16.3 实际问题与二元一次方程组（题型专练）数学新教材人教版五四制七年级下册

16.3 实际问题与二元一次方程组 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1．医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克原料中蛋白质和铁质的含量如下表． 原料类别 每克原料中蛋白质和铁质的含量 蛋白质 铁质 甲原料 单位 1单位 乙原料 单位 单位 如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？设每餐用甲种原料x克、乙种原料y克，则x和y满足的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列二元一次方程组．根据甲、乙原料的蛋白质和铁质含量及患者需求，结合表格数据，得蛋白质需求对应，铁质需求对应，据此建立关于x和y的方程组，即可作答． 【详解】解：∵甲原料每克含蛋白质单位，乙原料每克含蛋白质单位，患者需要蛋白质35单位， ∴， ∵甲原料每克含铁质1单位，乙原料每克含铁质单位，患者需要铁质40单位， ∴ ， ∴方程组为， 故选A． 2．某旅行社带游客去山西五台山游玩，晚上入住当地的一家民宿．若每间房住4人，则余下3人无房住；若每间房住5人，则余下一间无人住．设该民宿共有间房，游客共有人，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的二元一次方程组解应用题，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，第一个条件表示总人数等于房间数乘以4再加3，第二个条件表示总人数等于房间数减1的差的5倍，由此列出方程组即可． 【详解】解：设该民宿共有间房，游客共有人，则可列方程组： 故选：B． 3．我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据题意可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 根据醇酒和薄酒的醉客效率，结合总瓶数和总醉客数即可列出方程组． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 4．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键．根据一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元可得，根据购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程组为． 故选：C． 5．华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%，乙商品加价40%作为标价，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售．某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场共盈利88元，设甲商品的进价为x，乙商品的进价为y，则可列方程组 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设甲商品的进价为x元/件，乙商品的进价为y元/件，根据盈利=售价-成本即可得出关于x、y的二元一次方程组． 【详解】解：设甲商品的进价为x元，乙商品的进价为y元， 根据题意，甲商品的售价为元， 乙商品的售价为元， 因为某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元， 所以， 又因为商场共盈利88元， 所以甲、乙两种商品的总进价为元，即， 因此，可列方程组为：， 故答案为：． 题型二、根据图形列二元一次方程组 6．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 7．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意；根据图形及题意可直接列出方程组即可． 【详解】解：由图可知：，， ∴依据题意可得二元一次方程组为； 故答案为． 8．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图．根据题意和图，找出合适的等量关系，即可列出方程组． 【详解】解：由题意和图可得， ． 故答案为：． 9．如图，设，且的度数比的度数的2倍多可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列二元一次方程组，邻补角，熟练掌握邻补角的性质是解题的关键． 根据邻补角互补和题干条件即可得到方程组． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 10．如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据图形找到两个等量关系是解决问题的关键．根据图形找到两个等量关系列出方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ∵小长方形的长比宽大4， ∴； ∵大长方形的周长为34， 即， ∴， 即； ∴方程组为． 故选：D． 题型三、二元一次方程组应用--古代问题 11．《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 【答案】C 【分析】本题主要考查列二元一次方程组，根据题意，设车有x辆，人有y人． 当两人坐一车时，有九人步行，总人数y等于坐车人数加步行人数，即；当三人坐一车时，有两辆空车，坐车人数为，等于总人数y，即． 【详解】解：设车数为x，人数为y．   ∵ 两人坐一车，九人步行， ∴．   ∵ 三人坐一车，两辆空车， ∴ 实际用车辆，则．   ∴ 可列方程组为 ．   故选：C． 12．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有个，共有条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有个，耧有个，则可列出方程组（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设耠子有个，耧有个，根据耠子和耧共有个，共有条腿，列方程组即可． 【详解】解：设耠子有个，耧有个， 根据题意得， 故选：C． 13．今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 【答案】1只雀重斤，1只燕重斤 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意设1只雀重x斤，1只燕重y斤，由此列出二元一次方程组，并求解这个方程组即可． 【详解】解：设1只雀重x斤，1只燕重y斤， 根据题意得：，解得， 即1只雀重斤，1只燕重斤． 14．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 【答案】“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条，根据共有300条狗，“三多”的每群狗比“一少”的那个群里狗的数量多40条列方程组求解即可． 【详解】解：设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条， 由题意得， 解得， 答：“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 15．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 【答案】甲有羊只，乙有羊只． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲原有羊只，乙原有羊只，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设甲原有羊只，乙原有羊只， 根据题意得，， 解得：， 答：甲有羊只，乙有羊只． 题型四、二元一次方程组应用--和差倍分问题 16．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 【答案】(1)大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹 (2)有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）设大号编钟的频率为x赫兹，小号编钟的频率为y赫兹，根据题意列出方程组即可求解； （2）设A配件要买m个，B配件要买n个，根据题意列出二元一次方程，解方程即可求解； 【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 17．有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 【答案】树上有7只鸟，地上有5只鸟． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设树上有只鸟，地上有只鸟，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟． 根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：； 若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：； 即， 解得：． 答：树上有7只鸟，地上有5只鸟． 18．七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 【答案】红队人数为4人，蓝队人数为3人 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，注意“队员看人数时，会忽略自己”，据此梳理红、蓝队人数的等量关系是解题关键． 根据红蓝队员对人数的描述，结合“实际人数”与“观察到的人数（忽略自己）”的差异，建立方程组求解即可． 【详解】解：设红队人数为人，蓝队人数为人． 一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”， 可得， 一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”， 可得， 联立可得， 解得，． 答：红队人数为4人，蓝队人数为3人． 19．阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 【答案】小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，找出合适的等量关系． 设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页，根据题意列出相应的方程组求解即可． 【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页， 由题意，得 解得． 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页． 题型五、二元一次方程组应用--年龄问题 20．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． 【详解】解：设乌龟现在的年龄为x岁，裁缝现在的年龄为y岁，则树现在的年龄为岁， 由题意，得， 解得， 所以乌龟现在的年龄为77岁， 故选：C． 21．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，关键是知道年龄差是不变的量从而可列方程求解．设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁，抓住年龄差不变，根据我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了，列方程组求解即可． 【详解】解：设叔叔现在的年龄是岁，小君现在的年龄是岁， 由题意可得：， 解得：． 故叔叔现在的年龄是28岁，小君现在的年龄是16岁． 故选：B． 22．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 23．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 题型六、二元一次方程组应用--数字问题 24．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列方程组是解题的关键；根据每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等列方程组求解即可． 【详解】解：每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等， ， 整理得， 解得：， 的值分别是，1， 故选：． 25．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，关键是根据题意找到等量关系式． 根据题意找到规律即可解答． 【详解】解：如图，设中间两个数分别为，， 由题意可得，， ， ， 即， 整理得：． 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故C选项不符合题意； 当时，， 此时，在月历中可以框出符合题意的四个数，故D选项符合题意； 当时，； 此时，16在月历中是第三行最后一个数，无法框出符合题意的四个数，故B选项不符合题意． 故选：D． 26．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【详解】解：观察图3得， 解得， ． 故选：A． 27．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 【答案】这个两位数是67 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是设出未知数，表示出两位数． 设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为，分别表示出两个两位数，然后根据题意列方程组求解即可． 【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 28．已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，，或0 (2)当时，平方根为；当时，平方根为． 【分析】本题主要考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意、理解相关定义是解题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义列出关于a、b的二元一次方程组即可求出a，b的值，再根据算术平方根的意义确定c的值即可； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2， ∴，解得：， ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴或0， ∴，，或0． （2）解：当，，时，则，所以的平方根为； 当，，时，则，所以的平方根为． 综上，当时，平方根为；当时，平方根为． 题型七、二元一次方程组应用--图表信息问题 29．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 【答案】见解析 【分析】通过设未知数表示文艺、科技小组每次活动时间，利用七、八年级数据列方程组求出每次活动时间，再设九年级活动次数，根据总时间列方程，结合正整数解确定次数． 本题主要考查二元一次方程组的应用，熟练掌握通过设未知数建立方程（组）求解实际问题是解题的关键． 【详解】解：设文艺小组每次活动时间为小时，科技小组每次活动时间为小时．则 ， 解得， 设九年级文艺小组活动次，科技小组活动次． 由题意得，， ∴， ∵、为正整数， ∴，． ∴填表如下： 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 30．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 【答案】(1)温州队的积分为14分 (2)温州队要获得小组第一，至少还要胜10场 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式应用，根据表格中的数据求出胜负平的得分，读懂题意正确列出方程和不等式是解题关键． （1）设胜1场加分，负1场加分，根据题意列方程即可解答； （2）设胜场，负场，根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 31．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 【答案】(1)这两个旅游团共有112人 (2)甲旅游团有41人，乙旅游团有71人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程和方程组，注意分情况讨论． （1）设这两个旅游团共有m人，分和两种情况，列出关于m的一元一次方程，解之取其正整数即可得出结论； （2）设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人，分和两种情况，列出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 32．2020年1月以来，我国受新冠疫情影响，疫情严重地区医疗物资紧缺，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下： 第一批 第二批 型号货车的辆数（单位：辆） 1 2 型号货车的辆数（单位：辆） 4 3 累计运送货物的吨数（单位：吨） 34 38 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资； (2)该市后续又筹集了60吨医疗物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需要多少辆型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 【答案】(1)A种型号货车每辆满载能运10吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运6吨医疗物资 (2)5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，以及一元一次不等式的实际应用，体现了用二元一次方程组解决实际问题中“找等量关系、设未知数、列方程、解方程”的核心思路，属于二元一次方程组在实际生活中运输物资这类场景下的应用考查． （1）设A种型号货车每辆满载能运x吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运y吨医疗物资，根据前两批具体运输情况数据表，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批生活物资运往目的地，根据要求一次性运送60吨医疗物资，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中最小的整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种型号货车每辆满载能运x吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运y吨医疗物资， 依题意，得， 解得， 综上，A种型号货车每辆满载能运10吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运6吨医疗物资资． （2）解：设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为5． 综上，至少还需联系5辆B种型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 33．《国家学生体质健康标准》中明确要求关注身体形态和肥胖状况．体重指数（）是用来衡量人体胖瘦程度的常用参考指标，根据数值将人体胖瘦状况分为体重过低、体重正常、超重、肥胖四种类型． （一）从某校七年级学生中随机抽取男生、女生各20名，测得他们的身高和体重数据，计算出相应的数值，并将数据整理如下： 20名男生胖瘦状况频数分布表  20名女生胖瘦状况条形图 组别 频数    体重过低 3 体重正常 a 超重 4 肥胖 3 （二）由资料知，饮食平衡与适当运动可以有效控制．为保障在食堂就餐学生的营养均衡，学校加强对食堂供餐的管理．已知学校食堂某天午餐的供餐方案：每份午餐含米饭、一份荤菜、两份半荤菜及一份蔬菜．其中每份午餐中蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，各类菜品配料等具体信息如表一． 【备注：学校食堂采用少油少盐的营养供餐，因此食用油、食盐等配料等的热量和蛋白质忽略不计】 表一 类别 菜名 原材料质量配比 每100克含热量（千焦） 每100克含蛋白质（克） 荤菜 卤鸡腿 鸡腿 840 18 半荤 番茄炒蛋 番茄：鸡蛋 300 6 半荤 花菜炒肉片 花菜：肉片 350 7 蔬菜 清炒空心菜 空心菜 25 主食 米饭 大米 1400 4 （三）该校七年级学生均为13岁—14岁的青少年，我国该年龄段学生的午餐营养标准如表二． 表二 能量需要量（千焦） 蛋白质摄入量（克） 男 女 根据材料解决下列问题： (1)　　　　　　； (2)已知该校七年级男生260人，女生240人．根据以上统计数据，估计该校七年级学生体重正常的人数比例．针对该校七年级学生的胖瘦状况，请你提出一条合理化建议； (3)通过计算，判断该份午餐是否符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【答案】(1) (2)，建议学生合理饮食 (3)该份午餐部分符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 【分析】本题考查了统计的应用，二元一次方程组的应用． （1）用20减去其他组别频数即可求出a的值； （2）先求出抽取女生体重正常人数，再分别用男生260人，女生240人乘以各自体重正常的人数比例求出体重正常的总人数，除以总数即可求出该校七年级学生体重正常的人数比例，进而提出建议即可； （3）设鸡蛋，肉片，根据题意列二元一次方程组求出番茄炒蛋，花菜炒肉片，再根据题意计算出每份午餐含热量及蛋白质，判断即可． 【详解】（1）解： 故答案为：； （2）抽取女生体重正常人数为人， 体重正常的总人数为， ∴该校七年级学生体重正常的人数比例为， 建议：建议学生合理饮食； （3）解：∵蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，鸡腿，空心菜， ∴番茄、花菜共，鸡蛋、肉片共， 设鸡蛋，肉片， ∵番茄：鸡蛋，花菜：肉片 ∴番茄，花菜， ∴， 解得：， ∴鸡蛋，肉片，番茄，花菜， ∴番茄炒蛋，花菜炒肉片， ∴每份午餐含热量 （千焦），符合女生的午餐营养标准但不符合男生的午餐营养标准； 每份午餐含蛋白质 （克），符合的男生午餐营养标准但不符合女生的午餐营养标准； 可知该份午餐部分符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 题型一、二元一次方程组应用--工程问题 34．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 【答案】甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据“两项工程的工作天数”，“对应总报酬”，梳理出两个等量关系是解题关键． 设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元，根据“两项工程的工作天数”和“对应总报酬”，设未知数并列二元一次方程组求解． 【详解】解：设甲组每天得报酬元，乙组每天得报酬元． 根据题意，得， 解得， 答：甲组平均工作一天应得报酬800元，乙组平均工作一天应得报酬600元． 35．某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 【答案】天中有天不下雨，有天下雨 【分析】本题考查了二元一次方程组解实际问题，关键是找到相等关系列方程组； 根据天共修建了可列方程组求解即可． 【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 36．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 37．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 【答案】(1)甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元 (2)乙队 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． （1）设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，根据题意列方程组求解即可； （2）设甲每天完成x，乙每天完成y，根据题意列方程组求出工作效率，求出两队费用，比较即可． 【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 38．2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 【答案】(1)甲型机器人每小时完成20米焊缝，乙型机器人每小时完成16米焊缝 (2)10台 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用．理解题意列出正确的方程和不等式是解题的关键． （1）设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝，根据已知条件列出方程组，即可解答； （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人，根据题意列出不等式，即可解答． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝， 由题意，得， 解得， 答：每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝． （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人， 由题意，得， 解得． 答：该工厂同一时间内至少需要部署台甲型机器人． 题型二、二元一次方程组应用--几何问题 39．若与互为补角，且是的3倍，则为 ． 【答案】 【分析】本题考查了补角，根据补角的定义，与互为补角，故；又已知是的3倍，即，代入方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得 故答案为：． 40．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 【答案】16 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先根据“大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8”，得出关于m、n的方程组，然后解方程组求出m、n，再根据，，求出，最后把m、n代入计算即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴ ， 故答案为：16． 41．如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上，当分别用片，片拼图时（如图②，③所示），对应的长度分别为，，则片这样的拼图紧密拼成一行时长度为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查通过寻找图形拼接规律来建立数学模型，利用二元一次方程组求解未知量，进而解决实际问题，涉及到方程思想和规律探究能力．解题关键在于找出拼图数量与拼成图形长度之间的关系．设每片拼图的主体长度、凸出部分宽度．根据片拼图和片拼图拼成一行时对应的长度，分别列出方程，组成方程组．解方程组．计算出片拼图拼成一行的长度即可． 【详解】解：设拼图主体部分宽度为，凸出部分宽度为． 则，解得 当拼图为片时，长度为． 故答案为． 42．如图，线段，， ，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 【答案】 【分析】本题考查两点间的距离，线段中点的定义，线段的计算，理解线段中点的定义，根据题目中的已知条件设置适当的未知数构造方程组是解题的关键． 设，，，则，根据得到，再根据得，由此解出，，继而得到，，然后根据线段中点定义及线段的和差可得答案． 【详解】解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 联立， 解得：， ∴，，， ∴， ∵点、分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， 即线段的长为． 43． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 【答案】任务一：填写表格见解析；任务二：两种灯笼一共个；任务三：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系． 任务一：根据长方体的六个面的特点求解即可； 任务二：根据制作的两种灯笼恰好用了长方形宣纸张，正方形宣纸张，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务三：根据两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：任务一：填写表格如下： 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 故答案为：，； 任务二：根据题意得 ， 解得， 答：两种灯笼一共个； 任务三：根据题意可列方程组 解得， 答：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个． 题型三、二元一次方程组应用--利润、营销问题 44．某商场分两次购进A、B两种服装进行销售，由于物价上涨，第二次购进A、B两种服装的进价每件比第一次分别上涨了和，两次购进的数量和费用如下表所示． 购进数量（单位：件） 购进所需费用（单位：元） A种 B种 第一次 12 20 8400 第二次 15 10 6900 (1)求第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是多少元． (2)若同种服装的销售单价不变，第一次购进的服装完全卖完后获得利润2960元，第二次购进的服装完全卖完后获得利润1300元，求A、B两种服装每件的售价分别是多少元． 【答案】(1)200元和300元 (2)280元和400元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用： （1）设第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是x元 ， y元，根据题意列方程组，即可求解； （2）设A、B两种服装每件的售价分别是a元，b元，根据题意列方程组，即可求解． 【详解】（1）解：设第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是x元 ， y元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是200元和300元． （2）解：设A、B两种服装每件的售价分别是a元，b元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：A、B两种服装每件的售价分别是280元和400元． 45．某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． (2)若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价30元，乙种产品打8折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？ 【答案】(1)商场购进甲产品120件，购进乙产品80件 (2)14800元 【分析】本题考查了销售、利润问题(二元一次方程组的应用)，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）设购进甲种产品x件，乙种产品y件，根据题意列出方程组求解即可； （2）分别计算甲、乙种产品的利润，再求和即可． 【详解】（1）解：设购进甲种产品x件，乙种产品y件｡ 根据题意，得， 解得：， 答：购进甲种产品120件，乙种产品80件； （2）甲产品∶ 进价∶50元， 标价元， 促销价=标价元， 单件利润=促销价-进价元， 总利润元， 乙产品∶ 进价∶80元， 标价=进价+原利润元， 促销价=标价元， 单件利润元， 总利润元， 总获利∶ 元， 答：商场最终获利14800元． 46．综合与实践 不同方案利润问题的探索 活动背景 某校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划推销自己的手工制品．他们以每盒25元的价格购进了6盒卡纸材料，计划全部用于制作手工制品． 活动1手工制品制作方案 方案1：每盒卡纸可以制作10个“创意书签”，或者制作60个“创意贴纸”，每个“创意书签”需搭配3个“创意贴纸”；方案2：每盒卡纸裁剪加工后，可以制作8个“立体贺卡”，每个“立体贺卡”需额外购买元的丝带配件． 活动2义卖方案 方案1：每个“创意书签”售价9元；方案2：每个“立体贺卡”售价12元． 问题解决 任务1 确定“创意书签”的数量 （1）求出方案1中制作“创意书签”的个数． 任务2 不同义卖方案利润相同的探索 （2）当方案1与方案2的利润相同时，求的值． 【答案】（1）制作“创意书签”的个数为40个．（2）的值为4.5 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，正确确定各小问的等量关系是解答本题的关键． （1）设用盒卡纸制作“创意书签”，则制作“创意书签”个．根据每个“创意书签”需搭配3个“创意贴纸”可列方程求解即可； （2）根据方案1与方案2的利润相同求解即可． 【详解】解：（1）设用盒卡纸制作“创意书签”，则制作“创意书签”个． 解得，． 答：制作“创意书签”的个数为40个． （2）方案1利润：（元） 答：的值为4.5． 47．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中一次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购．三次采购的物品数量及总费用如下表： 采购批次 运动毛巾（条） 瑜伽垫（个） 总费用（元） 第一次购物 5 4 300 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)健身馆以折扣价购买运动毛巾和加厚款瑜伽垫是第_________次购物； (2)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (3)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 【答案】(1)二 (2)运动毛巾的市场单价为20元/条，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元/个 (3)打9折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． （1）假设三次均未打折，求出第一、二次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫的花费，若相同，则第三次购物打折，若不同，则花费少的打折； （2）设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元，列出方程组求出x和y的值； （3）设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：假设三次均未打折， 第二次购物比第一次购物多买2条运动毛巾，2个瑜伽垫，多花元， 即第二次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，花元； 第一次购物比第三次购物多买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，多花元， 即第一次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，花元； 可知第二次购物的价格低， 即以折扣价购买是第二次购物． 故答案为：二； （2）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （3）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 48．某服装店购进一批文化衫和帽子，共件，总进货款为元，这两种商品的进价、预售价如表： 商品 进价(元/件) 预售价(元/件) 文化衫 帽子 (1)求该服装店购进文化衫和帽子各多少件？ (2)若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得______元的利润． (3)在实际销售过程中，服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润元，求帽子售出一半后是按预售价的几折销售的？ 【答案】(1)文化衫件，帽子件 (2) (3)折 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、有理数的混合运算以及一元一次方程的应用； （1）设该服装店购进文化衫件，帽子件，根据某服装店购进一批文化衫和帽子，共件，总进货款为元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列式计算即可； （3）设帽子售出一半后是按预售价的折销售的，根据服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该服装店购进文化衫件，帽子件， 根据题意得： 解得： （2）根据题意得：元， 即若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得元的利润， 故答案为：； （3）设帽子售出一半后是按预售价的折销售的， 根据题意得：， 解得：， 答：帽子售出一半后是按预售价的折销售的． 题型四、二元一次方程组应用--分配问题 49．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 【答案】用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设用木料做桌面，用木料做桌腿，找出等量关系列出方程组，最终求解方程组即可得出结果． 【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 50．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 【答案】(1) (2)宿舍有11间，学生有45人 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宿舍有间，学生有人．根据题意，列出二元一次方程组，即可； （2）利用代入消元法解答即可． 【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 51．某班准备购买笔记本作为奖品，现有甲、乙两种笔记本：甲种每本10元，乙种每本8元． (1)若购买甲、乙两种笔记本共20本，花费180元，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？ (2)若购买乙种笔记本的数量比甲种的2倍少5本，且总花费不超过150元，求最多可以购买甲种笔记本多少本？ 【答案】(1)甲、乙各买10本 (2)最多买7本甲种笔记本 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是根据数量关系列方程或不等式． （1）设甲、乙笔记本数量为未知数，根据总数和总花费列方程求解； （2）设甲笔记本数量，根据乙与甲的数量关系表示乙的数量，再根据总花费不超过的条件列不等式求解． 【详解】（1）解：设购买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 由题意得： 由得，代入， ， ， ． ，则． 答：甲、乙两种笔记本各买了10本． （2）解：设购买甲种笔记本本，则乙种笔记本本． 由题意得： 因为为正整数，且笔记本数量必须为正整数.因此， m 的最大整数值为 7． 答：最多可以购买甲种笔记本7本． 52．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 【答案】(1)工厂每天应安排24名工人生产A型零件，工厂每天能生产36套产品 (2)至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，二元一次方程组的实际应用，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件，根据“每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成”列方程求解即可； （2）设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件，根据题意，可得关于m、n的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 53．某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 【答案】三人间客房和双人间客房分别为8间和13间 【分析】本题考查二元一次方程组的应用；设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间，理解题意，根据每间客房正好住满，共50人，住宿费3020元列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 题型五、二元一次方程组应用--行程问题 54．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 【答案】或10 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 55．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 【答案】小华家离学校 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小华家到学校的上坡路长，平路长，根据时间路程速度结合小华从家里到学校需，从学校到家里需，列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 56．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 【答案】小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，先设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时，结合小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时，列出方程组，再解得，即可作答． 【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 57．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式方程、一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题要注意追及问题和相遇问题不同的求解方法及时间相同，路程比等于速度比． ()设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为米，由等量关系列出方程组，即可得解； （）由()知男运动员的速度是女运动员速度的倍，可设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈，利用男运动员追上女运动员时多跑圈，由等量关系列出方程组，即可得解． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 58．海中有、、三个小岛，岛在岛正西方距离400海里处（如下图所示），岛在岛的北偏东方向500海里处． (1)用1厘米代表200海里，请根据题意在图中画出岛的位置，并量出图中的长度为 厘米，（四舍五入到个位）；那么、两地的实际距离约为 海里． (2)甲、乙两货轮同时从岛出发，甲沿方向，乙沿方向，10小时相遇，此时甲货轮比乙货轮多行驶了100海里，求甲乙两货轮的速度． (3)若岛需要大米和玉米共30吨，岛需要大米和玉米共50吨，现从岛运输20吨大米与60吨玉米到岛和岛，运输费用共为10600元（每吨的运输费用如下表所示），那么运到岛的大米与玉米各是多少吨？ 到岛的运费（元/吨） 到岛的运费（元/吨） 大米 100 200 玉米 80 150 【答案】(1)4；800； (2)甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时； (3)运到岛的大米10吨，玉米吨 【分析】题目主要考查二元一次方程和一元一次方程的应用，理解题意，列出方程和方程组是解题关键． （1）根据题意画出图形求解即可； （2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时，根据题意列出方程组求解即可； （3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨，根据题意列出方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示点C的位置，量出图中的长度为厘米， 实际距离约为：海里， 故答案为：4；800； （2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时， 根据题意得：， 解得：， ∴甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时； （3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴运到岛的大米10吨，玉米吨． 题型六、二元一次方程组应用--方案问题 59．综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 【答案】(1)一共花费180元 (2)班委购买了钥匙扣50个、玩偶30个 (3)方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个；方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个；方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个 【分析】本题考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）是解题的关键． （1）利用总价=单价×数量，结合题意即可求出结论； （2）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，结合“班委计划购买钥匙扣和玩偶一共个，其中钥匙扣超过个，一共花费元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）设购买钥匙扣个，玩偶个，利用总价单价数量，可列出关于，的二元一次方程，结合“，均为正整数，且，”，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：（元）． 答：一共花费180元． （2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个． 根据题意得， 解得； 答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个． （3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 根据题意得， ． ，均为正整数，且，， 或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个． 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个． 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 60．茶叶促销活动前后，，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与茶叶打折前的价格相同． 茶叶销量 茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两，茶叶的原价分别是多少？ (2)促销期间，王阿姨带了96元要买茶叶和打折后为8元的茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 【答案】(1)每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； (2)三种购买方案，方案一：购买2两A茶叶和9两C茶叶；方案二：购买4两A茶叶和6两C茶叶；方案三：购买6两A茶叶和3两C茶叶 【分析】（1）依据题意，设每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元，可得，进而计算可以得解； （2）依据题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两，又设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数，则，故，进而可以计算得解． 本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，解题时要熟练掌握并能根据题意列出方程组是关键． 【详解】（1）解：由题意，每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元， ， 答：每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； （2）解：由题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两， 设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数， ， 需为正偶数， 为偶数，即a为偶数． ∵， ，4， 或或 共有3种方案． 61．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 【答案】(1) 种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． (2) 共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，方案问题（二元一次方程的整数解）． （1）设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，根据题意列方程组，求解即可； （2）设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆，根据题意列方程，求正整数解，即可得可行方案． 【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 62．列二元一次方程（组）解下列问题： 某学校需要购买篮球、足球，某商店关于购买篮球、足球，有如下三个条件： ①买个篮球、个足球共花费元 ②买个篮球比购买个足球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 (1)请你从上述三个条件中任选两个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若要求该学校此次购买篮球、足球恰好共花费元，且每种球类至少有一个，求出满足条件的购买方案． 【答案】(1)篮球单价为元，足球单价为元 (2)方案为：购买个篮球，个足球 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用，以及实际问题中的整数解分析．根据题目问题和给出条件设出未知数并解方程，并根据题意找到整数解，是解题的关键． （1）从三个条件中选两个，通过设未知数 (篮球单价元，足球单价元) ，把条件转化为二元一次方程组，再解方程组得到单价． （2）根据花费总价得出关于篮球和足球个数的二元一次方程，结合“每种球类至少个”的实际要求，找出方程的正整数解，得到购买方案． 【详解】（1）解：设篮球单价为元，足球单价为元， 根据①、②可列方程：， 解得：， ∴篮球单价为元，足球单价为元； （2）解：设购买个篮球，个足球， 由题意可得：， 即：， ∵，均为正整数， ∴， 答：方案为：购买个篮球，个足球． 63．综合与实践 【项目背景】众所周知，对于任意一个二元一次方程，它有无数组解，即二元一次方程的解不确定．但在实际问题中，由于需要满足实际意义，二元一次方程的解受到一定的限制，特别是取自然数解．基于此，我们常常利用二元一次方程的“不定解”来解决一些方案设计问题． 【项目主题】某商店决定购进A，B两种纪念品出售，若购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元． 任务1：求A，B两种纪念品的购进单价； 任务2：已知商店购进两种纪念品（A，B都要有）共花费元，那么该商店购进这两种纪念品有几种可能的方案？请写出所有的购买方案． 【答案】任务1：A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元． 任务2：该商店共有两种进货方案：方案1：购进件A种纪念品，件B种纪念品；方案2：购进4件A种纪念品，件B种纪念品． 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用和方案问题，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键，任务一：设A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元，根据题意列出方程组解方程即可得到答案；任务二：设购进A种纪念品件，B种纪念品件，根据题意得到．再由，均为正整数，可得到为15的整数倍，从而得到，的值，即可得到答案． 【详解】解：任务1：设A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元． 根据题意，得，解得， ∴A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元． 任务2：设购进A种纪念品件，B种纪念品件． 根据题意，得． ∴． ，均为正整数， 为15的整数倍． ∴或． 该商店共有两种进货方案： 方案1：购进17件A种纪念品，15件B种纪念品； 方案2：购进4件A种纪念品，30件B种纪念品． 64．定义：对于任意一个四位数，若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“奥妙数”．例如：3157，因为，所以3157是“奥妙数”；5479，因为，所以5479不是“奥妙数”．若“奥妙数”中，百位数上的数字是十位上的数字的2倍，千位上的数字与个位上的数字之和能被10整除，则满足条件的“奥妙数”为 ． 【答案】5005，6424，7843 【分析】本题主要考查整数的性质及方程求解，设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，根据“奥妙数”定义有，由条件和能被10整除，代入得且，结合和，求解c和d的整数解，得到三组解，结合各数位上数字的取值范围，求解即可得到最终答案． 【详解】解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则，． 由“奥妙数”定义，． 由条件，，代入得，即． 由条件，能被10整除，即是10的倍数． 由于，且，所以可能为0、10、20．但，故，因此或20． 若，则，但，矛盾．所以． 因此． 由，得． 又，所以，即． 解，且，得整数解：时；时；时． 对应：时，；时，；时，． 对应：时时时． 所以得到数字5005、6424、7843． 因此满足条件的“奥妙数”为5005，6424和7843． 故答案为：5005，6424，7843． 65．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 【答案】(1)该食品厂到A地的距离是50 km，到B地的距离是100 km． (2)该食品厂买进原料220 t，卖出食品200 t． (3)卖出的食品每吨的售价是10000元． 【分析】（1）设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是，根据食品厂到地的距离是到地的倍且，两地间的距离为公里，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该食品厂买进原料，卖出食品，根据两次运输（第一次：地→食品厂，第二次：食品厂→地）共支出公路运费元、铁路运费元，列出二元一次方程组，解方程组即可； （3）设卖出的食品每吨售价为元，由题意：该食品厂此次买进的原料每吨花费元，要想该批食品销售完后工厂共获利元，列出一元一次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 66．根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 【答案】(1)A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子 (2)①需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张；最低采购费用为元；②A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼（答案不唯一） 【分析】本题考查了其他问题(二元一次方程组的应用)，方案问题(二元一次方程组的应用)等知识，解题关键是理解题意，找准等量关系列出方程． （1）设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子， 则有， 解得， ∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子； （2）解：设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张， 则， ∴， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或， ∴需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张； ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴最低采购费用为元； ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼． 67．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体．其顶点数、面数、棱数之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉定理．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)【公式发现】根据上面的多面体模型，完成表格中的空格： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 ①_____ 2 8 6 12 3 ②_____ 8 12 4 9 8 ③_____ 你发现顶点数、面数和棱数之间存在的关系式_____． (2)[公式运用]如图，请直接写出正十二面体的顶点数和棱数． (3)[公式综合]已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形排接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． (4)[定理应用]有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，请利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数． 【答案】(1)6，6，15， (2)20，30 (3)20 (4)正五边形为12个，正六边形有20个 【分析】本题考查欧拉公式的简单推导及应用，熟练掌握不完全归纳法的应用及欧拉公式中各字母的意义是解题关键． （1）数出每种图形的顶点数、面数、棱数即可完成表格填写，然后根据表中各种图形顶点数、面数和棱数的关系作出猜想即可得到所求结论； （2）观察图形并结合（1）中顶点数、面数和棱数的关系式求解即可； （3）根据已知的顶点数及每个顶点处的棱数，可以得到实际的棱数，然后利用（1）中关系式可以求得面数即的值； （4）设正五边形、正六边形个数分别为x、y，然后根据欧拉公式及正五边形、正六边形的个数比例可以得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组即可得到问题解答． 【详解】（1）解：表格如下： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 6 2 8 6 12 3 6 8 12 4 9 8 15 由表格中数据可得： 关系式为： （2）解：正十二面体的面数为12，顶点数为20，棱数为； （3）解：∵有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，且两点确定一条直线， ∴共有（条棱） 那么， 解得：， ∴； （4）解：设正五边形个数为，正六边形个数为， 则该足球的面数为， 顶点数为， 棱数为， 由图可知，每个顶点处都遵循一个正五边形，两个正六边形， 由题意得： 解得： 所以正五边形为12个，正六边形有20个． 68．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，当点、在直线异侧时，如图2，的度数为 ；若点、在线段同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时的度数为 ． 【答案】（1）（2）（3）， 【分析】本题考查了平行线的性质、新定义“系数补角”的理解与应用，利用平行线转化角的关系、结合新定义建立方程是解题的关键． （1）设的“系数补角”是，由“系数补角”定义列方程即可得出； （2）过作，利用平行线的内错角相等得出，设，，则①，由“系数补角”定义得②，联立方程求解即可； （3）设，，则，，根据、的位置（异侧 / 同侧），结合平行线性质，用、表示和，代入“系数补角”的关系，求解，即可得的度数． 【详解】解：（1）设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是， 故答案为：； （2）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴； （3）由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：，． 试卷第2页，共61页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3 实际问题与二元一次方程组（答案版） 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1．A． 2．B． 3．B． 4．C． 5．故答案为：． 题型二、根据图形列二元一次方程组 6．． 7．． 8．． 9．． 10．D 题型三、二元一次方程组应用--古代问题 11．C． 12．C． 13．1只雀重斤，1只燕重斤． 14．【详解】解：设“三多”的每群狗有m条，“一少”的狗有n条， 由题意得， 解得， 答：“三多”的每群狗有85条，“一少”的狗有45条． 15．【详解】解：设甲原有羊只，乙原有羊只， 根据题意得，， 解得：， 答：甲有羊只，乙有羊只． 题型四、二元一次方程组应用--和差倍分问题 16．【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹， 根据题意得， 解得， 答：大号编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹； （2）解：设配件要买个，配件要买个． 根据题意得：， 整理得：，即， 因为和都为正整数， 所以符合条件的解为或， 答：有两种采购方案，方案一：配件3个，配件1个；方案二：配件1个，配件2个． 17．【详解】解：设树上有只鸟，地上有只鸟． 根据条件，若从地上飞到树上1只，则地上的鸟为整个鸟群的，得：； 若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟一样多，得：； 即， 解得：． 答：树上有7只鸟，地上有5只鸟． 18．【详解】解：设红队人数为人，蓝队人数为人． 一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”， 可得， 一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”， 可得， 联立可得， 解得，． 答：红队人数为4人，蓝队人数为3人． 19．【详解】解：设小明、小颖平均每天分别阅读x页和y页， 由题意，得 解得． 答：小明平均每天阅读8页，小颖平均每天阅读6页． 题型五、二元一次方程组应用--年龄问题 20．C． 21．B． 22．【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． 23．【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 题型六、二元一次方程组应用--数字问题 24．． 25．D． 26．A． 27．【详解】解：设这个两位数十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故这个两位数是． 28．【详解】（1）解：∵的立方根是的算术平方根是2， ∴，解得：， ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴或0， ∴，，或0． （2）解：当，，时，则，所以的平方根为； 当，，时，则，所以的平方根为． 综上，当时，平方根为；当时，平方根为． 题型七、二元一次方程组应用--图表信息问题 29．【详解】解：设文艺小组每次活动时间为小时，科技小组每次活动时间为小时．则 ， 解得， 设九年级文艺小组活动次，科技小组活动次． 由题意得，， ∴， ∵、为正整数， ∴，． ∴填表如下： 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 30．【详解】（1）解：设胜1场加分，负1场加分 由题，得 解得， 所以（分） 答：温州队的积分为14分． （2）解：由题，得温州队一共要进行场比赛 设胜场，负场 由题，得 解得， ， 答：温州队要获得小组第一，至少还要胜10场． 31．【详解】（1）解：设这两个旅游团共有m人， 当时，有， 解得：（不为整数，舍去）； 当时，有， 解得：， 答：这两个旅游团共有112人； （2）解：设甲旅游团有x人，乙旅游团有y人， 当时，有， 方程组无解； 当时，有， 解得：． 答：甲旅游团有41人，乙旅游团有71人． 32．【详解】（1）解：设A种型号货车每辆满载能运x吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运y吨医疗物资， 依题意，得， 解得， 综上，A种型号货车每辆满载能运10吨医疗物资，B种型号货车每辆满载能运6吨医疗物资资． （2）解：设还需联系m辆B种型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地， 依题意，得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m的最小值为5． 综上，至少还需联系5辆B种型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 33．【详解】（1）解： 故答案为：； （2）抽取女生体重正常人数为人， 体重正常的总人数为， ∴该校七年级学生体重正常的人数比例为， 建议：建议学生合理饮食； （3）解：∵蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，鸡腿，空心菜， ∴番茄、花菜共，鸡蛋、肉片共， 设鸡蛋，肉片， ∵番茄：鸡蛋，花菜：肉片 ∴番茄，花菜， ∴， 解得：， ∴鸡蛋，肉片，番茄，花菜， ∴番茄炒蛋，花菜炒肉片， ∴每份午餐含热量 （千焦），符合女生的午餐营养标准但不符合男生的午餐营养标准； 每份午餐含蛋白质 （克），符合的男生午餐营养标准但不符合女生的午餐营养标准； 可知该份午餐部分符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 题型一、二元一次方程组应用--工程问题 34．【详解】解：设这天中有天不下雨，有天下雨， 根据题意，得 解得， 答：这天中有天不下雨，有天下雨． 36．【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 37．【详解】（1）解：设甲队每天费用为a元，乙队每天费用为b元，由题意得： ， 解得， 答：甲队每天的费用为300元，乙队每天的费用为140元； （2）解：设甲每天完成x，乙每天完成y，由题意得： ， 解得， 即甲单独做需要12天完成，乙单独做需要24天完成． 甲单独做需要元， 乙单独做需要元． 答：乙队单独完成费用较少． 38．【详解】（1）解：设每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝， 由题意，得， 解得， 答：每台甲型机器人每小时完成米焊缝，每台乙型机器人每小时完成米焊缝． （2）设该工厂同一时间内需要部署台甲型机器人，则部署台乙型机器人， 由题意，得， 解得． 答：该工厂同一时间内至少需要部署台甲型机器人． 题型二、二元一次方程组应用--几何问题 39．． 40．【详解】解：根据题意，得， 解得， ∵，， ∴ ， 故答案为：16． 41．【详解】解：设拼图主体部分宽度为，凸出部分宽度为． 则，解得 当拼图为片时，长度为． 故答案为． 42．【详解】解：设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 联立， 解得：， ∴，，， ∴， ∵点、分别是线段和线段的中点， ∴，， ∴， 即线段的长为． 43．【详解】解：任务一：填写表格如下： 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 故答案为：，； 任务二：根据题意得 ， 解得， 答：两种灯笼一共个； 任务三：根据题意可列方程组 解得， 答：竖式灯笼做了个，横式灯笼做了个． 题型三、二元一次方程组应用--利润、营销问题 44．【详解】（1）解：设第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是x元 ， y元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是200元和300元． （2）解：设A、B两种服装每件的售价分别是a元，b元，根据题意列方程组： ， 解得． 答：A、B两种服装每件的售价分别是280元和400元． 45．【详解】（1）解：设购进甲种产品x件，乙种产品y件｡ 根据题意，得， 解得：， 答：购进甲种产品120件，乙种产品80件； （2）甲产品∶ 进价∶50元， 标价元， 促销价=标价元， 单件利润=促销价-进价元， 总利润元， 乙产品∶ 进价∶80元， 标价=进价+原利润元， 促销价=标价元， 单件利润元， 总利润元， 总获利∶ 元， 答：商场最终获利14800元． 46．【详解】解：（1）设用盒卡纸制作“创意书签”，则制作“创意书签”个． 解得，． 答：制作“创意书签”的个数为40个． （2）方案1利润：（元） 答：的值为4.5． 47．【详解】（1）解：假设三次均未打折， 第二次购物比第一次购物多买2条运动毛巾，2个瑜伽垫，多花元， 即第二次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，花元； 第一次购物比第三次购物多买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，多花元， 即第一次购物买1条运动毛巾，1个瑜伽垫，花元； 可知第二次购物的价格低， 即以折扣价购买是第二次购物． 故答案为：二； （2）解：设运动毛巾的市场单价为x元，加厚款瑜伽垫的市场单价为y元， 根据题意知第一、三次购物为原价，则， 解得：， 答：运动毛巾的市场单价为20元，加厚款瑜伽垫的市场单价为50元； （3）解：设商场打折促销期间是打折出售这两种商品的， 由题意得，， 解得：． 答：商场打折促销期间是打九折出售这两种商品的． 48．【详解】（1）解：设该服装店购进文化衫件，帽子件， 根据题意得： 解得： （2）根据题意得：元， 即若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得元的利润， 故答案为：； （3）设帽子售出一半后是按预售价的折销售的， 根据题意得：， 解得：， 答：帽子售出一半后是按预售价的折销售的． 题型四、二元一次方程组应用--分配问题 49．【详解】解：设用木料做桌面，用木料做桌腿，做出的桌面和桌腿恰好能配成方桌， 根据题意得，解得， 即用的木料做桌面，的木料做桌腿，恰好能配成方桌． 50．【详解】（1）解：设宿舍有间，学生有人． 根据题意，列出二元一次方程组：； （2）解：由（1）得 把②代入①，可得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴二元一次方程组的解为， 答：宿舍有11间，学生有45人． 51．【详解】（1）解：设购买甲种笔记本本，乙种笔记本本． 由题意得： 由得，代入， ， ， ． ，则． 答：甲、乙两种笔记本各买了10本． （2）解：设购买甲种笔记本本，则乙种笔记本本． 由题意得： 因为为正整数，且笔记本数量必须为正整数.因此， m 的最大整数值为 7． 答：最多可以购买甲种笔记本7本． 52．【详解】（1）解：设工厂每天安排名工人生产A型零件，则工厂每天安排名工人生产B型零件， 由题意得：， 解得， （套） 所以，工厂每天应安排24名工人生产A型零件，每天能生产36套产品． （2）解：设需要补充m名新工人才能在规定期限完成生产任务，安排n名熟练工人生产A型零件，则安排名熟练工人生产B型零件， 由题意得， 解得， 所以，至少需要补充60名新工人才能在规定期限完成生产任务． 53． 【详解】解：设该旅游团住了三人间普通客房间，双人间普通客房间， 依题意，得， 解这个方程组，得， 答：该旅游团住了三人间普通客房8间，双人间普通客房13间． 题型五、二元一次方程组应用--行程问题 54．【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 55．【详解】解：设小华家到学校的上坡路长，平路长， 根据等量关系，得：， 解得， 于是，上坡路与平路的长度之和为， 答：小华家离学校． 56．【详解】解：设小新驾车行驶的速度是公里/时，小韵驾车行驶的速度是公里/时， 根据题意，得， 解得， 答：小新驾车行驶的速度是40公里/时，小韵驾车行驶的速度是60公里/时． 57． 【详解】（1）解：（1）设男运动员的速度是米秒，女运动员的速度是米秒，环形跑道的周长为． 由题意，得 ， 解得 ， ∴男运动员的速度是女运动员的倍． （2）设女运动员跑了圈，那么男运动员跑了圈， 根据题意，得 ， 解得． ∴男运动员追上女运动员时，女运动员跑了圈． 58．【详解】（1）解：如图所示点C的位置，量出图中的长度为厘米， 实际距离约为：海里， 故答案为：4；800； （2）设甲乙两货轮的速度分别为x海里/小时，y海里/小时， 根据题意得：， 解得：， ∴甲乙两货轮的速度分别为90海里/小时，80海里/小时； （3）设运到岛的大米a吨，玉米吨，运到C岛的大米吨，玉米吨， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴运到岛的大米10吨，玉米吨． 题型六、二元一次方程组应用--方案问题 59．【详解】（1）解：（元）． 答：一共花费180元． （2）解：设班委购买了钥匙扣个、玩偶个． 根据题意得， 解得； 答：班委购买了钥匙扣个、玩偶个． （3）解：设购买钥匙扣个、玩偶个， 根据题意得， ． ，均为正整数，且，， 或或， ∴共有以下3种购买方案： 方案1：购买钥匙扣35个、玩偶70个． 方案2：购买钥匙扣40个、玩偶62个． 方案3：购买钥匙扣45个、玩偶54个． 60．【详解】（1）解：由题意，每两A茶叶的原价是x元，则每两B茶叶的原价是y元， ， 答：每两A，B茶叶的原价分别是15元，12元； （2）解：由题意，促销期间，A茶叶单价为12元/两，C茶叶单价为8元/两， 设购买A茶叶a两，C茶叶c两为正整数， ， 需为正偶数， 为偶数，即a为偶数． ∵， ，4， 或或 共有3种方案． 61．【详解】（1）解：设种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元， 根据题意可得， 解得， ∴种型号的新能源汽车每辆的进价为万元，种型号的新能源汽车每辆的进价为万元． （2）解：设购进种型号的新能源汽车辆，购进种型号的新能源汽车辆， 根据题意可得，且、均为正整数， 由，得， ∵、均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购进方案：方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆；方案为购进种型号辆和种型号辆． 62．【详解】（1）解：设篮球单价为元，足球单价为元， 根据①、②可列方程：， 解得：， ∴篮球单价为元，足球单价为元； （2）解：设购买个篮球，个足球， 由题意可得：， 即：， ∵，均为正整数， ∴， 答：方案为：购买个篮球，个足球． 63．【详解】解：任务1：设A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元． 根据题意，得，解得， ∴A种纪念品的购进单价为元，B种纪念品的购进单价为元． 任务2：设购进A种纪念品件，B种纪念品件． 根据题意，得． ∴． ，均为正整数， 为15的整数倍． ∴或． 该商店共有两种进货方案： 方案1：购进17件A种纪念品，15件B种纪念品； 方案2：购进4件A种纪念品，30件B种纪念品． 64．【详解】解：设千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，则，． 由“奥妙数”定义，． 由条件，，代入得，即． 由条件，能被10整除，即是10的倍数． 由于，且，所以可能为0、10、20．但，故，因此或20． 若，则，但，矛盾．所以． 因此． 由，得． 又，所以，即． 解，且，得整数解：时；时；时． 对应：时，；时，；时，． 对应：时时时． 所以得到数字5005、6424、7843． 因此满足条件的“奥妙数”为5005，6424和7843． 故答案为：5005，6424，7843． 65．【详解】（1）解：设该食品厂到地的距离是，到B地的距离是． 根据题意，得 解得 故该食品厂到地的距离是，到地的距离是． （2）解：设该食品厂买进原料，卖出食品． 由题意，得 解得 故该食品厂买进原料，卖出食品． （3）解：设卖出的食品每吨售价为元． 由题意，得， 解得． 故卖出的食品每吨的售价是元． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 66．【详解】（1）解：设A卡纸每张可做x面小旗子，B卡纸每张可做y面小旗子， 则有， 解得， ∴A卡纸每张可做5面小旗子，B卡纸每张可做3面小旗子； （2）解：设购买A卡纸x张，B卡纸y张，则赠送了B卡纸x张， 则， ∴， ∴， ∵x，y为正整数， ∴或， ∴需要A卡纸3张，B卡纸15张或A卡纸6张，B卡纸10张； ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴最低采购费用为元； ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有m张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有n张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有6张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，6张做小灯笼． 67． 【详解】（1）解：表格如下： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 6 2 8 6 12 3 6 8 12 4 9 8 15 由表格中数据可得： 关系式为： （2）解：正十二面体的面数为12，顶点数为20，棱数为； （3）解：∵有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，且两点确定一条直线， ∴共有（条棱） 那么， 解得：， ∴； （4）解：设正五边形个数为，正六边形个数为， 则该足球的面数为， 顶点数为， 棱数为， 由图可知，每个顶点处都遵循一个正五边形，两个正六边形， 由题意得： 解得： 所以正五边形为12个，正六边形有20个． 68．【详解】解：（1）设的“系数补角”是， ∵， ∴，即， 解得， ∴的“系数补角”是， 故答案为：； （2）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 设，， ∴①， 由条件可知，即②， 联立①②得，， 解得， ∴； （3）由“系数补角”定义可知， 设，，则，， 当点、在直线异侧时， 此时，， 同（2）中方法可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当点、在线段同侧时， 同理可知∠，， ∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：，． 试卷第2页，共61页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.3 实际问题与二元一次方程组 题型一、根据实际问题列二元一次方程组 1．医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品．每克原料中蛋白质和铁质的含量如下表． 原料类别 每克原料中蛋白质和铁质的含量 蛋白质 铁质 甲原料 单位 1单位 乙原料 单位 单位 如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐用甲、乙两种原料各多少克可以恰好满足患者的需要？设每餐用甲种原料x克、乙种原料y克，则x和y满足的方程组是（    ） A． B． C． D． 2．某旅行社带游客去山西五台山游玩，晚上入住当地的一家民宿．若每间房住4人，则余下3人无房住；若每间房住5人，则余下一间无人住．设该民宿共有间房，游客共有人，则可列方程组（    ） A． B． C． D． 3．我国古代数学著作《算法统宗》中记载着这样一道题，其大意是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人．若有33位客人总共饮了19瓶酒，且都醉倒了，问他们醇酒、薄酒各饮了多少瓶？设他们醇酒饮了瓶，薄酒饮了瓶，根据题意可列出方程组为（   ） A． B． C． D． 4．某游客欲购买若干“平安手机挂绳”和“美拉德挂饰”赠送亲友，已知一个“美拉德挂饰”比一个“平安手机挂绳”贵30元，该游客购买10个“平安手机挂绳”和5个“美拉德挂饰”共花费435元．若设“平安手机挂绳”为元个，“美拉德挂饰”为元/个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．华联商场购进甲、乙两种商品后，甲商品加价50%，乙商品加价40%作为标价，甲商品打八折销售，乙商品打八五折销售．某顾客购买甲、乙商品各一件，共付款538元，已知商场共盈利88元，设甲商品的进价为x，乙商品的进价为y，则可列方程组 ． 题型二、根据图形列二元一次方程组 6．如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示，8块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为x，宽为y，则依据题意可得二元一次方程组为 8．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为 ． 9．如图，设，且的度数比的度数的2倍多可列方程组为 ． 10．如图，在大长方形中放置个形状、大小都相同的小长方形，大长方形的周长为，小长方形的长比宽大4．设小长方形的长为x，宽为y，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三、二元一次方程组应用--古代问题 11．《九章算术》中记载一题目，译文如下：若两人坐一辆车，则九人需要步行；若三人坐一辆车，则有两辆空车．问：人与车各多少？下列说法正确的是（   ） A．设有x辆车，则人数为 B．设有x辆车，则可列方程为 C．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 D．设有x辆车，有y人，则可列方程组为 12．古代劳动人民在实际生活中有这样一个问题：“耠子耧六十三，百根腿地里钻，两者各几何？”其大意为：耠子和耧共有个，共有条腿，问有多少个耠子，多少个耧？（耠子有一条腿，耧有两条腿）设耠子有个，耧有个，则可列出方程组（    ）． A． B． C． D． 13．今有五雀、六燕，集称之衡．雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并雀、燕重一斤．问：雀、燕一枚各重几何？（选自《九章算术》） 题目大意：有5只雀、6只燕，将雀和燕分别聚集到一起称重，聚在一起的雀重，聚在一起的燕轻；若将其中1只雀和1只燕互换位置，则二者轻重相同．已知5只雀和6只燕总重1斤，则1只雀和1只燕分别重多少？ 14．电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少；另外三个群，狗的数量多且数量相同．若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 15．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当．”其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲只羊，那么甲现拥有的羊数就是乙现拥有羊数的倍；如果甲给乙只羊，那么两人现拥有的羊数相等．问甲、乙原各有多少只羊？ 题型四、二元一次方程组应用--和差倍分问题 16．编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲． (1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？（用二元一次方程组的知识解答） (2)为筹备编钟演奏活动，工作人员要采购A，B两种不同材质的编钟配件，A配件每个20元，B配件每个40元，采购这两种配件的预算为100元，在预算全部用完且两种配件都要采购的情况下，共有哪几种采购方案？ 17．有一群鸟，其中一部分在树上欢歌，另一部分在地上觅食．若从地上飞到树上1只，则地上的鸟就是整个鸟群的；若从树上飞到地上1只，则树上、地上的鸟就一样多了．你知道树上、地上各有多少只鸟吗？试列方程组解答． 18．七年级（2）班选出部分同学参加夏令营，分成红、蓝两队，红队戴红帽子，蓝队戴蓝帽子．一个红队队员说：“我看见红队人数与蓝队人数相等．”一个蓝队队员说：“我看见红队人数是蓝队人数的2倍．”求红队人数和蓝队人数． 19．阅读与人文滋养内心．某校开展阅读经典活动，小明3天里阅读的总页数比小颖5天里阅读的总页数少6页，小颖平均每天阅读的页数比小明平均每天阅读页数的2倍少10页．求小明、小颖平均每天各阅读多少页． 题型五、二元一次方程组应用--年龄问题 20．一名裁缝在一棵树下遇见一只乌龟．当乌龟是裁缝现在的年龄时，裁缝只有其现在的年龄的．当树是乌龟现在的年龄时，乌龟只有其现在的年龄的，若三者现在的年龄之和为264岁，则乌龟现在的年龄为（    ） A．55岁 B．66岁 C．77岁 D．88岁 21．小君问叔叔的年龄，叔叔说：“我像你这么大时，你才4岁，你到我这么大时，我就40岁了．”小君和叔叔的年龄分别是（    ） A．8岁、20岁 B．16岁、28岁 C．15岁、27岁 D．9岁、21岁 22．小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 23．在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 题型六、二元一次方程组应用--数字问题 24．宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造，在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值分别是（    ） 3 2 A．，0 B．1， C．，1 D．1，0 25．如图1是2023年12月份的月历，小军同学用“”形框在月历上框出四个数字，将该“”形框上下左右移动，且一定要框住月历中的四个日期，若其中两个日期如图2所示，则m，n的值可能为（    ） A．， B．， C．， D．， 26．幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1）．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图2），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图3的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则（    ）． A．1 B．3 C．5 D．7 27．一个两位数比它个位上的数字与十位上的数字之和的5倍大2．若将它个位上的数字与十位上的数字互换位置，则新得到的数比原来的数大9．求这个两位数． 28．已知的立方根是的算术平方根是2，c的算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 题型七、二元一次方程组应用--图表信息问题 29．下表是某校七年级至九年级某月课外兴趣小组的活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 请将九年级课外兴趣小组的活动次数填入上表． 年级 课外小组活动总时间 文艺小组活动次数 科技小组活动次数 七年级 12.5 4 3 八年级 10.5 3 3 九年级 7 2 2 30．新BA城市争霸赛如火如荼，温州市代表队表现出色，下表是10月11日，温州队所在的组比赛积分表的部分信息： A组积分 排名 队伍 胜负 积分 2 温州队 7胜0负 4 金华队 6胜2负 14分 5 余姚队 5胜3负 13分 6 台州队 4胜4负 12分 (1)求温州队的积分． (2)温州队所在的组共有11支队伍，赛事实行主客场制（每两支队伍之间要进行两场比赛），预计小组赛结束后，积分达到37分，会获得小组冠军，问温州队要获得组第一至少还要胜几场？ 31．郴州市某景区的门票其票价如下： 购票人数 1~49人 50~100人 100人以上 每人门票价 130元 110元 90元 今有甲乙两个旅游团均超过40人，且甲团人数少于乙团人数，两个团合在一起购票，总计支付门票费10080元． (1)这两个旅游团共有多少人？ (2)若两旅游团分别购票，总计应付门票费13140元，请问甲，乙两个旅游团各有多少人？ 32．2020年1月以来，我国受新冠疫情影响，疫情严重地区医疗物资紧缺，“一方有难，八方支援”，某市筹集了大量的医疗物资，用两种型号的货车，分两批运往疫情严重的地区，具体运输情况如下： 第一批 第二批 型号货车的辆数（单位：辆） 1 2 型号货车的辆数（单位：辆） 4 3 累计运送货物的吨数（单位：吨） 34 38 备注：第一批、第二批每辆货车均满载 (1)求、两种型号货车每辆满载分别能运多少吨医疗物资； (2)该市后续又筹集了60吨医疗物资，现已联系了3辆A型号货车，试问至少还需要多少辆型号货车才能一次性将这批医疗物资运往目的地． 33．《国家学生体质健康标准》中明确要求关注身体形态和肥胖状况．体重指数（）是用来衡量人体胖瘦程度的常用参考指标，根据数值将人体胖瘦状况分为体重过低、体重正常、超重、肥胖四种类型． （一）从某校七年级学生中随机抽取男生、女生各20名，测得他们的身高和体重数据，计算出相应的数值，并将数据整理如下： 20名男生胖瘦状况频数分布表  20名女生胖瘦状况条形图 组别 频数    体重过低 3 体重正常 a 超重 4 肥胖 3 （二）由资料知，饮食平衡与适当运动可以有效控制．为保障在食堂就餐学生的营养均衡，学校加强对食堂供餐的管理．已知学校食堂某天午餐的供餐方案：每份午餐含米饭、一份荤菜、两份半荤菜及一份蔬菜．其中每份午餐中蔬菜类食物合计，肉蛋类食物合计，各类菜品配料等具体信息如表一． 【备注：学校食堂采用少油少盐的营养供餐，因此食用油、食盐等配料等的热量和蛋白质忽略不计】 表一 类别 菜名 原材料质量配比 每100克含热量（千焦） 每100克含蛋白质（克） 荤菜 卤鸡腿 鸡腿 840 18 半荤 番茄炒蛋 番茄：鸡蛋 300 6 半荤 花菜炒肉片 花菜：肉片 350 7 蔬菜 清炒空心菜 空心菜 25 主食 米饭 大米 1400 4 （三）该校七年级学生均为13岁—14岁的青少年，我国该年龄段学生的午餐营养标准如表二． 表二 能量需要量（千焦） 蛋白质摄入量（克） 男 女 根据材料解决下列问题： (1)　　　　　　； (2)已知该校七年级男生260人，女生240人．根据以上统计数据，估计该校七年级学生体重正常的人数比例．针对该校七年级学生的胖瘦状况，请你提出一条合理化建议； (3)通过计算，判断该份午餐是否符合七年级男生或女生的午餐营养标准． 题型一、二元一次方程组应用--工程问题 34．某工程队承包了两项工程．第一项工程甲组做了10天、乙组做了8天完成，共获报酬12800元；第二项工程甲组做了8天、乙组做了12天完成，共获报酬13600元．甲、乙两组平均工作一天各应得报酬多少元？ 35．某工程队在一次高速公路修建过程中，不下雨时每天修建，下雨时每天修建，他们连续天共修建了，求这天中有几天不下雨？有几天下雨？（用二元一次方程组解答） 36．某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 37．修建某一建筑时，若请甲、乙两个工程队同时施工，8天可以完成，需付两队费用共3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙队单独做12天可以完成，需付两队费用共3480元，问： (1)甲、乙两队每天费用各为多少？ (2)若单独请某队完成工程，则单独请哪队施工费用较少？ 38．2025年是中国人工智能发展从技术突破迈向全面赋能的关键一年．某汽车制造厂采用了甲、乙两种型号智能机器人进行车身焊缝．已知1台甲型机器人和3台乙型机器人同时工作1小时可完成68米焊缝，3台甲型机器人和2台乙型机器人同时工作1小时可完成92米焊缝． (1)每台甲、乙两种型号机器人每小时分别完成多少米焊缝？ (2)该工厂同一时间内计划部署甲、乙两种机器人共20台，若要确保每小时完成360米的焊缝，问该工厂同一时间内至少需要部署多少台甲型机器人？ 题型二、二元一次方程组应用--几何问题 39．若与互为补角，且是的3倍，则为 ． 40．如图所示，是我校七（1）、（2）两个班级的劳动实践基地的抽象几何模型．两块边长为、的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七（1）、七（2）两个班级的基地面积．若大正方形边长比小正方形边长大2，且大正方形与小正方形边长和为8，则 ． 41．如图①，有若干片相同的拼图，若将其沿相同方向无缝隙拼在一起，它们的底部位于同一条直线上，当分别用片，片拼图时（如图②，③所示），对应的长度分别为，，则片这样的拼图紧密拼成一行时长度为 ． 42．如图，线段，， ，点、分别是线段和线段的中点，求线段的长． 43． 项目主题 制作仿古灯笼 素材1 灯笼、又统称为灯彩，是中国的一种传统工艺品，如图①是一款仿古灯笼． 素材2 用如图②所示的长方形和正方形宣纸作为灯笼的侧面和底面，可制成如图③所示的竖式和横式两种无盖灯笼． 素材3 用现有的纸板裁成如图②的长方形和正方形作为侧面与底面已知一张纸板的裁剪方式有两种（均有余料）、方式一：裁成个长方形与一个正方形：方式二：裁成个长方形与个正方形、现将张硬纸板用方式一裁剪、张硬纸板用方式二裁剪 任务一 设做成的竖式灯笼个，横式灯笼个，根据题意完成表格； 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） ①__________ 正方形宣纸的数量（张） ②___________ 任务二 若使用长方形宣纸张，正方形宣纸张，试求出两种灯笼一共做了多少个？（用含、的代数式表示） 任务三 若两种灯笼共做了个，且所用长方形宣纸的数量是正方形宣纸的，两种灯笼都制作，则两种款式的灯笼分别做了多少个？ 竖式灯笼个 横式灯笼个 长方形宣纸的数量（张） 正方形宣纸的数量（张） 题型三、二元一次方程组应用--利润、营销问题 44．某商场分两次购进A、B两种服装进行销售，由于物价上涨，第二次购进A、B两种服装的进价每件比第一次分别上涨了和，两次购进的数量和费用如下表所示． 购进数量（单位：件） 购进所需费用（单位：元） A种 B种 第一次 12 20 8400 第二次 15 10 6900 (1)求第一次购进A、B两种服装每件的进价分别是多少元． (2)若同种服装的销售单价不变，第一次购进的服装完全卖完后获得利润2960元，第二次购进的服装完全卖完后获得利润1300元，求A、B两种服装每件的售价分别是多少元． 45．某商场经销甲、乙两种畅销产品，甲种产品每件进价50元，乙种产品每件进价80元．为了迎接“双十一购物节”活动，该商场花费12400元提前购进甲、乙两种商品共200件． (1)该商场分别购进甲、乙两种产品多少件． (2)若甲种产品的标价是进价的3倍，每件乙种产品按标价出售可获得利润120元．“双十一购物节”期间，商场对这两种产品进行优惠促销活动：甲种产品每件降价30元，乙种产品打8折出售．将这200件产品卖完后，商场最终获利多少元？ 46．综合与实践 不同方案利润问题的探索 活动背景 某校开展爱心义卖活动，小明和同学们计划推销自己的手工制品．他们以每盒25元的价格购进了6盒卡纸材料，计划全部用于制作手工制品． 活动1手工制品制作方案 方案1：每盒卡纸可以制作10个“创意书签”，或者制作60个“创意贴纸”，每个“创意书签”需搭配3个“创意贴纸”；方案2：每盒卡纸裁剪加工后，可以制作8个“立体贺卡”，每个“立体贺卡”需额外购买元的丝带配件． 活动2义卖方案 方案1：每个“创意书签”售价9元；方案2：每个“立体贺卡”售价12元． 问题解决 任务1 确定“创意书签”的数量 （1）求出方案1中制作“创意书签”的个数． 任务2 不同义卖方案利润相同的探索 （2）当方案1与方案2的利润相同时，求的值． 47．为储备常用物资，某健身馆分三次采购运动毛巾和加厚款瑜伽垫，其中一次采购时正赶上商场周年店庆，这两种商品同时按相同折扣促销，其余两次均按市场单价采购．三次采购的物品数量及总费用如下表： 采购批次 运动毛巾（条） 瑜伽垫（个） 总费用（元） 第一次购物 5 4 300 第二次购物 7 6 396 第三次购物 4 3 230 (1)健身馆以折扣价购买运动毛巾和加厚款瑜伽垫是第_________次购物； (2)分别求出运动毛巾和加厚款瑜伽垫的市场单价； (3)求商场打折促销期间是打几折出售这两种商品的？ 48．某服装店购进一批文化衫和帽子，共件，总进货款为元，这两种商品的进价、预售价如表： 商品 进价(元/件) 预售价(元/件) 文化衫 帽子 (1)求该服装店购进文化衫和帽子各多少件？ (2)若按预售价将文化衫和帽子全部售完，该服装店可获得______元的利润． (3)在实际销售过程中，服装店按预售价将购进的文化衫全部售出，帽子售出一半后，决定将剩余的帽子打折销售，全部售完后，两种商品共获得利润元，求帽子售出一半后是按预售价的几折销售的？ 题型四、二元一次方程组应用--分配问题 49．一张方桌由1个桌面、4条桌腿组成，如果木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有木料，那么用多少立方米木料做桌面、多少立方米木料做桌腿，做出的桌面和桌腿能恰好配成方桌? 50．某学校组织学生夏令营，需要安排宿舍．如果每间宿舍住3人，那么有12人无法住宿；如果每间宿舍住5人，那么就会空出2间宿舍．设宿舍有间，学生有人． (1)请根据题意，列出二元一次方程组； (2)宿舍有多少间？学生有多少人？ 51．某班准备购买笔记本作为奖品，现有甲、乙两种笔记本：甲种每本10元，乙种每本8元． (1)若购买甲、乙两种笔记本共20本，花费180元，求甲、乙两种笔记本各买了多少本？ (2)若购买乙种笔记本的数量比甲种的2倍少5本，且总花费不超过150元，求最多可以购买甲种笔记本多少本？ 答：最多可以购买甲种笔记本7本． 52．一工厂有名工人，要完成套产品的生产任务，每套产品由4个A型零件和3个B型零件配套组成，每个工人每天能加工6个A型零件或者3个B型零件．现将工人分成两组，每组分别加工一种零件，并要求每天加工的零件正好配套． (1)工厂每天应安排多少名工人生产A型零件？每天能生产多少套产品？ (2)现在工厂要在天内完成套产品的生产，决定补充一些新工人，这些新工人只能独立进行A型零件的加工，且每名新工人每天只能加工4个A型零件．请问至少需要补充多少名新工人才能在规定期限完成生产任务？ 53．某酒店客房部有三人间、双人间客房．三人间的价格为元/天，双人间的价格为元/天．为吸引游客，该酒店推出了团体入住五折优惠的活动．一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间．若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费3020元，则该旅游团住了三人间和双人间客房各多少间？ 题型五、二元一次方程组应用--行程问题 54．甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要 55．小华从家里到学校的路是一段上坡路和一段平路．假设他始终保持上坡路每分钟走，平路每分钟走，下坡路每分钟走，则他从家里到学校需，从学校到家里需．试问：小华家离学校多远？ 56．黄河一号旅游公路是山西省以“踏访黄河、文明探源”为主题的文化旅游公路，起点为忻州市偏关县老牛湾村，终点到运城垣曲西哄哄村，全长1200公里，连接起众多名胜古迹与自然景观．暑假小新和小韵沿着此公路自驾游，小新从老牛湾村出发，小韵从哄哄村出发，小新比小韵晚5小时出发，小新出发29小时后两人相遇，两人沿途游玩、休息等消耗的时间均为20小时，小新驾车行驶的速度比小韵慢20公里/时．请分别求出小新和小韵驾车行驶的速度． 57．男、女运动员各一名在环形跑道上练习长跑，男运动员比女运动员速度快，他们从同一起点沿相反方向同时出发，每隔 相遇一次．现在他们从同一起跑点沿相同方向同时出发，经过 男运动员追上女运动员，并且比女运动员多跑圈．求： (1)男运动员的速度是女运动员的多少倍? (2)男运动员追上女运动员时，女运动员跑了多少圈? 58．海中有、、三个小岛，岛在岛正西方距离400海里处（如下图所示），岛在岛的北偏东方向500海里处． (1)用1厘米代表200海里，请根据题意在图中画出岛的位置，并量出图中的长度为 厘米，（四舍五入到个位）；那么、两地的实际距离约为 海里． (2)甲、乙两货轮同时从岛出发，甲沿方向，乙沿方向，10小时相遇，此时甲货轮比乙货轮多行驶了100海里，求甲乙两货轮的速度． (3)若岛需要大米和玉米共30吨，岛需要大米和玉米共50吨，现从岛运输20吨大米与60吨玉米到岛和岛，运输费用共为10600元（每吨的运输费用如下表所示），那么运到岛的大米与玉米各是多少吨？ 到岛的运费（元/吨） 到岛的运费（元/吨） 大米 100 200 玉米 80 150 题型六、二元一次方程组应用--方案问题 59．综合与实践 某学校组织爱心义卖，八（1）班选定一家商店采购钥匙扣和玩偶两种商品，钥匙扣每个4元，玩偶每个2元．为支持爱心事业，该商店推出两种优惠方案： 方案一 购买钥匙扣超过30个时，超过部分享受八折优惠 方案二 购买玩偶满50个时，立减10元 (1)若班委购买了钥匙扣和玩偶各30个，一共花费多少元？ (2)若班委购买了钥匙扣和玩偶共80个，其中钥匙扣超过30个，一共花费244元，则班委购买了钥匙扣和玩偶各多少个？ (3)现有班费266元全部用于购买商品，且同时享受两种优惠方案，请通过计算，求出所有的购买方案． 60．茶叶促销活动前后，，两种茶叶的销量（单位：两）和销售额（单位：元）对比情况如下表．已知促销时茶叶是按原价的八折销售，其打折后的价格与茶叶打折前的价格相同． 茶叶销量 茶叶销量 销售额 打折前 300 200 6900 打折后 500 400 9360 (1)每两，茶叶的原价分别是多少？ (2)促销期间，王阿姨带了96元要买茶叶和打折后为8元的茶叶（两种茶叶的销量均为正整数），若所带的钱刚好用完，请通过计算说明她有几种购买方案． 61．某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A种型号的新能源汽车比购进1辆B种型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A种型号和2辆B种型号的新能源汽车共92万元． (1)求A，B这两种型号的新能源汽车每辆的进价． (2)该品牌新能源汽车店购进A，B两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），费用恰好为560万元．请问该品牌新能源汽车店有几种购进方案？并写出所有可行的方案． 62．列二元一次方程（组）解下列问题： 某学校需要购买篮球、足球，某商店关于购买篮球、足球，有如下三个条件： ①买个篮球、个足球共花费元 ②买个篮球比购买个足球多花费元 ③购买个篮球与购买个足球花费相同 (1)请你从上述三个条件中任选两个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)若要求该学校此次购买篮球、足球恰好共花费元，且每种球类至少有一个，求出满足条件的购买方案． 63．综合与实践 【项目背景】众所周知，对于任意一个二元一次方程，它有无数组解，即二元一次方程的解不确定．但在实际问题中，由于需要满足实际意义，二元一次方程的解受到一定的限制，特别是取自然数解．基于此，我们常常利用二元一次方程的“不定解”来解决一些方案设计问题． 【项目主题】某商店决定购进A，B两种纪念品出售，若购进A种纪念品件，B种纪念品5件，则需要元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品件，则需要元． 任务1：求A，B两种纪念品的购进单价； 任务2：已知商店购进两种纪念品（A，B都要有）共花费元，那么该商店购进这两种纪念品有几种可能的方案？请写出所有的购买方案． 64．定义：对于任意一个四位数，若千位上的数字与十位上的数字之和等于百位上的数字与个位上的数字之和，则称这个四位数为“奥妙数”．例如：3157，因为，所以3157是“奥妙数”；5479，因为，所以5479不是“奥妙数”．若“奥妙数”中，百位数上的数字是十位上的数字的2倍，千位上的数字与个位上的数字之和能被10整除，则满足条件的“奥妙数”为 ． 65．如图，A，B两地由公路和铁路相连，在这条路上有一家食品厂，它到B地的距离是到A地距离的2倍．现该食品厂从A地购买原料，全部制成食品（制作过程中有损耗）卖到B地，两次运输（第一次：A地→食品厂．第二次：食品厂→B地）共支出公路运费15600元，铁路运费20600元．已知公路运费为1.5元/（ km·t），铁路运费为1元/（ km·t）． (1)该食品厂到A地、B地的距离分别是多少千米？ (2)该食品厂买进原料及卖出食品各多少吨？ (3)若该食品厂此次买进的原料每吨花费5000元，该批食品销售完后工厂共获利863800元，求卖出的食品每吨的售价（利润＝总售价－总成本－总运费）． 66．根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子面． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于元 仅一种卡纸有余料剩余 2分 合格 低于元 两种卡纸均有余料剩余 1分 (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸． A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做小灯笼个．已知一张A、B卡纸可分别做小灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼，采购费用低于元）． 67．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他发现不论什么形状的凸多面体．其顶点数、面数、棱数之间存在的一个固定的关系式，被称为多面体欧拉定理．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题． (1)【公式发现】根据上面的多面体模型，完成表格中的空格： 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 ①_____ 2 8 6 12 3 ②_____ 8 12 4 9 8 ③_____ 你发现顶点数、面数和棱数之间存在的关系式_____． (2)[公式运用]如图，请直接写出正十二面体的顶点数和棱数． (3)[公式综合]已知某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和六边形两种多边形排接而成，且有18个顶点，每个顶点处都有4条棱，设该多面体外表面三角形的个数为个，六边形的个数为个，求的值． (4)[定理应用]有一种足球是由数块黑白相间的牛皮缝制而成，黑皮为正五边形，白皮为正六边形，且边长都相等，请利用欧拉公式分别求出正五边形、正六边形个数． 多面体编号 顶点数 面数 棱数 1 4 4 6 2 8 6 12 3 6 8 12 4 9 8 15 68．在平面内，对于和，给出如下定义：若存在一个常数，使得，则称是的“系数补角”．例如，，，有，则是的“系数补角”． 【概念理解】 （1）若，在，，中，的“系数补角”是 ； 【初步认识】 （2）在平面内，，点为直线上一点，点为直线上一点．如图1，点为平面内一点，连接，，，若是的“系数补角”，求的大小． 【问题解决】 （3）连接．点、为直线与直线间的动点（点、不在直线上），， ．是的“系数补角”，当点、在直线异侧时，如图2，的度数为 ；若点、在线段同侧，其他条件不变，在备用图中画出对应的图形，此时的度数为 ． 试卷第2页，共61页 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $