10.5角平分线（2）-【学霸笔记·初中同步授课课件】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版五四制）

该初中数学课件聚焦角平分线性质与判定定理，通过情境导入回顾性质定理，结合折叠、尺规作图探究三角形三条角平分线交于一点，搭建从旧知到新知的学习支架，帮助学生理解内心性质。 其亮点在于以动手操作培养几何直观（数学眼光），通过逻辑推理证明交点性质发展推理能力（数学思维），例题与练习（如等腰直角三角形、公路中转站选址）强化应用意识（数学语言）。小结对比表格助力知识结构化，既提升学生理解，又方便教师教学。

第十章 三角形的有关证明 10.5 角平分线 第2课时 角平分线（2） 1.角平分线的性质定理 定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一. 如图, ∵ OC是∠AOB的平分线, P是OC上任意一点, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E (已知)， ∴ PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). C B 1 A 2 P D E O 10.5 角平分线 第2课时 角平分线（2） 情 境 导 入 2 2.角平分线的判定定理 定理：在一个角的内部, 并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上. 如图,∵ PD=PE, PD⊥OA, PE⊥OB, 垂足分别为点D, E(已知), ∴点P在∠AOB的平分线上 (在一个角的内部,并且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上). 这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一. C B 1 A 2 P D E O 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 1.能够证明三角形的三条角平分线交于一点，且这一点到三条边的距离相等； 2.能灵活运用角平分线的性质定理和判定定理. 单击此处添加标题文本内容 情境导入 新课探究 课堂小结 4 剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论: 三角形三个角的平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 10.5 角平分线 第2课时 角平分线（2） 新 课 探 究 利用尺规作出三角形三个角的角平分线. 观察这三条角平分线, 你发现了什么? 结论: 三角形三个角的角平分线相交于一点. 你能证明这个命题吗? 新课探究 情境导入 课堂小结 思考分析 命题: 三角形三个角的平分线相交于一点. 基本思路: 我们知道, 两条直线相交只有一个交点. 要想证明三条直线相交于一点, 只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理. 如何证三条直线交于一点？ 新课探究 情境导入 课堂小结 如图,设△ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC, AB的垂线,垂足分别为点E,F,D. ∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上， ∴PD=PE (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 同理, PE=PF. ∴点P在∠BAC的平分线上 (在一个角的内部,并且到角两边距离相等的点,在这个角的平分线上)，并且PD=PE=PF. ∴△ABC的三条角平分线相交于一点P，并且点P到三条边的距离相等. A B C P M N D E F 新课探究 情境导入 课堂小结 8 定理: 三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等. 如图, 在△ABC中, ∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线，且 PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC， 这又是一个证明三条直线交于一点的根据之一，这个交点叫作三角形的内心. ∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF (三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等). D E F A B C P M N H 新课探究 情境导入 课堂小结 例3 如图, 在△ABC中, AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E. (2)求证:AB=AC+CD. E D A B C (1)已知CD= , 求AC的长; 新课探究 情境导入 课堂小结 E D A B C 例3 如图, 在△ABC中, AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E. (1)已知CD= , 求AC的长; （1）解：∵ AD是△ABC的角平线, ∴DE=CD= . ∵AC=BC,∴ ∠B=∠BAC(等边对等角). ∵ ∠C=90°∴ ∠B= 45°. ∴ ∠BDE= 90°- 45°= 45°.∴BE=DE. 在等腰直角三角形BDE中, 新课探究 情境导入 课堂小结 E D A B C （2）证明：由（1）的求解过程可知， Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴ AC=AE. ∵ BE=DE=CD, ∴ AB=AE+BE=AC+CD. 例3 如图, 在△ABC中,已知 AC=BC,∠C=90°, AD是△ABC的角平线, DE⊥AB, 垂足为点E. (2)求证:AB=AC+CD. 新课探究 情境导入 课堂小结 1. 如图,直线,,表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？ 满足条件共4个 l 3 l 2 1 l C B A 新课探究 情境导入 课堂小结 2. 已知: 如图, ∠C=90°,∠B=30 °,AD是Rt△ABC的角平分线. 求证: BD=2CD. A B C D 证明： ∵ ∠C=90°， ∠B= 30°, ∴ ∠BAC= 60°. ∵ AD是△ABC的角平分线, ∴ ∠BAD= ∠DAC= 30°, ∴AD=BD. ∴ Rt△ACD中，AD=2CD. ∴ BD=2CD. 新课探究 情境导入 课堂小结 3. 已知: 如图, △ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分线相交于点F. 求证: 点F在∠DAE的平分线上. A B C F D E 证明： ∵ BF是∠CBD的平分线， ∴ F到BC,AD的距离相等. ∵ CF是∠BCE的平分线, ∴ F到BC,AE的距离相等. ∴ F到AD,AE的距离相等. ∴点F在∠DAE的平分线上. 新课探究 情境导入 课堂小结 证明：(1) ∵P是∠AOB平分线上的一个点， PC⊥OA, PD⊥OB， ∴PC=PD. 在 Rt△POC和 Rt△POD，OP=OP,PC=PD, ∴ Rt△POC ≌ Rt△POD （HL） . ∴OC=OD. 4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是点C, D. 求证: (1)OC=OD; B A P D C O 新课探究 情境导入 课堂小结 4. 已知: 如图, P是∠AOB平分线上的一个点，并且PC⊥OA, PD⊥OB,垂足分别是点C, D. 求证: (2)OP是CD的垂直平分线. B A P D C O 证明： (2) 由PC=PD，得P在CD的垂直平分线上. 由OC=OD,得O在CD的垂直平分线上. ∴OP是CD的垂直平分线. 新课探究 情境导入 课堂小结 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边的垂直平分线 三条角平分线 三角形 锐角三角形 交于三角形内一点 交于三角形内一点 钝角三角形 交于三角形外一点 直角三角形 交于斜边的中点 交点性质 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 10.5 角平分线 第2课时 角平分线（2） 课 堂 小 结 THANK YOU $