精品解析：四川省雅安市汉源县第一中学2021-2022学年七年级下学期超越杯（开学考）数学试题

汉源一中2022年春季入学“超越杯”考试七年级 数学试题 全卷满分120分，答题时间120分钟 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 的倒数是（　　） A. 2 B. C. D. 2. 将“78400000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的几何体从上面看到的图形是(　　) A. B. C. D. 4. 下列各式中，计算过程正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 为了调查南开中学学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 1000名学生是总体 C. 样本容量是80 D. 被抽取的每一名学生称为个体 6. 若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 7. 已知、是有理数且，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 8. 在直线上顺次取，，三点，使得，，如果点是线段的中点，那么线段的长度是( ) A. B. C. D. 9. 下列变形中，运用等式的性质变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知∠AOB=30°，∠BOC=45°，则∠AOC等于（ ） A. 15° B. 75° C. 15°或75° D. 不能确定 11. 甲乙两地相距400千米，A车从甲地开出前往乙地，速度为，B车从乙地开出前往甲地，速度为．设两车相遇的地点离甲地x千米，则可列方程为（　　　） A. B. C. D. 12. 若x2＋（m－3）x＋16是完全平方式，则m的值是（ ） A. －5 B. 11 C. －5或11 D. －11或5 二、填空题.（每小题3分，共15分） 13. 若单项式与是同类项，则______． 14. 已知，则=____________ 15. 时钟在14点30分时，这时刻钟面上时针与分针夹角的度数为__________． 16. 如图，点A、O、B在一条直线上，且，平分，则的度数为__________． 17. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：__________． 三、解答题（共69分） 18. 计算 （1） （2） 19. 解方程： 20. 先化简，再求值 （1），其中，． （2），其中． 21. 初中学生对待学习的态度一直是教育工作者极为关注的一个问题．为此县教育局对我县部分学校的七年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：喜欢：B级：不太喜欢：C级：不喜欢），并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）将图①补充完整，并求出图②中C级所占的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，请你估计我县近18000名七年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？ 22. 平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元 （1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求分别购进甲、乙两种商品多少件？ 23. 如图，已知，C、D是线段上的两个点，且满足，点M是线段的中点． （1）若点N是线段的中点，求线段的长度； （2）若点N是线段上一点，满足，求线段的长度． 24. 如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）图2中的阴影部分的边长为　　； （2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　　； （3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝3，则（x﹣y）2＝　　． （4）实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图3写出一个等式　　． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汉源一中2022年春季入学“超越杯”考试七年级 数学试题 全卷满分120分，答题时间120分钟 一、选择题（每题3分，共36分） 1. 的倒数是（　　） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的倒数，乘积为1的两个数互为倒数，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的倒数是2， 故选：A． 2. 将“78400000”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示规则，为整数，确定和的值即可解题． 【详解】解：78400000小数点向左移动7位得到，所以 故． 3. 如图所示的几何体从上面看到的图形是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】根据题干分析可得， 从上面看到的图形是． 故选D． 4. 下列各式中，计算过程正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；合并同类项的法则，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故本选项错误； B、，故本选项错误； C、，故本选项错误． D、，正确． 故选：D． 5. 为了调查南开中学学生的视力情况，在全校的1000名学生中随机抽取了80名学生，下列说法正确的是（ ） A. 此次调查属于普查 B. 1000名学生是总体 C. 样本容量是80 D. 被抽取的每一名学生称为个体 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了数据的收集，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量． 【详解】解：A．此次调查属于抽样调查，故本选项不合题意； B、1000名学生的身高情况是总体，故本选项不合题意； C、样本容量是80，正确，故本选项符合题意； D、被抽取的每一名学生的身高情况称为个体．故本选项不合题意． 故选：C． 6. 若某多边形从一个顶点一共可引出4条对角线，则这个多边形是（ ） A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据从n边形的一个顶点可以作对角线的条数为（n-3），求出边数即可得解． 【详解】解：∵多边形从一个顶点出发可引出4条对角线， ∴n-3=4， 解得n=7． 即这个多边形是七边形， 故选：C． 【点睛】本题考查了多边形的对角线的公式，牢记公式是解题的关键． 7. 已知、是有理数且，那么的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用非负数的性质求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∵ ，， ∴ ，且， 解得 ，， 当，时，． 8. 在直线上顺次取，，三点，使得，，如果点是线段的中点，那么线段的长度是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据顺次三点的边长求出的长度，再利用线段中点的性质得到中点分线段的长度，最后计算的长度即可，掌握线段中点的性质是解题关键． 【详解】解：，，，，顺次在直线上， ， 点是的中点， ， ， 因此线段的长度为． 9. 下列变形中，运用等式的性质变形正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】根据等式的基本性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、若，则，故A错误； B、若，则，故B正确； C、若，则，故C错误； D、，当时，不成立，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式的基本性质进行解题． 10. 已知∠AOB=30°，∠BOC=45°，则∠AOC等于（ ） A. 15° B. 75° C. 15°或75° D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由于没有图形，所以位置不确定，应分两种情况讨论：①∠AOB在∠BOC的内部②∠AOB在∠BOC的外部，求解即可. 【详解】如图： 当∠AOB在∠BOC的内部时，∠AOC=∠BOC–∠AOB=45°–30°=15°； 当∠AOB在∠BOC的外部时，∠AOC=∠BOC+∠AOB=45°+30°=75°.故选C． 【点睛】此题主要考查了角的运算与比较，关键是要明确题意，分情况画图解题. 11. 甲乙两地相距400千米，A车从甲地开出前往乙地，速度为，B车从乙地开出前往甲地，速度为．设两车相遇的地点离甲地x千米，则可列方程为（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设两车相遇的地点离甲地x千米，则甲的行驶时间为：小时，乙的行驶时间为：小时，利用两车相遇，则时间相等，列方程即可得到答案． 【详解】解：设两车相遇的地点离甲地x千米，则甲的行驶时间为：小时， 乙的行驶时间为：小时， 故选： 【点睛】本题考查的一元一次方程的应用，利用一元一次方程解决行程问题是解题的关键． 12. 若x2＋（m－3）x＋16是完全平方式，则m的值是（ ） A. －5 B. 11 C. －5或11 D. －11或5 【答案】C 【解析】 【分析】根据：a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²可以推出m结果. 【详解】因为，x2＋（m－3）x＋16是完全平方式，x2±8x＋16= （x±4）2 所以，m-3=±8， 所以，m=－5或11， 故选：C 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题关键是掌握完全平方公式的特点.. 二、填空题.（每小题3分，共15分） 13. 若单项式与是同类项，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关．由同类项的定义可先求得m和n的值，再求值即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴m=2，n=1． ∴m-n=2-1=1 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了同类项定义，注意同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关． 14. 已知，则=____________ 【答案】16 【解析】 【分析】先根据已知等式得到的值，再利用同底数幂的乘法法则化简后代入计算即可． 【详解】解：由可得. ∴． 15. 时钟在14点30分时，这时刻钟面上时针与分针夹角的度数为__________． 【答案】105° 【解析】 【分析】由于钟表上的时间为下午2点30分，即时针和分针中间相差3.5大格，每大格为30°即可得到它们的夹角． 【详解】解：14点30分时即下午2点30分时，时针和分针中间相差3.5大格． ∵钟表12个数，每相邻两个数字之间的夹角为30°， ∴2点30分时分针与时针的夹角是3.5×30°=105°． 故答案是：105°． 【点睛】本题考查了钟面角．用到的知识点为：钟表上12个数字，每相邻两个数字之间的夹角为30°． 16. 如图，点A、O、B在一条直线上，且，平分，则的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由邻补角的性质求出，再由角平分线的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 17. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由数轴可得，那么，再化简绝对值，进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得，， ∴， ∴ ． 三、解答题（共69分） 18. 计算 （1） （2） 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，然后进行括号内减法计算，再计算除法，最后计算减法； （2）利用平方差公式和单项式乘以多项式法则计算，再进行整式的加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 19. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为的步骤求解即可． 【详解】解： 解得． 20. 先化简，再求值 （1），其中，． （2），其中． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先去括号，然后合并同类项，再代入求值即可； （2）利用完全平方公式和多项式乘以多项式法则计算，再进行整式的加减计算，最后代入求值． 【小问1详解】 解： ， 当，时，原式； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 21. 初中学生对待学习的态度一直是教育工作者极为关注的一个问题．为此县教育局对我县部分学校的七年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：喜欢：B级：不太喜欢：C级：不喜欢），并将调查结果绘制成图1和图2的统计图（不完整），请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了________名学生； （2）将图①补充完整，并求出图②中C级所占的圆心角的度数； （3）根据抽样调查结果，请你估计我县近18000名七年级学生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？ 【答案】（1）200；（2）图①补充见解析，54°；（3）15300名 【解析】 【分析】（1）用A级人数除以A级人数百分比可得抽样人数； （2）用抽样总人数减去A级人数和B级人数得到C级人数后即可把图①补充完整，用1减去A级百分比和B级百分比所得差乘以360度即可得到图②中C级所占的圆心角的度数； （3）用18000乘以A级百分比与B级百分比的和即可得到答案 ． 【详解】解：（1）根据题意得：名， 则此次抽样中，共调查了200名学生 （2）C级的学生数为（名），补全统计图，如图所示： C级所占的圆心角的度数为： （3）根据题意得：（名） 我县近18000名七年级学生中大约有15300名学生学习态度达标． 【点睛】本题考查条形统计图与扇形统计图的综合运用，熟练掌握条形统计图与扇形统计图有关数量的计算公式是解题关键． 22. 平价商场经销的甲、乙两种商品，甲种商品每件售价60元，利润率为；乙种商品每件进价50元，售价80元 （1）甲种商品每件进价为 元，每件乙种商品利润率为 ． （2）若该商场同时购进甲、乙两种商品共50件，恰好总进价为2100元，求分别购进甲、乙两种商品多少件？ 【答案】（1）40，60% （2）购进甲商品40件，乙商品10件 【解析】 【分析】（1）根据进价，售价，利润之间的关系即可得到甲的进价，根据利润率＝利润÷进价即可得到乙商品的利润率； （2）设购进甲商品件，则购进乙商品件，再根据总进价为列出方程求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得： 甲商品的进价为：（元）， 乙商品的利润率为：， 故答案为：40，； 【小问2详解】 解：设购进甲商品件，则购进乙商品件， 根据题意可得：， 解得：， 答：购进甲商品40件，乙商品10件． 23. 如图，已知，C、D是线段上的两个点，且满足，点M是线段的中点． （1）若点N是线段的中点，求线段的长度； （2）若点N是线段上一点，满足，求线段的长度． 【答案】（1） （2）7或3 【解析】 【分析】（1）设则，列出方程求出，根据线段中点的性质求出、，计算即可； （2）分点在线段上、点在线段上两种情况，根据题意计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可设则 ， 解得， ，，，． 点是线段的中点， ． 点是线段的中点， ． ； 【小问2详解】 解：，， ， 分以下两种情况： ①当点在线段上时， ∴； ②当点在线段上时， ∴． 综上所述，线段的长度为或． 24. 如图1，是一个长为4a、宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成的一个“回形”正方形（如图2）． （1）图2中的阴影部分的边长为　　； （2）观察图2请你写出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之间的等量关系是　　； （3）根据（2）中的结论，若x+y＝5，xy＝3，则（x﹣y）2＝　　． （4）实际上通过图形的面积可以探求相应的等式，通过观察图3写出一个等式　　． 【答案】（1）b﹣a；（2）（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab；（3）13；（4）（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2 【解析】 【分析】（1）观察图象即可得到结果； （2）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2-（b-a）2=（a+b）2-（a-b）2，根据图1的面积和图2中白色部分的面积相等可得答案； （3）根据（1）中的结论，可知（x+y）2-（x-y）2=4xy，将x+y=5，xy=3代入计算即可得出答案； （4）依据长方形的面积=（a+b）（3a+b），长方形的面积=3a2+4ab+b2，即可得到（a+b）（3a+b）=3a2+4ab+b2． 【详解】解：（1）由图象可知：阴影部分的边长为b﹣a， 故答案为：b﹣a； （2）由图可知，图1的面积为4ab，图2中白色部分的面积为（a+b）2﹣（b﹣a）2＝（a+b）2﹣（a﹣b）2， ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等， ∴（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab， 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2＝4ab； （3）根据（2）中的结论，可知（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy， ∵x+y＝5，x•y＝3， ∴52﹣（x﹣y）2＝4×3， ∴（x﹣y）2＝13， 故答案为：13； （4）由图可得，长方形的面积＝（a+b）（3a+b）， 长方形的面积＝3a2+4ab+b2， ∴（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2． 故答案为：（a+b）（3a+b）＝3a2+4ab+b2． 【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决此类题目的关键在于同一个图形的面积用两种不同的方法表示． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $