8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 同步练习-2025-2026学年高一下学期数学人教Ａ版必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 一、单选题 1. 一个长方体共一顶点的三个面的面积分别是 ，这个长方体外接球的面积是( ) A. B. C. D. 2. 若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则圆锥的高与球的半径之比为( ) A. 2 : 1 B. 2 : 3 C. D. 2 : 5 3. 如图，圆台 的上底面直径为1，下底面直径为2，高为1，以圆台下底面为底面，上底面中心为顶点，挖去一个圆锥， 则剩下几何体的体积为( ) A. B. C. D. 4. 在 中， ，现以 所在直线为轴，其余两边旋转一周形成曲面围成的几何体，则这个几何体的表面积为( ) A. B. C. D. 5. 已知 是斜边为 的等腰直角三角形，则 绕着斜边 所在的直线旋转一周后形成几何体的体积为( ) A. B. C. D. 6. 已知一圆台上底半径为1(下底半径大于上底半径)，母线与底面所成角的余弦值为 ，若此圆台存在内切球(球与棱台各面均相切)，则此圆台的表面积是( ) A. B. C. D. 7. 高一学生小李在课间玩耍时不慎将一个篮球投掷到一个圆台状垃圾篓中，恰好被上底口(半径较大的圆)卡住，球心到垃圾篓底部的距离为 ，垃圾篓上底面直径为 ，下底面直径为 ，母线长为 ，则该篮球的表面积为( ) A. B. C. D. 8. 四棱锥P- 的顶点都在球 的球面上， 是边长为3√2的正方形，若四棱锥P- 体积的最大值为54，则球 的表面积为( ) A. B. C. D. 二、多选题 9. 已知圆台的轴截面如图所示，其上、下底面半径分别为 ，母线 长为2，点 为 的中点，则() A. 圆台的轴截面积为3 B. 圆台的体积为 C. 圆台的侧面积为 D. 在圆台的侧面上，从 点到 点的最短路径长为5 10. 如图，正三棱柱 的侧面 为边长为6的正方形，现以上、下底面的内切圆为底面挖掉一个圆柱，则下列说法正确的是( ) A. 内切圆的半径为 B. 被挖掉的圆柱的侧面积为 C. 该几何体的表面积为 D. 该几何体的体积为 11. 已知圆锥 的侧面积为3 ，母线 ，底面圆的半径为 ，点 满足 ，则( ) A. 当 时，圆锥 的体积为 B. 当 时，从点 绕圆锥一周到达点 的最短长度为 C. 当 时，顶点 和两条母线构成的截面三角形的最大面积为 D. 当 时，棱长为 的正四面体在圆锥 内可以任意转动 三、填空题 12. 球的表面积膨胀为原来的2倍，则其体积变为原来的_____倍. 13. 已知圆柱和圆锥的底面重合，且母线长相等，该圆柱和圆锥的表面积分别为 ， ，则 _____. 14. 如图， 是边长为6的正三角形 的一条中位线，将 沿直线 翻折至 ，当三棱锥 - 的体积最大时，四棱锥 - 外接球 的表面积为_____；过EC的中点 作球 的截面，则所得截面圆面积的最小值是_____. 四、解答题 15. 如图(图中单位:cm)是一种铸铁机器零件，零件下部是实心的正四棱柱，上部是实心的圆柱. (参考数据:π≈3) (1)已知铁的密度为 ，求生产一件这样的铸铁零件需要多少克铁； (2)要给一批共1000个零件的表面(包含底面)涂层油漆，若该零件每平方厘米要用油漆0.12g，求总共需要用油漆多少千克. 16. 某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和一个圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，已知圆柱的底面周长为 ，高为45cm，圆锥的母线长为30cm. (1)求这种“笼具”的体积(结果精确到0.1cm )； (2)现要使用一种纱网材料制作100个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？(结果精确到1元) 17. 如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉(图1)穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽， 使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2. (单位:mm) . (加工中不计损失) . (1)若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积； (2)若每块钢板的厚度为12 mm，求钉身的长度(结果精确到1 mm). 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 标准答案 一、单选题 1.答案：A 解析：设长方体长宽高为，则，，，三式相乘得，解得。 外接球直径，表面积。 2.答案：A 解析：设半径为，圆锥高。圆锥体积，半球体积。 由得，故。 3.答案：B 解析：圆台体积。 挖去圆锥体积。 剩余体积。 4.答案：A 解析：，，斜边上高。 旋转体为两个同底圆锥，表面积。 5.答案：B 解析：等腰直角三角形斜边上高，旋转体为两个同底圆锥，体积。 6.答案：B 解析：圆台有内切球，则，母线与底面成角余弦，，解得。 表面积（修正：正确答案，按内切球标准结论）。 7.答案：D 解析：圆台高，球半径，由勾股定理得，解得，表面积。 8.答案：C 解析：底面正方形外接圆半径，设球半径，棱锥最大高。 体积，得，解得，表面积。 二、多选题 9.答案：AD 解析： A：轴截面高，面积，正确； B：体积，错误； C：侧面积，错误； D：侧面展开最短路径为，正确。 10.答案：BC 解析： A：正三角形内切圆半径，错误； B：圆柱侧面积，正确； C：几何体表面积计算正确； D：体积表达式错误。 11.答案：ABD 解析： A：，侧面积，高，体积，正确； B：侧面展开最短路径，正确； C：最大面积为，错误； D：正四面体可转动，正确。 三、填空题 12.答案： 解析：表面积比，半径比，体积比。 13.答案： 解析：圆柱表面积，圆锥，比值化简即可。 14.答案：； 解析：体积最大时到底面距离最大，外接球半径，表面积；最小截面圆半径，面积。 四、解答题 15. 解： （1）正四棱柱体积： 圆柱体积： 总体积： 质量： （2）四棱柱表面积： 圆柱侧面积： 总表面积： 1000个油漆用量： 16. 解： （1）圆柱底面半径，体积 圆锥高，体积 笼具体积： （2）圆柱表面积（无上底）： 圆锥侧面积： 总面积： 100个造价： 17. 解： （1）钉帽半球半径，钉身圆柱半径，钉帽高，钉身长。 表面积=半球面+圆柱侧+底面圆： （2）两块钢板总厚，体积守恒：，解得。 学科网（北京）股份有限公司 $