24 综合质量评价(三)-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

综合质量评价(三) 六～九年级 (时间：120分钟　满分：150分) 第Ⅰ卷　(选择题　共48分) 一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求) 1．在1，－2，0，这四个数中，绝对值最大的数是(　A　) A．－2 B．0 C． D．1 2．下列运算正确的是(　D　) A．a2＋a3＝a6 B．(ab)2＝ab2 C．(a＋b)2＝a2＋b2 D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 3．一个几何体是由7个完全相同的小正方体搭建而成的．若它的俯视图如图所示，则它的左视图不可能是(　D　) 4．如图，AB∥CD，BE交AD于点E，若∠B＝18°，∠D＝32°，则∠BED的度数为(　C　) A．18° B．32° C．50° D．60° 5．某校为落实“双减”及“作业管理、睡眠管理、手机管理、读物管理、体质管理”工作有关要求，随机抽查了初中部分学生每天的睡眠时间，绘制成如图所示的条形统计图，则所抽查学生每天睡眠时间的中位数和众数分别为(　B　) A．8 h，9 h B．9 h，9 h C．9 h，10 h D．9.5 h，10 h 6．如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝15°，切线PA交OC的延长线于点P，则线段PA的长度为(　B　) A． B． C． D．2 7．若关于x的方程(a－1)x2－2x－2＝0有实数根，则a的取值范围是(　D　) A．a≥且a≠1 B．a≠1 C．a＞且a≠1 D．a≥ 8．将抛物线y＝x2－6x绕原点旋转180°，则旋转后的抛物线的表达式为(　C　) A．y＝(x－3)2＋9 B．y＝(x＋3)2＋9 C．y＝－(x＋3)2＋9 D．y＝－(x－3)2＋9 9．数学活动课上，雪飞同学将如图1、图2所示的一小一大两个正方形按图3的方式拼在一起，两个正方形的中心重合．然后他将图3向右平移到图4所示的平面直角坐标系中，使正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行．已知反比例函数y＝的图象与大正方形的一边交于第一象限的点A(1，n)，且经过小正方形的顶点B，则阴影部分的面积是(　A　) A．4(n2－n)　 B．4n2－n　 C．n2－n　 D．4n2 解析：∵反比例函数y＝的图象经过点A(1，n)， ∴k＝1×n＝n． ∴反比例函数的表达式为y＝． ∵小正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行， ∴设点B的坐标为(m，m)． ∵反比例函数y＝的图象经过点B， ∴m2＝n．∴小正方形的面积为4m2＝4n． ∵大正方形的中心与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，且A(1，n)， ∴大正方形在第一象限的顶点坐标为(n，n)． ∴大正方形的面积为4n2． ∴图中阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积＝4n2－4n＝4(n2－n)． 10．如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是边AD，BC的中点，AC分别交BE，DF于点M，N，对于下列结论：①△ABE≌△CDF；②AM＝MN＝NC；③EM＝BM；④S△ABM＝S△AME．其中，正确的有(　C　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图，某建筑物的顶部有一块宣传牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为60°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为45°，已知斜坡AB的坡角为30°，AB＝10 m，AE＝15 m，则宣传牌CD的高度是(　A　) A．(20－10)m B．(20＋5)m C．(15＋5)m D．(15－5)m 12．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是对角线AC上的动点，连接DP，将直线DP绕点P顺时针旋转，使旋转角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．连接CG，则CG的最小值为(　C　) A． B． C． D． 第Ⅱ卷　(非选择题　共102分) 二、填空题(本大题共6个小题，每小题4分，共24分) 13．“98.36亿”可用科学记数法表示为 9.836×109 ． 14．小颖家离学校1 200 m，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她去学校共用了16 min，已知小颖走上坡路的平均速度是3 km/h，走下坡路的平均速度是5 km/h，去时上坡路和下坡路分别是多少千米？设去时上坡路x km，下坡路y km，则可列方程组为． 15．已知等腰三角形的三边长为a，b，c，满足＋|b－7|＝0，那么三角形的周长是 17 ． 16．已知点A(m，y1)，B(m＋2，y2)，C(x0，y0)在二次函数y＝ax2＋4ax＋c(a≠0)的图象上，且C为抛物线的顶点．若y0≥y2＞y1，则m的取值范围是 m<－3 ． 17．如图，已知点E，H在矩形ABCD的边AD上，点F，G在边BC上，将矩形ABCD沿EF，GH折叠，使点B和点C落在边AD上同一点P处．折叠后，点A的对应点为点A′，点D的对应点为点D′．若∠FPG＝90°，A′E＝3，D′H＝1，则矩形ABCD的周长等于 12＋6 ． 18．如图，直线y＝x，点A1的坐标为(1，0)，过点A1作x轴的垂线交直线于点，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴于点A3，按此作法进行下去，点A4的坐标为 (8，0) ，点An的坐标为 (2n-1，0) ． 三、解答题(本大题共8个小题，共78分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(6分)(1)若关于x的分式方程＝－2的解是非负数，求a的取值范围； (2)先化简，再求值：÷，其中x是不等式组的整数解． 解：(1)分式方程去分母，得2x＝3a－4x＋4， 解得x＝． 根据题意，得≥0，且≠1， 解得a≥－且a≠． (2)解不等式组，得－＜x＜－3， ∴整数解为x＝－4． ÷ ＝÷ ＝·＝． 当x＝－4时，原式＝＝． 20．(8分)某中学抽取了40名学生参加“平均每周课外阅读时间”的调查，由调查结果绘制了不完整的频数分布表和扇形统计图如下： 组别 时间t/h 频数/人 A 0≤t＜1 2 B 1≤1＜2 m C 2≤t＜3 10 D 3≤t＜4 12 E 4≤t＜5 7 F t≥5 4 请根据图表中的信息解答下列问题： (1)频数分布表中，m＝ 5 ；扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为 45° ，“C”部分所占百分比为 25% ；若该中学有2 000名学生，则每周课外阅读时间不低于4 h的大约有 550 人； (2)已知F组的学生中，只有1名男生，其余都是女生．用画树状图或列表的方法求从F组中随机选取2名学生，恰好都是女生的概率． 解：(1)m＝40－(2＋10＋12＋7＋4)＝5． 在扇形统计图中，“B”部分对应的扇形圆心角的度数为360°×＝45°． “C”部分所占百分比为×100%＝25%． 若该中学有2 000名学生，则每周课外阅读时间不低于4 h的大约有2 000×＝550(人)． 故答案为5；45°；25%；550． (2)画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中恰好都是女生的结果有6种， ∴恰好都是女生的概率为＝． 21．(8分)如图，一次函数y＝kx＋b与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于A(m，6)，B(3，n)两点． (1)求一次函数的表达式； (2)求△AOB的面积； (3)根据图象，直接写出kx＋b－＞0的x的取值范围． 解：(1)∵点A(m，6)，B(3，n)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上， ∴m＝1，n＝2，即A(1，6)，B(3，2)． 将A(1，6)，B(3，2)代入一次函数y＝kx＋b， 得 解得 ∴一次函数的表达式为y＝－2x＋8． (2)令－2x＋8＝0，得x＝4，即D(4，0)． ∴S△AOB＝S△AOD－S△BOD＝×4×6－×4×2＝8． (3)由图象可知，kx＋b－＞0的x的取值范围是1＜x＜3． 22．(10分)一台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的120倍，用这台机器收割10公顷小麦比80个农民人工收割这些小麦要少用1 h． (1)这台收割机每小时收割多少公顷小麦？ (2)通过技术革新，这台收割机的工作效率得到了提升，收割10公顷小麦比100个农民人工收割这些小麦要少用0.8 h．求这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的多少倍． 解：(1)设一个农民每小时收割小麦x公顷，则一台收割机每小时收割小麦120x公顷． 由题意，得－1＝，解得x＝． 经检验，x＝是原方程的根，并符合题意． ∴×120＝5(公顷)． ∴这台收割机每小时收割5公顷小麦． (2)设这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的n倍，则由(1)知一个农民每小时收割小麦公顷，一台收割机每小时收割小麦公顷． 由题意，得＝＋0.8，解得n＝150． 经检验，n＝150是原方程的根，并符合题意． ∴这台收割机的工作效率相当于一个农民工作效率的150倍． 23．(10分)如图，在矩形ABCD中，E是BC上一点，连接DE，AE，延长CB到点F，连接AF，使∠AFC＝∠DEC． (1)求证：四边形AFED是平行四边形； (2)若四边形AFED是菱形，CE＝6，DC＝8，求AE的长． (1)证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥FC． ∵∠AFC＝∠DEC，∴AF∥DE． ∴四边形AFED是平行四边形． (2)解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝∠C＝90°，AB＝DC，AD＝BC． 在Rt△DCE中，CE＝6，DC＝8， 则DE＝＝＝10． ∵四边形AFED是菱形， ∴FE＝DE＝AD＝AF＝10． ∴BC＝AD＝10． ∴BE＝BC－CE＝10－6＝4． 在Rt△ABE中，AB＝DC＝8， 则AE＝＝＝4． 24．(10分)如图，点D在⊙O的直径AB上，DE⊥弦BC于点E，F为AB延长线上一点，∠BDE＝∠BCF． (1)求证：CF是⊙O的切线； (2)若∠F＝∠BDE，BF＝3，求阴影部分的面积．(结果保留π) (1)证明：如图，连接OC． ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB． ∵DE⊥BC， ∴∠DEB＝90°． ∴∠BDE＋∠DBE＝90°． ∵∠BDE＝∠BCF， ∴∠OCB＋∠BCF＝90°，即OC⊥CF． ∵OC是半径， ∴CF是⊙O的切线． (2)∵∠F＝∠BDE，∠BCF＝∠BDE， ∴∠F＝∠BCF． ∵∠OBC＝∠OCB＝∠F＋∠BCF， ∴∠OCB＝2∠BCF． ∵∠OCF＝90°， ∴∠OCB＝∠OCF＝60°． ∵OB＝OC，∴△BOC是等边三角形． ∴∠BOC＝60°，OB＝OC＝BC＝BF＝3． 在Rt△COF中，OC＝3，OF＝OB＋BF＝6， ∴FC＝＝3． ∴S阴影＝S△OCF－S扇形OBC＝×3×3＝＝． 25．(12分)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，连接BC． (1)求直线BC的表达式； (2)抛物线的对称轴与BC交于点D，P为直线BC下方对称轴右侧抛物线上的一点，连接PB，PD．当△BDP的面积最大时，点Q从点P出发，先沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿适当的路径运动到抛物线对称轴上的点N处，最后沿适当的路径运动到点B处停止．求点Q经过的最短路径的长； (3)将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B′OC′，点B，C的对应点分别为B′，C′，E为直线BC上一点，连接B′E，C′E．当△B′C′E为等腰三角形时，求符合条件的点E的坐标． 解：(1)∵抛物线y＝x2－x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，当x＝0时，y＝－3； 当y＝0时，x2－x－3＝0， 解得x1＝－，x2＝3． ∴A(－，0)，B(3，0)，C(0，－3)． 设直线BC的表达式为y＝kx＋b， 将B(3，0)，C(0，－3)代入，得 解得 ∴直线BC的表达式为y＝x－3． (2)如图1，过点P作PG∥y轴． 由(1)可知，直线BC的表达式为y＝x－3，B(3，0)． 设P， ∴G． ∴PG＝a－3－ ＝－a2＋a． ∵y＝x2－x－3＝(x－)2－4， ∴抛物线的对称轴为直线x＝． ∴点D的横坐标为． ∴S△PBD＝×(3)×PG＝＝－＋． ∵＜a＜3，－＜0， ∴当a＝时，S△PBD最大，此时P． 如图2，作点P关于y轴的对称点P′，连接P′B，交y轴于点M，交抛物线的对称轴于点N，连接PM． 由题意，得点Q沿P→M→N→B运动时所走的路径最短，即最短路径的长为PM＋MN＋NB的长． ∵点P，P′关于y轴对称，∴PM＝P′M． ∴PM＋MN＋NB＝P′M＋MN＋NB＝P′B． 过点P′作P′H⊥x轴于点H，P′B＝＝＝． ∴点Q经过的最短路径的长为． (3)如图3，过点C′作C′R⊥x轴于点R，过点B′作B′T⊥y轴于点T． 设E， ∵将△BOC绕点O顺时针旋转60°得到△B′OC′， ∴∠COC′＝∠BOB′＝60°，OC′＝OC＝3，OB′＝OB＝3．∴∠C′OR＝∠B′OT＝30°． ∵∠ORC′＝∠OTB′＝90°， ∴C′R＝，OR＝，B′T＝，OT＝． ∴C′，B′． ∴B′C′2＝BC2＝OB2＋OC2＝(3)2＋32＝36， C′E2＝＋ ＝m2＋2m＋9， B′E2＝＋＝ m2－2m＋9． ∵△B′C′E为等腰三角形， ∴B′C′＝C′E或B′C′＝B′E或C′E＝B′E． 当B′C′＝C′E时，36＝m2＋2m＋9， 解得m＝＝． ∴点E的坐标为或 ． 当B′C′＝B′E时，36＝m2－2m＋9， 解得m＝＝． ∴点E的坐标为 或． 当C′E＝B′E时，m2＋2m＋9＝－2m＋9，解得m＝0． 当m＝0时，B′，C′，E三点在同一条直线上，不能构成三角形． 综上所述，点E的坐标为或或或． 26．(14分)[教材再现] (1)如图1，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，图中有 8 个等腰直角三角形． [深入探究] (2)如图2，在矩形ABCD中，AE，BE，CF，DF分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线，AE与DF交于点M，BE与CF交于点N． ①求证：四边形EMFN是正方形； ②连接EF，求证：EF＝AB－BC． [结论应用] (3)如图3，在四边形ABCD中，AE，BE，CF，DF分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线，AE与DF交于点M，BE与CF交于点N．若四边形EMFN是矩形，试判断四边形ABCD的形状，并证明． (2)证明：①∵四边形ABCD是矩形， ∴四个内角均为90°． ∵AE，BE，CF，DF分别为∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠ADC的平分线， ∴∠EAB＝∠EBA＝45°． ∴△EBA为等腰直角三角形． ∴AE＝BE，∠E＝90°． 同理∠F＝∠EMF＝∠ENF＝90°． ∴四边形EMFN为矩形． ∵AD＝BC，∠AMD＝∠BNC＝90°，∠DAE＝∠CBN＝45°， ∴△DAM≌△CBN．∴AM＝BN． ∴ME＝NE．∴四边形EMFN是正方形． ②如图，连接EF． 由①知四边形EMFN是正方形， ∴∠EFN＝45°． ∵CF平分∠BCD，∴∠BCF＝45°． ∴∠EFN＝∠BCF．∴EF∥BC． ∴＝． ∵△ABE和△BCN均是等腰直角三角形， ∴BE＝AB，BN＝BC． ∴EN＝BE－BN＝AB－BC＝(AB－BC)． ∴＝＝． ∴EF＝AB－BC． (3)解：四边形ABCD是平行四边形．理由如下： ∵四边形EMFN是矩形， ∴∠E＝∠EMF＝90°． ∴∠EAB＋∠EBA＝90°， ∠MAD＋∠MDA＝90°． ∵AE平分∠DAB， ∴∠EAB＝∠MAD． ∴∠EBA＝∠MDA． ∵DF，BE分别平分∠ADC，∠ABC， ∴∠ADC＝∠ABC． 同理可证∠DAB＝∠DCB． ∴∠DAB＋∠ABC＝∠ADC＋∠DCB． ∵∠DAB＋∠ABC＋∠ADC＋∠DCB＝360°， ∴∠DAB＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC． 同理可证DC∥AB． ∴四边形ABCD是平行四边形． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $