之间的函数表达式； （2）当y＝6时，x的值是多少？ 【答案】 解：（1）设y＝kx， 把x＝2，y＝﹣4代入得：y＝kx， 解得k＝﹣2， 即y与x之间的函数关系式为：y＝﹣2x． （2）把y＝6代入y＝﹣2x得：6＝﹣2x， 解得x＝﹣3， 即x的值是﹣3． 【强化训练5】已知正比例函数y＝kx（k≠0且是常数）的图象经过点（﹣1，2）． （1）求此正比例函数的解析式； （2）画出这个函数图象． 【答案】 解：（1）∵正比例函数y＝kx（k≠0且是常数）的图象经过点（﹣1，2）， ∴﹣k＝2， ∴k＝﹣2， ∴正比例函数解析式为y＝﹣2x． （2）列表如下： 函数图象如下所示： 【题型4】一次函数的图象 【典例】一次函数y＝﹣2x+2的图象大致是（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】C 【解析】 解：由题意知，k＝﹣2＜0，b＝2＞0时，函数图象经过一、二、四象限． 故选：C． 【强化训练1】如图，一次函数y＝－2x＋1的图象可以是(　　) A.直线l1 B.直线l2 C.直线l3 D.直线l4 【答案】B 【强化训练2】如图，直线l是一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象，则b＝　   　． 【答案】 1 【解析】 解：∵直线与y轴交于点（0，1）， ∴b＝1． 故答案为：1 【强化训练3】问题：探究函数y＝－|x|＋4的图象与性质. 数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数y＝－|x|＋4的图象与性质进行了探究： (1)在函数y＝－|x|＋4中，自变量x可以是任意实数，如表是y与x的几组对应值. ①表格中a的值为　　　　； ②若(b，－8)为该函数图象上的点，则b＝　　　　； (2)在平面直角坐标系中，描出表中的各点，画出该函数的图象； (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为　　　　； ②写出该函数的一条性质：　　　　. 【答案】解　(1)①把x＝4代入y＝－|x|＋4， 得a＝－4＋4＝0. ②把y＝－8代入y＝－|x|＋4，得－8＝－|x|＋4， 解得x＝－12或12， ∴b＝－12或12. (2)描点，画出函数的图象如图. (3)①根据图象可知，函数的最大值为4. ②由图象可知该函数的一条性质：函数y＝－|x|＋4的图象关于y轴对称(答案不唯一). 【强化训练4】(教材改编)分别画出下列函数的图象： (1)y=4x；(2)y=4x+1；(2)y=-4x+1；(4)y=-4x-1. 【答案】 解： (1)y=4x； 列表： 过原点和(1，4)画直线y=4x，如图所示： (2)y=4x+1； 列表： 过点(0，1)和(1，5)画直线y=4x+1，如图所示： (3)y=-4x+1； 列表： 过点(0，1)和(1，-3)画直线y=-4x+1，如图所示： (4)y=-4x-1； 列表： 过点(0，-1)和(1，-5)画直线y=-4x-1，如图所示： 【题型5】已知一次函数经过的象限，求参数取值 【典例】如图是一次函数y＝kx+b的图象，下列说法正确的是（　　） A.y随x增大而增大    B.图象经过第三象限      C.b＜0      D.当x≥0时，y≤b 【答案】D 【解析】 解：A.由图象可得：y随x增大而减小，原说法错误，不符合题意； B.图象不经过第三象限，原说法错误，不符合题意； C.函数图象与y轴的交点的纵坐标为b，则b＞0，原说法错误，不符合题意； D.由图象可得，当x≥0时，y≤b，正确，符合题意． 故选：D． 【强化训练1】两条直线y＝ax+b与y＝bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】B 【解析】 解：A.当经过第一、二、三象限的直线为y＝ax+b， 则a＞0，b＞0， ∴直线y＝bx+a应该经过第一、二、三象限， 故A不符合题意； B.当经过第一.三.四象限的直线为y＝ax+b， 则a＞0，b＜0， ∴直线y＝bx+a应该经过第一、二、四象限， 故B符合题意； C.当经过第一、二、三象限的直线为y＝ax+b， 则a＞0，b＞0， ∴直线y＝bx+a应该经过第一、二、三象限， 故C不符合题意； D.当经过第一、三、四象限的直线为y＝ax+b， 则a＞0，b＜0， ∴直线y＝bx+a应该经过第一、二、四象限， 故D不符合题意； 故选：B． 【强化训练2】已知点（m，n）在第二象限，则直线y＝nx+m图象大致是下列的（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】A 【解析】 解：∵点（m，n）在第二象限， ∴m＜0，n＞0， ∴直线y＝nx+m在一、三、四象限． 故选：A． 【强化训练3】请写出一个图象经过二.三.四象限的一次函数解析式：　   　.（答案不唯一，只要符合题意均可得分） 【答案】 y＝﹣x﹣1 【解析】 解：由题意，对于一次函数y＝kx+b， ∵一次函数图象过二.三.四象限， ∴k＜0，b＜0． ∴k＝﹣1，b＝﹣1．（答案不唯一．） ∴一次函数解析式为：y＝﹣x﹣1． 故答案为：y＝﹣x﹣1． 【强化训练4】已知一次函数y＝（1﹣m）x+3m的图象不经过平面直角坐标系中的第四象限，那么m的取值范围是 　     　． 【答案】 1＞m≥0 【解析】 解：∵一次函数y＝（1﹣m）x+3m的图象不经过第四象限， ∴，解得：1＞m≥0． 故答案为：1＞m≥0． 【强化训练5】已知一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）． （1）m为何值时，y随x的增大而减小？ （2）m为何值时，直线与y轴的交点在x轴下方？ （3）m为何值时，直线位于第二.三.四象限？ 【答案】 解:（1）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）， ∵y随x的增大而减小， ∴4m+1＜0， 解得：m＜﹣， 答：当m＜﹣时，y随x的增大而减小． （2）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）， ∵直线与y轴的交点在x轴下方， ∴﹣（m+1）＜0， 解得：m＞﹣1，且m≠﹣， 答：当m＞﹣1且m≠﹣时，直线与y轴的交点在x轴下方． （3）一次函数y＝（4m+1）x﹣（m+1）， ∵直线位于第二.三.四象限， ∴4m+1＜0且﹣（m+1）＜0， 解得：﹣1＜m＜﹣， 答：当：﹣1＜m＜﹣时，直线位于第二.三.四象限． 【题型6】判断点是否为一次函数图象上(或经过)的点 【典例】下列四点中，在函数y＝3x+2的图象上的点是（　　） A.（﹣1，1）    B.（﹣1，﹣1）    C.（2，0）    D.（0，﹣1.5） 【答案】B 【解析】 解：A.把（﹣1，1）代入y＝3x+2得：左边＝1，右边＝3×（﹣1）+2＝﹣1，左边≠右边，故A选项错误； B.把（﹣1，﹣1）代入y＝3x+2得：左边＝﹣1，右边＝3×（﹣1）+2＝﹣1，左边＝右边，故B选项正确； C.把（2，0）代入y＝3x+2得：左边＝0，右边＝3×2+2＝8，左边≠右边，故C选项错误； D.把（0，﹣1.5）代入y＝3x+2得：左边＝﹣1.5，右边＝3×0+2＝2，左边≠右边，故D选项错误． 故选：B． 【强化训练1】如图，在M.N.P.Q四个点中，一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象不可能经过的点是（　　） A.点Q      B.点N      C.点M      D.点P 【答案】D 【解析】 解：∵k＞0，b＝﹣3＜0， ∴一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象经过第一、三、四象限， 又∵点P在第二象限， ∴一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象不可能经过的点是点P． 故选：D． 【强化训练2】如图，在M.N.P.Q四个点中，一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象不可能经过的点是（　　） A.点Q      B.点N      C.点M      D.点P 【答案】D 【解析】 解：∵k＞0，b＝﹣3＜0， ∴一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象经过第一、三、四象限， 又∵点P在第二象限， ∴一次函数y＝kx﹣3（k＞0）的图象不可能经过的点是点P． 故选：D． 【强化训练3】下列各点中，在函数y＝﹣x+1的图象上的是（　　） A.（0，1）    B.（0，﹣1）    C.（1，2）    D.（﹣1，0） 【答案】A 【解析】 解：当x＝0时，y＝1，所以点（0，1）在函数y＝﹣x+1图象上，点（0，﹣1）不在函数图象上； 当x＝1时，y＝0，所以点（1，﹣2）不在函数y＝﹣x+1图象上； 当x＝﹣1时，y＝2，所以点（﹣1，0）不在函数y＝﹣x+1图象上； 故选：A． 【题型7】已知一次函数图象上的点，求参数或代数式的值 【典例】如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，0），点Q是直线y＝x上的一个动点，以AQ为边，在AQ的右侧作等边△APQ，使得点P落在第一象限，连结OP，则OP+AP的最小值为（　　） A.6    B.4    C.8    D.6 【答案】C 【解析】 解：如图，作∠OAM＝60°，边AM交直线OQ于点M，作直线PM， 由直线y＝x可知，∠MOA＝60°， ∴∠MOA＝∠OAM＝60°， ∴△OAM是等边三角形， ∴OA＝OM， ∵△APQ是等边三角形， ∴AQ＝AP，∠PAQ＝60°， ∴∠OAQ＝∠MAP， ∴△OAQ≌△MAP（SAS）， ∴∠QOA＝∠PMA＝60°＝∠MAO， ∴PM∥x轴，即点P在直线PM上运动， 过点O关于直线PM的对称点B，连接AB，AB即为所求最小值， 此时，在Rt△OAB中，OA＝4，∠BAO＝60°， ∴∠OBA＝30°， ∴AB＝2OA＝8． 故选：C． 【强化训练1】直线y＝2x+n经过点（1，5），则n＝（　　） A.1    B.2    C.3    D.4 【答案】C 【解析】 解：∵直线y＝2x+n经过点（1，5）， ∴2×1+n＝5， 解得n＝3， 故选：C． 【强化训练2】已知点（﹣2，m），（3，n）都在直线y＝﹣3x+b上，则m与n的大小关系是（　　） A.m＜n      B.m＞n      C.m≥n    D.无法确定 【答案】B 【解析】 解：∵y＝﹣3x+b中﹣＜＞0， ∴y随x增大而减小， ∵﹣2＜3， ∴m＞n， 故选：B． 【强化训练3】直线y＝2x+n经过点（1，5），则n＝（　　） A.1    B.2    C.3    D.4 【答案】C 【解析】 解：∵直线y＝2x+n经过点（1，5）， ∴2×1+n＝5， 解得n＝3， 故选：C． 【强化训练4】正比例函数y＝﹣2x的图象过A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1﹣x2＝3，则y1﹣y2的值为（　　） A.3    B.﹣3    C.6    D.﹣6 【答案】D 【解析】 解：∵正比例函数y＝﹣2x的图象过A（x1，y1），B（x2，y2）两点， ∴y1＝﹣2x1，y2＝﹣2x2，x1﹣x2＝3， ∴y1﹣y2＝﹣2x1+2x2＝﹣2（x1﹣x2）＝﹣6． 故选：D． 【题型8】一次函数图象与坐标轴交点问题 【典例】一次函数图象过点（0，2）和（4，0），其函数表达式为（　　） A.y＝x+2      B.y＝2x+4      C.y＝﹣2x+2      D.y＝﹣x+2 【答案】D 【解析】 解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k.b为常数，k≠0）， 根据题意 得， 解得， 所以一次函数的解析式为y＝﹣x+2． 故选：D． 【强化训练1】关于一次函数y＝﹣2x+1，下列说法不正确的是（　　） A.图象与y轴的交点坐标为（0，1）      B.图象与x轴的交点坐标为（，0）      C.y随x的增大而增大      D.图象不经过第三象限 【答案】C 【解析】 解：A.把x＝0代入y＝﹣2x+1＝1，所以它的图象与y轴的交点坐标是（0，1），故本选项说法正确，不符合题意； B.把x＝代入y＝﹣2x+1＝0，所以它的图象与x轴的交点坐标是（，0），故本选项说法正确，不符合题意； C.k＝﹣2＜0，所以y随自变量x的增大而减小，故本选项说法错误，符合题意； D.k＝﹣2＜0，b＝1＞0，函数图象经过第一.二.四象限，故本选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 【强化训练2】下列关于一次函数y＝﹣2x+2的图象的说法中，错误的是（　　） A.函数图象经过第一.二.四象限      B.函数图象与x轴的交点坐标为（2，0）      C.函数图象与y轴的交点坐标为（0，2）      D.y的值随着x值的增大而减小 【答案】B 【解析】 解：A.∵k＝﹣2＜0，b＝2＞0，∴函数图象经过第一.二.四象限，说法正确； B.∵y＝0时，x＝1，∴函数图象与x轴的交点坐标为（1，0），说法错误； C.当x=0时，y=2，说法正确； D.∵k＝﹣2＜0，∴y的值随着x值的增大而减小，说法正确； 故选：B． 【强化训练3】若一条直线经过点(－1，1)和点(1，5)，则这条直线与x轴的交点坐标为　　　　　　. 【答案】 【解析】设经过点(－1，1)和点(1，5)的直线的解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 则 解得 所以该直线的解析式为y＝2x＋3. 令y＝0，则x＝－， 故这条直线与x轴的交点坐标为. 【强化训练4】若一次函数y＝k（x﹣1）的图象经过点M（﹣1，﹣2），则其图象与y轴的交点坐标是　     　． 【答案】 （0，﹣1） 【解析】 解：∵一次函数y＝k（x﹣1）的图象经过点M（﹣1，﹣2）， 则有k（﹣1﹣1）＝﹣2，解得k＝1． 所以函数解析式为y＝x﹣1． 令x＝0代入得y＝﹣1． 故其图象与y轴的交点是（0，﹣1）． 故答案为（0，﹣1）． 【强化训练5】如图，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴和y轴分别交于点A和点B． （1）求点A和点B的坐标； （2）求O点到直线AB的距离． 【答案】 解:（1）将x＝0代入y＝﹣x+4得， y＝4， 所以点A的坐标是（0，4）． 将y＝0代入y＝﹣x+4得， x＝3， 所以点B的坐标是（3，0）． （2）过点O作AB的垂线，垂足为C， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3． 在Rt△AOB中， AB＝． 又， 所以AO•BO＝AB•OC， 即4×3＝5OC， 得OC＝． 所以点O到直线AB的距离是． 【题型9】一次函数图象与平移问题 【典例】要得到y＝-的图象，可把直线y＝向（　　） A.左平移4个单位    B.右平移4个单位      C.上平移4个单位    D.下平移4个单位 【答案】D 【解析】 解：由“上加下减”的原则可知：把直线 y＝-向下平移4个单位得到直线y＝-x-4． 故选：D． 【强化训练1】如图，已知直线l1：y＝x+4和直线l2：y＝﹣2x+6，将直线l2向下平移m个单位长度后，与直线l1 的交点在第二象限，则m的值可以是（　　） A.2    B.10    C.14    D.16 【答案】B 【解析】 解：由直线l1：y＝x+4可知，直线l1与x轴的交点为（﹣4，0），与y轴的交点为（0，4）， ∵将直线l2向下平移m个单位长度后，得到y＝﹣2x+6﹣m， ∴把点（﹣4，0）代入得，0＝8+6﹣m，解得m＝14， 把点（0，4）代入得，4＝6﹣m，解得m＝2， ∵交点在第二象限， ∴2＜m＜14， 故选项B符合题意， 故选：B． 【强化训练2】把直线y＝﹣x向上平移3个单位长度，所得的直线图象大致是（　　） A.    B.      C.    D. 【答案】A 【解析】 解：∵y＝﹣x ∵k＝﹣1＜0， ∴图象过二、四象限， 图象向上平移3个单位长度， ∴图象过一、二、四象限， 故选：A． 【强化训练3】把直线y＝﹣x﹣3 向上平移m个单位后，与直线y＝2x+4的交点在第二象限，则m的整数值可以是（　　） A.1    B.3    C.7    D.8 【答案】B 【解析】 解：直线y＝﹣x﹣3向上平移m个单位后可得：y＝﹣x﹣3+m， 联立两直线解析式得：， 解得：， ∵交点在第二象限， ∴， 解得：1＜m＜7． ∴m的整数值可以是2.3.4.5.6．观察选项，只有选项B符合题意． 故选：B． 【强化训练4】将直线y＝﹣x+3沿y轴向下平移6个单位长度后，得到一条新的直线，该直线与x轴的交点坐标是（　　） A.（0，﹣3）    B.（﹣2，0）    C.（4，0）    D.（6，0） 【答案】B 【解析】 解：将直线y＝﹣x+3沿y轴向下平移6个单位长度后，得到：y＝﹣x+3﹣6＝﹣x﹣3， 把y＝0代入y＝﹣x﹣3得，0＝﹣x﹣3， 解得x＝﹣2， 所以该直线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）． 故选：B． 【强化训练5】已知一次函数的图象与直线y＝﹣x+k平行，且过点（8，2），那么此一次函数的解析式为　    　，y随x的增大而　     　． 【答案】 y＝﹣x+10，减小 【解析】 解：设一次函数解析式为y＝ax+b， 由题意可得出方程组， 解得：， 那么此一次函数的解析式为：y＝﹣x+10． ∵a＝﹣1， ∴y随x的增大而减小， 故答案为y＝﹣x+10，减小． 【强化训练6】如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3），点C在直线AB上，过点C作CD⊥x轴，垂足为D，将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l恰好经过点D．若OD＝2，则a的值为 　    　． 【答案】 4 【解析】 解：∵一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B（0，3）， ∴， 解得：， ∴直线AB的解析式为y＝+3， 将直线AB沿y轴方向向下平移a个单位长度得到的直线l为y＝， 将点D（2，0）代入得，0＝， 解得：a＝4， 故答案为：4． 【强化训练7】如图，直线y＝﹣x+5交坐标轴于点A.B，与坐标原点构成的△AOB向x轴正方向平移4个单位长度得△A′O′B′，边O′B′与直线AB交于点E，则图中阴影部分面积为 　     　． 【答案】 14 【解析】 解：∵△AOB向x轴正方向平移4个单位长度得△A′O′B′， ∴S△AOB＝S△A′O′B′，OO′＝4，∠B′O′A′＝∠BOA＝90°， ∴阴影部分面积等于梯形OBEO′的面积， 对于y＝-，当x＝0时，y＝5， 当x＝4时，y＝， ∴B（0，5），E（0，2）， ∴OB＝5，O′E＝2， ∴S梯形OBEO′＝·， ∴阴影部分面积等于14． 故答案为：14． 【强化训练8】如图，将直线OA向上平移2个单位，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为 　       　． 【答案】 y＝﹣2x+2 【解析】 解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）， 将点A（﹣2，4）代入解析式， 得﹣2k＝4， 解得k＝﹣2， ∴直线OA的解析式为y＝﹣2x， 根据平移的规律，可得平移后的一次函数表达式为y＝﹣2x+2， 故答案为：y＝﹣2x+2． 【题型10】由一次函数增减性求参数取值 【典例】若一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小，则实数k的取值范围是（　　） A.k＜0      B.k＞0      C.k＜2      D.k＞2 【答案】A 【解析】 解：∵一次函数y＝kx+2的函数值y随自变量x的增大而减小， ∴k＜0． 故选：A． 【强化训练1】在平面直角坐标系中，将直线l1：y＝－2x－2平移后，得到直线l2：y＝－2x＋4，则下列平移作法正确的是(　　) A.将l1向下平移3个单位长度 B.将l1向下平移6个单位长度 C.将l1向上平移2个单位长度 D.将l1向上平移6个单位长度 【答案】D 【强化训练2】如图，直线y＝kx＋b(k<0)经过点P(1，1)，若kx＋b≤x，则x的取值范围是(　　) A.x≥1      B.x>1 C.x≤1      D.x<1 【答案】A 【解析】由题意，将P(1，1)代入y＝kx＋b(k<0)， 可得k＋b＝1，即k－1＝－b， 整理kx＋b≤x得(k－1)x＋b≤0， ∴－bx＋b≤0， 由图象可知b>0， ∴x－1≥0，∴x≥1. 【强化训练3】已知关于x的一次函数y＝（2k﹣6）x+（2k+1），当y的值随x增大而增大时，写出k满足的条件 　    　． 【答案】 k＞3 【解析】 解：∵y随x的增大而增大， ∴2k﹣6＞0， 解得：k＞3， 故答案为：k＞3． 【强化训练4】若一次函数y＝（m﹣3）x+3中，y随x的增大而增大，则m的值可以是 　 　（写出一个即可）． 【答案】 4（答案不唯一） 【解析】 解：∵一次函数y＝（m﹣3）x+3中，y随x的增大而增大， ∴m﹣3＞0， ∴m＞3． ∴m可以取4． 故答案为：4（答案不唯一）． 【强化训练5】已知直线y＝(2m＋4)x＋m－3，求： (1)当m为何值时，y随x的增大而增大？ (2)当m为何值时，图象与y轴的交点在x轴下方？ (3)当m为何值时，函数图象经过原点？ (4)当m为何值时，这条直线平行直线y＝－x？ 【答案】解　(1)2m＋4>0， ∴m>－2. (2)m－3<0且2m＋4≠0， ∴m<3且m≠－2. (3)m－3＝0， ∴m＝3. (4)2m＋4＝－1， ∴m＝－. 【题型11】由一次函数增减性比较函数值的大小 【典例】已知A(－1，a)，B(2，b)两点都在关于x的一次函数y＝－x＋m的图象上，则a，b的大小关系为(　　) A.a≥b                  B.a>b C.a<b                D.无法确定 【答案】B 【解析】∵k＝－1<0， ∴y随x的增大而减小， 又∵A(－1，a)，B(2，b)两点都在关于x的一次函数y＝－x＋m的图象上，且－1<2， ∴a>b. 【强化训练1】若点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A.y1＞y2＞y3      B.y2＞y1＞y3      C.y1＞y3＞y2      D.y3＞y2＞y1 【答案】C 【解析】 解：∵k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵点A（﹣2，y1），B（3，y2），C（1，y3）在一次函数y＝﹣3x+m（m是常数）的图象上，且﹣2＜1＜3， ∴y1＞y3＞y2． 故选：C． 【强化训练2】若(－4，y1)，(－2，y2)两点都在直线y＝2x＋b上，则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1>y2                  B.y1＝y2 C.y1<y2                D.无法确定 【答案】C 【解析】因为k＝2>0， 所以y随着x的增大而增大，又－4<－2， 所以y1<y2. 【强化训练3】点M（﹣2，y1），N（3，y2）是函数y＝-x+b图象上两点，则y1与y2的大小关系（　　） A.y1＞y2      B.y1＜y2      C.y1＝y2    D.无法确定 【答案】A 【解析】 解：∵k＝﹣＜0， ∴y随x的增大而减小， 又∵﹣2＜3， ∴y1＞y2． 故选：A． 【强化训练4】若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（2，y3）是函数y＝﹣x+1图象上的点，则（　　） A.y3＜y2＜y1      B.y1＜y2＜y3      C.y1＜y3＜y2      D.y2＜y3＜y1 【答案】A 【解析】 解：∵k＝﹣1＜0， ∴y随x的增大而减小， ∵﹣1＜1＜2， ∴y3＜y2＜y1， 故选：A． 【强化训练5】已知直线y＝kx＋2(k<0)经过点(k－1，y1)和(－k＋2，y2)，则y1，y2的大小关系为　　　　. 【答案】y1>y2 【强化训练6】已知直线y＝kx＋2(k<0)经过点(k－1，y1)和(－k＋2，y2)，则y1，y2的大小关系为　　　　. 【答案】y1>y2 【强化训练7】在平面直角坐标系xOy中，若点A（﹣2，y1），B（1，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上，则y1　  　y2 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 ＞ 【解析】 解：∵点A（﹣2，y1），B（1，y2）在一次函数y＝﹣2x+3的图象上， ∴y1＝﹣2×（﹣2）+3＝7，y2＝﹣2×1+3＝1， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【题型12】用已知自变量和函数值或图象上点的坐标 【典例】一次函数y＝mx+|m﹣1|的图象过点（0，2），且y随x的增大而增大，则一次函数解析式为（　　） A.y＝3x+2       B.y＝3x-2 C.y＝3x+1      D.y＝3x-1 【答案】A 【解析】 解：∵一次函数y＝mx+|m﹣1|中y随x的增大而增大， ∴m＞0． ∵一次函数y＝mx+|m﹣1|的图象过点（0，2）， ∴当x＝0时，|m﹣1|＝2，解得m1＝3，m2＝﹣1＜0（舍去）． ∴解析式为y＝3x+2 故选：A． 【强化训练1】已知一次函数y＝﹣x+b，过点（﹣8，﹣2），那么一次函数的解析式为（　　） A.y＝﹣x﹣2      B.y＝﹣x﹣6      C.y＝﹣x﹣10      D.y＝﹣x﹣1 【答案】C 【解析】 解：把（﹣8，﹣2）代入y＝﹣x+b得：﹣2＝8+b， 解得：b＝﹣10， 则一次函数解析式为y＝﹣x﹣10， 故选：C． 【强化训练2】已知一次函数y＝kx+b，当﹣3＜x＜1时，对应的y值为﹣1＜y＜3，则此一次函数解析式是（　　） A.y＝﹣x      B.y＝x+2      C.y＝-x+2      D.y＝x+2或y＝﹣x 【答案】D 【解析】 解：①将x＝﹣3，y＝﹣1代入得：﹣1＝﹣3k+b，将x＝1，y＝3代入得：3＝k+b， 解得：k＝1，b＝2；函数解析式为y＝x+2，经检验符合题意； ②将x＝﹣3，y＝3，代入得：3＝﹣3k+b，将x＝1，y＝﹣1代入得：﹣1＝k+b， 解得：k＝﹣1，b＝0，函数解析式为y＝﹣x，经检验符合题意； 综上可得y＝x+2或y＝﹣x． 故选：D． 【强化训练3】一次函数y＝kx+b的图象如图，则其函数关系式为 　       　． 【答案】 y＝﹣x+2 【解析】 解：由图象可知一次函数y＝kx+b的图象经过点（3，0），（0，2）， 把点（3，0），（0，2）代入得， 解得， ∴其函数表达式为y＝﹣x+2， 故答案为：y＝﹣x+2． 【强化训练4】依据给定的条件，求一次函数的解析式． （1）已知一次函数的图象如图，求此一次函数的解析式，并判断点（6，5）是否在此函数图象上． （2）已知一次函数y＝2x+b的图象与y轴的交点到x轴的距离是4，求其函数解析式． 【答案】 解：（1）设该直线解析式为y＝kx+b（≠0）． 如图所示，该直线经过点（0，﹣8）.（4，0），则 ， 解得． 所以该直线方程为：y＝2x﹣8． 把x＝6代入y＝2x﹣8＝4， 所以点（6，5）不在此函数图象上． （2）∵图象与y轴的交点到x轴的距离是4， ∴图象经过点（0，4）或（0，﹣4）， 把（0，4）或（0，﹣4），分别代入y＝2x+b， 解得b＝﹣4或b＝4 ∴函数解析式为y＝2x+4或y＝2x﹣4． 【题型13】用表格中已知的数据 【典例】小明根据某个一次函数关系式填写了的表格：则空格中的数为（　　） A.16    B.8    C.12    D.24 【答案】D 【解析】 解：设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， ∵x＝﹣1时y＝﹣3；x＝0时，y＝6， ∴，解得， ∴一次函数的解析式为y＝9x+6， ∴当x＝2时，y＝18+6＝24． 故选：D． 【强化训练1】已知y是x的一次函数，表中列出了部分对应值，则a等于(　　) A.－1          B.0          C.－2          D. 【答案】C 【解析】设一次函数解析式为y＝kx＋b(k≠0)， 将x＝－1，y＝1；x＝1，y＝－5代入得 解得 ∴一次函数解析式为y＝－3x－2， 令x＝0，得到y＝－2，则a＝－2. 【强化训练2】已知变量y与x的关系满足下表，那么能反映y与x之间的函数关系的解析式是（　　） A.y＝﹣2x      B.y＝x+4      C.y＝﹣x+2      D.y＝2x﹣2 【答案】C 【解析】 解：设y与x之间的函数关系的解析式是y＝kx+b（k≠0）， 把（1，1），（0，2）代入得， 解得， 所以，y与x之间的函数关系的解析式是y＝﹣x+2． 经检验，其余各点都满足函数的解析式， 故选：C． 【强化训练3】小明根据某个一次函数关系式填写了下表：其中有一格不慎被墨汁遮住了，想想看，该空格里原来填的数是　　． 【答案】 2 【解析】 解：设一次函数的解析式为y＝kx+b． 把x＝0，y＝1；x＝1，y＝0代入， 得b＝1，k+b＝0， 解得k＝﹣1，b＝1， ∴y＝﹣x+1． 当x＝﹣1时，y＝2． 故空格里原来填的数是2． 【强化训练4】写出满足如表条件的一次函数表达式为　       　． 【答案】 y＝﹣3x+1 【解析】 解：∵y是x的一次函数， ∴设y＝kx+b， 又∵由图表可知，x＝0时y＝1，x＝1时y＝﹣2， ∴， ∴ ∴y＝﹣3x+1． 故答案为y＝﹣3x+1． 【强化训练5】小明根据某个一次函数关系式填写了下面的这张表： 其中有一格不慎被墨迹遮住了，想想看，该空格里原来填的数是多少？写出你的理由． 【答案】 解：空格处应填写的数是2， 理由：设一次函数的解析式为y＝kx+b， ∵点（0，1），（1，0）在函数y＝kx+b上， ∴， 解得， 即一次函数的解析式为y＝﹣x+1， 当y＝﹣x+1＝﹣1时，解得x＝2， 即空格处应填写的数是2． 【题型14】用实际问题中的数据 【典例】下表列出了一项实验的统计数据（单位：cm）： 它表示皮球从一定高度落下时，弹跳高度y是下落高度x的一次函数，那么变量y与x之间的关系式为 　     　． 【答案】 y＝x+5 【解析】 解：设变量y与x之间的关系式为y＝kx+b， 将（50，30），（80，45）代入y＝kx+b， 得：， 解得：， ∴变量y与x之间的关系式为y＝x+5． 故答案为：y＝x+5． 【强化训练1】某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路，如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120范围内，具有一次函数的关系，如下表所示． 则y关于x的函数解析式为　        　．（写出自变量取值范围） 【答案】 y＝﹣x+50（30≤x≤120） 【解析】 解：设y关于x的函数解析式为：y＝kx+b， 则， 解得：， 故y关于x的函数解析式为：y＝﹣x+50（30≤x≤120）． 故答案为：y＝﹣x+50（30≤x≤120）． 【强化训练2】某工厂设计了一款产品，成本为每件20元．投放市场进行试销，经调查发现，该种产品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数的关系，其中20≤x≤40． （1）根据表格求y关于x的函数解析式； （2）设销售这种产品每天的利润为W（元），求W关于销售单价x之间的函数解析式. 【答案】 解：（1）设一次函数的解析式为y＝kx+b（k≠0）， 把x＝25.y＝30；x＝30.y＝2代入y＝kx+b得： ，解得， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+80； （2）根据题意得： W＝y（x﹣20） ＝（x﹣20）（﹣2x+80） ＝﹣2x2+120x﹣1600 ＝﹣2（x﹣30）2+200， 【强化训练3】国庆长假，小明从老家乘车去上海．一路上，小明记下了如下数据（注：“上海90 km”表示离上海的距离为90 km）： 假设汽车离上海的距离s（km）是行驶时间t（min）的一次函数，求s关于t的函数关系式． 【答案】 解：设s关于t的函数关系式为s＝kt+b， ∵t＝6，s＝80；t＝18，s＝60， ∴， 解得：k＝﹣，b＝90， ∴s＝﹣t+90． 【题型15】一次函数性质的综合 【典例】如果y＝，那么y的最大值为（　　） A.3    B.2    C.1    D.不存在 【答案】C 【解析】 解：∵y＝， ∴当x≤1时，y＝2x﹣1，此时y随x的增大而增大， ∴当x＝1时，y取得最大值1； 当x＞1时，y＝﹣x+2， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∴当x＞1时，该函数的值均小于1； 由上可得，该函数的最大值是1， 故选：C． 【强化训练1】一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5），若自变量x的取值范围是﹣2≤x≤5，则y的最小值是（　　） A.﹣10    B.﹣7    C.7    D.11 【答案】B 【解析】 解：一次函数y＝kx+3的图象经过点（﹣1，5）， ∴5＝﹣k+3， 解得：k＝﹣2， ∴y＝﹣2x+3， ∵k＝﹣2， ∴y随x的增大而减小， ∵﹣2≤x≤5， ∴当x＝5时，y的最小值为﹣2×5+3＝﹣7． 故选：B． 【强化训练2】已知一次函数y＝kx+b的图象如图，当x＜1时，y的取值范围是（　　） A.﹣2＜y＜0      B.﹣4＜y＜0      C.y＜﹣2      D.y＞﹣2 【答案】C 【解析】 解：将点（0，﹣4）和（2，0）代入y＝kx+b， 根据图象可知，， 解得， ∴函数关系式为y＝2x﹣4， 当x＝1时，y＝2﹣4＝﹣2， 根据函数图象可知，当x＜1时，y＜﹣2， 故选：C． 【强化训练3】在平面直角坐标系xOy中，若一次函数y＝kx+1的图象经过点P（1，3），则随着x的增大，y的值 　     　（填“增大”或“减小”）． 【答案】 增大 【解析】 解：∵一次函数y＝kx+1的图象经过点P（1，3）， ∴k+1＝3，解得：k＝2， ∴一次函数的表达式为：y＝2x+1， ∵k＝2＞0， ∴y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 【强化训练4】函数y＝﹣2x+6的图象如图所示，P（2，2）是图象上的一点，观察图象回答问题． （1）当x为何值时，y＜0？ （2）当x为何值时，y＝0？ （3）求当0≤x≤2时，y的取值范围． 【答案】 解:（1）由函数图象可得， 当x＜3时，y＜0； （2）由函数图象可得， 当x＝3时，y＝0； （3）由函数图象可得， 当0≤x≤2时，y的取值范围是2≤y≤6． 【强化训练5】画出函数y＝﹣2x+2的图象，结合图象回答下列问题： （1）这个函数中，随着自变量x的增大，函数值y是增大还是减小？它的图象从左到右怎样变化？ （2）当x取何值时，y＝0？ （3）当x取何值时，y＜0？ 【答案】 解:函数y＝﹣2x+2的图象为： （1）由图象知：这个函数中，随着x的增大，y将减小，图象从左向右下降． （2）由图象知：当x＝1时，y＝0． （3）由图象知：当x＞1时，y＜0． 【题型16】一次函数的规律探究 【典例】如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝-和点P（1，0），过点P（1，0）作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（　　） A.﹣26    B.﹣27    C.﹣214    D.﹣215 【答案】B 【解析】 解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上， ∴P1（1，1）， ∵P1P2∥x轴， ∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1， ∵P2在直线y＝﹣x上， ∴1＝﹣x， ∴x＝﹣2， ∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21， 同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24，P9＝24…， ∴P15的横坐标为﹣27， 故选：B． 【强化训练1】如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝的图象分别为直线l1.l2，过点A1(1,-)作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5…依次进行下去，则点A2023的横坐标为（　　） A.21012    B.﹣21012    C.﹣21011    D.21011 【答案】C 【解析】 解：依题意得：点A1与A2的横坐标相同，A2与A3的纵坐标相同， ∵A1(1,-)， ∴对于y＝x，当x＝1时，y＝1， ∴点A2（1，1）， 对于y＝x，当y＝1时，x＝﹣2， ∴点A3（﹣2，1）， 同理可得：A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），A6（4，4），A7（﹣8，4），A8（﹣8，﹣8），…， 观察这些点的坐标可得出：A2n﹣1的横坐标为（﹣2）n﹣1， ∵2023＝2×1012﹣1， ∴点A2023的横坐标为（﹣2）1012﹣1＝﹣21011． 故选：C． 【强化训练2】如图，△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在正比例函数y＝kx的图象l上，则点B2023的坐标是（　　） A.，2023）    B.（﹣2023，） C.，2022）    D. 【答案】B 【解析】 解：因为△OAB1是边长为2的等边三角形， 则不难得出点B1的坐标为（﹣1，）． 则﹣k＝， 所以k＝． 所以正比例函数的表达式为：． 又△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形， 所以点Bi+1的横坐标比点Bi的横坐标小1． 则＝﹣2023． 将此横坐标代入y＝-得，＝． 所以B2023（﹣2023，）． 故选：B． 【强化训练3】如图，在平面直角坐标系中，函数y＝x和y＝的图象分别为直线l1.l2，过点A1(1,-)作x轴的垂线交l1于点A2，过点A2作y轴的垂线交l2于点A3，过点A3作x轴的垂线交l1于点A4，过点A4作y轴的垂线交l2于点A5…依次进行下去，则点A2023的横坐标为（　　） A.21012    B.﹣21012    C.﹣21011    D.21011 【答案】C 【解析】 解：依题意得：点A1与A2的横坐标相同，A2与A3的纵坐标相同， ∵A1(1,-)， ∴对于y＝x，当x＝1时，y＝1， ∴点A2（1，1）， 对于y＝x，当y＝1时，x＝﹣2， ∴点A3（﹣2，1）， 同理可得：A4（﹣2，﹣2），A5（4，﹣2），A6（4，4），A7（﹣8，4），A8（﹣8，﹣8），…， 观察这些点的坐标可得出：A2n﹣1的横坐标为（﹣2）n﹣1， ∵2023＝2×1012﹣1， ∴点A2023的横坐标为（﹣2）1012﹣1＝﹣21011． 故选：C． 【强化训练4】如图，已知直线a：y＝x，直线b：y＝-和点P（1，0），过点P（1，0）作y轴的平行线交直线a于点P1，过点P1作x轴的平行线，交直线b于点P2，过点P2作y轴的平行线，交直线a于点P3，过点P3作x轴的平行线交直线b于点P4，…，按此作法进行下去，则点P15的横坐标为（　　） A.﹣26    B.﹣27    C.﹣214    D.﹣215 【答案】B 【解析】 解：∵点P（1，0），P1在直线y＝x上， ∴P1（1，1）， ∵P1P2∥x轴， ∴P2的纵坐标＝P1的纵坐标＝1， ∵P2在直线y＝﹣x上， ∴1＝﹣x， ∴x＝﹣2， ∴P2（﹣2，1），即P2的横坐标为﹣2＝﹣21， 同理，P3的横坐标为﹣2＝﹣21，P4的横坐标为4＝22，P5＝22，P6＝﹣23，P7＝﹣23，P8＝24，P9＝24…， ∴P15的横坐标为﹣27， 故选：B． 【强化训练5】在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A1（1，0）且与x轴正方向夹角为30°，如图所示依次作正方形A1B1C1O.正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2.….正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3.…在直线l上，点C1、C2、C3…在y轴正半轴上，则A2023B2023的长度是 　       　． 【答案】 （1+）2022 【解析】 解：∵点A1（1，0），四边形A1B1C1O为正方形， ∴A1B1＝1，A2B1∥x轴， 又∵点A1在直线l上，直线l与x轴正半轴的夹角为30°， ∴∠B1A2A1＝30°， ∴A1A2＝2A1B1＝2， 由勾股定理得：A2B1＝＝， ∴A2B2＝A2C1＝1+， 同理：A3B2＝（1+）•，则A3B3＝（1+）+（1+）•＝（1+）2， A4B4＝（1+）2+（1+）2•＝（1+）3， …，以此类推，AnBn＝（1+）n﹣1， ∴A2023B2023＝（1+）2022． 故答案为：（1+）2022． 【强化训练6】如图，直线l1：y＝x+1，直线l2：y＝2x+2分别交y轴于A，B两点，过B作y轴垂线交直线l1于A1，过A1作A1B垂线交l2于B1，再过B1，作A1B1垂线交直线l2于A2，过A2作A2B1垂线交l2于B2，…依次类推，则B8的坐标是 　        　． 【答案】 （255，512） 【解析】 解：对于y＝x+1，当x＝0时，y＝1， ∴点A的坐标为（0，1）， 对于y＝2x+2，当x＝0时，y＝3， ∴点B的坐标为（0，2）， ∵A1B⊥y轴， ∴点A1的纵坐标为2， 对于y＝x+1，当y＝2时，x＝1， ∴点A1的横坐标为1， ∵A1B1⊥A1B， ∴点B1的横坐标为1， 对于y＝2x+2，当x＝1时，y＝4， ∴点B1的纵坐标为4＝22， 同理：点A2的纵坐标为4，横坐标为3， 点B2的横坐标为3，纵坐标为8＝23， 点A3的纵坐标为8，横坐标为7， 点B3的横坐标为7，纵坐标为16＝24， 依次类推，Bn的纵坐标为2n+1， ∴B8的纵坐标为29＝512， ∵点B8在直线y＝2x+2上， ∴当y＝512时，2x+2＝512， 解得：x＝255， ∴点B8的坐标为（255，512）． 故答案为：（255，512）． 【强化训练7】在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点A1（1，0）且与x轴正方向夹角为30°，如图所示依次作正方形A1B1C1O.正方形A2B2C2C1，正方形A3B3C3C2.….正方形AnBn∁nCn﹣1，使得点A1、A2、A3.…在直线l上，点C1、C2、C3…在y轴正半轴上，则A2023B2023的长度是 　       　． 【答案】 （1+）2022 【解析】 解：∵点A1（1，0），四边形A1B1C1O为正方形， ∴A1B1＝1，A2B1∥x轴， 又∵点A1在直线l上，直线l与x轴正半轴的夹角为30°， ∴∠B1A2A1＝30°， ∴A1A2＝2A1B1＝2， 由勾股定理得：A2B1＝＝， ∴A2B2＝A2C1＝1+， 同理：A3B2＝（1+）•，则A3B3＝（1+）+（1+）•＝（1+）2， A4B4＝（1+）2+（1+）2•＝（1+）3， …，以此类推，AnBn＝（1+）n﹣1， ∴A2023B2023＝（1+）2022． 故答案为：（1+）2022． 学科网（北京）股份有限公司 $