28.2.2 解直角三角形的简单应用-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 28.2.2 解直角三角形的简单应用 【义务教育教科书人教版九年级下册】 情 境 导 入 28.2.2 解直角三角形的简单应用 在直角三角形中，除直角外，由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形. 1. 解直角三角形 (1) 三边之间的关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）； 2. 解直角三角形的依据 (2) 两锐角之间的关系： ∠ A＋ ∠ B＝ 90º； (3) 边角之间的关系： tanA＝ sinA＝ a c cosA＝ b c a b A B a b c C 新 课 探 究 28.2.2 解直角三角形的简单应用 例3 2012年6月18日，“神州”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接. “神州”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行. 如图，当组合体运行到离地球表面P点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距离是多少（地球半径约为6 400km， 结果取整数）？ O F P Q 最远点 求 的长，要先求∠POQ的度数 FQ是☉O的切线，∠FQO为直角. 新课探究 情境导入 课堂小结 O F P Q 解：设∠POQ= α ， ∵FQ是☉O的切线， ∴△FOQ是直角三角形. 的长为 新课探究 情境导入 课堂小结 例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼底部的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120m，这栋楼有多高(结果取整数)？ 解：如图，α=30，β=60°，AD=120. ∵ tanα= ，tanβ= ∴ BD=AD•tanα=120×tan30°=120× = 40 CD=AD•tanβ=120×tan60°=120×=120 ∴ BC=BD+CD=40+120=160≈277(m) 因此，这栋楼高约为277m. 新课探究 情境导入 课堂小结 例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01nmile）？ 新课探究 情境导入 课堂小结 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 方位角 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 新课探究 情境导入 课堂小结 解：如图，在Rt△APC中， PC=PA•cos(90°-65°)=80×cos25°≈72.505 在Rt△BPC中，∠B=34°， ∵sinB= ∴PB= = ≈130(n mile) 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约130n mile. 例5 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01nmile）？ 新课探究 情境导入 课堂小结 利用解直角三角形解决实际问题的一般过程： 1. 将实际问题抽象为数学问题； 2. 根据条件的特点，适当选用锐角三角函数去解直角三角形； 画出平面图形，转化为解直角三角形的问题 3. 得到数学问题的答案； 4. 得到实际问题的答案. 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 α l h i= h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l . 坡面 水平面 3. 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. 新课探究 情境导入 课堂小结 例6 水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求： (1) 斜坡CD的坡角α (精确到 1°)； A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 解： 斜坡CD的坡度i = tanα = 1 : 2.5=0.4， 由计算器可算得α≈22°. 故斜坡CD的坡角α 为22°. 新课探究 情境导入 课堂小结 解：分别过点B、C作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别 为点E、 F，由题意可知BE=CF=23m ， EF=BC=6m. 在Rt△ABE中， (2) 坝底AD与斜坡AB的长度 (精确到0.1m). E F A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 新课探究 情境导入 课堂小结 =69+6+57.5=132.5 (m). 在Rt△ABE中，由勾股定理可得 在Rt△DCF中，同理可得 故坝底AD的长度为132.5m，斜坡AB的长度为72.7m. E F A D B C i=1:2.5 23 6 α i=1:3 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 1.如图，厂房屋顶人字形(等腰三角形)钢架的跨度BC＝10米，∠B＝36°，则中柱AD (D为底边中点)的长是(　　) A．5sin 36°米 B．5cos 36°米 C．5tan 36°米 D．10tan 36°米 C 新课探究 情境导入 课堂小结 2.从一艘船上测得海岸_上高为42米的灯塔顶部的仰角为30°时,船离灯塔的水平距离是( ) A.42米 B.14米 C.21米 D.42米. A 3. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度. 4. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. α l h 30 新课探究 情境导入 课堂小结 解：过A作AF⊥BC于点F， 则AF的长是A到BC的 最短距离. ∵BD∥CE∥AF， ∴∠DBA=∠BAF=60°， ∠ACE=∠CAF=30°， ∴∠BAC=∠BAF－∠CAF=60°－30°=30°. 5. 如图，海岛A的周围8海里内有暗礁，鱼船跟踪鱼群由西向东航行，在点B处测得海岛A位于北偏东60°，航行12海里到达点C处，又测得海岛A位于北偏东30°，如果鱼船不改变航向继续向东航行．有没有触礁的危险？ 北 东 A C B 60° 30° D E F 新课探究 情境导入 课堂小结 又∵∠ABC =∠DBF－∠DBA = 90°－60°=30°=∠BAC， ∴BC=AC=12海里， ∴AF=AC · cos30°=6 (海里)， 6 ≈10.392＞8， 故渔船继续向正东方向行驶，没有触礁的危险． 北 东 A C B 60° 30° D E F 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 28.2.2 解直角三角形的简单应用 情境导入 课堂小结 新课探究 利用仰俯角解直角三角形 利用坡度解直角三角形 利用方位角解直角三角形 解直角三角形的简单应用 坡角 坡度(或坡比) THANK YOU $