1.7正方形 学案2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第1章 四边形 1.7正方形 ► 学习目标与重难点 学习目标： 1.掌握正方形的定义，理解正方形与平行四边形、矩形、菱形的关系。 2.理解并应用正方形的边、角、对角线及对称性相关性质，能解决几何证明与计算问题。 3.掌握正方形的判定思路，能选择合适方法证明一个四边形是正方形。 4.体会特殊平行四边形之间的内在联系，培养知识综合运用的能力。 学习重点： 正方形的性质应用与判定思路掌握。 学习难点： 理解正方形与矩形、菱形的从属关系，灵活运用判定思路证明正方形。 ► 教学过程 一、复习回顾 回顾：什么是正方形？正方形是平行四边形吗？是矩形吗？是菱形吗？ 二、新知探究 探究一：正方形的性质 教材第40页 【观察】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的定义可得下图，你能从中得出正方形的性质吗？ 【归纳】 正方形的性质1： 正方形的性质2： 【做一做】请根据平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系，在图中适当的空白处填上它们的名称. 【议一议】（1）正方形是中心对称图形吗？若是，它的对称中心是什么？ （2）正方形是轴对称图形吗？若是，它的对称轴是什么？ 例1如图，点E是正方形ABCD的边AB上任意一点，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F. 求证：DE=DF. 探究二：正方形的判定 教材第41页 【说一说】如何判断一个四边形是正方形？ 【归纳】正方形的判定定理1：有一组邻边相等的__________是正方形. 正方形的判定定理2：有一个角是直角的__________是正方形. 三、例题精讲 例2如图，已知点A，B，C，D分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA=BB=CC=DD. 求证：四边形ABCD是正方形. 四、课堂练习 【知识技能类作业】 必做题 1.矩形、正方形、菱形都具有的性质是（　　） A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分 C．对角线长度相等 D．一组对角线平分一组对角 2.如图，点在正方形的内部，且是等边三角形，连接，，则（　　） A． B． C． D． 3.如图，正方形的边长为，过线段上的两点分别作和的垂线，则阴影部分的面积为（　　）． A． B． C． D． 选做题 4.将对角线分别为和的菱形改为一个面积不变的正方形，则正方形的边长为　 　． 5.如图，在正方形的外侧，作等边，则　 　． 6.如图，点是正方形的对角线上的一点，于点，．则点到直线的距离为　 　． 【综合拓展类作业】 7.如图，在正方形中，是边的中点，是边的中点，连接、．求证：． 五、课堂小结 这节课你收获了什么，在运用过程中须注意什么? 六、作业布置 1.在▱ABCD中，有以下四个条件：①AB=BC；②∠BAD=90°；③AC⊥BD；④AC=BD.现从中任选两个条件作为一个组合，其中不能推出四边形ABCD是正方形的是 (　　) A．①② B．①④ C．②④ D．③④ 2.小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为（　　） A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm 3.如图，正方形和正方形的点在同一条直线上，点为的中点，连接，则已知下列哪条线段的长度，一定能求出线段的长（　　） A． B． C． D． 4.如图所示，在正方形中，点在上，且． （1）求证：； （2）判断四边形的形状并说明理由． 答案解析 课堂练习： 1.【答案】B 【解析】解：A、只有正方形和菱形的对角线垂直，矩形的对角线不一定垂直，不符合题意； B、矩形、正方形、菱形的对角线都互相平分，符合题意； C、只有矩形和正方形的对角线长度相等，菱形的对角线长度不一定相等，不符合题意； D、只有正方形和菱形的对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角，不符合题意； 故选；B． 2.【答案】C 【解析】解：∵点在正方形内部，且是等边三角形，是正方形的对角线， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：C． 3.【答案】B 【解析】解：∵正方形的边长为， 根据正方形的轴对称性得： ， 故答案为：． 4.【答案】 【解析】解：菱形的对角线分别为和， 菱形的面积， 正方形的边长是 故答案为：。 5.【答案】 【解析】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 6.【答案】3 【解析】解：如图所示，过点作于， ∵点是正方形的对角线上的一点，于点 ∴四边形是矩形， ∴是等腰直角三角形， ∴ ∴四边形是正方形， ∴， 即点到直线的距离为 故答案为：． 7.【答案】证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴，， ∵是边的中点，是边的中点， ∴BE=AB，CF=BC， ， 在和中， ， （SAS）， ． 作业布置： 1.【答案】C 【解析】解：A、①AB=BC（平行四边形邻边相等，判定为菱形）+③AC⊥BD（菱形的固有性质，无法新增判定条件），仅能判定是菱形，不能判定是正方形，A符合题意； B、①AB=BC（判定为菱形）+④AC=BD（菱形对角线相等，判定为正方形），可推出是正方形，B不符合题意； C、②∠BAD=90°（平行四边形有一个直角，判定为矩形）+③AC⊥BD（矩形对角线垂直，判定为正方形），可推出是正方形，C不符合题意； D、②∠BAD=90°（判定为矩形）+④AC=BD（矩形的固有性质，无法新增判定条件），仅能判定是矩形，不能判定是正方形，D符合题意； 故答案为：C. 2.【答案】D 【解析】解：如图1，图2中，连接AC． 图1中，∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC， ∵∠B＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝AC＝20cm， 在图2中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC，∠B＝90°， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴AC＝AB＝20cm； 故答案为：D． 3.【答案】B 【解析】解：连接并延长交于，如下图， ∵四边形和四边形是正方形，三点在同一直线上， ∴，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中点， ∴在中，可有， ∵，， ∴，即， 即为等腰直角三角形， 所以知道的长度，可求出，一定能求出线段的长． 故答案为：C． 4．【答案】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴ （2） 结论：四边形AFCE是菱形 理由：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形 鸿鹄志 鸿鹄志 学科网（北京）股份有限公司 $