19 易错专题培优-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

易错专题培优 易错点一　对圆的有关概念和性质理解不清而致错 1．(4分)下列说法正确的是(　C　) A．每条直径都是圆的对称轴 B．圆的对称轴是唯一的 C．圆的对称轴一定经过圆心 D．圆不是轴对称图形 2．(4分)有下列结论：①平分弦的直径垂直于弦；②圆周角的度数等于圆心角的一半；③等弧所对的圆周角相等；④经过三点一定可以作一个圆；⑤三角形的外心到三边的距离相等；⑥垂直于半径的直线是圆的切线．其中正确的有(　A　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．(4分)已知是同圆的两段弧，且＝2，则弦AB与2CD之间的关系为(　B　) A．AB＝2CD B．AB＜2CD C．AB＞2CD D．不能确定 易错点二　求阴影面积因不等价转化而致错 4．(4分)已知网格中每个小正方形的边长都是1，如图中的阴影图案是由三段以格点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积是(　B　) A． B．π－2 C．＋1 D．π－1 解析：如图，连接AB． 阴影部分的面积＝S扇形AOB－S△ABO＝×2×2＝π－2． 5．(4分)如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，分别以点B，D为圆心，以AB的长为半径画弧，交BD于E，F两点，则图中阴影部分的面积为 4－π ．(结果保留π) 解析：∵ABCD是边长为2的正方形， ∴S正方形ABCD＝AD·AB＝2×2＝4． ∵∠ABD＝45°， ∴S扇形ABE＝＝． ∴图中阴影部分的面积为4－2×＝4－π． 6．(4分)如图，AB＝8，以AB为直径的半圆绕点A逆时针旋转60°，此时点B到了点B′，则图中阴影部分的面积是．(结果保留π) 解析：∵AB＝AB′＝8，∠BAB′＝60°， ∴图中阴影部分的面积S＝S扇形B′AB＋S半圆－S半圆＝S扇形B′AB＝＝π． 7．(10分)如图，有一直径是 m的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC． (1)求AB的长； (2)求图中阴影的面积；(结果保留π) (3)若用该扇形铁皮围成一个圆锥，求所得圆锥的底面圆的半径． 解：(1)∵∠BAC＝90°， ∴BC为⊙O的直径，即BC＝ m． ∴AB＝BC＝1 m． (2)S阴影＝S圆－S扇形＝π－＝(m2)． (3)设所得圆锥的底面圆的半径为r m． 根据题意，得2πr＝，解得r＝． 故所得圆锥的底面圆的半径为 m． 易错点三　考虑问题不全面而致错 8．(4分)已知⊙O的半径为3 cm，P是直线l上一点，OP长为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为(　D　) A．相交 B．相切 C．相离 D．相交、相切、相离都有可能 9．(4分)如图，在平面直角坐标系中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3，0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为(　B　) A．1　　 B．1或5　　C．3　　 D．5 10．(4分)已知P是⊙O所在平面内一点，点P到⊙O上各点的最大距离为a，最小距离为b(a＞b)，则⊙O的半径为(　D　) A． B． C．a－b或a＋b D．或 11．(8分)如图，P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，垂足为点D，以点P为圆心，PD的长为半径作圆． (1)AB与⊙P相切吗？为什么？ (2)若平行于PD的直线MN与⊙P相切于点T，并分别交AB，AC于点M，N，PD＝2，∠BAC＝60°，求线段MT的长．(结果保留根号) 解：(1)相切．理由如下： 如图1，过点P作PG⊥AB于点G． ∵P是∠BAC平分线上一点，PD⊥AC，垂足为点D，∴PD＝PG． ∵以点P为圆心，PD的长为半径作圆， ∴PG是圆的半径，∴AB与⊙P相切． (2)如图2，连接PT． ∵平行于PD的直线MN与⊙P相切于点T，PD⊥AC， ∴MN⊥AN，TN＝DN，MT＝MG，AG＝AD． ∵PD＝2，∠BAC＝60°， ∴∠PAD＝30°． ∴PA＝4．∴AG＝AD＝2． 易知∠PTN＝90°， ∴四边形DNTP为正方形． ∴DN＝TN＝DP＝2． 设MT＝MG＝x． ∵AN2＋MN2＝AM2， ∴(2＋2)2＋(2＋x)2＝(x＋2)2， 解得x＝4＋2． 同理，设M′T′＝y， 即可得出(2－2)2＋(2＋y)2＝(2－y)2， 解得y＝4－2． ∴线段MT的长为4－2或4＋2． 易错点四　混淆外心与内心的概念而致错 12．(8分)如图，I是△ABC的内心，∠BAC的平分线与△ABC的外接圆相交于点D，交BC于点E．求证： (1)BD＝ID； (2)ID2＝DE·DA． 证明：(1)如图，连接BI． ∵I为内心，∴AI为∠BAC的平分线， BI为∠ABC的平分线． ∴∠ABI＝∠CBI，∠BAD＝∠DAC． ∵∠BID＝∠ABI＋∠BAI， ∠CBD＝∠DAC＝∠BAI， ∴∠BID＝∠CBI＋∠CBD＝∠DBI． ∴BD＝ID． (2)∵∠DBE＝∠CAD，∠BAE＝∠CAE， ∴∠BAE＝∠EBD．∴△DBE∽△DAB． ∴＝．∴DB2＝DE·DA． 又∵BD＝ID，∴ID2＝DE·DA． 易错点五　计算概率时列举不全 13．(4分)某学校门口设置了A，B两条步行通道，该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是(　A　) A． B． C． D． 14．(4分)在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取两名同学担任本周的值周长，那么抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是． 15．(8分)如图，有一个可以自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，6；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字(若指针指在分界线上则重转)，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字． (1)请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果． (2)若得到的两数之和是3的倍数，则小杰赢；若得到的两数之和是7的倍数，则小玉赢．此游戏公平吗？为什么？ 解：(1)用列表法表示所有可能出现的结果如下： 摸球 转盘 2 4 6 1 (2，1) (4，1) (6，1) 3 (2，3) (4，3) (6，3) 5 (2，5) (4，5) (6，5) 共有9种不同的结果，即(2，1)，(2，3)，(2，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(6，1)，(6，3)，(6，5)． (2)此游戏是公平的．理由如下： 列出两次得数之和的所有可能的结果如下： 摸球 转盘 2 4 6 1 2＋1＝3 4＋1＝5 6＋1＝7 3 2＋3＝5 4＋3＝7 6＋3＝9 5 2＋5＝7 4＋5＝9 6＋5＝11 共有9种可能出现的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数”的有3种， ∴P(小杰赢)＝＝，P(小玉赢)＝＝． ∴此游戏是公平的． 易错点六　混淆概率中的放回与不放回问题而致错 16．(4分)假期前，小明家设计了三种度假方案：参观动植物园、看电影、近郊露营．妈妈将三种方案分别写在3张相同的卡片上，小明随机抽取1张后，放回并混在一起，姐姐再随机抽取1张，则小明和姐姐抽取的度假方案相同的概率是 ． 17．(8分)一个不透明的袋子中装有2个白球、1个红球，这些球除颜色外都相同． (1)搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率等于 ； (2)搅匀后从中任意摸出一个球，记录颜色后放回并搅匀，再从中任意摸出一个球．用列表或画树状图的方法，求两次都摸到红球的概率． 解：(2)画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有1种， ∴P(两次都摸到红球)＝． 18．(8分)一个不透明的口袋里装有白、黄、蓝三种颜色的乒乓球(除颜色外其余都相同)，其中白球有2个，黄球有1个，现从中任意摸出一个球是白球的概率为． (1)试求袋中蓝球的个数； (2)第一次任意摸出一个球(不放回)，第二次再摸出一个球，请用画树状图或列表的方法，求两次摸到的都是白球的概率． 解：(1)设袋中蓝球的个数为x． ∵从中任意摸出一个球是白球的概率为， ∴＝，解得x＝1． 经检验，x＝1是该分式方程的解，并符合题意，∴袋中蓝球的个数为1． (2)画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两次摸到的都是白球的结果有2种， ∴P(两次摸到的都是白球)＝＝． 易错点七　忽视转盘不等分对概率的影响 19．(6分)如图是两个可以自由转动的转盘，转盘一被等分成了三个扇形，转盘二被分成不等的两个扇形，并分别标上1，2，3和6，7这5个数字．如果同时转动两个转盘各一次，转盘停止后(指针指在分界线时重转)，求两指针指向的数字之和为偶数的概率． 　 解：将转盘二中的数字“6”所在的扇形平均分成两部分，即将转盘二平均分成三份，分别标上数字6，6，7，列表如下： 1 2 3 6 7 8 9 6 7 8 9 7 8 9 10 由表格可知共有9种等可能的结果，其中两指针指向的数字之和为偶数的结果有4种， ∴P(两指针指向的数字之和为偶数)＝． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $