精品解析：山东青岛市崂山区实验学校2025-2026学年下学期九年级阶段学情自测数学试题

数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 2. 十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼通过实验揭示了振动与几何对称性的关联：当金属薄板受迫振动时，表面均匀分布的细沙会因振动模态差异形成各式图案，这些图案均称为克拉尼图形．下列四幅克拉尼图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 海洋经济是青岛的支柱产业，推动城市科技创新、产业升级与国际开放，塑造了青岛“海洋之都”的核心竞争力．截至到年 月，青岛海洋经济年总产值为元，将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图是一个“U”形工件，则其主视图为（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将 关于y轴的对称图形绕原点O旋转 ，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，直径 ，是的弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 某工程队在滨江路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充为（　　） A. 每天比原计划少铺设10米，结果延迟10天完成 B. 每天比原计划多铺设10米，结果延迟10天完成 C. 每天比原计划少铺设10米，结果提前10天完成 D. 每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成 9. 如图，在中， ，，将 绕顶点C旋转得到，且使得恰好落在AB边上，与AC交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则______． 12. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 13. 如图，、是圆O的切线，A、B为切点， 是直径，，_______ 14. 两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则 点的坐标是_______． 15. 如图，在双曲线上，交 轴于 点，，轴于 ，若，则 ___________． 16. 如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为_____________． 三、解答题 17. 已知：如图，点 是 内部一点．求作：矩形 ，使得点 在边 上，点 ， 在边上． 18. 解不等式组或化简求值： （1）解不等式组，并写出所有整数解． （2）先化简，再求值：，其中． 19. 盐城是著名的“湿地之都”，境内有三处湿地景观：A处为丹顶鹤自然保护区内；B处为麋鹿自然保护区；C处为黄海森林公园．游客可以随机选择其中一个进行游览． （1）求丹顶鹤自然保护区被选中的概率为 （2）小盐和小城两位同学分别从三个景点中随机选择一个游览，请用列树状图或者表格的方法，求两人选择游览同一景点的概率． 20. 甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组： ，B组： ，C组： ，D组： ），下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ___________， ___________， ___________； （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组： ）的用户人数． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何制定大棚间作方案？ 素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量.如图1是一个长米，宽米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚． 素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在素，花生的单位产量y（）与垄宽x（m）有近似的二次函数关系如图3所示. 种植时，要求花生单位产量不低于． 问题解决 任务1 确定函数关系 求花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式． 任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围． 任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数： ； 木薯垄个数： ； 产量之和： ． 22. 随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形．如图，矩形：是其中一个停车位，经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定．该充电站有 个停车位，求的长．（参考数据：，，） 23. 【综合与实践关于“勾股数”的再探究，观察下列各组勾股数的组成特点： 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； … （1）第7组勾股数是 ， ， ； （2）若一个正整数能表示成两个连续正整数的平方差，即（为大于1的正整数），则称这个正整数为“和谐数”．试判断第7组勾股数中的最大数 是否为“和谐数”； （3）当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是 ． 24. 如图，函数和的图象相交于A、B两点． （1） 点的坐标为__________， 点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； （2）若 轴上存在点 ，使 ，求点 的坐标． 25. 如图，在平行四边形中， ， 分别为边，的中点，延长 至点G，使，连接． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 选择的条件：______（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 26. 在 中（如图1），，，，动点以 的速度从点 向点 运动；同时，动点从点 出发，以的速度向点 运动，动点从点 出发，以的速度向点 运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接． （1）为何值时，？ （2）当时，求值； （3）如图2，沿 折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的性质进行作答即可． 【详解】解：的绝对值是2， 故选：D 2. 十八世纪，德国物理学家恩斯特·克拉德尼通过实验揭示了振动与几何对称性的关联：当金属薄板受迫振动时，表面均匀分布的细沙会因振动模态差异形成各式图案，这些图案均称为克拉尼图形．下列四幅克拉尼图形中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转 ，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 据此即可求解． 【详解】解：A、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项符合题意； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 3. 海洋经济是青岛的支柱产业，推动城市科技创新、产业升级与国际开放，塑造了青岛“海洋之都”的核心竞争力．截至到年 月，青岛海洋经济年总产值为元，将数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，的值等于原数的整数位数减， ∵共有 位整数， ∴， 将原数的小数点移到最高数位后可得，符合要求， ∴． 4. 如图是一个“U”形工件，则其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三视图的知识，熟知主视图是从物体的正面看得到的视图，注意看得到的棱画实线，看不到的棱画虚线．找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：从正面看可得到长方形少了一个半圆，即主视图为 ， 故选：A 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查同底数幂相乘，幂的乘方，完全平方公式，积的乘方等．根据题意逐一对选项进行计算即可． 【详解】解：，即A选项不对， ，即B选项不对， ，即C选项不对， ，即D选项对， 故选：D． 6. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C都在格点上，将 关于y轴的对称图形绕原点O旋转 ，得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的变换，熟练掌握点的对称与旋转是解决本题的关键． 先根据图中 的位置求出点A的坐标，再根据关于y轴的对称可求解点，再根据绕原点O旋转 即可求解点的坐标． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点， ∴点A关于y轴对称的点， 将点绕原点O旋转 ， ∴如图，点． 故选：A． 7. 如图，在中，直径 ，是的弦，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长．熟练掌握圆周角定理，弧长公式是解题的关键．连接 ，由圆周角定理可得，再求出半径，根据弧长公式计算求解即可． 【详解】解：如图，连接 ， ∵， ∴， ∵直径 ， ∴， ∴的长为． 故选：C． 8. 某工程队在滨江路改造一条长3000米的人行道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时“”，设实际每天改造人行道米，则可得方程，根据已有信息，题中用“”表示的缺失的条件应补充为（　　） A. 每天比原计划少铺设10米，结果延迟10天完成 B. 每天比原计划多铺设10米，结果延迟10天完成 C. 每天比原计划少铺设10米，结果提前10天完成 D. 每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，由已知分式方程可以得到需要补充的内容． 【详解】解：设实际每天改造人行道x米， 则表示原计划每天比实际少铺设10米，即每天比原计划多铺设10米， ∴表示原计划铺设天数，表示实际铺设天数， ∴表示原计划铺设天数比实际多10天， ∴题中用“×××”表示的缺失的条件应补充为每天比原计划多铺设10米，结果提前10天完成， 故选：D． 9. 如图，在中， ，，将 绕顶点C旋转得到，且使得恰好落在AB边上，与AC交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图（见解析），设，先根据余弦三角函数得出BE的长，再根据等腰三角形的三线合一可得的长，从而可得的长，然后根据旋转的性质可得，，最后根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点C作于点E 在中， ， 可设，则， 是等腰三角形 （等腰三角形的三线合一） 由旋转的性质可知，， 在中，，即 解得 在和中， 故选：B． 【点睛】本题考查了余弦三角函数、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、旋转的性质等知识点，通过作辅助线，运用余弦三角函数求出BE的长是解题关键． 10. 已知二次函数（为常数），其图象上有两点，，如果，那么的取值范围是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是掌握相关知识．由题意可知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，可得点，到对称轴的距离分别为，，结合，可得，即可求解． 【详解】解： 二次函数（为常数），的对称轴为直线，开口向上， 点，到对称轴的距离分别为，， ， ， 解得：， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】对代数式进行因式分解，再把已知代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 12. 甲、乙两名运动员进行跳远测试，每人测试10次，他们各自测试成绩（单位：）的平均数和方差如下表： 运动员 平均数 方差 甲 601 乙 601 则这两名运动员测试成绩更稳定的是___________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题主要考查了方差与稳定性之间的关系，方差越小，成绩越稳定，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴甲的方差小于乙的方差， ∴这两名运动员测试成绩更稳定的是甲， 故答案为：甲． 13. 如图，、是圆O的切线，A、B为切点， 是直径，，_______ 【答案】##70度 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，切线长定理，等腰三角形的性质．根据是切线，得到 ，从而，根据切线长定理得到，从而，进而由三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：∵是切线， ∴，即 ， ∵， ∴， ∵、是圆O的切线， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 两个边长为2的正六边形按如图方式放置，则 点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接，先证明 是等边三角形，得到，再求出，得到A、C、D三点共线，求出，得到，则，再由，可得． 【详解】解：如图所示，设左边正六边形的中心为C，连接， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵正六边形的一个内角度数为， ∴， ∴， ∴A、C、D三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了多边形内角和定理，等边三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形，含30度角的直角三角形的性质，正确求出的长是解题的关键． 15. 如图，在双曲线上，交 轴于 点，，轴于 ，若，则 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，三角形中线的性质，连接，根据三角形中线的性质可推出，可证明得到，再根据反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴，即， ∴， ∵点F在双曲线上， ∴， 又∵双曲线的图象分布在第二象限， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，连接 ，交于 ，过作于，求解，证明是的中位线，可得，，，证明四边形是平行四边形，可得，而，，求解，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接 ，交于 ，过作于， ∵， ， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，而，， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为： 【点睛】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的性质，三角形的中位线的性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 三、解答题 17. 已知：如图，点 是 内部一点．求作：矩形 ，使得点 在边 上，点 ， 在边上． 【答案】 【解析】 【分析】过点 作 于点 ，过点 作 交于点 ，以 为圆心，为半径作弧交 于点 ，连接即可． 【详解】解：如图，过点 作 于点 ，过点 作 交于点 ，以 为圆心，为半径作弧交 于点 ，连接， ∴ ， ， ∴四边形 为平行四边形， ∵ ， ∴ ， ∴四边形 是矩形，且点 在边 上，点 ， 在边上， 则矩形 即为所作． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图，考查了过一点作已知直线的垂线，作一条线段等于已知线段，平行四边形的判定，矩形的判定等知识点，解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 18. 解不等式组或化简求值： （1）解不等式组，并写出所有整数解． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）不等式组的解集为，所有的整数解为， ，，， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和分式的运算： （1）先求出一元一次不等式组中各个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，即为这个一元一次不等式组的解集； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解不等式，得 解不等式，得 该不等式组的解集为． 所有的整数解为， ，，，． 【小问2详解】 原式 当时，原式． 19. 盐城是著名的“湿地之都”，境内有三处湿地景观：A处为丹顶鹤自然保护区内；B处为麋鹿自然保护区；C处为黄海森林公园．游客可以随机选择其中一个进行游览． （1）求丹顶鹤自然保护区被选中的概率为 （2）小盐和小城两位同学分别从三个景点中随机选择一个游览，请用列树状图或者表格的方法，求两人选择游览同一景点的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）直接根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到两人选择游览同一景点的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有3个景观，且每个景观被选择的概率相同， ∴丹顶鹤自然保护区被选中的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小盐 小城 由表格可知， 一共有9种等可能性的结果数，其中两人选择游览同一景点的结果数有3种， ∴两人选择游览同一景点的概率为． 20. 甲公司推出了“”机器人（简称甲款），乙公司推出了“豆包”AI机器人（简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取20份评分数据，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个组进行统计：A组： ，B组： ，C组： ，D组： ），下面给出了部分信息： 甲款评分数据：64，70，75，76，78，78，85，85，85，85，86，89，90，90，94，95，98，98，99，100； 乙款评分数据中C组的所有数据：84，86，87，87，87，88，90，90． 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中 ___________， ___________， ___________； （2）在此次测验中，有280人对甲款进行评分、300人对乙款进行评分．请通过计算，分别估计对甲、乙两款机器人评价为非常满意（D组： ）的用户人数． 【答案】（1） （2）对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人． 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数，众数，扇形统计图和用样本估计总体，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据中位数和众数的定义可求出a、b的值；求出乙款中D组的份数，即可求出m的值； （2）用280乘以样本甲款中D组的人数占比，用300乘以样本乙款中D组的人数占比，即可求出答案． 【小问1详解】 解：∵甲款评分为85分的有4份，份数最多， ∴甲款评分的众数为85分，即， ∵份， ∴乙款评分在A组和B组的数量之和为8份， 把乙款评分按照从低到高排列，处在第10名和第11名的评分为86分，87分， ∴乙款的中位数为，即； 乙款评分中D组份数为份，则， ∴； 【小问2详解】 解：∵ （人），（人）， ∴对甲、乙两款人工智能软件非常满意的用户总人数分别为84人、60人． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 如何制定大棚间作方案？ 素材1 通过分垄交替种植农作物的方法叫大棚分垄间作，分垄间作通过减少光能浪费、作物间的互补作用来提高产量.如图1是一个长米，宽米的大棚，如图2，每一垄的宽度叫作垄宽，木薯垄与花生垄垄宽比为，两种作物交替（垄与垄之间没有空隙）布满整个大棚． 素材2 经调查，大棚分垄间作时，木薯的单位产量基本稳定在素，花生的单位产量y（）与垄宽x（m）有近似的二次函数关系如图3所示. 种植时，要求花生单位产量不低于． 问题解决 任务1 确定函数关系 求花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式． 任务2 探究垄宽范围 根据要求，分别计算木薯垄和花生垄的垄宽范围． 任务3 拟定分垄方案 请你结合评价标准设计一种符合要求的分垄方案，填写木薯垄、花生垄的数量及产量之和． 花生垄个数： ； 木薯垄个数： ； 产量之和： ． 【答案】任务1： ； 任务2：木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米； 任务3：设木薯垄垄宽为 米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米， ∴， ∴， ∵， ， ∴共3种方案： 方案一：花生6垄，木薯6垄，此时 ，， ， 此时花生垄宽 ，总产量为 ，这是良好方案； 方案二：花生5垄，木薯6垄，此时 ，， ， 此时花生垄宽 ，总产量为，这是优秀方案； 方案三：花生6垄，木薯5垄，此时 ，，， 此时花生垄宽 ，总产量 ，这是合格方案． 【解析】 【分析】任务1：用待定系数法可得花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式； 任务2：当时，得 ， ，故要使 ，需满足 ，即可得花生垄宽范围和木薯垄宽范围； 任务3：设木薯垄垄宽为 米，则花生垄垄宽为米，一个木薯垄与一个花生垄垄宽和米，结合任务2可知，由， ，可知有3种方案，即可得到答案． 【详解】解：任务1：设 ， 把，，代入得， 解得 ∴花生单位产量y关于花生垄宽x的函数表达式： ， 任务2：当时， ， 解得 ， ， ∴要使 ，需满足 ， ∴，即花生垄宽范围为大于等于米，小于等于2米， 那么木薯垄宽范围为大于等于米，小于等于米； 任务3：略 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能将实际问题转化为数学问题求解． 22. 随着新能源汽车技术的革新，消费者对新能源汽车的需求日益增长，为满足新能源汽车的充电需求，某小区增设了充电站，充电站的平面示意图是矩形．如图，矩形：是其中一个停车位，经测量，，，，，是另一个车位的宽，所有车位均相同，按图示并列划定．该充电站有 个停车位，求的长．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的性质，解直角三角形的应用，先求解，，再进一步解答即可． 【详解】解：∵停车位是矩形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， 在中， ∴， ∴， ∵该充电站有 个停车位，所有车位均相同， ∴． 23. 【综合与实践关于“勾股数”的再探究，观察下列各组勾股数的组成特点： 第1组：，，； 第2组：，，； 第3组：，，； 第4组：，，； … （1）第7组勾股数是 ， ， ； （2）若一个正整数能表示成两个连续正整数的平方差，即（为大于1的正整数），则称这个正整数为“和谐数”．试判断第7组勾股数中的最大数 是否为“和谐数”； （3）当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是 ． 【答案】（1）15，112，113 （2）第7组勾股数中的最大数113是“和谐数” （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的规律探究、新定义概念的理解与应用以及一次函数表达式的求解． （1）通过观察已知组的规律：第组勾股数中，，，（为组号），故可知当时对应的勾股数； （2）根据“和谐数”的定义去判定即可解答； （3）第组勾股数中，，，即，对应直线表达式为． 【小问1详解】 解：第组，， ， ； 【小问2详解】 因为，根据“和谐数”的定义，故第7组勾股数中的最大数113是“和谐数”； 【小问3详解】 在第组中，，，即，故当为正整数时，在第组勾股数中，点在一条确定的直线上，这条直线的表达式是． 24. 如图，函数和的图象相交于A、B两点． （1） 点的坐标为__________， 点的坐标为__________； 观察图象，不等式的解集为__________； （2）若 轴上存在点 ，使 ，求点 的坐标． 【答案】（1），，或； （2）或 【解析】 【分析】（1）联立方程组，解方程组求出A，B坐标，再利用图象求出不等式的解集即可； （2）将 的面积转化为两个三角形的面积之和即可． 本题主要考查反比例函数与一次函数图象交点，函数与不等式的关系，三角形的面积等，能利用数形结合的思想是解题的关键． 【小问1详解】 解：联立方程组得， 解得或’ ∴A点的坐标为，B点的坐标为， 观察图象，找出函数的图象在的图象上边位置时x的取值范围， ∴不等式的解集为或． 故答案为：，，或； 【小问2详解】 解：设与y轴的交点为M， 令时，， 则点M的坐标为， 设C点的坐标为， 由题意知， ， 解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴点C的坐标为或． 25. 如图，在平行四边形中， ， 分别为边，的中点，延长 至点G，使，连接． （1）求证：； （2）从下列条件中任选一个作为已知条件后，试判断四边形的形状，并证明你的结论． ①；②． 选择的条件：______（填写序号）．（注：如果选择①，②分别进行解答，按第一个解答计分） 【答案】（1）见详解 （2）选条件①，四边形是矩形；选条件②，四边形是菱形 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可证，然后用边角边证明全等即可； （2）选条件①，四边形是矩形，先证明四边形是平行四边形，再证明即可；选条件②，四边形是菱形，先证明四边形是平行四边形，再证明 即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ， 分别为边的中点， ， ， ， ； 【小问2详解】 条件①，四边形是矩形， 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是矩形． 条件②，四边形是菱形， 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是菱形． 【点睛】本题考查平行四边形性质和判定，全等三角形的判定，矩形的判定，菱形的判定，掌握相关知识是解决问题的关键． 26. 在 中（如图1），，，，动点以 的速度从点 向点 运动；同时，动点从点 出发，以的速度向点 运动，动点从点 出发，以的速度向点 运动，当其中一个点运动停止时，其他点的运动也停止，运动时间为．连接． （1）为何值时，？ （2）当时，求值； （3）如图2，沿 折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形？若存在求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或3 （3） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求出，用t的代数式表示出线段的长度，利用平行线的判定与性质列出比例求解即可； （2）如图：过点Q作于点E，，得到，再利用相似三角形的判定与性质得到 ，再利用三角形的面积公式得到关于t的方程求解即可； （3）如图：过点R作于点F，过点A作于点H，利用菱形的性质和等腰三角形的性质得到，利用相似三角形的判定与性质得到关于t的比例式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，，， ∵，，， ∴ ， ∴， ∴，，， 当时，， ∴，解得：， ∴当t为时，． 【小问2详解】 解：由题意得：，， ∴， 当时，则 ， ∵， ∴， 如图：过点Q作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：或3， ∴当或3时，； 【小问3详解】 解：沿 折叠得到，是否存在某一时刻，使四边形为菱形，理由如下： 如图：过点R作于点F，过点A作于点H， 由题意得：，， ∴， ∵沿 折叠得到， ∴， 若四边形为菱形，只需， ∴， ∴， ∴，即，解得： ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：． ∴沿 折叠得到，四边形为菱形时的t的值． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，添加三角形的高线、构造相似三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $