2026年江苏省南京市联合体中考数学第一次模拟考试仿真模拟自编练习卷

2025-2026学年江苏省南京市联合体中考第一次模拟考试仿真模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。 3.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中中对应的位置上 4．测试范围：苏科版初中数学全部内容 5．难度系数：0.65。 第一卷 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 2．分式的值为0的条件是（    ） A． B． C． D． 3．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 5．在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 6．如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴，轴，长方形的边上有一动点P，沿匀速运动一周，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和h与点P走过的路程s之间的函数图象如图2所示，已知点A的横坐标为1，则线段所在直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 7．若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 8．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则_________________． 9．已知，则的值为__________． 10．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺． 11．已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 12．直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点，并与的延长线交于点．已知点C、D在直尺上对应的刻度分别为0和15，点在量角器上对应外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为______． 13．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 14．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 15．如图，平行四边形中，点E在边上，若点A关于的对称点落在上，的周长为5，的周长为17，则的长为____． 16．如图，正方形中，是平面内任意一点．若，请写出线段长度的取值范围是________． 三、解答题（本题共11小题，合计88分.计算题要写出完整步骤！） 17．（7分）解不等式组： 18．（7分）如图，已知点是的边上一点，利用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 19．（7分）某中学为了创设“书香校园”，号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是本，八年级捐书人数比七年级多人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的倍，求七年级捐书人数是多少． 20．如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 21．（8分）对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． (1)甲组抽到A小区的概率是_____； (2)请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到小区的概率． 22．（8分）某校学生会向全校2600名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制的统计图如下： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为_________人，图中m的值是_________； (2)本次调查获取的样本数据的众数为_________，中位数为_________； (3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数． 23．（8分）如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面上的G点，构造模型如图2．通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为． (1)求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度． (2)求出高压线塔的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 24．（8分）如图，以的边为直径的恰好为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的长为___________． 25．（9分）如图，在长方形中，，，点是对角线的中点．动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，连接并延长交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)的长为 ，的长为 ； (2)当为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与之间的关系式． 26．（10分）已知抛物线的对称轴在y轴左侧，若将此抛物线向上平移4个单位后，顶点刚好在x轴上． (1)求b的值； (2)当时，原函数y的最大值等于12，求m的值； (3)原抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AC，BP交于点D．判断：是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由． 27．（10分）在中，，点在边上． (1)如图1，，点E在线段的延长线上，连接和，过点作于点，若，，，求的长； (2)如图2，，点在线段的延长线上，连接和．点在线段上，连接，是线段的中点，为线段延长线上一点，连接，，若，，请用等式表示线段和的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，连接．M为直线AB上一动点，将沿直线翻折至与在同一平面内的，当取得最大值时，请直接写出的面积 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年江苏省南京市联合体中考第一次模拟 考试仿真模拟练习卷 参考答案及评分细则 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。每小题给出的四个选项中只有一个选 项符合题意) 题 1 2 号 4 6 答 案 0 二、 填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 7.3 8.100°/100度 9.10 10. 15 11.6 12. 75V3-25元 2 13.(4,2 4男 15.6 16.2W5-2≤CE≤2V5+2 三、解答题（本题共11小题，合计88分.计算题要写出完整步骤：） 5x-2<3x+1)① 17.【详解】解： 2x-22x-1② 3 解不等式①得x<2.5,(2分) 解不等式②得x≤1，(4分) :原不等式组的解集为x≤1.(7分) 18.【详解】解：如图，作LBDE=∠C,交BC于点E,则点E即为所作： B 理由：：∠BED=180°-∠B+∠BDE),∠A=180°-（∠B+∠C),∠BDE=LC, ·∠BED=∠A.(7分) 19.【详解】解：设七年级捐书人数是x人，则八年级捐书人数为x+150)人， 根据题意得：180-15×1800， x+150 解得：x=300,(4分) 经检验，x=300是原方程的解，且符合题意，(6分) 答：七年级捐书人数是300人.(7分) 20.【详解】证明：四边形ABCD是平行四边形， AB∥CD,即AEI‖CF, 又：AE=CF, :四边形AECF为平行四边形， LFAE=LFCE.(8分) 21.【详解】(1)解：由题意得，甲组抽到A小区的概率是4 (2)解：画树状图为： 开始 A RC 共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的结果数为1， :甲组抽到A小区，同时乙组拍到C小区的概幸为7(8分) 22.【详解】(1)解：12+10+20+8=50（人)， 20 ×100%=40%, 50 则本次接受随机调查的学生人数为50人，图中m的值是40；(4分) (2)根据题意可知，30元出现的次数最多，则众数是30元： 因为共50个数据，所以中位数为从小到大排序的第25个和26个的平均数，则为 30+30=30(元)：(6分) 2 (3)解：2600×40%+16%)=1456（人）， 则本次捐款金额不少于30元的学生约有1456人.(8分) 23.【详解】(1)解：连接0F, 太阳光线 O DG 设半圆O的半径0F=0E=0C=0D=r, :FG是半圆O的切线， OF⊥FG, 在Rt△0FG中，∠0GF=37°，OF=r,OG=r+3 :0F=0Gsin37°，即r=sin37(r+3, 解得r≈4.5. 故半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度即为半径的长度为4.5m,(4分) (2)解：连接OE,过点E作EH⊥AB于点H. 太阳光线 :高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E, .OE⊥CD, :∠AB0=90°，∠BHE=90°(EH⊥AB),∠E0B=90°， :四边形BHEO的四个角均为直角.即四边形BHEO是矩形. .BH=EO,EH=OB=BC+CO 在Rt△AEH中，∠AEH=37°. AH=EH.tan37°=BC+C0)tan37°≈(8+4.5)×0.75=9.375（米）. AB=AH+BH≈9.375+4.5=13.875≈13.9（米）. 答：高压线塔AB的高度约为13.9米.(8分) 24.【详解】(1)解：证明如下： 连接0D, :AC是⊙0的直径，点B在O0上， .∠ABC=90°， :∠ABC的平分线交O0于点D, 1 ∠ABD=2∠ABC=45, .∠A0D=90°， DEll AC, ∠A0D=∠0DE=90°， DE⊥OD, 即DE是OO的切线. B (4分) (2)解：：AB=8,tan∠BAC=2 1 “tan∠BAC=BC-1-BC1 AB28=2 .BC=4, ·AC=√AB2+BC2=V82+42=4V5, .A0=C0=2V5, 过点C作CG⊥DE于点G, 四边形ODGC是正方形， OC=DG=CG=25, :DEI‖AC, .∠BCA=∠CEG, .tan∠BCA=tan∠CEG, :4B-CG.82V5 BC GE 4 GE GE=5, DE=DG+GE=25+5=35. B (8分) 25.【详解】(1)解：AP=2tcm,C0=BC-B0=(6-tcm;(2分) (2)解：：四边形ABCD是矩形， :AB∥CD, ·∠0AP=∠0CE, :点O是对角线AC的中点， :A0=C0, :∠A0P=∠C0E, △AOP≌aCOE(ASA, .CE AP=2tcm, ,aCEQ为等腰直角三角形，∠QCE=90°， .'.CE=CO, 2t=6-t, t=2.(5分) (3)解：：四边形ABCD是矩形， :AD∥BC, .∠CAF=∠ACQ, :A0=C0,∠AOF=COQ, aA0F≌aC0QASA, 0F=00, 由(2)知，△A0P≌△C0E, ..OP=OE,AP=CE, :四边形PQEF是平行四边形， 、PF=EQ, .RtAAPF≌RtACEO(HL), 同理Rt△PBQ≌Rt△EDF, ·y=矩形ABCD的面积-2△CQE的面积-2△PBQ的面积 =8×6-2×5×2t×6-t)-2×5t×8-2t)=4t2-20t+48, 即y与t之间的关系式为y=42-20t+48(0<1<4).(9分) 26.【详解】(1)解：抛物线y=x2+2bx+1-4b=(x+b)2+1-4b-b2, .对称轴为直线x=-b,顶点坐标为-b,1-4b-b2), :对称轴在y轴左侧， .-b<0,即b>0. :将抛物线向上平移4个单位后，新抛物线顶点为(-b,1-4b-b2+4,即(-b,5-4b-b2), 平移后顶点在x轴上， 5-4b-b2=0,解得b=1,b2=-5, b>0, .b=1.(3分) (2)解：由(1)知b=1,则抛物线为y=x2+2x-3, 抛物线的开口向上，对称轴为直线x=-1, 抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大， ①若m-(-1≥m+2)-（-1,即m≤-2， 当x=m时，原函数y取得最大值为12， .m2+2m-3=12, 解得m=-5或m=3(不合题意，舍去)； ②若m-(-1<(m+2)-（-1,即m>-2, 当x=m+2时，原函数y取得最大值为12， .(m+2)2+2(m+2-3=12, 解得m=1或m=-7(不合题意，舍去)： 综上所述，m的值为-5或1.(6分) (3)解： 有最大值，及大值为名理由如下 BD 对于抛物线y=x2+2x-3, 当y=0时，x2+2x-3=0,解得x=-3,x2=1, A-3,0),B(1,0), 当x=0时，y=-3, C(0,-3) 设过点A-3,0),C(0,-3)的直线AC的解析式为y=x+b', 「-3k'+b'= 尺=-1 6=-3 0,解得6=-3 .直线AC的解析式为y=-x-3. :点P是第三象限抛物线上的一点， 设Pn,n2+2n-3)(n<0), 过点P作PM∥y轴，交AC于点M,过点B作BN∥y轴，交AC于点N, M(n,-n-3), :把x=1代入函数y=-x-3,得y=-4, ·.N1,-4, PM=(-n-3-n2+2n-3=-n2-3n,BN=4, PM∥y轴，BN∥y轴， .PM∥BN, .△BMPn△DNB, BD BN 4 当n=- 时· 有最大，最大值为 .(10分) 2 BD 27.【详解】(1)解：：DP1AC,∠C=45°，DP=2√2 △CPD为等腰直角三角形， CD=√2DP=4, ∠ABC=90°，AD=AE, BD=BE,∠EAB=∠DAB,∠BAC=45°， :∠DAE=45°=∠BAC, ∠D8-号DME-Bac. AD平分∠BAC, :∠ABC=90°，DP⊥AC, BD=DP=2√2， DE=2BD=4√， CE=CD+DE=4+4V.(3分) (2)解：HG=√3AG, 理由：如图，延长AG使得AG=GM,连接HM,MD, :点G为FD中点， FG=GD, FG=GD 在△FGA和△DGM中， ∠FGA=∠DGM, AG=GM .△FGA≌△DGM(SAS), ∴.∠AFG=∠MDG,∠FAG=∠GMD, .AE∥DM, :∠C=30°，AD=DC, ∴.∠DAC=30°， 又：∠ABC=90°， .∠BAC=90°-∠C=60°， .LBAD=∠BAC-∠DAC=30°， AD=AE, .∠AED=∠EDA=2LDAC=60°， ·△EAD是等边三角形， .∠EAD=60°， :∠MDA=180°-∠EAD=120°， :∠HEA=180°-∠AED=120°， .∠MDA=∠HEA, :∠AHE+∠HAE=∠AEC=60°，∠FAG+∠MAD=∠GMD+∠MAD=60°， .∠HAE+∠EAM=∠EAM+∠MAD=60°， .∠HAE=∠MAD, ∠HAE=∠MAD 在△HAE和△MAD中， AE=AD ∠HEA=∠MAD=120° △HAE≌△MAD(ASA, :AH =AM, :△HAM是等边三角形， :G为AM的中点， .HG⊥AM, 在RtAHAG中，∠HAG=60°， .GH=tan60°.AG, 即HG=√5AG,(6分) (3)解：：∠ACB=45°，∠ABC=90°， .ABC为等腰直角三角形， :K为AC上一动点，KD绕点D逆时针旋转45°得DK', 如图，过点D作DK'∥AB,将DK绕点D逆时针旋转45°得DK,DK2与AC交点N, B :.△DKC为等腰直角三角形， .∠KND=90°，DK1=DC, 当点C与K,重合时，将DK绕点D逆时针旋转45°得DK4,连接KK4,KK4与AC交点Q, 与BC交点P, :∠K2DC=∠KDC-∠KDK2=45°，∠KDK4=45°，DK2=DK3=DK4, .∠K2DK4=90°，即△K2DK4为等腰直角三角形， 10 2025-2026学年江苏省南京市联合体中考第一次模拟考试仿真模拟练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写清楚 2．回答填空题时，请将每小题的答案直接填写在答题卡中对应横线上。 3.回答解答题时，每题必须给出必要的演算过程或推理步骤，用2B铅笔作图画出必要的线条与图形（包括辅助线），请将解答过程书写在试卷中中对应的位置上 4．测试范围：苏科版初中数学全部内容 5．难度系数：0.65。 第一卷 一、选择题（本题共6小题，每小题2分，共12分。每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意） 1．下列算式中，运算结果为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算各选项结果，判断符号，找出结果为负数的选项即可 【详解】A．，结果为正数，故本选项不符合题意； B．，结果为正数，故本选项不符合题意； C．， ，结果为负数，故本选项符合题意； D．，结果为正数，故本选项不符合题意； 2．分式的值为0的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式值为0需同时满足分子为0，分母不为0，据此计算求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0 ∴， ∴， ∴ ∴分式的值为0的条件是． 3．已知的半径长为4，点B在线段上，且，如果与有公共点，那么的半径r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用圆与圆的位置关系，两圆有公共点包含相切和相交两种情况，求出两种临界情况的半径即可得到r的取值范围． 【详解】解：∵半径为4，两圆圆心距， 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当内切于时，的半径，此时两圆有一个公共点，符合要求； 当时，两圆相交，有两个公共点，符合要求； ∴与有公共点时，的半径r的取值范围是． 4．若，且，则的值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题利用平方差公式分解，代入已知的的值，即可求出的值． 【详解】∵， 已知 ，， ∴， ∴． 5．在如图所示的数轴上，点是线段的中点，，两点对应的实数分别是和，则点所对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可得，根据线段中点的性质可得，进而求得点所对应的实数． 【详解】解：∵，两点对应的实数分别是和， ∴ ∵点是线段的中点， ∴， ∴点所对应的实数是 故选：D． 6．如图1，在平面直角坐标系中，长方形的边轴，轴，长方形的边上有一动点P，沿匀速运动一周，点P到x轴的距离与到y轴的距离之和h与点P走过的路程s之间的函数图象如图2所示，已知点A的横坐标为1，则线段所在直线的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、一次函数的应用，熟练掌握知识点并采用数形结合的思想是解题的关键．由矩形的性质并结合图象可得点，点G为点P走到D点对应的位置，由此即可得出，再利用待定系数法求出所在直线的函数表达式即可． 【详解】解：∵四边形为长方形， ∴由题意得，点，点G为点P走到D点对应的位置， ∴， ∴ ∴， 设线段所在直线的函数表达式为， ∴，解得， ∴线段所在直线的函数表达式为， 故选：B． 第二卷 二、填空题（本题共10小题，每题2分，共20分） 7．若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【答案】3 【分析】根据平均数的定义，通过列一元一次方程求解未知数x的值． 【详解】解：∵一组数据2，3，x，5，7的平均数为4， ∴根据平均数的计算公式可得， 去分母，得 计算得 移项，得 解得， 故答案为：3． 8．如图，在中，，将绕着点顺时针旋转后得到，则_________________． 【答案】/100度 【分析】根据旋转的性质得到，，进而求出的度数． 【详解】解：绕着点顺时针旋转后得到， ，， ． 9．已知，则的值为__________． 【答案】10 【分析】本题考查二次根式的运算、完全平方公式的应用．解题关键是将转化为，再分别计算和的值． 【详解】解： ． 故答案为：10． 10．我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺． 【答案】 15 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设竿子长为尺，绳子长为尺，根据绳子比竿子长 5 尺和对折后比竿子短 5 尺的条件列出方程组，并求解． 【详解】解：设竿子长为尺，绳子长为尺． 由题意，得， 解得， 则竿子长为 15 尺． 故答案为：． 11．已知分式方程，由于印刷问题，实数“▲”看不清楚．若原分式方程无解，则原分式方程中“▲”表示的实数是______． 【答案】6 【分析】本题主要考查了根据分式方程的解的情况求参数，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程得到，根据原方程无解得到是原方程的增根，则，解之即可得到答案． 【详解】解：方程两边同时乘以得， 解得， ∵原分式方程无解， ∴是原方程的增根， ∵分式方程有增根的条件是分母为0， ∴，即， ∴， 故答案为：6． 12．直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点，并与的延长线交于点．已知点C、D在直尺上对应的刻度分别为0和15，点在量角器上对应外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了含30度直角三角形的性质，勾股定理，切线的性质，扇形面积等知识，连接，由题意可得出，设为量角器所在半圆的半径为r，则，由含30度直角三角形的性质得出，由勾股定理解出，，最后根据求解即可． 【详解】解：连接，如下图： 由题意知：，，， ∴， 设为量角器所在半圆的半径为r， 则， ∴， 在中，, 即， 解得：， ∴ ， 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），若轴，点的坐标为，与的相似比为，则点的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据与关于原点位似，与的相似比为，得，，因为点在第一象限，所以点的坐标为，即可作答． 【详解】解：∵与关于原点位似（点、的对应点分别是点、），与的相似比为， ∴ ∵点的坐标为， ∴，， ∵点在第一象限， ∴点的坐标为． 14．如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【答案】 【分析】先求出点的坐标；再根据关于直线对称的性质，通过构造辅助线证明全等三角形，推导出点的坐标；最后构造正方形，用正方形面积减去周边直角三角形的面积，即可算出的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． ∵直线平分， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴． 延长，交于点，则， ∴． 15．如图，平行四边形中，点E在边上，若点A关于的对称点落在上，的周长为5，的周长为17，则的长为____． 【答案】6 【分析】运用翻折的性质可得，，，结合已知条件的周长为5，的周长为17，求得平行四边形的周长，从而得到，最后结合的周长为17，求得的长． 【详解】解：由折叠可得，，． ∵的周长为5，的周长为17， ∴， ∴，． ∴平行四边形的周长， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵的周长为， ∴． 16．如图，正方形中，是平面内任意一点．若，请写出线段长度的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理的逆定理求最值的计算，根据题意得到点在以为直径的圆上运动，运用勾股定理，结合图形分析即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是直角三角形，， ∴点在以为直径的圆上运动， 如图所示，设的中点为点，连接并延长，交于点， ∴，， 当点在处时，的值最小，最小值为， 当点在处时，的值最大，最大值为， ∴线段长度的取值范围是：， 故答案为： 三、解答题（本题共11小题，合计88分.计算题要写出完整步骤！） 17．解不等式组： 【答案】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再根据“大大取较大，小小取较小，大小小大中间找，大大小小无处找”的原则确定出不等式组解集即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 18．如图，已知点是的边上一点，利用尺规作图法在边上求作点，连接，使得．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】根据“作一个角等于已知角”的尺规作图的方法，作，交于点，再根据三角形内角和，计算可得． 【详解】解：如图，作，交于点，则点即为所作； 理由：，，， ． 19．某中学为了创设“书香校园”，号召学生自愿捐书，已知七、八年级同学捐书总数都是本，八年级捐书人数比七年级多人，七年级人均捐书数量是八年级人均捐书数量的倍，求七年级捐书人数是多少． 【答案】七年级捐书人数是人． 【分析】设七年级捐书人数是人，则八年级捐书人数为人，根据题意得，然后解方程并检验即可． 【详解】解：设七年级捐书人数是人，则八年级捐书人数为人， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：七年级捐书人数是人． 20．如图，在中，点E，F分别在AB、CD上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质． 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再由平行四边形的对角相等即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ，即， 又， ∴四边形为平行四边形， ． 21．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． (1)甲组抽到A小区的概率是_____； (2)请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到小区的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【详解】（1）解：由题意得，甲组抽到小区的概率是； （2）解：画树状图为： 共有12种等可能的结果数，其中甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的结果数为1， 甲组抽到小区，同时乙组抽到小区的概率为． 22．某校学生会向全校2600名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制的统计图如下： 请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受随机调查的学生人数为_________人，图中m的值是_________； (2)本次调查获取的样本数据的众数为_________，中位数为_________； (3)根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额不少于30元的学生人数． 【答案】(1)50， (2)30元；30元 (3)1456人 【分析】（1）根据题意，计算即可； （2）根据众数和中位数的计算方法，计算即可； （3）根据题意，用样本估计总体的方法，计算即可． 【详解】（1）解：（人），， 则本次接受随机调查的学生人数为50人，图中m的值是40； （2）根据题意可知，30元出现的次数最多，则众数是30元； 因为共50个数据，所以中位数为从小到大排序的第25个和26个的平均数，则为（元）； （3）解：（人）， 则本次捐款金额不少于30元的学生约有1456人． 23．如图，施工人员发现山脚处有一座高压线塔和一个半圆形隧道入口（如图1），在太阳光照射下，高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E（即半圆的中点），同时太阳光线与半圆O相切于点F，照射在地面上的G点，构造模型如图2．通过测量得到米，米，并测得光线与水平面夹角为． (1)求半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度． (2)求出高压线塔的高度．（结果精确到米，参考数据：，，） 【答案】(1)米 (2)约为13.9米 【分析】（1）连接，设半圆O的半径，由切线的性质得出，再根据正弦的定义得出，解方程即可得出r的值． （2）连接，过点E作于点H．证明四边形是矩形．由矩形的性质得出，，通过解直角三角形计算出，进而可求出． 【详解】（1）解：连接， 设半圆O的半径， 是半圆O的切线， ， 在中，，， ，即， 解得． 故半圆形隧道入口的最高处点E距地面的高度即为半径的长度为． （2）解：连接，过点E作于点H． ∵高压线塔的顶端A的影子刚好落在半圆形隧道入口的最高处点E， ∴， ，（），， 四边形的四个角均为直角．即四边形是矩形． ，． 在中，． （米）． （米）． 答：高压线塔的高度约为米． 24．如图，以的边为直径的恰好为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若的长为___________． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查圆的知识，解直角三角形，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，正方形的判定和性质，平行线的性质，解直角三角形等知识，进行解答，即可． （1）连接，根据直径所对的圆周角是直角，得，根据同弧或者等弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出，根据平行线的性质，可得，即可； （2）根据，，求出，根据勾股定理求出，过点作于点，根据正方形的判定和性质，可得，再根据平行线的性质，得，推出，求出，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： 连接， ∵是的直径，点在上， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是的切线． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点作于点， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 25．如图，在长方形中，，，点是对角线的中点．动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动；同时动点从点出发，沿方向以的速度向点匀速运动，当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接并延长交于点，连接并延长交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)的长为 ，的长为 ； (2)当为等腰直角三角形时，求的值； (3)设四边形的面积为，求与之间的关系式． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据线段间的关系表示即可； （2）根据矩形的性质证出，利用等腰三角形的性质即可得解； （3）证明，得出四边形是平行四边形，再证明和，即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）解：四边形是矩形， ， ， 点是对角线的中点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，， ， ， ． （3）解：四边形是矩形， ， ， ，， ， ， 由（2）知，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 同理， 矩形的面积的面积的面积， 即y与t之间的关系式为． 26．已知抛物线的对称轴在y轴左侧，若将此抛物线向上平移4个单位后，顶点刚好在x轴上． (1)求b的值； (2)当时，原函数y的最大值等于12，求m的值； (3)原抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点P为第三象限内抛物线上一点，连接AC，BP交于点D．判断：是否有最大值，如有请求出最大值，如没有请说明理由． 【答案】(1)1 (2)或1 (3)有最大值，最大值为，理由见解析 【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式，得到对称轴与顶点坐标，根据对称轴在y轴左侧得到b的取值范围．求出抛物线平移后顶点的坐标，根据顶点在x轴上列出方程，求解即可； （2）抛物线的开口向上，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大，分两种情况：①若，即，当时，原函数y取得最大值为12；②若，即，当时，原函数y取得最大值为12，分别求解即可； （3）对于抛物线，分别令，，求得，，．运用待定系数法求出直线的解析式为．设，过点P作轴，交于点M，过点B作轴，交于点N，则，，得到，，根据 ，得到，根据相似三角形的性质，结合二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， ∵对称轴在y轴左侧， ∴，即． ∵将抛物线向上平移4个单位后，新抛物线顶点为，即， ∵平移后顶点在x轴上， ∴，解得，， ∵， ∴． （2）解：由（1）知，则抛物线为， ∴抛物线的开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点离对称轴越远，相应的函数值越大， ①若，即， 当时，原函数y取得最大值为12， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； ②若，即， 当时，原函数y取得最大值为12， ∴， 解得或（不合题意，舍去）； 综上所述，m的值为或1． （3）解：有最大值，最大值为．理由如下： 对于抛物线， 当时，，解得，， ∴，， 当时，， ∴． 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为． ∵点P是第三象限抛物线上的一点， ∴设， 过点P作轴，交于点M，过点B作轴，交于点N， ∴， ∵把代入函数，得， ∴， ∴，， ∵轴， 轴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，最大值为． 27．在中，，点在边上． (1)如图1，，点E在线段的延长线上，连接和，过点作于点，若，，，求的长； (2)如图2，，点在线段的延长线上，连接和．点在线段上，连接，是线段的中点，为线段延长线上一点，连接，，若，，请用等式表示线段和的数量关系并证明； (3)如图3，，，，点是直线上的一个动点，将线段绕点逆时针旋转到线段，连接，当取得最小值时，连接．M为直线AB上一动点，将沿直线翻折至与在同一平面内的，当取得最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)；理由见详解 (3) 【分析】（1）易得为等腰直角三角形，得到，三线合一，得到，，进而推出平分，得到，再根据线段的和差关系进行求解即可； （2）延长使得，连接，，先证明，得出是等边三角形，再利用三角形外角的定义及角的和差关系得出，证明出，从而得到是等边三角形，根据解直角三角形和等腰三角形三线合一的性质即可得证结论； （3）先确定出点的运动轨迹，得出取得最小值的情况即时，再根据沿直线翻折至与在同一平面内的得出点的运动轨迹，从而得到的最大值，过点作，利用相似三角形的判定与性质，勾股定理及等腰直角三角形的性质求得相关线段的值，随即得出最终结果． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，，， ∵， ∴， ∴平分， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：， 理由：如图，延长使得，连接，， ∵点为中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， 即． （3）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∵为上一动点，绕点逆时针旋转得， 如图，过点作，将绕点逆时针旋转得，与交点， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 当点与重合时，将绕点逆时针旋转得，连接，与交点，与交点， ∵，，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴与的夹角恒为，与的夹角恒为， ∴点的轨迹为定直线， 当时，的值最小，连接， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∵为直线上的动点，沿翻折得， ∴点的轨迹是以为圆心，为半径的圆上， 当，，三点共线时，有最大值， ∴， 在中，， ∴， 过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， 解得， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $