20.1 勾股定理及其应用 专项突破（9大题型全归纳：基础+培优）2025-2026学年 人教版数学 八年级下册

20.1 勾股定理及其应用专项突破（基础+培优） （9大题型全归纳） 【新人教版】 【题型1 用勾股定理解直角三角形（基础）】......................................................................................................1 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】................................................................................................2 【题型3 勾股定理与折叠问题】............................................................................................................................3 【题型4 已知两点坐标求两点的距离】................................................................................................................4 【题型5 勾股定理求最短路径问题 （含将军饮马）】........................................................................................5 【题型6 等腰三角形的存在性问题（动点问题）】..............................................................................................6 【题型7 勾股定理与网格问题（含面积法求高）】..............................................................................................7 【题型8 利用勾股定理求线段的平方和（差）】..................................................................................................8 【题型9 勾股定理的实际应用】............................................................................................................................9 【题型1 用勾股定理解直角三角形（基础）】 【例1】如图，已知，，，，求AC． 【变式1-1】若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【变式1-2】已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【变式1-3】如图，△ABC中，于点，则的长 为______． 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例2】以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A．6 B．36 C．64 D． 【变式2-1】如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 【变式2-2】如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为______． 【变式2-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 【变式2-4】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【题型3 勾股定理与折叠问题】 【例3】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 【变式3-3】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式3-4】如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是__________． 【题型4 已知两点坐标求两点的距离】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 【变式4-2】已知直角坐标平面内三点、和，那么△ABC是___________三角形． 【变式4-3】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 【题型5 勾股定理求最短路径问题】 【例5】如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是________． 【变式5-1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 【变式5-2】如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【变式5-3】如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）． 【题型6 等腰三角形的存在性问题】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，点、点，连接，点D是x轴上一点，若是以为底边的等腰三角形，则D点的坐标为__________． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式6-2】如图，，，点在轴上，且． (1)点的坐标为________； (2)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为9，若存在，请直接写出点的坐标________；若不存在，请说明理由． (3)点在轴上，若以、、三点构成的三角形是等腰三角形，求出点的坐标． 【变式6-3】如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，连接，，． (1)请直接写出点A关于y轴的对称点的坐标为___________，点B关于x轴的对称点的坐标为___________，点C关于原点的对称点的坐标为___________； (2)若点D在x轴上，连接，，请直接写出的最小值为___________； (3)点E为y轴上的动点，当为等腰三角形时，请直接写出点E的纵坐标为___________． 【题型7 勾股定理与网格问题】 【例7】如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使△ABC为等腰三角形，则图中符合条件的格点有______个． 【变式7-1】如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得△ABC，则边上的高为______． 【变式7-2】如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是，B点坐标是，C点坐标是． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点E的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【题型8 利用勾股定理求线段的平方和（差）】 【例8】如图，在△ABC中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【变式8-1】在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【变式8-2】如图，在△ABC中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式8-3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【题型9 勾股定理的实际应用】 【例9】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【变式9-1】如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A．10m B．15m C．26m D．30m 【变式9-3】某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.1 勾股定理及其应用专项突破（基础+培优） （9大题型全归纳） 【新人教版】 【题型1 用勾股定理解直角三角形（基础）】......................................................................................................1 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】................................................................................................3 【题型3 勾股定理与折叠问题】............................................................................................................................7 【题型4 已知两点坐标求两点的距离】................................................................................................................11 【题型5 勾股定理求最短路径问题 （含将军饮马）】........................................................................................13 【题型6 等腰三角形的存在性问题（动点问题）】..............................................................................................16 【题型7 勾股定理与网格问题（含面积法求高）】..............................................................................................21 【题型8 利用勾股定理求线段的平方和（差）】..................................................................................................25 【题型9 勾股定理的实际应用】............................................................................................................................28 【题型1 用勾股定理解直角三角形（基础）】 【例1】如图，已知，，，，求AC． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．先求出，然后根据勾股定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴为直角三角形． ∵， ∴由勾股定理知：． 【变式1-1】若直角三角形的两直角边长分别为，，且满足，则该直角三角形的第三边长为（    ） A．3 B．4 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了非负数的性质，勾股定理．先根据非负数的性质求出m与n的长，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意得，，， 解得：，， ∵，是直角三角形的两直角边， ∴直角三角形的第三条边长为． 故选D． 【变式1-2】已知一个直角三角形的两边长分别为和，则第三边长是（ ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】分为两种情况：斜边是有一条直角边是，和都是直角边，根据勾股定理求出即可． 【详解】解：如图， 分为两种情况：斜边是有一条直角边是， 由勾股定理得：第三边长是； 和都是直角边， 由勾股定理得：第三边长是； 即第三边长是或， 故选：D． 【点睛】本题考查了对勾股定理的应用，注意：在直角三角形中的两条直角边、的平方和等于斜边的平方． 【变式1-3】如图，△ABC中，于点，则的长 为______． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用，根据勾股定理求得的长，再根据三角形的面积公式求得即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【题型2 以直角三角形三边为边长的图形面积】 【例2】以直角三角形的三边为边向外作正方形，其中两个正方形的面积如图所示，则正方形的边长为（   ） A．6 B．36 C．64 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，算术平方根的相关计算，掌握以上知识及计算是解题的关键． 根据题意，正方形A的面积与8的和等于14，可得A得面积，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， ∴正方形的边长为， 故选：D ． 【变式2-1】如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键．先由等腰三角形的性质即勾股定理得出，，再在中由勾股定理得出，最后根据阴影部分面积为进行求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，， 在中，， ∴阴影部分面积为： ， 故选：C． 【变式2-2】如图所示，为直角三角形，半圆内的数字分别为所在半圆的面积，则图中字母A所代表的半圆的面积为______． 【答案】100 【分析】此题考查了圆的面积公式以及勾股定理．根据勾股定理求出面积是A的半圆的直径的平方，进而即可求得半圆的面积A． 【详解】解：∵以为直径的半圆的面积等于400，即， ∴， ∵以为直径的半圆的面积为300， ∴， ∴， 又∵为直角三角形，根据勾股定理得： ， ∴， 则半圆的面积为：． 故答案为：100． 【变式2-3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边长，向外作四个正方形，面积分别为，，，，若，，，则的值是________； 【答案】18 【分析】本题考查勾股定理，解决本题的关键是将面积转化为勾股定理求边长的平方即可．连接，构造和，然后在中利用勾股定理求出，在中求出，进而求得的值． 【详解】解：如图，连接， 在中，， ． 在中，， ， 解得：． 故答案为：18． 【变式2-4】如图，在中，，分别以各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，圆面积的计算等知识点，先根据勾股定理得到三角形的三边关系，再用圆面积的计算方法得到三个半圆的面积的关系，进而求得结论； 【详解】解：∵在Rt△ABC中，, ∴ ∴, ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项B,C,D错误，不符合题意；选项 A正确，符合题意； 故选：A 【题型3 勾股定理与折叠问题】 【例3】如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 由长方形的性质可得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-1】如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设边的长为， ∵四边形是长方形， ∴，，． ， ． 由折叠的性质可知，， ． 在中， ∵， ， 解得， ∴边的长为， 故选：C． 【变式3-2】如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题考查的是折叠问题及勾股定理，由折叠性质可知，设，则，利用勾股定理可以求出最后结果． 【详解】解：为中点， ， 由折叠的性质可知：， 设，则， 在中，， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3-3】如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 【变式3-4】如图，将一张长方形纸片沿折叠，使、两点重合，点落在点处．已知，．则线段的长是__________． 【答案】 【分析】本题考查了长方形与折叠问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 设，则，由折叠的性质得：，，，最后在中，由勾股定理得，即，解出即可． 【详解】解：设，则， 四边形是长方形， ，，， 由折叠的性质得：，，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：，即线段的长为， 故答案为：． 【题型4 已知两点坐标求两点的距离】 【例4】如图，在平面直角坐标系中，已知点，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面内两点间的距离公式，熟记公式是解题的关键．根据两点间距离公式代入求解即可． 【详解】解：∵点，， ∴线段， 故选：B． 【变式4-1】在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（　　） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】本题主要考查了两点间距离公式，根据两点间距离公式进行计算，即可得出答案． 【分析】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为： ． 故选：D． 【变式4-2】已知直角坐标平面内三点和，，那么是_____________三角形． 【答案】等边 【分析】本题考查两点间的距离公式，等边三角形的判定，掌握两点间的距离公式是解题的关键． 由题意根据两点间的距离公式可得的长度，即可对的形状进行判断． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式4-3】阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如．如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知 ，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中的两点，P为x轴上任一点，求的最小值； (3)利用上述两点间的距离公式，求代数式 的最小值是 ． 【答案】(1) (2)的最小值为 (3) 【分析】本题三角形综合题，考查了最短路径，两点间的距离公式，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）由两点间的距离公式可求出答案； （2）利用轴对称求最短路线方法得出P点位置，进而求出的最小值． （3）把看成点到两点和的距离之和，求出两点和的距离便是的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）如图，作点B关于x轴对称的点，直线与x轴的交点即为所求的点P． ∵， ∴， ∴， 即为的最小值为； （3）∵把看成点到两点和的距离之和， ∴两点和的距离便是的最小值， ∴最小值为：， 故答案为：． 【题型5 勾股定理求最短路径问题】 【例5】如图，一个圆柱的高是，底面圆的周长是，一只蚂蚁想从下底面的点A处沿圆柱侧面爬到上底面的点B处，则蚂蚁需要爬行的最短路程是________． 【答案】15 【分析】本题考查了圆柱的侧面展开，最短路径问题，勾股定理，先将圆柱侧面展开，再根据两点之间线段最短可知的长即蚂蚁爬行的最短路程，再利用勾股定理求解即可． 【详解】、 解：圆柱的展开图如图： 根据题意，，，， ∴， 即蚂蚁需要爬行的最短路程是， 故答案为：15． 【变式5-1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3 dm、2 dm，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_________ dm． 【答案】25 【分析】把立体几何图展开得到平面几何图，如图，然后利用勾股定理计算AB，则根据两点之间线段最短得到蚂蚁所走的最短路线长度． 【详解】解：展开图为： 则AC=20dm,BC=3×3+2×3=15（dm）, 在Rt△ABC中， （dm）. 所以蚂蚁所走的最短路线长度为25 dm. 故答案为：25． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，把立体几何图中的问题转化为平面几何图中的问题是解题的关键． 【变式5-2】如图，在底面周长约为6米的石柱上，有一条雕龙从柱底沿立柱表面盘绕2圈到达柱顶正上方，每根华表刻有雕龙的部分的柱身高约16米，则雕刻在石柱上的巨龙至少为（    ） A．20米 B．25米 C．30米 D．15米 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．将圆柱体侧面展开，每圈龙的长度与高度和圆柱的周长组成直角三角形，根据勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意可得，底面周长约为米，柱身高约米， 米，（米）， （米）， 故雕刻在石柱上的巨龙至少为（米）， 故选：A． 【变式5-3】如图，圆柱形容器中，高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为___________m（容器厚度忽略不计）． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开−−−最短路径问题．如图，将容器侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将容器侧面展开，作A关于的对称点，过作交的延长线于D，则四边形为矩形，连接交于F，则即为最短距离． ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿与蚊子相对的点A处， ∴，， ∴在直角中，． 故答案为：． 【题型6 等腰三角形的存在性问题】 【例6】如图，在平面直角坐标系中，点、点，连接，点D是x轴上一点，若是以为底边的等腰三角形，则D点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了两点间距离公式，等腰三角形定义，熟练掌握两点间距离公式，是解题的关键．设，根据两点间距离公式，结合等腰三角形定义，得出，求出m的值，即可得出答案． 【详解】解：设， ∵点、点， ∴， ， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴D点的坐标为． 故答案为：． 【变式6-1】在平面直角坐标系中，已知点，点Q在轴上，是等腰三角形，则满足条件的点Q共有（    ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，平面直角坐标系，熟练掌握以上知识点，学会利用等腰三角形的腰相等进行分类讨论是解题的关键．根据题意，点Q在轴上，是等腰三角形，分3种情况讨论，利用勾股定理表示出和的长，再列方程求出所有满足条件的点Q坐标即可解答． 【详解】解：是等腰三角形，点Q在轴上， 分3种情况讨论： ①若，则； ②若， ， ， 则或， ③若，设，则，， ， 解得：， 则； 综上所述，满足条件的点Q有，，和，共4个． 故选：B． 【变式6-2】如图，，，点在轴上，且． (1)点的坐标为________； (2)在轴上是否存在点，使以、、三点为顶点的三角形的面积为9，若存在，请直接写出点的坐标________；若不存在，请说明理由． (3)点在轴上，若以、、三点构成的三角形是等腰三角形，求出点的坐标． 【答案】(1)或 (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标的计算，等腰三角形的定义，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据两点之间的距离求点B的坐标即可，注意分左右两边讨论． （2）以为底，以点P的纵坐标的绝对值为高，利用面积计算公式求高的值即可； （3）设点，根据两点间距离公式求出，，，然后分：；；讨论即可． 【详解】（1）解：∵，点B在x轴上，且， ∴，， ∴点B的坐标为或， 故答案为：或； （2）解：存在，理由如下： 设点P的坐标为， ∵， ∴， ∴在y轴上存在点或，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为9， 故答案为：或； （3）解：设点， ∵，， ∴，，， 若以、、三点构成的三角形是等腰三角形，则有或或， 当时，， 解得或， ∴Q的坐标为或； 当时，则， 解得或（舍去）， ∴Q的坐标为； 当时，， 解得， ∴Q的坐标为； 综上，∴Q的坐标为或或或． 【变式6-3】如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为，，，连接，，． (1)请直接写出点A关于y轴的对称点的坐标为___________，点B关于x轴的对称点的坐标为___________，点C关于原点的对称点的坐标为___________； (2)若点D在x轴上，连接，，请直接写出的最小值为___________； (3)点E为y轴上的动点，当为等腰三角形时，请直接写出点E的纵坐标为___________． 【答案】(1)；； (2) (3)或或或 【分析】（1）根据点关于坐标轴对称的点的特征和点关于原点对称的点的特征，进行解答即可； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则此时的最小，最小值为的长，然后再根据两点之间的距离公式，计算即可得出答案； （3）根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论：当时，当时，当时，然后结合两点之间的距离公式，计算即可． 【详解】（1）解：∵的三个顶点坐标分别为，，， ∴点A关于y轴的对称点的坐标为，点B关于x轴的对称点的坐标为，点C关于原点的对称点的坐标为； 故答案为：；； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则此时的最小，最小值为的长． 设线段所在的直线的解析式为， ∵关于轴的对称点的坐标为，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： （3）解：∵点E为y轴上的动点， ∴设点E的坐标为， 当时，为等腰三角形， ∵，， ∴， ， ∴，即， 解得：或， ∴当时，点在同一条直线上，不能构成三角形，不符合题意， ∴点E的纵坐标为； 当时，为等腰三角形， 设点E的坐标为， ∵，， ∴， ， ∴可得：，即， 解得：或， ∴点E的纵坐标为或； 当时，为等腰三角形， 设点E的坐标为， ∵，， ∴， ， ∴可得：，即， 解得：， ∴点E的纵坐标为， 综上可得：点E的纵坐标为或或或． 故答案为：或或或 【点睛】本题考查了点关于坐标轴对称的点的特征、点关于原点对称的点的特征、两点之间的距离、两点之间线段最短、等腰三角形的定义、解一元二次方程，解本题的关键在分类讨论，并能正确解一元二次方程． 【题型7 勾股定理与网格问题】 【例7】如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使△ABC为等腰三角形，则图中符合条件的格点有______个． 【答案】5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共4个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，没有符合要求的点． ∴符合要求的C点有5个． 故答案为：5． 【变式7-1】如图，每个小正方形边长都为1，连接小正方形的三个顶点，，，可得△ABC，则边上的高为______． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，由图形，根据勾股定理可得，然后根据三角形的面积和正方形的面积，求得，进而根据等面积法，即可求解． 【详解】解：依题意，， ， ∴边上的高为， 故答案为：． 【变式7-2】如图，△ABC的三个顶点都在方格纸的格点上，其中点A的坐标是，B点坐标是，C点坐标是． (1)作△ABC关于y轴对称的图形，A、B、C的对应点分别为D、E、F，并写出点E的坐标； (2)求△ABC的面积； (3)在y轴上找一点P，使的值最小，并求出的最小值． 【答案】(1)图见解析， (2) (3)图见解析， 【分析】本题考查的是作图——轴对称变换，轴对称——最短路径问题，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据轴对称的性质作出，然后写出点E的坐标即可； （2）用割补法求解即可； （3）根据轴对称——最短路径确定点的位置，根据勾股定理求出最小值． 【详解】（1）解：关于轴的对称图形，如图所示，； （2）解： ； （3）解：如图，连接交轴于点，则的值最小，最小值是的长， 由勾股定理得，， ∴的最小值为． 【题型8 利用勾股定理求线段的平方和（差）】 【例8】如图，在△ABC中，． (1)求证：； (2)当，，时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】本题考查了勾股定理和平方差公式的相关证明和计算及解二元一次方程组，熟练掌握和运用勾股定理是解决问题的关键． （1）在和中，分别运用勾股定理可得，，利用边相等，联立两式移项即得证． （2）根据第一问的结论，可求出的值，利用平方差公式，结合，可求得，而，由此可求得、，由勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明： ， 在和中，根据勾股定理得， ，， ， 移项得：． 故． （2）解： ，， ， ， ，即， ， ，解得， ， ． 【变式8-1】在中，斜边，则的值是（   ） A．100 B．200 C．300 D．400 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方． 先画图，再利用勾股定理可求的值，从而求的值． 【详解】解：如图所示，    在中，， 又， ， ， 故选：B． 【变式8-2】如图，在△ABC中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式8-3】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂美四边形的性质，勾股定理的运用即可求解，本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理的计算是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形，即， ∴在中，，在中，， ∴， 在中，，在中，， ∴， ∴， 故选：． 【题型9 勾股定理的实际应用】 【例9】一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米， (1)这个梯子的顶端距地面有多高？ (2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？ 【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米 (2)梯子的底端在水平方向滑动了8米 【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键． （1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度； （2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离． 【详解】（1）解：根据勾股定理： 梯子顶端距离地面的高度为：； （2）梯子下滑了4米， 即梯子顶端距离地面的高度为：米， 根据勾股定理得：米， ． 即梯子的底端在水平方向滑动了8米． 【变式9-1】如图，在离水面点A高度为的岸上点处，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为，此人以的速度收绳，后船移动到点的位置，则船向岸边移动了（   ）（假设绳子是直的） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的运用，熟练掌握勾股定理，求出和的长是解题的关键．由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可解决问题． 【详解】解：在中，，，， ， 此人以的速度收绳，后船移动到点的位置， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即船向岸边移动了， 故选：A． 【变式9-2】如图，一棵大树在一次强台风中于离地面10m处折断倒下，倒下部分的树梢到树的距离为24m，则这棵大树折断处到树顶的长度是（　　） A．10m B．15m C．26m D．30m 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出大树折断部分的高度即可求解． 【详解】】解：如图所示： ∵△ABC是直角三角形，AB=10m，AC=24m， 故选C 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，解答此题的关键是先根据勾股定理求出BC的长度． 【变式9-3】某市规划修建铁路，并将火车始发站定于B处．已知始发站B位于小区A的东北方向，位于商场C 的北偏西方向，且距离为米，小区A位于商场C的南偏西方向．火车在行驶的过程中，以火车头为圆心，半径为米的范围内都会受到噪音干扰．火车从始发站B出发，以米秒的速度沿铁路低速行驶． (1)请问A小区是否会受到噪音干扰？若受到干扰，干扰的时间有多长？(结果保留整数，参考数据： (2)火车从始发站出发时，小明开车从小区沿正南方向以10米／秒的速度出发，小明出发多久后会受到噪音影响？ 【答案】(1)A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒 (2)小明出发4秒后会受到噪音影响 【分析】（1）过作于，过点B作于H，根据题意得，，根据含30度和45度直角三角形的性质求出米，得到，于是得到小区会受到噪音干扰，设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束，连接，，根据勾股定理即可得到结论． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，此时行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则，，则，，利用勾股定理得到，从而得到得到关于t的方程，即可得解． 【详解】（1）解：过作于，过点B作于H， 由题意得，，， ， ，米， (米， ∴米， ， ， 小区会受到噪音干扰， 设火车到点小区开始受到噪音干扰，到点小区受到噪音干扰结束， 连接，， 则米， 米， (米， (米， 干扰的时间(秒， 答：A小区会受到噪音干扰，干扰的时间有10秒． （2）假设当小明开始受影响时行到E处，火车行到F处，则此时米， 又设小明出发t秒后会受到噪音影响，则， 又∵ ∴， ∵， ∴，即， 解得：， 答：小明出发4秒后会受到噪音影响． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确地找出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $