08 课时分层训练(八) 正多边形和圆-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(八)　正多边形和圆 知识点一　圆内接正多边形 1．(2026·淄博月考)如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O．若⊙O的周长是12π，则正六边形的边长是 6 ． 2．如图，A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，怎样才能画出圆的内接正五边形？这个正五边形的中心角是多少度？你能不能在这个图中再画出一个正十边形？ 解：如图，连接BA，EA，CB，CD，DE，五边形ABCDE即为⊙O的内接正五边形， 其中心角为＝72°． 把二等分，连接⊙O的各等分点，即为正十边形． 3．如图，(1)尺规作图：作出⊙O的内接正方形ABCD，使正方形ABCD的对边AD，BC都垂直于EF(见示意图)；(说明：不要求写作法，但需保留作图痕迹) (2)连接EA，EB，求出∠EAD，∠EBC的度数． 解：(1)如图所示． (2)由作图可知∠EOD＝45°，∠EOC＝135°， ∴∠EBC＝∠EOC＝×135°＝67.5°， ∠EAD＝∠EOD＝×45°＝22.5°． 知识点二　正多边形 4．下列正多边形中，对称轴条数是6条的是(　C　) A．正三角形 B．正方形 C．正六边形 D．正五边形 5．(2026·济宁检测)苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面，且所有碳碳键的键长都相等(如图1)，组成了一个完美的六边形(正六边形)，图2是其平面示意图，则∠1的度数为(　B　) A．130° B．120° C．110° D．60° 解析：∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AB＝AF＝EF，∠BAF＝＝120°． ∴∠ABF＝∠AFB＝＝30°． 同理∠EAF＝30°， ∴∠1＝180°－30°－30°＝120°． 6．如图，两个正方形彼此相邻且内接于半圆，若小正方形的面积为16 cm2，则该半圆的半径为 4 cm ． 7．如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OC＝4，OG⊥BC，垂足为点G，试求这个正六边形的中心角、边长和边心距． 解：如图，连接OD． ∵六边形ABCDEF为正六边形， ∴∠COD＝＝60°． ∴△COD为等边三角形．∴CD＝OC＝4． 在Rt△COG中，∠COG＝×60°＝30°． OC＝4，CG＝2，∴OG＝2． ∴正六边形ABCDEF的中心角为60°，边长为4，边心距为2． 8．如图，已知正n边形的边长为a，边心距为r，求正n边形的半径R、周长P和面积S． 解：∵正n边形的边长为a，OM⊥AB， OA＝OB，∴AM＝AB＝a． ∵边心距为r， ∴正n边形的半径R＝＝＝， 周长P＝na， 面积S＝nS△OAB＝n×a×r＝nar． 9．(2026·山西模拟)蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为(－2，3)，(0，－3)，则点M的坐标为(　A　) 　 A．(3，－2) B．(3，2) C．(2，－3) D．(－2，－3) 解析：如图，连接PF． 设正六边形的边长为a． ∵∠ABC＝120°，∴∠ABO＝60°． ∵∠AOB＝90°，∴∠BAO＝30°． ∴OB＝a，OA＝． ∴AC＝CE＝a，OF＝OB＋BF＝． ∵点P的坐标为(－2，3)， ∴＝3，即a＝2． ∴OE＝OC＋CE＝＝3，EM＝2． ∴点M的坐标为(3，－2)． 10．如图，在正方形ABCD内有一折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，并且AE＝3，EF＝4，FC＝5．求正方形ABCD的外接圆的半径． 解：如图，连接AC，则AC是该圆的直径，延长AE交圆于点G，连接CG，则∠AGC＝90°． ∵AE⊥EF，EF⊥FC， ∴四边形EFCG是矩形． ∴EG＝FC＝5，GC＝EF＝4．∴AG＝8． 由勾股定理，得AC＝＝4， ∴正方形ABCD的外接圆的半径为2． 11．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O． (1)若P是上的动点，连接BP，FP，求∠BPF的度数； (2)已知△ADF的面积为2，求⊙O的面积． 解：(1)如图，在上取一点P，连接BP，AP，FP，FO． ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴AF＝AB，∠AOF＝＝60°． ∴∠APF＝∠AOF＝30°． ∵AF＝AB，∴∠APB＝∠APF＝30°． ∴∠BPF＝∠APB＋∠APF＝60°． (2)∵∠AOF＝60°，AO＝FO， ∴△AOF是等边三角形． ∴∠DAF＝60°． ∴DF＝AF，AD＝2AF． ∴S△ADF＝AF·DF＝AF2＝2． ∴AF＝2，即⊙O的半径为2． ∴⊙O的面积为π×22＝4π． 12．如图，P是⊙O上的一点． (1)在⊙O上求作一点B，使PB是⊙O的内接正三角形的一边； (2)在上求作一点A，使PA是⊙O的内接正方形的一边； (3)连接OB，求∠AOB的度数； (4)求作⊙O的内接正十二边形． 　 解：(1)如图1，以点P为圆心、OP为半径在⊙O上依次截取2个点，第二个点为B，则PB即为所求． (2)如图1，作直径PH，过圆心作直径PH的垂线交于点A，则PA即为所求． (3)∵PA是⊙O的内接正方形的一边， ∴∠AOP＝90°． ∵PB是⊙O的内接正三角形的一边， ∴∠BOP＝120°． ∴∠AOB＝30°． (4)如图2，以点P为圆心，OP为半径在⊙O上依次截取5个点， 则这5个点连同点P是圆的六等分点． 作各弧的中点，顺次连接12个点，得到⊙O的内接正十二边形． 【创新运用】 13．如图，M，N分别是⊙O的内接正三角形A1A2A3，正方形A1A2A3A4，正五边形A1A2A3A4A5的边A1A2，A2A3上的点，且A2M＝A3N，连接OM，ON． (1)求图1中∠MON的度数； (2)图2中∠MON的度数是 90° ，图3中∠MON的度数是 72° ． 解：(1)如图1，连接OA2，OA3． ∵A1A2＝A1A3， ∴∠A1A2A3＝∠A1A3A2． ∵OA3＝OA2，点O是外接圆的圆心， ∴A3O平分∠A1A3A2． ∴∠OA2A3＝∠OA3A2＝30°． ∴∠OA2M＝∠OA3N＝30°． ∵A2M＝A3N，OA2＝OA3， ∴△OMA2≌△ONA3(SAS)． ∴∠A2OM＝∠A3ON． ∴∠MON＝∠A2OA3． ∵∠A2OA3＝＝120°， ∴∠MON＝∠A2OA3＝120°． (2)如图2，连接OA2，OA3． 易证△OMA2≌△ONA3， ∴∠A2OM＝∠A3ON． ∴∠MON＝∠A2OA3． ∵∠A2OA3＝＝90°， ∴∠MON＝∠A2OA3＝90°． 如图3，连接OA2，OA3． 易证△OMA2≌△ONA3， ∴∠A2OM＝∠A3ON． ∴∠MON＝∠A2OA3． ∵∠A2OA3＝＝72°， ∴∠MON＝∠A2OA3＝72°． 故答案为90°；72°． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $