精品解析：广西南宁市第二中学2025-2026学年下学期七年级学科素养调研(数学)

七年级学科素养调研（数学） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 3. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 下列四个选项中不是命题的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 过直线外一点作直线的平行线 C. 正数大于负数 D. 有公共顶点的两个角是对顶角 5. 表示有理数a、b、c的点在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 7. 如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若平分，则的方向是（　　） A. 北偏西 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 8. 去学校食堂就餐，学生经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数y与等待时间的关系如下表，下列可以反映y与x之间的关系的式子是（ ） 等待时间 1 2 5 10 20 舒适度指数y 100 50 20 10 5 A. B. C. D. 9. “争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）． A. 文 B. 明 C. 典 D. 范 10. 某商店举办促销活动，将原价为x元的衣服以元出售，则下列对促销活动的描述正确的是（ ） A. 原价打8折后再减去10元 B. 原价打2折后再减去10元 C. 原价减去10元后再打2折 D. 原价减去10元后再打8折 11. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（ ） A. B. C. D. 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 2025年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外．国产人形机器人不仅可以向后空翻，而且能向前空翻．若人形机器人向前空翻15次记作，则向后空翻10次记作_________． 14. 一个角的度数是，则它的补角等于______． 15. 若是关于x的一元一次方程的解，则a的值是______． 16. 已知，，，…，依此类推，则等于_____ ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 18. 解方程、先化简，再求值： （1）． （2），其中． 19. 如图，已知线段，射线． （1）尺规作图：在射线上作出线段，使，反向延长线段到点，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，，若为的中点，求线段和的长． 20. 下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 （1）胜一场积___________分，负一场积___________分； （2）若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 21. 阅读材料，回答问题． 用10根手指可以直观地表示：从1-9这九个数字中任选一个数字与9相乘的结果． 如图，将两手平伸，从左边开始数至第4个手指，将它弯起，此时它的左边有3个手指，右边有6个手指，“36”正是“”结果． （1）按照上述方法计算：将两手平伸，从左向右依次数至第_____个手指，将其弯起，此时，这个手指的左边有______个手指，右边有_____个手指；将这两个数字按从左到右的顺序组合在一起，正是“”的结果． （2）小茗将问题一般化，解决（且n为整数）的问题． 一方面，按照材料中所给的“指算法”，从左手开始数，数到第n根手指向下弯，此时该手指左边有______根手指，右边有______根手指，则对应的两位数可表示为______，将此式化简，得到______． 另一方面，． 结果相等，故方法得证． （3）当一个数的个位与十位相同时，也可以通过类似的“指算法”求解：从左往右数，个位数是几，就弯起第几根手指，这根手指左边的手指数代表百位数；这根弯曲的手指当作9，代表十位数；而这根手指右边的手指数代表个位数．例如：计算33乘以9的结果，如图所示，由于33的个位数是3，所以从左往右数，弯曲第3根手指……根据上述规则，可以得出乘积为297． 设m是这个特殊两位数的个位数字，请你仿照第（2）题的方法，尝试用含有m的代数式说明此法的合理性． 22. 综合实践 【实践主题】“空中的士”起降位的建设规划 【实践背景】空中的士（也称电动垂直起降飞行器）即将成为城市空中常用交通工具，因为它能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务．