第20章勾股定理单元测试卷 2025-2026学年人教版数学八年级下册

2026年人教版八年级数学下册.第20章勾股定理单元测试卷 一、单选题 1．如图，这是一个台阶的示意图，每一层台阶的高是、长是、宽是，一只蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度是（ ） A． B． C． D． 2．下列条件能判定△ABC是直角三角形的是（ ） A． B． C． D． 3．如图，长为的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升至D点，则橡皮筋被拉长了（ ） A． B． C． D． 4．如果梯子的底端离建筑物，那么长的梯子可以达到该建筑物的高度是（） A． B． C． D． 5如图，在△ABC中，，的垂直平分线交于点，连接．若，，则的长为（ ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，交于点．若，则的长为（ ） A． B． C． D． 7．若实数m，n满足，且m，n恰好是的两条边长，则第三条边长为（ ） A．10 B． C．10或 D．以上都不对 8．将一副直角三角板和一把宽度为2cm的直尺按如图方式摆放：先把和角的顶点及它们的直角边重合，再将此直角边垂直于直尺的上沿，重合的顶点落在直尺下沿上，这两个三角板的斜边分别交直尺上沿于，两点，则的长是（ ） A． B． C．2 D． 9．一根高为的旗杆在离地的位置折断，折断处仍相连，此时身高为的小明在离旗杆处玩耍（ ） A．没有危险 B．有危险 C．可能有危险 D．无法判断 二、填空题 10．如图，一架长的梯子斜靠在一面竖直的墙上，这时，梯子底端距墙底端距离，如果梯子的顶端沿墙下滑，则梯子底端将向外移______． 11．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形， 所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B的面积分别为5，3， 则正方形C的面积是________． 12．若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足，则这个三角形按形状分类是______三角形． 13．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 14．如图，甲，乙两船同时从港口O出发，甲以20海里/时的速度向南偏东方向航行，乙船向南偏西方向航行，已知它们离开港口两小时后，两船相距50海里，则乙船的速度为______海里/时． 15．如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，则固定点B、C之间的距离为_____米． 三、解答题 16．如图，已知△ABC，，，点是△ABC外一点，，，的面积为35，求的面积． 17．如图，正方形方格中的每个小正方形的边长都是1，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． (1)在图1中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且三边都为有理数． (2)在图2中，作一个直角三角形，使得三角形的顶点都在格点上，且斜边的长为，另两条直角边均为无理数． 18．如图，在中，，，，求的长． 19．如图，在△ABC中，，于点D，，，．请求出△ABC的面积和CD的长． 20．由于过度采伐森林和破坏环境，使我国某些地方多次受到沙尘暴侵袭．近日A市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400km的B处，正在向西北方向转移（如图16所示），距沙尘暴中心300km的范围内将受其影响．问A市是否会受到这次沙尘暴的影响？ 参考答案 1．C 【分析】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是把平面展开，在根据勾股定理，即可． 【详解】平面展开，如下： ∴在中，（）， ∴蚂蚁沿台阶从点出发爬到点，其爬行的最短线路的长度为：． 故选：C． 2．B 【分析】本题主要考查三角形内角和及勾股定理逆定理，熟练掌握三角形内角和及勾股定理逆定理是解题的关键；通过计算三角形内角和，勾股定理逆定理来判断各选项即可得解． 【详解】解：设， ， ， 解得， ， 不是直角三角形， 故选项不符合题意； ∵， ， ， ， ，， ∴△ABC是直角三角形． 故选项符合题意； ， ∴不满足三角形三边关系， 故不能构成三角形． 故选项不符合题意； ， ， 不是直角三角形， 故选项不符合题意； 故选：． 3．C 【分析】根据题意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm，根据等腰三角形的性质可得CD⊥AB，AC=6cm，再根据勾股定理可得AD的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：CD=8cm，AD=BD，AB=12cm， ∵点C为AB的中点， ∴CD⊥AB，AC=6cm， ∴， ∴橡皮筋被拉长了． 故选：C 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理是解题的关键． 4．B 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，将实际问题转化成勾股定理的问题是解题的关键． 由梯子、地面和建筑物构成直角三角形，梯子为斜边，底端距离为一条直角边，高度为另一条直角边，再利用勾股定理计算高度即可． 【详解】解：设梯子可以达到建筑物的高度为米． ∵梯子长，底端离建筑物， ∴由勾股定理，得，即， 解得：． 故选B． 5．D 【分析】本题考查垂直平分线的性质以及勾股定理，熟练运用勾股定理是解题关键． 根据勾股定理求出，再利用垂直平分线的性质求出，即可得到答案． 【详解】解：，，， ， 的垂直平分线交于点， ， ； 故选． 6．C 【分析】本题考查了直角三角形性质，等腰三角形判定与性质，熟知相关知识并根据题意灵活应用是解题关键．根据等腰三角形性质得，进而得，根据得，则，在中，根据得，由此即可得出的长． 【详解】解：在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴的长为． 故选：C． 7．C 【分析】本题考查的是勾股定理、非负数的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么． 根据非负数的性质分别求出m、n，分8是直角边、8是斜边两种情况，根据勾股定理计算得到答案． 【详解】， 且， ， 当8是直角边长时，斜边长为；当8是斜边长时，另一条直角边长， 综上，第三条边长为10或， 故选：C． 8．B 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得，由含30度角直角三角形的性质可得，由勾股定理可得的长，即可得到结论． 【详解】解：如图，在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，含角直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 9．B 【分析】此题主要考查勾股定理的应用，关键是构建直角三角形模型，再利用勾股定理进行解题． 构建模型进行解题，如图，折断旗杆高为，离旗杆，小明高，此时只要计算的长，即可判断小明是否有危险． 【详解】解：如图所示， ，， 由勾股定理得：， ∴此时在离旗杆处玩耍的身高为的小明有危险， 故选：B． 10． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理求出的长，进而得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，，， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， ， 即梯子底端将向外移， 故答案为：． 11．8 【分析】分别设三个正方形A，B，C的边长为x，y，z，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：设正方形A、B、C的边长分别为x、y、z， 由勾股定理得：， ∴正方形C的面积是8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 12．直角 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，绝对值和算术平方根的非负性，解题的关键是掌握以上知识点． 利用非负数的性质求出三角形的三边长，再根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状． 【详解】解：∵，且，，， ∴，，， 解得，，， ∵，， ∴， ∴该三角形是直角三角形，边为斜边． 故答案为：直角． 13．/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 14．15 【分析】本题考查勾股定理，方向角的概念，关键是应用勾股定理求出的长．由勾股定理求出的长，即可解决问题． 【详解】解：由条件得：(海里)，(海里)， 而， ∴ (海里)， ∴乙船的速度是(海里/时)． 故答案为：15． 15．21 【分析】根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°， ∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米， ∴BD＝（米），DC＝（米） ∴BC＝BD+DC＝5+16＝21（米）， 故答案为：21． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16．24 本题考查了三角形的面积，勾股定理的逆定理的应用，解此题的关键是求出△ABC是直角三角形．根据三角形面积求出，推出、的平方和等于的平方，求出，根据三角形面积公式求出即可． 的面积为， 17．(1)见解析 (2)见解析 本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）作一个两直角边的长分别为3和4的直角三角形即可； （2）作一个三边长分别为，和的三角形即可． （1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 18． 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此解答即可． 【详解】解：在中，，，， ． 答：的长为． 19．△ABC的面积为，CD的长为cm 【分析】根据直角三角形面积公式即可求解三角形的面积，再根据直角三角形面积的两种计算方法求出斜边上的高． 【详解】解：∵∠ACB=90 ∴ ∵ ∴ ∴ 答：△ABC的面积为，CD的长为cm． 【点睛】本题考查直角三角形的性质及其面积公式，解题的关键是熟知三角形面积不变． 20解：过点A作AC⊥BD交BD于点C，设km，则km． 在Rt△ABC中，由勾股定理，可得 ，即， 解得．即． 因为200300km． 所以A市将受到这次沙尘暴的侵袭． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $