8.3.1实数-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年新教材七年级下册数学（人教版）

8.3 实数及其简单运算 第1课时 实数 第八章 实数 情 境 导 入 第1课时 实数 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么? 任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式. 反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数. 复习 整数可以写成小数点后为0的小数. 4，，－ 4=4.0 =2.5 = = =1. =0. 新 课 探 究 第1课时 实数 所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式吗？ π3.141 592 653 589 793 238 462 6… 1.010 010 001 000 01…(两个1之间依次多一个0) 不是.例如， 1.414 213 56… 1.709 975 94… 很多数的平方根、立方根都是无限不循环小数. 任务一 认识无理数 新课探究 情境导入 课堂小结 无限不循环小数又叫作无理数. 无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数， 它和有理数一样，都是现实世界中客观存在的量的反映. 例如，，－，，等都是无理数. 注意： 1.无理数都是无限小数，但无限小数不一定是无理数,只有无限不循环小数才是无理数. 2.某些数的平方根或立方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数. 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 (1)开方开不尽的数的方根；如：等； (2)π及化简后含π的数；如：，π+1等； (3)有规律但不循环的小数，如：0.303 003 000 3…(相邻两个 3之间依次多一个 0 ). 像有理数一样，无理数也有正负之分. 例如，，，π是正无理数，－，－，－π是负无理数. 常见的无理数的三种形式 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 无理数与有理数的区别 (1)任何一个有理数都可以写成分数的形式(两个整数之比)，无理数不能写成分数的形式. (2)任何一个有理数都可以写成有限小数(整数可以写成小数点后为0的小数)或无限循环小数，无理数是无限不循环小数. 我国古人对无理数已经有了很多认识.《九章算术》中用“面”来表示开方开不尽的数.刘徽在著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给出了用有限小数逼近无理数的算法“求微数法”. 数学史话 下列各数：3.141 592 6，，，1.212 212 221...(相邻的两个1之间依次多一个2)，2－π，－2032，中，无理数的个数为 个. 解析:根据定义可知1.212 212 221...(相邻的两个1之间依次多一个2) ，2－π，是无理数. 练一练 新课探究 情境导入 课堂小结 3 实数 有理数 无理数 正有理数 负有理数 0 正无理数 负无理数 无限不循环小数 有限小数或无限循环小数 思考：我们将有理数和无理数统称为实数. 你能仿照有理数的分类给实数分类吗？ 新课探究 情境导入 课堂小结 任务二 认识实数 新课探究 情境导入 课堂小结 还有其他分类方式吗？ 由于非0有理数和无理数都有正负之分，所以非0实数也有正负之分，于是实数也可以这样分类: 实数 正实数 负实数 正有理数 正无理数 0 负有理数 负无理数 在实数范围内，一个数不是有理数就是无理数. 新课探究 情境导入 课堂小结 无理数： 有理数： 负实数： 正实数： 例1 将下列各数分别填入相应的括号内： 典例精析 ，π，－，－，－，0，，0.525 225 222 5…. ，π，－，，0.525 225 222 5…. －，－，0，， ，，0.525 225 222 5…. －，－，－， 新课探究 情境导入 课堂小结 下列说法中，正确的是（ ） A. 实数分为正实数和负实数 B. 无限小数都是无理数 C. 无理数都是无限小数 D. 带根号的数都是无理数 C 练一练 新课探究 情境导入 课堂小结 我们知道，每个有理数都可以用数轴上的点来表示， 无理数是否也可以用数轴上的点表示出来呢？ 任务三 实数与数值的对应关系 新课探究 情境导入 课堂小结 以π，，－为例，看一看如何在数轴上表示无理数. 以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π. 如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的一点由原点O到达点O′，点 O′对应的数是多少? 探究 新课探究 情境导入 课堂小结 从图中可以看出，OO′的长是这个圆的周长π， 所以点O′对应的数是π. 这样，数轴上的点O′就表示无理数π. 探究 新课探究 情境导入 课堂小结 以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与正半轴的交点就表示，与负半轴的交点就表示－. 探究 新课探究 情境导入 课堂小结 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数. “一一对应”有两层含义: ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数. 实数和数轴上的点一 一对应 总结归纳 新课探究 情境导入 课堂小结 例2 如图，数轴上 A，B 两点表示的数分别为 －1 和 ，点 B 关于点 A 的 对称点为 C，求点 C 所表示的实数． 解：∵数轴上 A，B 两点表示的数分别为－1 和 ， ∴点 B 到点 A 的距离为1＋ ，则点 C 到点 A 的距离为 1＋ . 设点 C 表示的实数为 x，则点 A 到点 C 的距离为－1－x， ∴－1－x ＝ 1＋ ， ∴ x ＝ －2－ . 典例精析 新课探究 情境导入 课堂小结 两个实数要如何比较大小？ 实数的大小比较 (1)对于数轴上的任意两个点，右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大. (2)正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数； 两个负实数比较大小，绝对值大的反而小. 探究 新课探究 情境导入 课堂小结 例3 在数轴上表示下列各点，比较它们的大小，并用“ < ”连接它们. －2 －1 0 1 2 3 1 －2 估算 常见无理数的近似值： 典例精析 新课探究 情境导入 课堂小结 1.下列说法正确的是( ) A.无理数是开方开不尽的数 B.无理数一定是带根号的数 C.无限小数是无理数 D.无理数是无限不循环小数 D 练习 × × × √ 新课探究 情境导入 课堂小结 2.下列说法正确的有( ) ①数轴上任意一点都表示一个有理数；②任意一个无理数都可 以用数轴上的一个点来表示；③任意一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；④有理数与数轴上的点一一对应. A.1个 B.2 个 C.3个 D.4个 B 练习 × √ √ × 新课探究 情境导入 课堂小结 3.把下列各数分别填在相应的集合里： 0.12，π，－，－24，0，，－5.12，. 负实数： … 无理数： … 非负有理数： … π，－，， 0.12，0，， －，－24，－5.12， 练习 新课探究 情境导入 课堂小结 4.将－2，，0，，－π与图中数轴上标有字母的各点对应起来，并用“<”连接这些数. 解：－2对应点B， 对应点D， 0对应点C， 对应点E， －π对应点A. 由图可知－π<－2<0<<. 练习 课 堂 小 结 通过本节课的学习 1.你掌握了哪些知识？ 2.你学会了哪些解题方法？ 3.你运用了哪些数学思想？ 4.你总结了哪些学习经验？ 5.还有什么感悟和思考？ 第1课时 实数 实数 一一对应 实数及其分类 实数与数轴上点的关系 无理数 无限不循环小数 按定义分类、按性质符号分类 实数的大小比较 借助数轴或法则 情境导入 课堂小结 新课探究 THANK YOU Lavf57.83.100 Lavf57.83.100 $