21.2.3三角形的中位线 课件 2025--2026学年人教版八年级数学下册

21.2.3 三角形的中位线 第二十一章 四边形 人教版(2024) 素养目标 1 掌握三角形中位线的概念及三角形中位线的定理； 2 能利用三角形的中位线定理解决有关证明和计算问题. 知识回顾 边 角 对角线 A B D C 两组对边分别平行 两组对边分别相等 两组对角分别相等 对角线互相平分 一组对边平行且相等 判定 性质 三角形的中位线定理 一 概念学习 定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线. A B C D E 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，则线段DE就称为△ABC的中位线. 问题1 一个三角形有几条中位线？你能在△ABC中画出它所有的中位线吗？ A B C D E F 有三条，如图，△ABC的中位线是DE、DF、EF. 问题2 三角形的中位线与中线有什么区别？ 中位线是连接三角形两边中点的线段. 中线是连接一个顶点和它的对边中点的线段. 问题3：如图，DE是△ABC的中位线， DE与BC有怎样的关系？ D E 两条线段的关系 位置关系 数量关系 分析： DE与BC的关系 猜想： DE∥BC ？ 度量一下你手中的三角形，看看是否有同样的结论？并用文字表述这一结论． 问题4： 平行 角 平行四边形 或 线段相等 一条线段是另一条线段的一半 倍长短线 分析1： D E 猜想： 三角形的中位线平行于三角形的 第三边且等于第三边的一半． 问题3：如何证明你的猜想？ 分析2： D E 互相平分 构造 平行四边形 倍长DE 1.如图，在△ABC 中，点 E、F 分别为 AB、AC 的中点．若 EF 的长为 2，则 BC 的长为 （　　） A.1 B.2 C.4 D.8 2.如图，在 ▱ABCD 中，AD = 8，点 E，F 分别是 BD，CD 的中点，则 EF 等于 （　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 C C 练一练 证明：∵ D、E 分别为 AB、AC 的中点， ∴ DE 为△ABC 的中位线， ∴ DE∥BC，DE = BC. ∵ CF = BC， ∴ DE = FC． 例1 如图，等边△ABC 的边长是 2，D、E 分别为 AB、AC 的中点，延长 BC 至点 F，使 CF = BC，连接 CD 和 EF． (1) 求证：DE = CF； (2) 求 EF 的长. 典型例题 探究新知 证明：如图，延长 DE 到点 F，使EF=DE，连接FC，DC，AF. ∵ AE=CE，DE=EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， A B C D E F ∴ BD=CF，BD//CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴AD=CF，AD//CF， 又D是 AB的中点， ∴DF=BC， DF//BC ． 又DE = DF ∴DE//BC，DE = BC 归纳总结 A B C D E 符号语言：∵ 在△ABC中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC，DE = BC 三角形的中位线定理 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 归纳小结 几何语言： 三角形的中位线定理： A B C D E ∴DE∥BC，且 DE = BC . 在△ABC 中， ∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点， 可用于证明两直线平行、线段的相等或倍分关系. 一个三角形有三条中位线，这三条中位线将原三角形分割成四个全等的小三角形； 每个小三角形的周长都是原三角形周长的 每个小三角形的面积都是原三角形面积的. 提示： 二、三角形的中位线与平行四边形的综合运用 例3 如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA中点．求证：四边形EFGH是平行四边形． 四边形问题 连接对角线 三角形问题 （三角形中位线定理） 分析： 典例精析 例4 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为AB的中点，在AB的延长线上取一点D，使BD＝AB，求证：CD＝2CE. 证明：取AC的中点F，连接BF. ∵BD＝AB， ∴BF为△ADC的中位线，∴DC＝2BF. ∵E为AB的中点，AB＝AC， ∴BE＝CF，∠ABC＝∠ACB. ∵BC＝CB，∴△EBC≌△FCB, ∴CE＝BF， ∴CD＝2CE. F 恰当地构造三角形中位线是解决线段倍分关系的关键． 归纳 2.如图，△ABC中，点D为边BC的中点，连接AD，将△ADC沿直线AD翻折至△ABC所在平面内，得△ADC＇，连接CC＇，分别与边AB交于点E，与AD交于点O．若AE=BE，BC＇=2，则AD的长为　3　． 感受中考 【解答】解：由题意可得， △DCA ≌△DC＇A，OC= OC＇，∠COD=∠C＇OD=90°， ∴点O为CC＇的中点， ∵点D为BC的中点， ∴OD是△BCC＇的中位线， ∴ ，OD∥BC＇， ∴∠COD=∠EC＇B=90°， ∵AE=BE，BC＇=2， ∴OD=1， 跟踪训练2　如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF. (1)求证：DE=CF； 证明　∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC，DE=BC. ∵CF=BC， ∴DE=CF. 跟踪训练2　如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF. (2)求EF的长. 解　∵DE∥CF，DE=CF， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC=EF， ∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2， ∴AD=BD=1，CD⊥AB，BC=2， ∴EF=DC=. 课堂小结 1.如图，小张想估测被池塘隔开的A，B两处景观之间的距离，他先在AB外取一点C，然后步测出AC，BC的中点D，E，并步测出DE的长约为18 m，由此估测A，B之间的距离为 A.18 m　　　　B.24 m　　　　C.36 m　　　　D.54 m 课堂练习 解析　∵D，E分别是AC，BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线. ∴根据三角形的中位线定理，得AB=2DE=36(m). √ A 小结 三角形中位线 定义 定理 连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线. 三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半. 练习7 如图,在 中, , 平分 ,E是 中点, , ,则 的周长为( ) A.28 B.18 C.24 D.29.5 解析： ， 平分 ， ， ， E是 中点， ， ， ，故选：A. $