2024年11月全国六个城市率先开展了空中的士（电动垂直起降飞行器）的试点．空中的士起飞与降落需要特定的场地，图1是空中的士的起降位． 某数学学习小组查阅资料后，自主设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（阴影部分）的宽均为3米，操作区是边长为米的正方形（其中米为空中的士的机身长度）． 任务一 计算材料成本 （1）如图2所示，请用含代数表达式表示起降位的边长______米． （2）若，请计算下列问题 ①操作区的面积是______平方米，起降位的面积是______平方米，安全区（阴影部分）的面积是______平方米． ②若操作区的基础材料成本为500元/平方米，安全区的基础材料成本为100元/平方米，建设一个起降位的基础材料成本是______元． 任务二 预算施工资金 在限定日期内，某机场需建设2个满足的起降位，甲乙两队一起承接了这个工程，在工程完工时，统计发现甲队比乙队多做了10天．两工程队的施工效率与施工费用如表所示： 甲工程队 乙工程队 每天独立建设 40平方米 30平方米 每天施工费用 8万 6万 （3）目前预算施工费用350万元．确定这笔预算施工费用是否足够？如果不够，需要追加多少钱？（实际施工总费用=甲队施工总费用+乙队施工总费用，不再计算材料成本） 23. 动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级学科素养调研（数学） （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考籍号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 第I卷 一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ 乘积为的两个数互为倒数，又 ， ∴ 的倒数是． 2. 科幻巨作《三体》中所描述的三体文明距地球大约光年，它们之间被大量氢气和暗物质纽带连接，看起来似乎是连在一起的“三体星系”．其中数字用科学记数法表示为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，掌握相关知识是解决问题的关键．科学记数法表示为形式，其中，n为整数． 【详解】解：． 故选：D． 3. 单项式的系数和次数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了单项式系数和次数的定义，单项式的系数是数字部分（包括常数），次数是所有变量的指数之和．先确定单项式的系数，再计算其次数，最后根据结果选择正确选项即可解答． 【详解】解：单项式 中，系数为数字因数，变量和的指数分别为和， 次数为， 因此，单项式的系数为，次数为， 故选：． 4. 下列四个选项中不是命题的是（ ） A. 两点确定一条直线 B. 过直线外一点作直线的平行线 C. 正数大于负数 D. 有公共顶点的两个角是对顶角 【答案】B 【解析】 【详解】解∶A．两点确定一条直线是可判断为真的陈述句，属于命题． B．过直线外一点作直线的平行线是操作指令，无法判断真假，不属于命题． C．正数大于负数是可判断为真的陈述句，属于命题． D．有公共顶点的两个角是对顶角是可判断为假的陈述句，属于命题． ∴不是命题的是B选项． 【点睛】命题为判断真假的陈述句． 5. 表示有理数a、b、c的点在数轴上的位置如图所示，下列各式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴上有理数的大小比较及有理数的运算符号判断，熟练掌握利用数轴确定数的符号与绝对值大小是解题的关键． 根据数轴确定、、的符号及绝对值大小，再逐一分析选项． 【详解】解：由数轴可知：，且， ∵ ，，， ∴ ，A错误， ∵ ，， ∴ ，B错误， ∵ ，， ∴ ，C错误， ∵ ， ∴ ，D正确， 故选：D． 6. 根据流程图中的程序，若输入的值为，则输出的值为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】将代入程序流程图的运算步骤，先计算平方、乘3 、减去5，判断结果是否大于0，若不大于0，则再次代入计算，直到结果大于0，输出结果． 【详解】解：当时，， ， 所以输出的值为7． 7. 如图，的方向是北偏东，的方向是北偏西，若平分，则的方向是（　　） A. 北偏西 B. 北偏东 C. 北偏东 D. 北偏东 【答案】D 【解析】 【分析】根据方位角的定义，求得，由角平分线的定义，求得，最后由方位角的定义得出答案． 【详解】解：∵的方向是北偏东，的方向是北偏西， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴的方向是北偏东． 故选：D． 【点睛】本题考查了方位角的定义，角平分线的定义，准确理解以上数学概念是解题的关键． 8. 去学校食堂就餐，学生经常会在一个买菜窗口前等待，经调查发现，学生的舒适度指数y与等待时间的关系如下表，下列可以反映y与x之间的关系的式子是（ ） 等待时间 1 2 5 10 20 舒适度指数y 100 50 20 10 5 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了成反比例关系，熟练掌握成反比例关系的定义是解题的关键；根据表格可知，x与y的乘积一定，即可得出y与x之间的关系的式子． 【详解】解：观察表格发现：， ， ， 故选：． 9. “争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）． A. 文 B. 明 C. 典 D. 范 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无邻点”，以此来找相对面． 【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， “城”字对面的字是“明”， 故选：B. 【点睛】本题考查了正方体相对面上的字，熟练掌握正方体的平面展开图特点是解题的关键． 10. 某商店举办促销活动，将原价为x元的衣服以元出售，则下列对促销活动的描述正确的是（ ） A. 原价打8折后再减去10元 B. 原价打2折后再减去10元 C. 原价减去10元后再打2折 D. 原价减去10元后再打8折 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了列代数式，理解代数式的含义是解题关键．根据售价表达式，可知运算顺序为先减法后乘法，即先减10元再打8折，即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，原价为x元的衣服以元出售， 则原价减去10元后再打8折， 故选：D． 11. 《孙子算经》中记载了这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问车几何？其译文为：有若干人乘车，若每3人同乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行．问有多少辆车？设共有辆车，则可以列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别用含的式子表示两种乘车方案下的总人数，即可列出方程． 【详解】解：∵设共有辆车，总人数保持不变，且每人乘一车，剩余辆空车， ∴实际使用辆车， ∴总人数可表示为， ∵每人乘一车，剩余人步行， ∴总人数可表示为， ∴． 12. 平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．如图，一束光线射到平面镜上，被反射后的光线为，则．如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平面镜反射光线的规律，掌握平行线的性质是解题的关键． 由平面镜反射光线的规律和，可得，，根据平角的定义可求出的度数，再根据两直线平行，同旁内角互补求出的度数，从而求出的度数． 【详解】解：由平面镜反射光线的规律和，可得，， ∴， ∵反射光线与平行， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 第II卷 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 2025年春晚，机器人扭秧歌节目刷屏海内外．国产人形机器人不仅可以向后空翻，而且能向前空翻．若人形机器人向前空翻15次记作，则向后空翻10次记作_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正负数的意义，向前空翻记作“”，则向后空翻记作“”，由此可解． 【详解】解：由题意，向前空翻15次记作，则向后空翻10次应记作． 故答案为：． 14. 一个角的度数是，则它的补角等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了补角的计算，度分秒的转化．熟练掌握补角的计算，是解题的关键． 根据补角为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，它的补角为， 故答案为：． 15. 若是关于x的一元一次方程的解，则a的值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】把代入方程，解关于a的一元一次方程即可． 【详解】解：根据题意，得， ， ， ． 16. 已知，，，…，依此类推，则等于_____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了数字变化规律，根据所求出的数、发现数字的变化规律是解题的关键． 通过计算序列的前几项，发现数字具有周期性，周期为3，即每3项重复一次．根据2026除以3的余数，即可确定的值． 【详解】解：由题意，，，，，，……， ∴从开始，每3项为一个循环周期， ∵， ∴． 故答案为：3． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先去括号，再根据有理数加减运算法则计算即可； （2）先计算乘方和绝对值，再计算乘法，最后计算加减即可得到结果． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程、先化简，再求值： （1）． （2），其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤即可求解． （2）先去括号合并同类项化简整式，再代入数值计算即可． 【小问1详解】 解：， 去分母．两边同乘以12得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【小问2详解】 解： ， 将代入得，原式． 19. 如图，已知线段，射线． （1）尺规作图：在射线上作出线段，使，反向延长线段到点，使（不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，，若为的中点，求线段和的长． 【答案】（1） 如图即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图、线段中点以及线段的和差． （1）根据线段的定义作线段即可； （2）由已知可得，再由线段中点可得，进而由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图： ， ， 为的中点， ， ， 所以，． 20. 下表是篮球联赛中比赛积分表的一部分： 球队 比赛场数 胜场 负场 积分 爱国 9 9 0 18 敬业 9 5 4 14 诚信 9 4 5 13 友善 9 2 7 11 （1）胜一场积___________分，负一场积___________分； （2）若某队比赛场数为9场，胜场总积分与负场总积分相等，那么这支球队胜了几场？ 【答案】（1）2；1 （2）这支球队胜了3场 【解析】 【分析】（1）设胜一场积x分，负一场积y分，根据表格中的数据建立方程组求解即可； （2）设这支球队胜了m场，负了n场，根据一共有9场比赛，且胜场总积分与负场总积分相等建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：设胜一场积x分，负一场积y分， 根据敬业队和诚信队的得分可得， 解得， ∴胜一场积2分，负一场积1分； 【小问2详解】 解：设这支球队胜了m场，负了n场， 由题意得，， ∴， 答：这支球队胜了3场． 21. 阅读材料，回答问题． 用10根手指可以直观地表示：从1-9这九个数字中任选一个数字与9相乘的结果． 如图，将两手平伸，从左边开始数至第4个手指，将它弯起，此时它的左边有3个手指，右边有6个手指，“36”正是“”结果． （1）按照上述方法计算：将两手平伸，从左向右依次数至第_____个手指，将其弯起，此时，这个手指的左边有______个手指，右边有_____个手指；将这两个数字按从左到右的顺序组合在一起，正是“”的结果． （2）小茗将问题一般化，解决（且n为整数）的问题． 一方面，按照材料中所给的“指算法”，从左手开始数，数到第n根手指向下弯，此时该手指左边有______根手指，右边有______根手指，则对应的两位数可表示为______，将此式化简，得到______． 另一方面，． 结果相等，故方法得证． （3）当一个数的个位与十位相同时，也可以通过类似的“指算法”求解：从左往右数，个位数是几，就弯起第几根手指，这根手指左边的手指数代表百位数；这根弯曲的手指当作9，代表十位数；而这根手指右边的手指数代表个位数．例如：计算33乘以9的结果，如图所示，由于33的个位数是3，所以从左往右数，弯曲第3根手指……根据上述规则，可以得出乘积为297． 设m是这个特殊两位数的个位数字，请你仿照第（2）题的方法，尝试用含有m的代数式说明此法的合理性． 【答案】（1）8；7；2 （2）；；； （3） 证明：根据题意，这个两位数的十位数字也是，所以这个两位数为 一方面： ， 另一方面：根据“指算法”，乘积的百位数为，十位数为9，个位数为， ∴乘积为， 结果相等，故方法得证． 【解析】 【分析】本题考查代数式的实际应用，正确理解题意并列出对应的代数式是关键． （1）根据题意进行填空即可； （2）根据题意进行填空即可； （3）根据题意，表示出这个两位数以及乘积，再根据“指算法”，表示出乘积的百位数、十位数和个位数，进行验证即可． 【小问1详解】 解：根据题意，应将从左往右数第8个手指弯曲，左边有7个手指，右边有2个手指， 故答案为：8；7；2． 【小问2详解】 解：根据题意，左边有个手指，右边有个手指，对应的两位数可表示为，化简得到； 故答案为：；；；． 【小问3详解】 略 22. 综合实践 【实践主题】“空中的士”起降位的建设规划 【实践背景】空中的士（也称电动垂直起降飞行器）即将成为城市空中常用交通工具，因为它能够像出租车一样提供点对点的快速通勤服务．2024年11月全国六个城市率先开展了空中的士（电动垂直起降飞行器）的试点．空中的士起飞与降落需要特定的场地，图1是空中的士的起降位． 某数学学习小组查阅资料后，自主设计了如图2所示的起降位（由操作区与安全区两部分构成的大正方形），其中安全区（阴影部分）的宽均为3米，操作区是边长为米的正方形（其中米为空中的士的机身长度）． 任务一 计算材料成本 （1）如图2所示，请用含代数表达式表示起降位的边长______米． （2）若，请计算下列问题 ①操作区的面积是______平方米，起降位的面积是______平方米，安全区（阴影部分）的面积是______平方米． ②若操作区的基础材料成本为500元/平方米，安全区的基础材料成本为100元/平方米，建设一个起降位的基础材料成本是______元． 任务二 预算施工资金 在限定日期内，某机场需建设2个满足的起降位，甲乙两队一起承接了这个工程，在工程完工时，统计发现甲队比乙队多做了10天．两工程队的施工效率与施工费用如表所示： 甲工程队 乙工程队 每天独立建设 40平方米 30平方米 每天施工费用 8万 6万 （3）目前预算施工费用350万元．确定这笔预算施工费用是否足够？如果不够，需要追加多少钱？（实际施工总费用=甲队施工总费用+乙队施工总费用，不再计算材料成本） 【答案】（1）；（2）①576，900，324；②320400；（3）预算资金不够，需要追加10万元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，理解题意，求出起降位面积和在工程完工时的甲乙两队的工作时间是解题关键． （1）安全区宽3米，围绕操作区四周，因此总边长为操作区边长加两侧安全区宽度，由此列代数式即可． （2）①根据，可求操作区、安全区的边长，进而求出各部分面积， ②根据总成本=操作区成本+安全区成本计算即可， （3）先根据工程量总和等于平方米列方程求出在工程完工时的甲乙两队的工作时间，进而求出总费用，再与预算施工费用相比即可解答． 【详解】解：（1）起降位的边长米； （2）①当时，操作区是边长米，操作区的面积是（平方米）； 起降位的边长米，起降位的面积是（平方米）； 安全区（阴影部分）的面积是（平方米）． ②建设一个起降位的基础材料成本（元） （3）设乙队工作 天，则甲队工作天．总施工面积为 平方米，列方程： ， 解得 天，甲队工作 天． 总费用：甲队费用：（万元）； 乙队费用：（万元） ； 总费用： 万元． 预算万元不足，需追加万元． 答：这笔预算施工费用不够，需要追加10万元． 23. 动手实践：将三角板绕某点旋转能形成丰富的图形，可得到许多有趣的结论． 小宁与小周两位同学用一副三角板和两条平行线进行了如下探究： 三角板与三角板如图1所示摆放，其中，，，，点，在直线上，点，在直线上． 【操作一】小宁固定三角板不动，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，设时间为秒，且． （1）当与平行时，则的值为________； （2）当与平行时，求的值； 【操作二】小宁和小周同时旋转两块三角板，小周将三角板绕点以每秒的速度逆时针旋转，小宁将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，设时间为秒，且，当与平行时，则的值为________． 【答案】（1）； （2）； （3）或 【解析】 【分析】操作一： （1）利用和推出，结合三角板的内角得，根据旋转性质得旋转角，再由平行线的内错角相等建立方程求解； （2）通过延长线段、作平行线构造平行关系，利用平行线的同位角、内错角相等，结合三角板的固定角度算出旋转角的度数，进而建立关于的方程求解； 操作二：分与反向平行、同向平行两种情况，①当与反向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值；②当与同向平行时，利用平行线的性质推出的表达式，结合的旋转角度表示出，进而列出方程，求出的值． 【详解】操作一： （1）解：∵，， ∴． ∴， ∵，， ∴， 由旋转可知，绕点逆时针旋转的角度为，即． ∴， 解得； （2）解：如图，延长线段，交直线于点，过点作直线，使，过点作，由平行公理的推论可得． ∵， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵绕点逆时针旋转的角度为，即， ∴，解得． 操作二： 解：①如图，当时，与反向平行，过点作直线，交于点，延长，交于点，过点作，则． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， 又∵，， ∴， 解得； ②如图，当时，与同向平行，过点作直线，交于点，交于点，则． 同理，． ∵， ∴， ∴， 解得； 综上，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $