专题04矩形同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年湘教版八年级数学下册

本讲义聚焦矩形这一核心知识点，从平行四边形基础引入，系统梳理矩形的定义、性质（四个角直角、对角线相等）、判定（定义法、对角线相等的平行四边形等）及常用结论（如直角三角形斜边中线定理），并明确易错点，构建从基础到综合的学习支架。 资料通过13类题型分层设计，典例与跟踪专练结合，如折叠问题、坐标系坐标求解等，培养学生几何直观与空间观念（数学眼光），强化推理能力（数学思维），规范几何语言表达（数学语言）。课中助力教师分层教学，课后便于学生针对性练习，查漏补缺。

专题04矩形同步讲义 【题型01 矩形的性质理解】...............................................2 【题型02 利用矩形性质求角度】...........................................3 【题型03 利用矩形性质求线段长】.........................................4 【题型04 利用矩形的性质求面积】.........................................5 【题型05 利用矩形性质证明】.............................................6 【题型06 求矩形在坐标系中的坐标】.......................................7 【题型07 矩形折叠问题综合探究】.........................................8 【题型08 矩形的判定定理理解】...........................................9 【题型09 添条件使四边形是矩形】........................................10 【题型10 证明四边形是矩形】............................................10 【题型11 矩形性质与判定综合:求角度】....................................11 【题型12 矩形性质与判定综合:求线段长度】................................12 【题型13 矩形性质与判定综合:求图形面积】................................13 【解答题5题】..........................................................14 ★知识梳理 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 几何语言：在▱ABCD中，若∠A=90∘，则是矩形。 本质：矩形是特殊的平行四边形，特殊在 “有一个角是直角”。 知识点02:矩形的性质 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下特殊性质 文字语言 几何语言 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形中常用结论 1.矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形 2.若矩形对角线夹角为 60°/120°，则必出现等边三角形 3.直角三角形推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且平分推导而来） 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 易错点 1.混淆 “矩形的对角线相等” 与 “平行四边形的对角线互相平分”，忽略矩形对角线相等的特殊性。 2.判定时误用 “对角线相等的四边形是矩形”，必须强调先满足平行四边形，再加上对角线相等才是矩形。 3.忽略直角三角形斜边中线定理的前提：必须是直角三角形，且中线在斜边上 【题型1.矩形的性质理解】 【典例】矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是__________． 【跟踪专练2】若矩形的两条邻边分别为6和，对角线长为，则该矩形的面积为________． 【跟踪专练3】如图，在矩形ABCD中，点E从点B开始，沿矩形的边运动，，，连接CE与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，连接OF，则OF长度的最大值是（ ）． A．1 B． C．2 D． 【题型2.利用矩形性质求角度】 【典例】李老师利用如图所示的教具讲解平行四边形及特殊的平行四边形的知识，四根木条可绕四边形四个顶点处的铆钉转动，当矩形变为（）的四边形时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为______． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是________． 【跟踪专练3】在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） . A． B． C． D． 【题型3.利用矩形性质求线段长度】 【典例】如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【跟踪专练1】如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为____________． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线，，则的长为________． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【题型4.利用矩形的性质求面积】 【典例】如图求出图中阴影部分的面积______．    【跟踪专练1】一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是____________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则（    ） A． B． C． D． 【题型5.利用矩形的性质证明】 【典例】如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为________． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【跟踪专练2】如图，E是矩形的边上一点，，P是对角线上任意一点，，垂足分别为F和G，则一定与图中哪条线段的长度相等：_____． 【跟踪专练3】如图，矩形ABCD的对角线相交于点E，延长BA至点F，使．此时，连接EF，交AD于点G，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④若点H是线段FG的中点，则为等腰直角三角形 A．4 B．3 C．2 D．1 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______ ． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【跟踪专练3】如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【题型7.矩形折叠问题综合探究.】 【典例】如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为______． 【跟踪专练1】如图所示，将一张矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是__________． 【跟踪专练3】将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【题型8.矩形的判定定理理解】 【典例】对角线相等的平行四边形是___．（从“菱形”“矩形”中选填） 【跟踪专练1】如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【跟踪专练3】如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（    ） A．15 B．10 C． D．5 【题型9.添条件使四边形是矩形】 【典例】如图，四边形是平行四边形，当______时，是矩形．（只能添加一个条件） 【跟踪专练1】如图，在四边形中，对角线与相交于点，．添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【跟踪专练3】如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【题型10.证明四边形是矩形】 【典例】如图，在中、相交于点，，当 ____时，是矩形． 【跟踪专练1】如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【跟踪专练2】如图，是内部一点，，且，，依次取、、、的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是______． 【跟踪专练3】如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是（   ） A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 【题型11.矩形性质与判定综合:求角度】 【典例】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【跟踪专练1】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【跟踪专练2】如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型12.矩形性质与判定综合:求线段长度】 【典例】如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为______． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【跟踪专练3】如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【题型13.矩形性质与判定综合:求图形面积】 【典例】如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【跟踪专练1】如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．48 【跟踪专练2】矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 【跟踪专练3】如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【解答题】 1．如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 2．如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 3．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 4．如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 5．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线， (1)如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花． (2)如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04矩形同步讲义 【题型01 矩形的性质理解】...............................................2 【题型02 利用矩形性质求角度】...........................................5 【题型03 利用矩形性质求线段长】.........................................8 【题型04 利用矩形的性质求面积】........................................11 【题型05 利用矩形性质证明】............................................14 【题型06 求矩形在坐标系中的坐标】......................................18 【题型07 矩形折叠问题综合探究】........................................22 【题型08 矩形的判定定理理解】..........................................25 【题型09 添条件使四边形是矩形】........................................28 【题型10 证明四边形是矩形】............................................31 【题型11 矩形性质与判定综合:求角度】....................................34 【题型12 矩形性质与判定综合:求线段长度】................................36 【题型13 矩形性质与判定综合:求图形面积】................................40 【解答题5题】..........................................................44 ★知识梳理 知识点01:矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（也叫长方形）。 几何语言：在▱ABCD中，若∠A=90∘，则是矩形。 本质：矩形是特殊的平行四边形，特殊在 “有一个角是直角”。 知识点02:矩形的性质 矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还有以下特殊性质 文字语言 几何语言 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 判定方法 文字语言 几何语言 定义法 有一个角是直角的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 对角线判定 对角线相等的平行四边形是矩形 在 □ABCD 中，∵AC=BD ∴ 矩形 ABCD 角判定 三个角是直角的四边形是矩形 在四边形 ABCD 中，∵∠A=∠B=∠C=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点04:矩形中常用结论 1.矩形对角线把矩形分成四个等腰三角形 2.若矩形对角线夹角为 60°/120°，则必出现等边三角形 3.直角三角形推论： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（由矩形对角线相等且平分推导而来） 符号语言：在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 为 AB 中点，则 CD=AB。 易错点 1.混淆 “矩形的对角线相等” 与 “平行四边形的对角线互相平分”，忽略矩形对角线相等的特殊性。 2.判定时误用 “对角线相等的四边形是矩形”，必须强调先满足平行四边形，再加上对角线相等才是矩形。 3.忽略直角三角形斜边中线定理的前提：必须是直角三角形，且中线在斜边上 【题型1.矩形的性质理解】 【典例】矩形具有而平行四边形不具有的性质是（    ） A．对角相等 B．对角互补 C．对边相等 D．对角线互相平分 【答案】B 【分析】本题考查矩形和平行四边形的性质：矩形是特殊的平行四边形，除具备平行四边形的性质外，还具有对角线相等、四个角均为直角等特有性质．根据矩形和平行四边形的性质，逐一分析选项． 【详解】解：选项A：对角相等 平行四边形的对角相等，矩形作为平行四边形的一种，同样满足此性质．因此A是两者共有的性质，排除． 选项B：对角互补 矩形对角互补，但平行四边形对角不一定互补，故B符合题意． 选项C：对边相等 平行四边形和矩形的对边均相等，因此C是两者共有的性质，排除． 选项D：对角线互相平分 平行四边形的对角线互相平分，矩形作为平行四边形，同样满足此性质．因此D是两者共有的性质，排除． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是__________． 【答案】4 【分析】根据矩形性质得出∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，推出OA＝OB，求出等边三角形AOB，求出OA＝OB＝AB＝2，即可得出答案． 【详解】解：∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4 故答案为：4． 【点睛】本题考查了矩形的性质和等边三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出OA、OB的长． 【跟踪专练2】若矩形的两条邻边分别为6和，对角线长为，则该矩形的面积为________． 【答案】48 【分析】先根据矩形的性质，运用勾股定理列方程求得x，然后确定两邻边，最后确定矩形的面积即可． 【详解】解：∵矩形的两条邻边分别为6和，对角线长为 ∴，解得： ∴矩形的两条邻边分别为6和8 ∴该矩形的面积为． 故答案为48． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，掌握矩形的四个内角都为直角是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，在矩形ABCD中，点E从点B开始，沿矩形的边运动，，，连接CE与对角线BD相交于点N，F是线段CE的中点，连接OF，则OF长度的最大值是（ ）． A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据三角形中位线定理,可得OF=EA,当点E在AB上运动时,EA逐渐变小,当点E在AD上运动时,EA逐渐变大,当与点D重合时,最大,解答即可． 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴OA=OC， ∵F是线段CE的中点， ∴OF是△ACE的中位线， ∴OF=EA， 当点E在AB上运动时,EA逐渐变小,OF不会有最大值； 当点E在AD上运动时,EA逐渐变大,当点E与点D重合时,AD最大，且AD=4， ∴OF的最大值时2， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，分类思想，熟练掌握三角形中位线定理是解题的关键． 【题型2.利用矩形性质求角度】 【典例】李老师利用如图所示的教具讲解平行四边形及特殊的平行四边形的知识，四根木条可绕四边形四个顶点处的铆钉转动，当矩形变为（）的四边形时，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质：对边平行，熟记相关结论是解题关键．根据即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∴ 故选：C 【跟踪专练1】如图，矩形中，、相交于点O，过点A作的垂线，垂足为E．已知，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、角的计算；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由矩形的性质得出，再由已知条件得出，再根据直角三角形的两个锐角互余可得，最后再根据矩形的对角线互相平分且相等可得，进而可得，由此即可得出结果． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ∵， ， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ， ∴的度数为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，依据尺规作图的痕迹，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，尺规作图作角平分线，尺规作图作垂线，角平分线的性质，平行线的性质．先根据矩形的性质得到，由作图痕迹得到，，则，最后根据平行线的性质作答即可． 【详解】解：如图，∵矩形， ∴， 由作图痕迹可知平分， ∴， 由作图痕迹可知垂直平分， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】在矩形中，对角线、相交于点的角平分线交于点，若，则的度数是（   ） . A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、角平分线的定义，关键是矩形性质的应用；根据矩形的性质可得，结合，可得的度数，又根据角平分线的定义可得的度数，则可求． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故选：B ． 【题型3.利用矩形性质求线段长度】 【典例】如图，矩形中，对角线，交于点O．若，则的长为（   ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形对角线的性质，从而完成求解．根据矩形的对角线相等且互相平分的性质计算， 得，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为矩形，， ∴． 故选：B． 【跟踪专练1】如图，是矩形对角线的中点，是的中点，，则的长为____________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得出，，，则，运用勾股定理得，即可作答． 【详解】解：∵是矩形对角线的中点，是的中点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，矩形的对角线，，则的长为________． 【答案】2 【分析】由矩形的性质得，由等边三角形的判定及性质得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ． 【跟踪专练3】如图，在长方形中，，，P是上一个动点，于E，于，则的值为（   ） A．2.3 B．2.4 C．2.5 D．2.6 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理．设的交点为O，根据勾股定理，得到，继而得到，，根据，解答即可． 【详解】解：设的交点为O， ∵矩形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 【题型4.利用矩形的性质求面积】 【典例】如图求出图中阴影部分的面积______．    【答案】 【分析】根据题意，运用勾股定理求出的长，再根据矩形的面积计算公式即可求解． 【详解】解：如图所示，    ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，掌握勾股定理计算线段长是解题的关键． 【跟踪专练1】一个矩形被分成不同的4个三角形，其中绿色三角形的面积占矩形面积的，黄色的三角形的面积是21，则该矩形的面积为（）    A．60 B．70 C．120 D．140 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质以及面积的计算；关键是根据图得出黄色和绿色部分共占总面积的，再找出黄色面积占总面积的百分之几，进而根据除法的意义求解．黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的，而绿色三角形面积占矩形面积的，所以黄色三角形面积占矩形面积的，已知黄色三角形面积是21，用除法即可得出矩形的面积． 【详解】解：黄色三角形与绿色三角形面积之和是矩形面积的， 矩形的面积， ， ， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，为直线上一点，平移至，连接，，则四边形的面积是____________． 【答案】40 【分析】本题考查了矩形的性质，解题的关键是利用“同底等高的两个三角形面积相等”求出的面积． 先根据矩形的性质得到，再根据平移至可得，四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求出四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵四边形为矩形， ， ， ∵平移至， ∴四边形是平行四边形， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，P为上任一点，过点P作于点E，于点F，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形的性质，三角形面积及勾股定理，解题关键是通过转化思想，根据三角形面积的不同计算方法列方程解决． 由，，根据即可求解． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，知 ，， 又，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【题型5.利用矩形的性质证明】 【典例】如图，在矩形中，与相交于点，，，则的长为________． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理．根据矩形的性质得，，证明是等边三角形得，然后利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴． ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，对角线相交于点，过点的直线分别交边于点，若，则图中阴影部分的面积为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】此题考查了矩形的性质，勾股定理以及全等三角形的判定和性质，首先根据题意得出矩形的面积，然后结合矩形的性质证明，得、的面积相等，从而将阴影部分的面积转化为的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴，， 在中， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【跟踪专练2】如图，E是矩形的边上一点，，P是对角线上任意一点，，垂足分别为F和G，则一定与图中哪条线段的长度相等：_____． 【答案】或 【分析】连接， 根据，，，可得，根据矩形的性质可得，根据三角形面积相等即可解得． 【详解】证明：连接，如图 ∵，，， ∴ ， 又∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴ ， ∴． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了矩形的性质，面积法求线段的数量关系，连接，用两种方法表示出的面积是解答本题的关键． 【跟踪专练3】如图，矩形ABCD的对角线相交于点E，延长BA至点F，使．此时，连接EF，交AD于点G，则下列结论中正确的个数是（    ） ①；②；③；④若点H是线段FG的中点，则为等腰直角三角形 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据矩形的性质，对给出的结论逐一证明分析即可判断． 【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°， ∴∠FAD＝90°， ∵AF＝AD， ∴∠AFD＝∠FDA＝45°， ∵FB＝FD， ∴∠FBD＝∠FDB＝67.5°， ∴∠ADB＝67.5﹣45＝22.5°，故①错误； ②∵四边形ABCD是矩形， ∴BE＝DE， ∵BF＝FD， ∴FE⊥BD，故②正确； ③∵四边形ABCD是矩形， ∴∠FAD＝90°， ∵AF＝AD， ∴∠AFD＝∠FDA＝45°， ∴， ∴DF＝AF，故③正确； ④如图， ∵H是FG的中点，∠FAG＝90°， ∴FH＝GH＝AH， ∴∠AFH＝∠FAH． ∵∠AFD＝45°，FE平分∠AFD， ∴∠AFH＝∠FAH＝22.5°， ∴∠AHG＝45°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°， ∴∠AEB＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∴∠AEG＝∠AHG＝45°， ∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形的性质，熟记矩形的性质定理并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角； ③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 【题型6.求矩形在坐标系中的坐标】 【典例】如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，，点在轴上，则点的坐标为______ ． 【答案】 【分析】由两点距离公式可求的长，由矩形的性质可求，即可求解． 【详解】解：连接， 点，， ， 四边形是矩形， ， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，掌握矩形的对角线相等是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，四边形是矩形，其中点和点分别在轴和轴上，连接，点的坐标为，的平分线与轴相交于点，则点的坐标为__________．    【答案】 【分析】利用勾股定理求出，作于点E，如图，根据角平分线的性质可得，证明，推出，得到，设，利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形，点的坐标为， ∴， ∴， 作于点E，如图， ∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 即，解得， ∴点的坐标为； 故答案为：．    【点睛】本题考查了矩形的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、构建方程是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若，，与的交点为E，则C的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设，，利用中点坐标公式，建立等式，根据矩形的对角线相等，利用两点间距离公式建立新等式，解答即可． 本题考查了坐标的特点，中点坐标公式，两点间距离公式，矩形的性质，熟练掌握公式和性质是解题的关键． 【详解】解：由轴，，， 不妨设，， 由矩形， 故点E是与的中点，且， 故，或， 同一点的坐标是相同的， 故， 故， 故 故， 解得， 故， 故选：A． 【题型7.矩形折叠问题综合探究.】 【典例】如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，先根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，根据折叠得出，，，再利用勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3 【跟踪专练1】如图所示，将一张矩形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点处，折痕为，若，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形的性质，三角形的外角定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质是解题的关键． 利用求，根据折叠性质求，根据三角形外角性质求解即可． 【详解】解：由折叠的性质知，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴, ∵, ∴ 故选：D． 【跟踪专练2】如图，矩形沿折叠，使点D落在点E的位置，与相交于点F，若，，则的长是__________． 【答案】 【分析】根据矩形与折叠的性质，证明，得出，设，根据勾股定理建立等式，代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴的长为． 【跟踪专练3】将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 【题型8.矩形的判定定理理解】 【典例】对角线相等的平行四边形是___．（从“菱形”“矩形”中选填） 【答案】矩形 【分析】根据矩形的判定定理即可求得答案． 【详解】对角线相等的平行四边形是矩形． 故答案为：矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，李师傅在做门窗时，已经测得门窗是平行四边形后，常常还要测量它们的两条对角线是否相等，以确保图形是矩形，其中的道理（    ） A．有一个角是直角的平行四边形是矩形 B．两点确定一条直线 C．对角线相等的平行四边形是矩形 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，进行判断即可． 【详解】解：由题意得，其中的道理是对角线相等的平行四边形为矩形． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，点D在边上，，，则当_______时，四边形是矩形．    【答案】45° 【分析】先证明四边形是平行四边形，结合矩形的性质，可得∠A=90°，进而即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵当四边形是矩形时，∠A=90°， 又∵， ∴∠C= ． 故答案是：45°． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的性质是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在中，M是边的中点，且，，若的周长为30，则的长为（    ） A．15 B．10 C． D．5 【答案】D 【分析】先证明，根据平行四边形的性质，得，再证明，得到矩形，解答即可． 本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形性质，三角形全等的判定和性质，矩形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵在中，M是边的中点， ∴，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵的周长为30， ∴， 解得， 故选：D． 【题型9.添条件使四边形是矩形】 【典例】如图，四边形是平行四边形，当______时，是矩形．（只能添加一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的判定定理，熟练掌握矩形的判定定理是解题关键．根据矩形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：若使是矩形，可添加的条件是：或或或（有一个角是直角的平行四边形是矩形）， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，对角线与相交于点，．添加下列条件，可以判定四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形，矩形的判定，掌握其判定方法是关键． 根据题意可得四边形是平行四边形，再结合矩形的判定方法即可求解． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形， A、添加，不能判定平行四边形是矩形，不符合题意； B、添加， ∴， 根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，得到平行四边形是矩形，符合题意； C、添加， 根据对角线相互垂直的平行四边形是菱形， ∴不能判定平行四边形是矩形，不符合题意； D、添加，由四边形是平行四边形得，， ∴， ∴平行四边形是菱形，不能判定平行四边形是矩形，不符合题意； 故选：B ． 【跟踪专练2】如图，在中，，，分别是，和边的中点．请你添加一个条件，使四边形为矩形．你添加的条件是____________（写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定是解题的关键． 由三角形中位线定理得，，则四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】解：添加的条件可以是，理由如下： ∵分别是和边的中点， ∴都是△ABC的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形为矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练3】如图，是四边形的两条对角线，顺次连接四边形各边中点得到四边形，要使四边形为矩形，应添加的条件是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查中点四边形，涉及三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识，熟记三角形中位线的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识是解决问题的关键． 先由中点四边形相关条件，由三角形中位线的判定与性质得到，且；，且；，且；，且，进而判定四边形为平行四边形，再由矩形的判定定理即可确定答案． 【详解】解：是四边形的两条对角线，是四边形各边的中点， 是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线， 则，且；，且；，且；，且， ，且， 四边形为平行四边形， 当时，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， 综上所述，要使四边形为矩形，应添加的条件是， 故选：B． 【题型10.证明四边形是矩形】 【典例】如图，在中、相交于点，，当 ____时，是矩形． 【答案】6 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质和矩形的判定，解题的关键是掌握矩形的判定方法． 利用平行四边形的性质得出对角线相等时即可判定出四边形是矩形． 【详解】解：当时，四边形是矩形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴时，四边形是矩形， ∴， ∴当时，四边形是矩形， 故答案为：6． 【跟踪专练1】如图在中，，，以为圆心，长为半径作弧，以为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，则四边形为（   ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定，根据题意正确作图是解题的关键； 根据题意作图，易得，，可证四边形是平行四边形，又，，可证四边形是矩形． 【详解】解：依题意作图如下： 连接，，由作图知，， 四边形是平行四边形， 又，， 四边形是矩形． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，是内部一点，，且，，依次取、、、的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是______． 【答案】// 【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．利用三角形中位线定理得到，，，，，，，，证明四边形是平行四边形，进而证明四边形是矩形，利用矩形的面积公式求解，即可解题． 【详解】解：点，点分别为，的中点，， ，， 同理可得，，， ，， ，， ∴，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 四边形的面积是． 【跟踪专练3】如图，四个内角的平分线两两相交，构成四边形，则四边形的形状是（   ） A．任意四边形 B．正方形 C．矩形 D．平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，矩形的判定，关键是掌握有三个角是直角的四边形是矩形． 由平行线的性质推出，由角平分线定义得到，结合对顶角相等得到，同理可得，，进而可证明四边形是矩形． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ． ，分别平分，， ， ． 同理可得，， 四边形是矩形． 故选：C． 【题型11.矩形性质与判定综合:求角度】 【典例】如图，矩形ABCD中，BE⊥AC于点E，若∠ACB＝23°，则∠DBE＝_______度． 【答案】44 【分析】由矩形的性质可知∠OBC=∠ACB=23°，则可求得∠AOB度数，由直角三角形的性质可得∠DBE的度数． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OB=OC， ∴∠ACB=∠OBC=23° ， ∵∠AOB=∠ACB+∠OBC=46°，且BE⊥AC ， ∴∠DBE=44° ． 故答案为：44 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质，利用矩形的对角线相等且平分求得∠OBC的度数是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，□ABCD中，O是对角线AC、BD的交点，△ABO是等边三角形，若AC＝8cm，则平行四边形ABCD的面积是（    ）cm2 ． A．16 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质和等边三角形的性质证得AC=BD=8，AB=4，进而证得四边形ABCD为矩形，利用勾股定理求得BC即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD， ∵△ABO是等边三角形，AC=8cm， ∴AO=OB=AB=4cm， ∴AC=BD， ∴四边形是ABCD是矩形， ∴∠ABC=90°， ∴在Rt△ABC中，BC=， ∴平行四边形ABCD的面积是AB·BC= ×4= (cm2)， 故答案为：D． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握矩形的判定与性质是解答的关键． 【跟踪专练2】如图平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则________． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，等腰三角形性质，以及矩形的性质和判定，根据题意证得四边形是矩形，利用矩形的性质和等腰三角形性质即可计算出的度数． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，对角线，相交于点，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，掌握对角线相等的平行四边形是矩形，矩形的内角为直角是解题的关键． 根据平行四边形对角线相等的性质判定为矩形，利用矩形的角为直角，结合已知角度计算的度数． 【详解】解：∵在中，对角线， ∴四边形是矩形， ． ， ． 故选：A． 【题型12.矩形性质与判定综合:求线段长度】 【典例】如图是一张四边形纸片ABCD，其中，，．现将其分割为4块，再拼成两个正方形，则正方形的边长为______． 【答案】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理等知识．准确识图，构造辅助线，利用矩形的性质是解决问题的关键．过点D作于点M，证明四边形是矩形得，，进而得，在中，由勾股定理得，设所拼成的正方形的边长为a，则，根据拼图可知，则，进而得，据此可得所拼成的正方形的边长． 【详解】解：过点D作于点M，如图所示： ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得：， 设所拼成的正方形的边长为a， 则， 根据拼图可知：， ， ， ， ， ∴所拼成的正方形的边长为． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，，，点为斜边上一动点，过点作于点，于点，连接，则线段的最小值为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短等知识点，熟练掌握矩形的判定与性质是解题关键．先根据勾股定理可得，连接，根据矩形的判定与性质可得，再根据垂线段最短可得当时，取得最小值，然后利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：，，， ， 如图，连接， ， 四边形是矩形， ， 由垂线段最短可知，当时，取得最小值， 此时， ， 即线段的最小值为， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N，连接，则线段长的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理得到，由题意证明四边形是矩形，则当取最小值时，的值最小，当时，的值最小，由等面积法即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， 如图所示，连接， ∴， ∴当取最小值时，的值最小， 根据点到直线垂线段最短得到，当时，的值最小， ∵， ∴， ∴线段长的最小值为． 【跟踪专练3】如图，矩形中，，，为，，边上的点，且，，，，，则的长为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是矩形的判定及性质、勾股定理，得到四边形是矩形是解题的关键． 首先过作于点，利用矩形的判定可得四边形是矩形，根据矩形的性质得，，由求得的长，然后再在中，利用勾股定理求的长． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：． 【题型13.矩形性质与判定综合:求图形面积】 【典例】如图，点P是矩形的对角线上的一点，过点P作，分别交于E，F，连接．若，则图中阴影部分的面积是__________． 【答案】3 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，利用矩形的对角线平分矩形的面积是解题的关键；作于M，交于N；则得四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，由矩形的对角线平分矩形的面积，得，由此即可求解． 【详解】解：如图，作于M，交于N； 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3． 【跟踪专练1】如图，是内部一点，，且，，依次取，，，的中点，并顺次连接得到四边形，则四边形的面积是（    ） A．12 B．16 C．24 D．48 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线定理，矩形的性质与判定，先根据三角形中位线定理可得，，，从而可得，再根据平行四边形的判定可得四边形是平行四边形，然后根据平行线的性质可得，根据矩形的判定可得平行四边形是矩形，最后利用矩形的面积公式求解即可得． 【详解】解：点分别是，的中点，且， ， 同理可得：，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， 平行四边形是矩形， ∴四边形的面积是， 故选：A． 【跟踪专练2】矩形中，点在对角线上，过作的平行线交于，交于，连接和，已知，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】8 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、三角形的面积，解题的关键是证明． 根据矩形的性质和三角形面积关系可证明，即可求解． 【详解】解：过M作于P，交于Q，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵过作的平行线交于，交于， ∴，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：8． 【跟踪专练3】如图，四边形的对角线于点O，点E，F，G，H分别为边和的中点，顺次连接和，得到四边形．若，则四边形的面积等于（　　）． A．30 B．35 C．40 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形中位线的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，根据三角形中位线得到、成为解题的关键． 先根据三角形中位线得到、，再判定平行四边形是矩形，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵点E，F分别为边的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵， ∴， 同理可得：，， ∴， 同理可得：， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形， ∴矩形的面积为：，即四边形的面积为30． 故选：A． 【解答题】 1．如图，在中，，D是的中点，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等腰三角形三线合一的性质得出，由平行线的性质得出，结合已知条件可得出，即可证明四边形是矩形． （2）由（1）可知四边形是矩形．由矩形的性质得出，，，由已知条件可得出，由勾股定理求出，最后根据等面积法可得出，即可求出． 【详解】（1）证明：∵， D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：由（1）可知四边形是矩形． ∴，，， ∵D是的中点，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴ 即， ∴． 2．如图，在四边形中，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)点E是上一点，点F是的中点，连接，，，若，，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)6.5 【分析】本题考查了矩形的判定，直角三角形的判定以及直角三角形斜中半定理，综合运用以上知识是解题的关键． （1）根据“有一个角是直角的平行四边形是矩形”进行证明； （2）先根据勾股定理的逆定理，证得，再由“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”求得的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 3．如图，在矩形中，对角线相交于点，点分别为的中点，连接，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，根据矩形的性质得，又点，分别为，的中点，可证，通过“”证明，然后利用全等三角形对应边相等即可证得结论，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】证明：四边形是矩形， ， ， 点分别为的中点， ， 在和中，， ， ． 4．如图1，在平面直角坐标系中有长方形，点，将长方形沿折叠，使得点落在点处，边交轴于点，． (1)求点的坐标； (2)如图2，点为的中点，在直线上是否分别存在点，使得的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由； (3)点为轴上一动点，作直线交直线于点，存在点使得为等腰三角形，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用矩形的性质和得到，，再由折叠的性质，，过点作于，可求得、，进而可求得点坐标； （2）过点作并延长交于点，连接，交于点，利用全等三角形的判定与性质得到点与点关于对称，由将军饮马模型可知：此时的周长最小．最小值为；利用直角三角形的边角关系定理，勾股定理求得，即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法解答：当点在点的下方时，①时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；②时，利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质解答即可；存在的情形；当点在点的上方时，此种情况不存在；当点在点的上方时，同样也不存在为等腰三角形． 【详解】（1）解：四边形是矩形，点， ， ， ，，， 长方形沿折叠，使得点落在点处， ，， ， 如图1，过点作于， ，， ，， ， 点坐标； （2）在直线上存在点，使得的周长最小． 过点作并延长交于点，连接，交于点，如图2， 将长方形沿折叠，使得点落在点处， ， 在和中， ， ，， 点与点关于对称， ． 此时的周长最小．最小值为． 点为的中点， ， ， 折叠， ， 在中，， ， ，， ， 的周长最小值为； （3）存在点使得为等腰三角形， ， ， ①若，如图3， ，， ， ， ②若时，如图4， ， ， ； ③若，当点在点的下方时如图5， ， ，且， 不存在这样的点， 当点在点的上方时，如图6， 同样也不存在为等腰三角形， 综上，存在点使得为等腰三角形，的度数为或． 综上，满足条件的点存在，并且或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形的性质矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，对称性求最值、勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，直角三角形的边角关系定理，点的坐标的特征，分类讨论的思想方法，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 5．八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线， (1)如果一条对角线用了18盆红花，还需要从花房运来________盆红花． (2)如果矩形较短的边为，两条对角线所夹的锐角为；求该矩形花坛的面积． 【答案】(1)18 (2) 【分析】本题考查矩形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，解题关键是熟练掌握矩形的对角线互相平分且相等的性质． （1）根据矩形的对角线相等且互相平分，即可得出结果； （2）由矩形的性质可知，，，，由，可知是等边三角形，得，，再结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵矩形的对角线互相平分且相等， ∴一条对角线用了18盆红花， ∴还需要从花房运来红花18盆； 故答案为：18； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，则， 在中，， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $