专题05锐角三角函数同步讲义(知识梳理+题型精析+考点突破）2025-2026学年人教版九年级数学下册

专题05锐角三角函数同步讲义 【题型01 正弦的概念辨析】...............................................3 【题型02 求角的正弦值】.................................................6 【题型03 已知正弦值求边长】.............................................8 【题型04 求角的余弦值】................................................12 【题型05 余弦的概念辨析】..............................................15 【题型06 已知余弦求边长】..............................................19 【题型07 求角的正切值】................................................22 【题型08 正切的概念辨析】..............................................24 【题型09 已知正切值求边长】............................................28 【题型10 特殊三角形的三角函数】........................................30 【题型11 特殊角三角函数值的混合运算】..................................32 【题型12 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】..........................33 【题型13 由特殊角三角函数值求角的度数】................................36 【题型14 根据三角函数值判断锐角的取值范围】............................38 【题型15 利用同角三角函数关系求值】....................................40 【题型16 三角函数综合】................................................43 【解答题9题】..........................................................47 ★知识梳理 知识点01:锐角三角函数的定义 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A 为锐角 正弦：sinA== 余弦：cosA==. 正切：tanA== ✅ 核心要点： 1.三角函数是比值，无单位，大小只与角的大小有关，与三角形边长无关。 2.取值范围：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。 3.互余角关系：若 ∠A + ∠B = 90°，则 sinA=cosB，cosA=sinB。 知识点02:三种三角函数的辨析与判断 函数 定义式 记忆口诀 易错点 sinA ​ 正对着的边比斜边 易与邻边混淆，注意 “对边” 是角的对面那条边 cosA ​ 挨着的边比斜边 邻边是组成角的两条直角边之一 tanA ​ 对边比邻边 分母不能为 0，直角的正切不存在 知识点03:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 记忆技巧 *30°、45°、60° 的正弦值：分母为 2，分子依次为、、； *30°、45°、60° 的余弦值：分母为 2，分子依次为、​、​（与正弦值反向）； *正切值：tan30×tan60°=1，tan45°=1。 知识点04:核心应用类型 1. 已知边长求三角函数值 步骤： 1.确定直角三角形，找到目标锐角。 2.明确对边、邻边、斜边。 3.代入定义式计算比值。 2.已知三角函数值求边长 步骤： 1.写出对应三角函数定义式。. 2.代入已知值和已知边长，列方程求解。 3. 特殊角的混合运算 规则： 先代入特殊角的三角函数值，再按四则运算顺序计算。 注意分母有理化和根式化简。 4. 由三角函数值判断三角形形状 若 sinA=cosB 且 ∠A、∠B 为锐角，则 ∠A + ∠B = 90°，三角形为直角三角形。 若 tanA=1，则 ∠A = 45°，若同时为直角三角形，则为等腰直角三角形。 5. 计算器的使用 求三角函数值：输入角度 → 按 sin/cos/tan 键。 已知三角函数值求角度：输入函数值 → 按 2ndF + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹ 键。 易错点提醒 1.混淆对边与邻边：必须以目标锐角为参照，对边是角对面的直角边，邻边是与角相邻的直角边。 2.特殊角数值记混：重点区分 30° 和 60° 的正弦、余弦值，正切值的倍数关系。 3.忽略直角前提：三角函数定义仅在直角三角形中成立，非直角三角形需先作高构造直角。 4.正切的分母为 0：直角的正切不存在，计算时避免出现分母为 0 的情况。 【题型1.正弦的概念辨析】 【典例】如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，则AC的值是_____． 【答案】12 【分析】由sinB＝得AC＝ABsinB，据此可得． 【详解】解：在Rt△ABC中，∵sinB＝， ∴AC＝ABsinB＝15×＝12， 故答案为：12． 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知正弦函数的定义. 【跟踪专练1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正弦函数的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据正弦函数的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 【跟踪专练2】在中，，若，则_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了解直角三角形，熟练掌握正弦与余弦的定义是解题关键．先画出图形，根据正弦的定义可得，再根据余弦的定义即可得． 【详解】解：如图，∵， ∴， 故答案为：． ． 【跟踪专练3】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，在中，解直角三角形求出，再证明即可解决问题． 【详解】解：∵将矩形纸片对折一次，使边与重合，得到折痕， ∴． ∵再一次折叠纸片，使点A落在的处并使折痕经过点B，得到折痕， ∴． 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴． 故选：B． 【题型2.求角的正弦值】 【典例】如图，在中，，，，则的值为_____． 【答案】/0.8 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义（在直角三角形中，锐角的正弦等于对边与斜边的比值）是解题的关键． 根据锐角三角函数的定义，在直角三角形中，等于的对边与斜边的比值，直接结合已知边长计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查正弦的定义以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意得到，即可求出，再根据勾股定理求出，即可得到答案． 【详解】解：是边上的中线，， ， 在中，， 在中，， 故， 故选C． 【跟踪专练2】.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，解直角三角形，根据圆周角定理得到，再根据正弦的定义计算即可． 【详解】解：连接，， 由图可得：，，， ∵为直径， ∴， 在中，， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，于点D，且，​，则的长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了用勾股定理解三角形，求角的正弦值等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先利用正弦求得，结合已知线段可求得，再根据勾股定理求得，然后利用线段差求得． 【详解】解：∵， ∴​， ∵​， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【题型3.已知正弦值求边长】 【典例】如图，在中，，，，则________． 【答案】12 【分析】此题考查了正弦的定义，根据正弦的定义得到，则． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， 故答案为：12 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质、锐角三角函数等知识，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 连接交于点O，根据四边形是菱形，可得， ，，，再用锐角三角函数求解即可得出结论． 【详解】解：如图， 连接交于点O， ∵四边形是菱形， ∴， ，，， ∴， ∴在中， ， ∴． 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在中，．若，，则_________． 【答案】12 【分析】过点C作于点D，根据等腰三角形性质得到，，根据，得到，根据勾股定理得，即可得到答案. 【详解】解：过点C作于点D， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练3】如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为45°，AC+BD=10，则四边形ABCD面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AC与BD交于G，过A作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由S△ABD=，S△CBD=，三角函数AE= ，CF= ，可得S四边形ABCD=，AC+BD=10，可求，S四边形ABCD 即可． 【详解】解：设AC与BD交于G，过A作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F， ∴S△ABD=，S△CBD=， 在Rt△GAE与Rt△CFG中， ∵∠AGD=∠CGF=45°， ∴AE=AGsin∠EGA=，CF=CGsin∠CGF=， ∴S四边形ABCD= S△ABD+S△CBD=+， =， ∵AC+BD=10， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴S四边形ABCD ， ∴S四边形ABCD最大=． 故选择A． 【点睛】本题考查四边形面积，特殊角锐角三角函数值，公式的变形，掌握四边形面积转化两个三角形面积和，特殊角锐角三角函数值，利用乘法公式的变形得出是解题关键． 【题型4.求角的余弦值】 【典例】在中，，，那么___________． 【答案】 【分析】本题主要考查锐角三角函数，根据正弦和余弦的定义结合勾股定理计算求解即可． 【详解】解：如图， 在中，，设 ∵， ∴， ∴， 则， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查求余弦值，先根据条件求出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ 解得：， ∴， 故选：C． 【跟踪专练2】在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形、全等三角形的判定和性质及角平分线的性质．先证，得出，即可求出的余弦值． 【详解】解：如图，设交于F， 是的平分线， ． ， ． 在和中 ． ． ， ． ． ， ． 故答案为： 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于E，由可证，则可得，由此可求出的长，再在中根据面积法求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可求出的余弦值，由于，因此可得的余弦值． 【详解】 .   作于E， ， ， ， ， ． 中， ． ， ， 解得， ． ， ． 故选：C 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质、用面积法求直角三角形斜边上的高、勾股定理及余弦的定义．熟练掌握以上知识并且正确的作出辅助线是解题的关键． 【题型5.余弦的概念辨析】 【典例】比较大小：_____（用“＞”或“＜”填空） 【答案】 【分析】本题主要考查了余弦的性质， 根据锐角三角函数值都是正值．当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大而减小即可得结论． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：. 【跟踪专练1】如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，准确识图，根据锐角三角函数的定义对题目中给出的四个选项逐一进行分析判断即可得出答案．熟练掌握锐角三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：，， ，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为． （1）点恰好为中点时，的值为______． （2）点在上且、、在同一条直线上时，的值为______． 【答案】 2 【分析】（1）根据三角形的面积推出边的比即可得到结果； （2）根据余弦的定义和勾股定理即可得到结果； 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B=90°， 当点恰好为中点时，，则， 设，则，， 由题知：， ∴， ∴， ∵△ABC和△EBC的高都是BC， 设， ∴； 故答案是2． （2）点在上且、、在同一条直线上时， 设，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ，可得到：， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， 解得：， ∴， ∴； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和勾股定理，结合余弦的定义计算是解题的关键． 【跟踪专练3】已知余弦函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点使得，则的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题可通过分析的几何意义，结合余弦函数（）的图象，判断过原点的直线与函数图象的交点个数，进而确定的可能取值． 【详解】解：设得， ∴点再直线上，如图， 当时，无意义． 当，即时，直线与的交点为, ,，此时． 当直线经过时，，此时直线与有个交点，如图， 当直线经过时，，此时直线与有个交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了函数图象交点问题，关键在于理解的几何意义，通过分析直线与的交点个数来确定的取值． 【题型6.已知余弦求边长】 【典例】在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【答案】16 【分析】本题考查了已知角的余弦值求边长．根据余弦定义，在直角三角形中，锐角的余弦值等于邻边与斜边的比，即 ，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵的余弦值是，， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：16． 【跟踪专练1】．如图，在中，，，为角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．根据等腰三角形三线合一的性质，得到，，在中，利用余弦求出，即可得解． 【详解】解：，为角平分线， ，， 在中，， ， ， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 【答案】 【分析】本题考查了余弦的定义和勾股定理，熟知余弦的定义是解题的关键． 作轴于点B，如图，先根据余弦的定义求出，再利用勾股定理求出，进而得解． 【详解】解：作轴于点B，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴点的坐标是． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（   ） A． B．10 C． D．15 【答案】A 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，由，，求出长，再由，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ∵是直角三角形， ， 是的中点， ， ，， ， ， ， ． 故选：A． 【题型7.求角的正切值】 【典例】如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数的定义，熟练掌握三角函数的定义是关键．在中，根据正切函数的定义求解即可． 【详解】解：，，， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，的顶点均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，锐角三角函数．由勾股定理及逆定理可得是直角三角形，且，进而根据正切的定义即可求解． 【详解】解：由网格可得，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 故选：D． 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________． 【答案】2 【分析】根据勾股定理计算三边长，根据勾股定理逆定理判断，进而结合锐角三角函数的定义计算的值． 【详解】解：根据勾股定理得，， ， ， ， ， ， 故答案为：2 ． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，证明，得到，然后过点作，得到，根据相似三角形对应边成比例分别求出的长，进而求出的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：∵矩形中，，是边上的三等分点，，， ， ， ， ， 过点作，则， ， ， ， ， ． 【题型8.正切的概念辨析】 【典例】如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则的高度________．（用含有、、a的式子表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了正切的定义，根据正切得定义得出，再由，然后代入化简即可得出h即可． 【详解】解：根据题意有：， ∵， ∴， 移项得：， 整理得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角三角形中正弦、余弦及正切的定义．根据题意在直角三角形内结合各选项表示出不同的正弦、余弦及正切角的表示方式，通过比较选择正确表示选项即可． 【详解】解：A项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故A错误； B项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故B错误； C项：在中，， 在中，， 其中符合选项，故C正确； D项：在中，， 在中，， 以上均不符合选项，故D错误， 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则______． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义、相似三角形的性质与判定，掌握相关知识点，结合图形找到合适的相似三角形是解题的关键．通过证明，利用相似三角形的性质得到，再根据正切的定义得到，即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ， ， ，即， ， ， ， ，即， ， ， 在中，， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】作辅助线，用角α的正切解答，角α的正切等于角α的对边AC比角α的邻边BC． 【详解】如图，过点B作BC⊥AD于点C， 则∠ABC=α，AC=AD-CD=AD-BE=25 -1=24， ， ∴． 故选D． . 【点睛】本题考查了锐角三角函数里面的正切，熟练掌握正切的定义及算法是解决此类问题的关键． 【题型9.已知正切值求边长】 【典例】在中，，如果，，那么______． 【答案】 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【跟踪专练1】如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（   ）平方米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解直角三角形求出的长，从而可得地毯的长度，再根据矩形的面积公式即可得． 本题考查了解直角三角形，熟练掌握正切三角函数的定义是解题关键． 【详解】解：由题意，在中，， 故地毯的长度为， 故地毯的面积至少需要（平方米）， 故选：A． 【跟踪专练2】如图，在等边中，，是中线，E是的中点，点P是上一动点，则的最小值是________． 【答案】 【分析】本题考查了三角函数，勾股定理． 如图，连接并延长交于点P，此时取得最小值为，根据三角函数求出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点P，此时取得最小值为， 在等边中，∵是中线， ∴，， 则． ∴在中，， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形三边关系，过点C作，使，连接，证明得，进而得，再由勾股定理得，再根据三角形三边关系得（当点E位于上时，等号成立），即可得出结论． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接， ∴， ∴，即， 又∵， ， ， ∴， 在中，， 在中，由三边关系，得（当点E位于上时，等号成立）， 故的最大值． 故选：A． 【题型10.特殊三角形的三角函数】 【典例】___________． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接根据特殊角的三角函数值求解． 【详解】， 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查特殊角三角函数的计算，熟练掌握特殊角三角函数的值是解题的关键，利用特殊角三角函数的值可得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】若n为正整数，且满足，则________． 【答案】5 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，估算无理数大小，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值，掌握估算无理数的方法，先根据特殊角的三角函数值得，再用逼近法估算的大小，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：5． 【跟踪专练3】点关于原点中心对称的点的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】利用特殊角的三角函数值确定出M坐标，找出关于原点中心对称的点坐标即可． 【详解】解：点化简得：， 所以关于原点对称的点的坐标是（，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，原点对称，熟练掌握特殊角的三角函数值，原点对称是解题的关键． 【题型11.特殊角三角函数的混合运算】 【典例】计算________． 【答案】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，直接代入特殊角的三角函数值，再计算即可 【详解】解：原式 ， 故答案为： 【跟踪专练1】已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，把转化为，再代入公式计算即可求解，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故选：． 【跟踪专练2】_____． 【答案】/ 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，实数的混合运算，零指数幂，熟练记忆特殊角的三角函数值是解题关键． 将特殊角的三角函数值和零指数幂化简，然后按照实数的混合运算的法则进行计算即可． 【详解】解： ， ， ， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查特殊角的三角函数的混合运算．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 把特殊角的三角函数值代入计算即可． 【详解】解：原式 ． 故选：D． 【题型12.由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【典例】在中，满足：，则的形状为__________． 【答案】等边三角形 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出的度数，再根据三角形的内角和定理求出的度数，最后根据三个内角的关系判断出其形状． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 【跟踪专练1】在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形，绝对值的非负性，利用非负数的性质，令平方项和绝对值项分别为零，求出和的度数，再计算，从而判断三角形形状，即可作答． 【详解】解：∵，且平方项与绝对值项均非负， ∴ 且 ， ∴ ，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形． 故选：B． 【跟踪专练2】已知在中、都是锐角，，那么的形状是______． 【答案】 直角三角形 【分析】本题主要考查非负性，锐角三角函数值的计算，掌握非负性，锐角三角函数的计算是关键． 根据非负数的性质，绝对值和算术平方根的和为零，则每个部分均为零，由此可求出和的度数，进而求出的度数，从而判断三角形的形状． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∵是三角形的锐角， ∴， 则， ∴ 是直角三角形， 故答案为：直角三角形． 【跟踪专练3】在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查三角函数，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点是解题的关键． 过点A作于点D，则，推导出，得到是线段的垂直平分线，继而推断出，则是等腰三角形，即可解答． 【详解】解：过点A作于点D，则 ， ∴． ∴ ， 是线段的垂直平分线， ， 即， 是等腰三角形． 故选C． 【题型13.由特殊角三角函数值求角的度数】 【典例】在中，若，则的度数为_______． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了非负数的性质，根据特殊角三角函数值求角的度数，三角形内角和定理，根据非负性的性质可求出的值，则可求出的度数，进而由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根和平方根的非负性，特殊角三角函数值，三角形内角和定理等．根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分均为零．结合三角函数可求出和的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：由题意得：，， ，， 在锐角范围内，，， ． 故选A． 【跟踪专练2】如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为________．    【答案】或 【分析】本题考查的是轴对称的性质，长方形的性质，锐角三角函数的应用，如图，连接交于，证明，，在的垂直平分线上，如图：当落在线段的上方时，重合时，如图：则，，当落在线段的下方时，重合时，落在直线上，如图，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接交于，    ∵在长方形中，对角线， ∴，，， ∴，，在的垂直平分线上， 如图：当落在线段的上方时，重合时，如图：则，，    ∴是等边三角形， ∴． 当落在线段的下方时，重合时，落在直线上，如图，    ∴， ∴； 综上，的度数是或． 故答案为：或． 【跟踪专练3】已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系以及特殊角的三角函数值，设方程的另一个根为，根据根与系数的关系求出和锐角的度数． 【详解】解：设方程的另一个根为，则： ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【题型14.根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【典例】若为锐角，且，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解一元一次不等式，根据锐角三角函数的范围即可得到一个关于的不等式，解不等式即可求解，理解锐角的正弦值的范围，从而转化为解不等式是解题的关键． 【详解】解：∵为锐角， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用特殊角的三角函数值，解决问题即可． 本题考查锐角三角函数的增减性，解题的关键是记住特殊角的三角函数值，属于中考常考题型． 【详解】解：，，， ， 故选：B． 【跟踪专练2】已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【答案】 【分析】本题主要考查三角函数的性质，根据正弦函数在锐角范围内的单调性，由可得，结合为锐角可得取值范围． 【详解】解：在中，内角可能是锐角或直角， 当时，，不满足，故不可能是直角， ∴只能是锐角，即， ∵， ∴， ∵为锐角， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由勾股定理，依次得到，，，由，，得到，， 由，，得到（三角形的三条高相交于同一点），结合，得到，即可求解， 本题考查了，勾股定理，锐角三角函数，解题的关键是：熟练掌握通过三角函数比较角的大小． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴（三角形的三条高相交于同一点）， 又∵， ∴， 故选：A． 【题型15.利用同角三角函数关系求值】 【典例】已知 (为锐角)，则 ___________ 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数，解答本题的关键是掌握三角函数的相关定义．将分子和分母同时除以，化简可得，然后代入求解即可． 【详解】解：∵， 故， 将代入，原式． 故答案为：． 【跟踪专练1】我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了锐角三角函数的基本关系及新定义运算，先利用同角三角函数的平方关系求出的值，再代入题目规定的公式计算即可． 【详解】解：∵为锐角，，， ∴， ∵若是锐角，则 ∴， 故选：A． 【跟踪专练2】若锐角且为锐角，则．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】由的值及为锐角，利用同角三角函数关系求出，再代入 计算即可． 本题考查了三角函数的计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：如图，,,, , 因为为锐角，且， 所以， 则， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用同角三角函数关系求值，先利用同角三角函数的基本关系化简所求代数式，将其转化为与已知条件直接相关的形式，再代入已知值得到结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，，， ∴，， ∵， ∴，且， ∴原式， ∵，且， ∴， ∵， ∴原式， 故选：． 【题型16.三角函数综合】 【典例】如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 【答案】 【分析】本题考查了特殊的锐角三角函数的知识，掌握以上知识是解答本题的关键． 本题通过题干可得，，，然后根据，然后即可求解． 【详解】解：由题意可得：，，， ∴， 解得：， 故答案为：． 【跟踪专练1】已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质和一元二次方程判别式与根的关系，由于关于x的方程有两个相等的实根，所以判别式，解可得，即；又已知，可得，故．根据这两个条件可以判断的形状为等腰直角三角形． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实根， ∴， 化简，得， 即． ∴； 又∵， ∴， 故， ∴， 所以的形状为等腰直角三角形． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数的计算，掌握锐角三角函数的计算方法是关键． 根据矩形，折叠的性质得到，，由锐角三角函数的计算得到，则，由此得到，结合正切值的计算即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵折叠， ∴，， 在中，， ∴ ， ∴， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2 ． 【跟踪专练3】如图1，长、宽均为4，高为12的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为8，绕底面一棱向右旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点C作于点F，设，则，根据题意，得倾斜前水的体积表示为，倾斜后水的体积表示为，列方程求解即可． 【详解】解：过点C作于点F，设，则，根据题意，得倾斜前水的体积为，倾斜后水的体积为， 根据题意，得， 解得， 故， 根据勾股定理，得， 故， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用、长方体的体积、梯形的面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由长方体容器内水的体积得出方程是解决问题的关键． 【解答题】 1．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【分析】掌握分式的化简求值、二次根式的混合运算、特殊角的三角函数值是解题的关键，先根据分式的运算法则 把分式化简，再把的值代入化简后的分式中计算． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 2．（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】（1）先计算负整数指数幂，三角函数，二次根式，再计算绝对值，最后计算加减即可； （2）先计算括号里的加法，再计算除法，最后将代入化简结果计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， 当时，原式． 3．定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 【答案】(1)；1； (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了三角函数的有关计算，解题的关键是理解题意，熟练掌握三角函数的定义． （1）根据题干中提供的信息进行计算即可； （2）根据三角函数的定义进行解答即可； （3）根据解析（2）的结论分别求出，，即可得出结论． 【详解】（1）解： ； ； ； （2）证明：∵在中，，，，， ∴，，， ∵， ∴． （3）证明：∵ ， ∴． 4．如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，根据正弦的定义可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理，得． 5．如图，已知，在中，，，求的值． 【答案】12 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识；由等腰三角形性质得；由余弦函数可求得的长，即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即的值为12． 6．如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，熟知锐角三角函数是解题的关键． （1）根据正切的定义解即可得到答案； （2）根据（1）所求可得的长，进而可得的长，再利用勾股定理求出的长，最后根据正弦的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 在中，， ∴． 7．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 【答案】（1）2米；（2）符合 【分析】（1）利用影长物高成比例求解即可； （2）先求出锐角三角函数值，再利用锐角三角函数值求出角的范围即可． 【详解】解：（1）， ， 答：滑梯高为2米； （2）∵AC=2m,BC=4m， ∴， ∵正切值随着角的增大函数值增大， ， 这架滑梯的倾斜角符合安全要求． 【点睛】本题考查影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性，掌握影长物高成比例性质，正切三角函数的定义，及正切函数的增减性是解题关键． 8．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 9．已知中，，记，． (1)若为有理数，且为小于的正整数，求的值； (2)是否存在，使得x，y皆为有理数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见详解 【分析】（1）根据三角函数的定义可得，，即可得，根据为有理数，可得为有理数，设， ，且t是非0的正有理数， 根据为小于的正整数，可得，为正整数，结合， t是非0的正有理数，得可以为1，问题得解； （2）假设存在，使得x，y皆为有理数，则设：，且为有理数，可得，即有，均为有理数，进而有，根据为有理数，可得，则有，根据，可得，即有与相矛盾，故假设不成立，即问题得解． 【详解】（1）在中，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵为有理数， ∴为有理数， ∴设， ，且t是非0的正有理数， ∵为小于的正整数， ∴，为正整数， ∴， t是非0的正有理数， ∴， ∴； （2）不存在，理由如下： 假设存在，使得x，y皆为有理数， 则设：，且为有理数， ∴， 即有，，均为有理数， ∴， ∵为有理数， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵与相矛盾， 故假设不成立， 故不存在，使得x，y皆为有理数． 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，分母有理化等知识，根据三角函数的定义得出，是解答本题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05锐角三角函数同步讲义 【题型01 正弦的概念辨析】...............................................3 【题型02 求角的正弦值】.................................................4 【题型03 已知正弦值求边长】.............................................5 【题型04 求角的余弦值】.................................................6 【题型05 余弦的概念辨析】...............................................7 【题型06 已知余弦求边长】...............................................7 【题型07 求角的正切值】.................................................8 【题型08 正切的概念辨析】...............................................9 【题型09 已知正切值求边长】............................................10 【题型10 特殊三角形的三角函数】........................................11 【题型11 特殊角三角函数值的混合运算】..................................11 【题型12 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】..........................12 【题型13 由特殊角三角函数值求角的度数】................................12 【题型14 根据三角函数值判断锐角的取值范围】............................13 【题型15 利用同角三角函数关系求值】....................................13 【题型16 三角函数综合】................................................14 【解答题9题】..........................................................15 ★知识梳理 知识点01:锐角三角函数的定义 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A 为锐角 正弦：sinA== 余弦：cosA==. 正切：tanA== ✅ 核心要点： 1.三角函数是比值，无单位，大小只与角的大小有关，与三角形边长无关。 2.取值范围：0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。 3.互余角关系：若 ∠A + ∠B = 90°，则 sinA=cosB，cosA=sinB。 知识点02:三种三角函数的辨析与判断 函数 定义式 记忆口诀 易错点 sinA ​ 正对着的边比斜边 易与邻边混淆，注意 “对边” 是角的对面那条边 cosA ​ 挨着的边比斜边 邻边是组成角的两条直角边之一 tanA ​ 对边比邻边 分母不能为 0，直角的正切不存在 知识点03:特殊角的三角函数值（30°、45°、60°） 记忆技巧 *30°、45°、60° 的正弦值：分母为 2，分子依次为、、； *30°、45°、60° 的余弦值：分母为 2，分子依次为、​、​（与正弦值反向）； *正切值：tan30×tan60°=1，tan45°=1。 知识点04:核心应用类型 1. 已知边长求三角函数值 步骤： 1.确定直角三角形，找到目标锐角。 2.明确对边、邻边、斜边。 3.代入定义式计算比值。 2.已知三角函数值求边长 步骤： 1.写出对应三角函数定义式。. 2.代入已知值和已知边长，列方程求解。 3. 特殊角的混合运算 规则： 先代入特殊角的三角函数值，再按四则运算顺序计算。 注意分母有理化和根式化简。 4. 由三角函数值判断三角形形状 若 sinA=cosB 且 ∠A、∠B 为锐角，则 ∠A + ∠B = 90°，三角形为直角三角形。 若 tanA=1，则 ∠A = 45°，若同时为直角三角形，则为等腰直角三角形。 5. 计算器的使用 求三角函数值：输入角度 → 按 sin/cos/tan 键。 已知三角函数值求角度：输入函数值 → 按 2ndF + sin⁻¹/cos⁻¹/tan⁻¹ 键。 易错点提醒 1.混淆对边与邻边：必须以目标锐角为参照，对边是角对面的直角边，邻边是与角相邻的直角边。 2.特殊角数值记混：重点区分 30° 和 60° 的正弦、余弦值，正切值的倍数关系。 3.忽略直角前提：三角函数定义仅在直角三角形中成立，非直角三角形需先作高构造直角。 4.正切的分母为 0：直角的正切不存在，计算时避免出现分母为 0 的情况。 【题型1.正弦的概念辨析】 【典例】如图，在Rt△ABC，∠C＝90°，sinB＝，AB＝15，则AC的值是_____． 【跟踪专练1】如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，，若，则_____． 【跟踪专练3】如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕．把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕．若矩形纸片的宽，则折痕的长为（   ） A． B． C． D． 【题型2.求角的正弦值】 【典例】如图，在中，，，，则的值为_____． 【跟踪专练1】如图，在中，，是边上的中线，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以为直径的圆经过点C，D，则的值为__________． 【跟踪专练3】如图，在中，于点D，且，​，则的长为（   ） A．12 B．16 C．20 D．24 【题型3.已知正弦值求边长】 【典例】如图，在中，，，，则________． 【跟踪专练1】如图，在菱形中，，，则的长度为（  ） A． B． C．5 D． 【跟踪专练2】如图，在中，．若，，则_________． 【跟踪专练3】如图，四边形ABCD的两条对角线AC，BD所成的锐角为45°，AC+BD=10，则四边形ABCD面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【题型4.求角的余弦值】 【典例】在中，，，那么___________． 【跟踪专练1】如图，在中，是的高，则的值是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在中，，点D是线段AB上一点，且满足，连接，作的平分线交线段于点E．若，则的余弦值为_____． 【跟踪专练3】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点、、、均在格点上，与相交于点，则的余弦值为（    ）    A． B． C． D． 【题型5.余弦的概念辨析】 【典例】比较大小：_____（用“＞”或“＜”填空） 【跟踪专练1】如图，在中，，，垂足为D，则下列结论中正确的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，将矩形纸片沿过点的直线折叠，使得点落在矩形内点处，折痕为． （1）点恰好为中点时，的值为______． （2）点在上且、、在同一条直线上时，的值为______． 【跟踪专练3】已知余弦函数的图象如图所示，当时，在该函数图象上可找到个不同的点使得，则的值不可能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【题型6.已知余弦求边长】 【典例】在中，的余弦值是，那么的长是___________． 【跟踪专练1】．如图，在中，，，为角平分线，则的长为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在直角坐标平面内，点P与原点O的距离，线段OP与x轴正半轴的夹角为，且，则点P的坐标是_________ 【跟踪专练3】如图，在中，是的中点，过点作的垂线交于点，则为（   ） A． B．10 C． D．15 【题型7.求角的正切值】 【典例】如图，在正方形网格中，的顶点均在格点上，则的值为___________． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点为格点，的顶点均在格点上，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【跟踪专练2】如图，在平面直角坐标系中，点，，，则的值为________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，是边上的三等分点，连接，相交于点，连接．若，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【题型8.正切的概念辨析】 【典例】如图，要测量一座小山丘的高度，某同学在一平面内取A、B两点，且测得与山顶C点的仰角的角度为、，A、B两点的距离是a，过C点作交AB的延长线于点D，则的高度________．（用含有、、a的式子表示） 【跟踪专练1】如图，在中，，于点D，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在中，，，，是边上一点，，连接，过作的垂线交边于点，连接，则______． 【跟踪专练3】如图，旧楼的一楼窗台高为1米，在旧楼的正南处有一新楼高25米．已知某日中午12时太阳从正南方照射的光线与水平线的夹角为，光线正好照在旧楼一楼窗台上，则两楼之间的距离为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【题型9.已知正切值求边长】 【典例】在中，，如果，，那么______． 【跟踪专练1】如图为一节楼梯的示意图，，，米，现要在楼梯上铺一块地毯，楼梯宽度为1米．则地毯的面积至少需要（   ）平方米 A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在等边中，，是中线，E是的中点，点P是上一动点，则的最小值是________． 【跟踪专练3】如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【题型10.特殊三角形的三角函数】 【典例】___________． 【跟踪专练1】若，，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【跟踪专练2】若n为正整数，且满足，则________． 【跟踪专练3】点关于原点中心对称的点的坐标是（　　） A．（，） B．（，） C．（，） D．（，） 【题型11.特殊角三角函数的混合运算】 【典例】计算________． 【跟踪专练1】已知公式，则的值为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】_____． 【跟踪专练3】的值为（   ） A．1 B． C． D． 【题型12.由特殊角的三角函数值判断三角形形状】 【典例】在中，满足：，则的形状为__________． 【跟踪专练1】在中，的正切和的余弦满足，则为（   ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【跟踪专练2】已知在中、都是锐角，，那么的形状是______． 【跟踪专练3】在中，所对的边分别为a，b，c，且和均为锐角，若，则是（    ） A．直角三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 【题型13.由特殊角三角函数值求角的度数】 【典例】在中，若，则的度数为_______． 【跟踪专练1】在锐角中，，则的度数是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图所示，在长方形中，对角线，点P 是上一动点，连接，将 沿 折叠，点A 的对应点是，当点落在边 的垂直平分线上时， 的度数为________．    【跟踪专练3】已知是关于x的方程的一个实数根，则锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【题型14.根据三角函数值判断锐角的取值范围】 【典例】若为锐角，且，则的取值范围是______． 【跟踪专练1】已知，则锐角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知是的一个内角，且，那么的取值范围是______________． 【跟踪专练3】如图，中，，，，，，则关于、、的大小关系（　　） A． B． C． D． 【题型15.利用同角三角函数关系求值】 【典例】已知 (为锐角)，则 ___________ 【跟踪专练1】我们规定：若是锐角，则．已知，且为锐角，根据这个规定求的结果是（   ） A． B． C． D．3 【跟踪专练2】若锐角且为锐角，则．已知，则的值为______． 【跟踪专练3】已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【题型16.三角函数综合】 【典例】如图，工人师傅在检修校园的摄像头时，将梯子斜靠在垂直墙面上，当梯子与水平地面的夹角为时，梯子底端离墙根的垂直距离米，则梯子顶端距地面的垂直高度________米． 【跟踪专练1】已a、b、c分别为△ABC中的对边，若关于x的方程有两个相等的实根且，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【跟踪专练2】如图，点是矩形中边上的一点，沿折叠为，点落在上．若的大小为，且满足，则的值为_______． 【跟踪专练3】如图1，长、宽均为4，高为12的长方体容器，放置在水平桌面上，里面盛有水，水面高为8，绕底面一棱向右旋转倾斜后，水面恰好触到容器口边缘，图2是此时的示意图，则图2中水面高度为（   ） A． B． C． D． 【解答题】 1．先化简，再求值：，其中． 2．（1）计算：． （2）先化简，再求值：，其中． 3．定义：， ， ， ； 例如： (1)______，______，______； (2)如图，在中，，，，；求证：；    (3)利用（2）中的结论证明： （，）． 4．如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 5．如图，已知，在中，，，求的值． 6．如图，在中，，为边上的一点，，． (1)求的长． (2)若，求的值． 7．如图是某公园的一台滑梯，滑梯着地点B与梯架之间的距离． （1）现在某一时刻测得身高1.8m的小明爸爸在阳光下的影长为0.9m，滑梯最高处A在阳光下的影长为1m，求滑梯的高； （2）若规定滑梯的倾斜角（）不超过30°属于安全范围，请通过计算说明这架滑梯的倾斜角是否符合安全要求？ 8．如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 9．已知中，，记，． (1)若为有理数，且为小于的正整数，求的值； (2)是否存在，使得x，y皆为有理数？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $