28.1.1 正弦函数-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年九年级下册数学（人教版）

第二十八章 锐角三角函数 28.1 第1课时 正弦函数 【义务教育教科书人教版九年级下册】 情 境 导 入 28.1 第1课时 正弦函数 1.如图，在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=1cm，根据“在直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的_____”，得到AB=____cm，然后根据勾股定理，得AC=____cm. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，BC=1cm，则AC=____cm，AB=____cm. 一半 2 1 新 课 探 究 28.1 第1课时 正弦函数 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？ 从上述情境中，你可以找到一个什么数学问题呢？能否结合数学图形把它描述出来？ A B C 30° 35m ? 新课探究 情境导入 课堂小结 A B C 30° 35m 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC = 35 m，求AB. 根据“在直角三角形中，30°角所对的 边等于斜边的一半”. 即 可得 AB = 2BC =70 (m). 也就是说， 需要准备 70 m 长的水管. 新课探究 情境导入 课堂小结 探究 在前面的问题中，如果出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？ A B C 在上面求AB (所需水管的长度）的过程中，我们用到了结论：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么无论这个直角三角形大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 可得AB=2BC=100(m).也就是说，需要准备100m长的水管. 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，任意画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，计算∠A的对边与斜边的比 由此你能得出什么结论？ A C B 如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°， 因为∠A=45°，所以Rt△ABC是 等腰直角三角形.由勾股定理得 AB2=AC2+BC2=2BC2 ,AB= BC. 因此 即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，无论这个直角三角形大小如何， 这个角的对边与斜边的比都等于 探究 新课探究 情境导入 课堂小结 综上可知，在Rt△ABC 中， ∠C=90°， 当∠A=30°时， ∠A的对边与斜边的比都等于 是一个固定值； 当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于 也是一个固定值. 一般地，当∠A是任意一个确定的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值呢？ 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 任意画 Rt△ABC 和 Rt△A'B'C'，使得∠C＝∠C'＝90°，∠A＝∠A'＝α，那么 与 有什么关系？你能解释一下吗？ A B C A' B' C' ∵∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′, ∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′ 因此 即 这就是说，在Rt△ABC 中，当锐角A 的度数一定时，无论这个直角三角形大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值. 新课探究 情境导入 课堂小结 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦（sine），记作sinA，即 例如，当∠A=30°时，我们有 sinA=sin30°= 当∠A=45°时，我们有 sinA=sin45°= ∠A的正弦sinA随着∠A的变化而变化. A B C c a b 斜边 新课探究 情境导入 课堂小结 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，求 sinA 和sinB 的值. A B C 4 3 图① ？ A B C 13 5 图② ？ 新课探究 情境导入 课堂小结 解:如图(1)，在Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 如图(2),在Rt△ABC 中，由勾股定理得 因此 C B A 13 （2） 3 5 A C B 4 （1） 新课探究 情境导入 课堂小结 练习 A 10m 6m B C 1.判断 ①sinA= （ ） ②sinB= （ ） ③sinA=0.6m （ ） ④sinB =0.8 （ ） √ x x √ sin A是一个比值，无单位. ⑤如图，sin A= （ ） × 新课探究 情境导入 课堂小结 2.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，则sinA的值为(　　) A. B. C. D. B 新课探究 情境导入 课堂小结 3. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ° ，若 sinA = ，则∠A= ， ∠B= . 45° 45° 解析：∵ AB＝ ，BC＝ ，AC ＝ ∴ AB2 ＝ BC2＋AC2 ∴ ∠ACB＝90° ∴sin∠ABC＝ 4. 如图，在正方形网格中有 △ABC，则 sin∠ABC的值为 . 新课探究 情境导入 课堂小结 5. 如图，在 △ABC 中， AB = BC = 5，sinA = ，求 △ABC 的面积. D 5 5 C B A 解：作BD⊥AC于点D， ∵ sinA = ， ∴ 新课探究 情境导入 课堂小结 6.已知：如图，⊙O 的直径AB 为3，线段AC＝4，直线AC 和PM 分别与⊙O 相切于点A，M. (1)求证：点P是线段AC的中点； (2)求sin∠PMC的值． (1)证明：如图，连接AM.∵AB是⊙O 的直径， ∴∠AMB＝90°.∴∠AMC＝90°. ∴∠MAC＋∠C＝90°，∠PMC＋∠PMA＝90°. ∵AC 和PM 分别与⊙O 相切于点A，M， ∴PM＝PA. ∴∠PMA＝∠PAM. ∴∠C＝ ∠PMC. ∴PC＝PM. ∴PA＝PC，即点P 是线段AC 的中点． (2)解：∵AC 切⊙O 于点A， ∴∠BAC＝90°. ∵AB＝3，AC＝4，∴BC＝5. 由(1)知∠C＝∠PMC， ∴sin∠PMC＝sinC＝ 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 28.1 第1课时 正弦函数 情境导入 课堂小结 新课探究 正弦函数 正弦函数的概念 正弦函数的应用 ∠A的对边 斜边 sin A = 已知边长求正弦值 已知正弦值求边长 THANK YOU $